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2015年四川省南充市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）每小题都有代号A、B、C、D四个答
案选项，其中只有一个是正确的．
1．（3分）（2015•南充）计算3+（﹣3）的结果是（ ）
A．6 B．﹣6 C．1 D．0
2．（3分）（2015•南充）下列运算正确的是（ ）
A．3x﹣2x=x B．2x•3x=6x C．（2x）2=4x D．6x÷2x=3x
3．（3分）（2015•南充）如图是某工厂要设计生产的正六棱柱形密封罐的立体图形，它的主视
图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（2015•南充）学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置计算机数
量是去年购置计算机数量的3倍，今年购置计算机的数量是（ ）
A．25台 B．50台 C．75台 D．100台
5．（3分）（2015•南充）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A
处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是（ ）
A．2海里 B．2sin55°海里 C．2cos55°海里 D．2tan55°海里
6．（3分）（2015•南充）若m＞n，下列不等式不一定成立的是（ ）
A．m+2＞n+2 B．2m＞2n C． D．m2＞n2
＞
第1页（共30页）7．（3分）（2015•南充）如图是一个可以自由转动的正六边形转盘，其中三个正三角形涂有阴
影，转动指针，指针落在有阴影的区域内的概率为a，如果投掷一枚硬币，正面向上的概率为
b，关于a、b大小的正确判断是（ ）
A．a＞b B．a=b C．a＜b D．不能判断
8．（3分）（2015•南充）如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B的切点，AC是⊙O的直径，已
知∠P=40°，则∠ACB的大小是（ ）
A．40° B．60° C．70° D．80°
9．（3分）（2015•南充）如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为 cm，则对角线AC长和
BD长之比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1： D．1：
10．（3分）（2015•南充）关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关
于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两
个方程的根都负根；②（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2；③﹣1≤2m﹣2n≤1，其中正确结论的个数是（
）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）（2015•南充）计算 ﹣2sin45°的结果是 ．
12．（3分）（2015•南充）不等式 ＞1的解集是 ．
第2页（共30页）13．（3分）（2015•南充）如图，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A=80°，
∠B=40°，则∠ACE的大小是 度．
14．（3分）（2015•南充）从分别标有数﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3的七张卡片中，随机抽取一张，
所抽卡片上数的绝对值小于2的概率是 ．
15．（3分）（2015•南充）已知关于x，y的二元一次方程组 的解互为相反数，则k
的值是 ．
16．（3分）（2015•南充）如图，正方形ABCD的边长为1，以AB为直径作半圆，点P是CD中
点，BP与半圆交于点Q，连结PQ，给出如下结论：①DQ=1；② = ；③S = ；
△PDQ
④cos∠ADQ= ，其中正确结论是 （填写序号）
三、解答题（本大题共9个小题，共72分）
17．（6分）（2015•南充）计算：（a+2﹣ ）• ．
第3页（共30页）18．（6分）（2015•南充）某学校要了解学生上学交通情况，选取九年级全体学生进行调查，根
据调查结果，画出扇形统计图（如图），图中“公交车”对应的扇形圆心角为60°，“自行车”
对应的扇形圆心角为120°，已知九年级乘公交车上学的人数为50人．
（1）九年级学业生中，骑自行车和乘公交车上学哪个更多？多多少人？
（2）如果全校有学生2000人，学校准备的400个自行车停车位是否足够？
19．（8分）（2015•南充）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：
（1）△AEF≌△CEB；
（2）AF=2CD．
20．（8分）（2015•南充）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）=p2，p为实数．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）
第4页（共30页）21．（8分）（2015•南充）反比例函数y= （k≠0）与一次函数y=mx+b（m≠0）交于点A（1，2k﹣
1）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若一次函数与x轴交于点B，且△AOB的面积为3，求一次函数的解析式．
22．（8分）（2015•南充）如图，矩形纸片ABCD，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠
（AP＞AM），点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F
处．
（1）判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？（不需说明理由）
（2）如果AM=1，sin∠DMF= ，求AB的长．
23．（8分）（2015•南充）某工厂在生产过程中每消耗1万度电可以产生产值5.5万元，电力公
司规定，该工厂每月用电量不得超过16万度，月用电量不超过4万度时，单价是1万元/万度；
第5页（共30页）超过4万度时，超过部分电量单价将按用电量进行调查，电价y与月用电量x的函数关系可
用如图来表示．（效益=产值﹣用电量×电价）
（1）设工厂的月效益为z（万元），写出z与月用电量x（万度）之间的函数关系式，并写出自变
量的取值范围；
（2）求工厂最大月效益．
24．（10分）（2015•南充）如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A、B和D的距离分别
为1，2 ， ，△ADP沿点A旋转至△ABP′，连结PP′，并延长AP与BC相交于点Q．
（1）求证：△APP′是等腰直角三角形；
（2）求∠BPQ的大小；
（3）求CQ的长．
25．（10分）（2015•南充）已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+1，0）
（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：x=1．
（1）求抛物线解析式．
第6页（共30页）（2）直线y=kx+2（k≠0）与抛物线相交于两点M（x ，y ），N（x ，y ）（x ＜x ），当|x ﹣x |最小时，
1 1 2 2 1 2 1 2
求抛物线与直线的交点M与N的坐标．
（3）首尾顺次连接点O、B、P、C构成多边形的周长为L，若线段OB在x轴上移动，求L最小
值时点O，B移动后的坐标及L的最小值．
2015 年四川省南充市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）每小题都有代号A、B、C、D四个答
案选项，其中只有一个是正确的．
1．（3分）（2015•南充）计算3+（﹣3）的结果是（ ）
A．6 B．﹣6 C．1 D．0
考点：有理数的加法．
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分析：根据有理数的加法运算法则计算即可得解．
解答：解：∵3与﹣3互为相反数，且互为相反数的两数和为0．
∴3+（﹣3）=0．
故选D．
点评：本题考查了有理数的加法运算，是基础题，熟记运算法则是解题的关键．
2．（3分）（2015•南充）下列运算正确的是（ ）
A．3x﹣2x=x B．2x•3x=6x C．（2x）2=4x D．6x÷2x=3x
考点：整式的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式．
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第7页（共30页）分析：根据同类项、整式的乘法、幂的乘方和整式的除法计算即可．
解答：解：A、3x﹣2x=x，正确；
B、2x•3x=6x2，错误；
C、（2x）2=4x2，错误；
D、6x÷2x=3，错误；
故选A．
点评：此题考查同类项、整式的乘法、幂的乘方和整式的除法，关键是根据法则计算．
3．（3分）（2015•南充）如图是某工厂要设计生产的正六棱柱形密封罐的立体图形，它的主视
图是（ ）
A． B． C． D．
考点：简单几何体的三视图．
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分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
解答：
解：根据主视图的定义，可得它的主视图为： ，
故选：A．
点评：本题考查三视图的有关知识，本题只要清楚了解各个几何体的三视图即可求解．
4．（3分）（2015•南充）学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置计算机数
量是去年购置计算机数量的3倍，今年购置计算机的数量是（ ）
A．25台 B．50台 C．75台 D．100台
考点：一元一次方程的应用．
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分析：设今年购置计算机的数量是x台，根据今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的
3倍列出方程解得即可．
解答：解：设今年购置计算机的数量是x台，去年购置计算机的数量是（100﹣x）台，
第8页（共30页）根据题意可得：x=3（100﹣x），
解得：x=75．
故选C．
点评：此题考查一元一次方程的应用，关键是根据今年购置计算机数量是去年购置计算机数
量的3倍列出方程．
5．（3分）（2015•南充）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A
处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是（ ）
A．2海里 B．2sin55°海里 C．2cos55°海里 D．2tan55°海里
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
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分析：首先由方向角的定义及已知条件得出∠NPA=55°，AP=2海里，∠ABP=90°，再由
AB∥NP，根据平行线的性质得出∠A=∠NPA=55°．然后解Rt△ABP，得出
AB=AP•cos∠A=2cos55°海里．
解答：解：如图，由题意可知∠NPA=55°，AP=2海里，∠ABP=90°．
∵AB∥NP，
∴∠A=∠NPA=55°．
在Rt△ABP中，∵∠ABP=90°，∠A=55°，AP=2海里，
∴AB=AP•cos∠A=2cos55°海里．
故选C．
点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，平行线的性质，三角函数的定义，正确
理解方向角的定义是解题的关键．
6．（3分）（2015•南充）若m＞n，下列不等式不一定成立的是（ ）
第9页（共30页）A．m+2＞n+2 B．2m＞2n C． D．m2＞n2
＞
考点：不等式的性质．
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分析：根据不等式的性质1，可判断A；根据不等式的性质2，可判断B、C；根据不等式的性质
3，可判断D．
解答：解：A、不等式的两边都加2，不等号的方向不变，故A正确；
B、不等式的两边都乘以2，不等号的方向不变，故B正确；
C、不等式的两条边都除以2，不等号的方向不变，故C正确；
D、当0＞m＞n时，不等式的两边都乘以负数，不等号的方向改变，故D错误；
故选：D．
点评：本题考查了不等式的性质，．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应
密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：不等式两边加（或
减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等
号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
7．（3分）（2015•南充）如图是一个可以自由转动的正六边形转盘，其中三个正三角形涂有阴
影，转动指针，指针落在有阴影的区域内的概率为a，如果投掷一枚硬币，正面向上的概率为
b，关于a、b大小的正确判断是（ ）
A．a＞b B．a=b C．a＜b D．不能判断
考点：几何概率．
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分析：分别利用概率公式将a和b求得后比较即可得到正确的选项．
解答：解：∵正六边形被分成相等的6部分，阴影部分占3部分，
∴a= = ，
∵投掷一枚硬币，正面向上的概率b= ，
∴a=b，
故选B．
点评：本题考查了几何概率的知识，解题的关键是分别利用概率公式求得a、b的值，难度不
大．
第10页（共30页）8．（3分）（2015•南充）如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B的切点，AC是⊙O的直径，已
知∠P=40°，则∠ACB的大小是（ ）
A．40° B．60° C．70° D．80°
考点：切线的性质．
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分析：由PA、PB是⊙O的切线，可得∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和，求出∠AOB，
再根据圆周角定理即可求∠ACB的度数．
解答：解：连接OB，
∵AC是直径，
∴∠ABC=90°，
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=180°﹣∠P=140°，
由圆周角定理知，∠ACB= ∠AOB=70°，
故选C．
点评：本题考查了切线的性质，圆周角定理，解决本题的关键是连接OB，利用直径对的圆周
角是直角来解答．
9．（3分）（2015•南充）如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为 cm，则对角线AC长和
BD长之比为（ ）
第11页（共30页）A．1：2 B．1：3 C．1： D．1：
考点：菱形的性质．
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分析：首先设设AC，BD相较于点O，由菱形ABCD的周长为8cm，可求得AB=BC=2cm，又
由高AE长为 cm，利用勾股定理即可求得BE的长，继而可得AE是BC的垂直平分
线，则可求得AC的长，继而求得BD的长，则可求得答案．
解答：解：如图，设AC，BD相较于点O，
∵菱形ABCD的周长为8cm，
∴AB=BC=2cm，
∵高AE长为 cm，
∴BE= =1（cm），
∴CE=BE=1cm，
∴AC=AB=2cm，
∵OA=1cm，AC⊥BD，
∴OB= = （cm），
∴BD=2OB=2 cm，
∴AC：BD=1： ．
故选D．
点评：此题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意菱形的四条边都相等，对角线互相平分且
垂直．
10．（3分）（2015•南充）关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关
于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两
个方程的根都负根；②（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2；③﹣1≤2m﹣2n≤1，其中正确结论的个数是（
）
第12页（共30页）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
考点：根与系数的关系；根的判别式．
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专题：计算题．
分析：①根据题意，以及根与系数的关系，可知两个整数根都是负数；②根据根的判别式，以
及题意可以得出m2﹣2n≥0以及n2﹣2m≥0，进而得解；③可以采用举例反证的方法解
决，据此即可得解．
解答：解：①两个整数根且乘积为正，两个根同号，由韦达定理有，x •x =2n＞0，y •y =2m＞
1 2 1 2
0，
y +y =﹣2n＜0，
1 2
x +x =﹣2m＜0，
1 2
这两个方程的根都为负根，①正确；
②由根判别式有：
△=b2﹣4ac=4m2﹣8n≥0，△=b2﹣4ac=4n2﹣8m≥0，
4m2﹣8n=m2﹣2n≥0，4n2﹣8m=n2﹣2m≥0，
m2﹣2m+1+n2﹣2n+1=m2﹣2n+n2﹣2m+2≥2，
（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2，②正确；
③∵y
1
+y
2
=﹣2n，y
1
•y
2
=2m，
∴2m﹣2n=y +y +y •y ，
1 2 1 2
∵y 与y 都是负整数，
1 2
不妨令y =﹣3，y =﹣5，
1 2
则：2m﹣2n=﹣8+15=7，不在﹣1与1之间，③错误，
其中正确的结论的个数是2，
故选C．
点评：本题主要考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的根的判别式，还考查了举例反
证法，有一定的难度，注意总结．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）（2015•南充）计算 ﹣2sin45°的结果是 ．
考点：实数的运算；特殊角的三角函数值．
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分析：利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值求出即可．
解答：解： ﹣2sin45°
=2 ﹣2×
第13页（共30页）= ．
故答案为： ．
点评：此题主要考查了实数运算等知识，正确掌握相关性质是解题关键．
12．（3分）（2015•南充）不等式 ＞1的解集是 x ＞ 3 ．
考点：解一元一次不等式．
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分析：利用不等式的基本性质来解不等式．
解答：解：去分母得：x﹣1＞2，
移项得：x＞3，
所以不等式的解集是：x＞3．
故答案为：x＞3．
点评：本题考查了解简单不等式的能力．
解不等式要依据不等式的基本性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
13．（3分）（2015•南充）如图，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A=80°，
∠B=40°，则∠ACE的大小是 6 0 度．
考点：三角形的外角性质．
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分析：由∠A=80°，∠B=40°，根据三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和得到
∠ACD=∠B+∠A，然后利用角平分线的定义计算即可．
解答：解：∵∠ACD=∠B+∠A，
而∠A=80°，∠B=4°，
∴∠ACD=80°+40°=120°．
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=60°，
故答案为60
点评：本题考查了三角形的外角定理，关键是根据三角形任意一个外角等于与之不相邻的两
第14页（共30页）内角的和．
14．（3分）（2015•南充）从分别标有数﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3的七张卡片中，随机抽取一张，
所抽卡片上数的绝对值小于2的概率是 ．
考点：概率公式．
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分析：根据写有数字﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3、的七张一样的卡片中，数字的绝对值小于2的
有﹣1、0、1，直接利用概率公式求解即可求得答案．
解答：解：∵写有数字﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3、的七张一样的卡片中，数字的绝对值小于2的
有﹣1、0、1、，
∴任意抽取一张卡片，所抽卡片上数字的绝对值小于2的概率是： ．
故答案为： ．
点评：本题主要考查了绝对值的性质以及概率公式等知识，正确得出绝对值小于2的数个数
和正确运用概率公式是解题的关键．
15．（3分）（2015•南充）已知关于x，y的二元一次方程组 的解互为相反数，则k
的值是 ﹣ 1 ．
考点：二元一次方程组的解．
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分析：将方程组用k表示出x，y，根据方程组的解互为相反数，得到关于k的方程，即可求出
k的值．
解答：
解：解方程组 得： ，
因为关于x，y的二元一次方程组 的解互为相反数，
可得：2k+3﹣2﹣k=0，
解得：k=﹣1．
故答案为：﹣1．
点评：此题考查方程组的解，关键是用k表示出x，y的值．
第15页（共30页）16．（3分）（2015•南充）如图，正方形ABCD的边长为1，以AB为直径作半圆，点P是CD中
点，BP与半圆交于点Q，连结PQ，给出如下结论：①DQ=1；② = ；③S = ；
△PDQ
④cos∠ADQ= ，其中正确结论是 ①②④ （填写序号）
考点：圆的综合题；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；平行线分线段成比
例；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．
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专题：推理填空题．
分析：①连接OQ，OD，如图1．易证四边形DOBP是平行四边形，从而可得DO∥BP．结合
OQ=OB，可证到∠AOD=∠QOD，从而证到△AOD≌△QOD，则有DQ=DA=1；
②连接AQ，如图2，根据勾股定理可求出BP．易证Rt△AQB∽Rt△BCP，运用相似三角
形的性质可求出BQ，从而求出PQ的值，就可得到 的值；
③过点Q作QH⊥DC于H，如图3．易证△PHQ∽△PCB，运用相似三角形的性质可求出
QH，从而可求出S 的值；
△DPQ
④过点Q作QN⊥AD于N，如图4．易得DP∥NQ∥AB，根据平行线分线段成比例可得
= = ，把AN=1﹣DN代入，即可求出DN，然后在Rt△DNQ中运用三角函数的定
义，就可求出cos∠ADQ的值．
解答：解：正确结论是①②④．
提示：①连接OQ，OD，如图1．
易证四边形DOBP是平行四边形，从而可得DO∥BP．
第16页（共30页）结合OQ=OB，可证到∠AOD=∠QOD，从而证到△AOD≌△QOD，
则有DQ=DA=1．
故①正确；
②连接AQ，如图2．
则有CP= ，BP= = ．
易证Rt△AQB∽Rt△BCP，
运用相似三角形的性质可求得BQ= ，
则PQ= ﹣ = ，
∴ = ．
故②正确；
③过点Q作QH⊥DC于H，如图3．
易证△PHQ∽△PCB，
运用相似三角形的性质可求得QH= ，
∴S = DP•QH= × × = ．
△DPQ
故③错误；
④过点Q作QN⊥AD于N，如图4．
第17页（共30页）易得DP∥NQ∥AB，
根据平行线分线段成比例可得 = = ，
则有 = ，
解得：DN= ．
由DQ=1，得cos∠ADQ= = ．
故④正确．
综上所述：正确结论是①②④．
故答案为：①②④．
点评：本题主要考查了圆周角定理、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全
等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、等腰三角形的性质、平行线的性质、锐
角三角函数的定义、勾股定理等知识，综合性比较强，常用相似三角形的性质、勾股定
理、三角函数的定义来建立等量关系，应灵活运用．
三、解答题（本大题共9个小题，共72分）
17．（6分）（2015•南充）计算：（a+2﹣ ）• ．
考点：分式的混合运算．
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分析：首先将括号里面通分运算，进而利用分式的性质化简求出即可．
解答：
解：（a+2﹣ ）•
=[ ﹣ ×
]
= ×
=﹣2a﹣6．
点评：此题主要考查了分式的混合运算，正确进行通分运算是解题关键．
第18页（共30页）18．（6分）（2015•南充）某学校要了解学生上学交通情况，选取九年级全体学生进行调查，根
据调查结果，画出扇形统计图（如图），图中“公交车”对应的扇形圆心角为60°，“自行车”
对应的扇形圆心角为120°，已知九年级乘公交车上学的人数为50人．
（1）九年级学业生中，骑自行车和乘公交车上学哪个更多？多多少人？
（2）如果全校有学生2000人，学校准备的400个自行车停车位是否足够？
考点：扇形统计图；用样本估计总体．
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分析：（1）根据乘公交车的人数除以乘公交车的人数所占的比例，可得调查的样本容量，根
据样本容量乘以自行车所占的百分比，可得骑自行车的人数，根据有理数的减法，可得
答案；
（2）根据学校总人数乘以骑自行车所占的百分比，可得答案．
解答：
解：（1）乘公交车所占的百分比 = ，
调查的样本容量50÷ =300人，
骑自行车的人数300× =100人，
骑自行车的人数多，多100﹣50=50人；
（2）九年级骑自行车的人数2000× ≈667人，
667＞400，
故学校准备的400个自行车停车位不足够．
点评：本题考查了扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题
的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
19．（8分）（2015•南充）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：
（1）△AEF≌△CEB；
（2）AF=2CD．
第19页（共30页）考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
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专题：证明题．
分析：（1）由AD⊥BC，CE⊥AB，易得∠AFE=∠B，利用全等三角形的判定得△AEF≌△CEB；
（2）由全等三角形的性质得AF=BC，由等腰三角形的性质“三线合一”得BC=2CD，
等量代换得出结论．
解答：证明：（1）∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠BCE+∠CFD=90°，∠BCE+∠B=90°，
∴∠CFD=∠B，
∵∠CFD=∠AFE，
∴∠AFE=∠B
在△AEF与△CEB中，
，
∴△AEF≌△CEB（AAS）；
（2）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BC=2CD，
∵△AEF≌△CEB，
∴AF=BC，
∴AF=2CD．
点评：本题主要考查了全等三角形性质与判定，等腰三角形的性质，运用等腰三角形的性质
是解答此题的关键．
20．（8分）（2015•南充）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）=p2，p为实数．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）
第20页（共30页）考点：根的判别式．
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分析：（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明△＞0即可；
（2）要是方程有整数解，那么x •x =4﹣p2为整数即可，于是求得当p=0，±1时，方程有
1 2
整数解．
解答：解；（1）原方程可化为x2﹣5x+4﹣p2=0，
∵△=（﹣5）2﹣4×（4﹣p2）=4p2+9＞0，
∴不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵方程有整数解，
∴x •x =4﹣p2为整数即可，
1 2
∴当p=0，±1时，方程有整数解．
点评：本题考查了一元二次方程的根的情况，判别式△的符号，把求未知系数的范围的问题
转化为解不等式的问题是解题的关键．
21．（8分）（2015•南充）反比例函数y= （k≠0）与一次函数y=mx+b（m≠0）交于点A（1，2k﹣
1）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若一次函数与x轴交于点B，且△AOB的面积为3，求一次函数的解析式．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
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分析：
（1）把A（1，2k﹣1）代入y= 即可求得结果；
（2）根据三角形的面积等于3，求得点B的坐标，代入一次函数y=mx+b即可得到结
果．
解答：
解：（1）把A（1，2k﹣1）代入y= 得，
2k﹣1=k，
∴k=1，
∴反比例函数的解析式为：y= ；
（2）由（1）得k=1，
∴A（1，1），
设B（a，0），
第21页（共30页）∴S = •|a|×1=3，
△AOB
∴a=±6，
∴B（﹣6，0）或（6，0），
把A（1，1），B（﹣6，0）代入y=mx+b得： ，
∴ ，
∴一次函数的解析式为：y= x+ ，
把A（1，1），B（6，0）代入y=mx+b得： ，
∴ ，
∴一次函数的解析式为：y=﹣ ．
所以符合条件的一次函数解析式为：y=﹣ 或y= x+ ．
点评：本题考查了用待定系数法确定函数的解析式，三角形的面积，解题时注意数形结合思
想的体现．
22．（8分）（2015•南充）如图，矩形纸片ABCD，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠
（AP＞AM），点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F
处．
（1）判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？（不需说明理由）
（2）如果AM=1，sin∠DMF= ，求AB的长．
第22页（共30页）考点：翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；解直角三角形．
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分析：（1）由矩形的性质得∠A=∠B=∠C=90°，由折叠的性质和等角的余角相等，可得
∠BPQ=∠AMP=∠DQC，所以△AMP∽△BPQ∽△CQD；
（2）先证明MD=MQ，然后根据sin∠DMF= = ，设DF=3x，MD=5x，表示出AP、BP、
BQ，再根据△AMP∽△BPQ，列出比例式解方程求解即可．
解答：解：（1）△AMP∽△BPQ∽△CQD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=90°，
根据折叠的性质可知：∠APM=∠EPM，∠EPQ=∠BPQ，
∴∠APM+∠BPQ=∠EPM+∠EPQ=90°，
∵∠APM+∠AMP=90°，
∴∠BPQ=∠AMP，
∴△AMP∽△BPQ，
同理：△BPQ∽△CQD，
根据相似的传递性，△AMP∽△CQD；
（2）∵AD∥BC，
∴∠DQC=∠MDQ，
根据折叠的性质可知：∠DQC=∠DQM，
∴∠MDQ=∠DQM，
∴MD=MQ，
∵AM=ME，BQ=EQ，
∴BQ=MQ﹣ME=MD﹣AM，
∵sin∠DMF= = ，
∴设DF=3x，MD=5x，
∴BP=PA=PE= ，BQ=5x﹣1，
∵△AMP∽△BPQ，
∴ ，
∴ ，
解得：x= （舍）或x=2，
第23页（共30页）∴AB=6．
点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、翻折的性质以及锐角三角函
数的综合运用，在求AB长的问题中，关键是恰当的设出未知数表示出一对相似三角
形的对应边列比例式．
23．（8分）（2015•南充）某工厂在生产过程中每消耗1万度电可以产生产值5.5万元，电力公
司规定，该工厂每月用电量不得超过16万度，月用电量不超过4万度时，单价是1万元/万度；
超过4万度时，超过部分电量单价将按用电量进行调查，电价y与月用电量x的函数关系可
用如图来表示．（效益=产值﹣用电量×电价）
（1）设工厂的月效益为z（万元），写出z与月用电量x（万度）之间的函数关系式，并写出自变
量的取值范围；
（2）求工厂最大月效益．
考点：一次函数的应用．
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分析：（1）根据题意知电价y与月用电量x的函数关系是分段函数，当0≤x≤4时，y=1，当4＜
x≤16时，函数过点（4，1）和（8，1.5）的一次函数，求出解析式；再根据效益=产值﹣用
电量×电价，求出z与月用电量x（万度）之间的函数关系式；
（2）根据（1）中得到函数关系式，利用一次函数和二次函数的性质，求出最值．
解答：解：（1）根据题意得：电价y与月用电量x的函数关系是分段函数，
当0≤x≤4时，y=1，
当4＜x≤16时，函数过点（4，1）和（8，1.5）的一次函数，
设一次函数为y=kx+b，
第24页（共30页）∴ ，
解得： ，
∴y= ，
∴电价y与月用电量x的函数关系为：y=
∴z与月用电量x（万度）之间的函数关系式为：z=
即z=
（2）当0≤x≤4时，z=
∵ ，
∴z随x的增大而增大，
∴当x=4时，z有最大值，最大值为： =18（万元）；
当4＜x≤16时，z=﹣ =﹣ ，
∵﹣ ，
∴当x≤22时，z随x增大而增大，
16＜22，则当x=16时，z最大值为54，
故当0≤x≤16时，z最大值为54，即工厂最大月效益为54万元．
点评：本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是图中的函数为分段函数，分别求出个
函数的解析式，注意自变量的取值范围．对于最值问题，借助于一次函数的性质和二次
函数的性质进行解答．
第25页（共30页）24．（10分）（2015•南充）如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A、B和D的距离分别
为1，2 ， ，△ADP沿点A旋转至△ABP′，连结PP′，并延长AP与BC相交于点Q．
（1）求证：△APP′是等腰直角三角形；
（2）求∠BPQ的大小；
（3）求CQ的长．
考点：几何变换综合题．
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分析：（1）根据旋转的性质可知，△APD≌△AP′B，所以AP=AP′，∠PAD=∠P′AB，因为
∠PAD+∠PAB=90°，所以∠P′AB+∠PAB=90°，即∠PAP′=90°，故△APP′是等腰直角三
角形；
（2）根据勾股定理逆定理可判断△PP′B是直角三角形，再根据平角定义求出结果；
（3）作BE⊥AQ，垂足为E，由∠BPQ=45°，P′B=2 ，求出PE=BE=2，在Rt△ABE中，
运用勾股定理求出AB，再由cos∠EAB=cos∠EBQ，求出BQ，则CQ=BC﹣BQ．
解答：解：（1）∵△ADP沿点A旋转至△ABP′，
∴根据旋转的性质可知，△APD≌△AP′B，
∴AP=AP′，∠PAD=∠P′AB，
∵∠PAD+∠PAB=90°，
∴∠P′AB+∠PAB=90°，
即∠PAP′=90°，
∴△APP′是等腰直角三角形；
（2）由（1）知∠PAP′=90°，AP=AP′=1，
∴PP′= ，
∵P′B=PD= ，PB=2 ，
∴P′B2=PP′2+PB2，
∴∠P′PB=90°，
∵△APP′是等腰直角三角形，
∴∠APP′=45°，
第26页（共30页）∴∠BPQ=180°﹣90°﹣45°=45°；
（3）作BE⊥AQ，垂足为E，
∵∠BPQ=45°，P′B=2 ，
∴PE=BE=2，
∴AE=2+1=3，
∴AB= = ，BE= =2，
∵∠EBQ=∠EAB，cos∠EAB= ，
∴cos∠EBQ= ，
∴ ，
∴BQ= ，
∴CQ= ﹣ = ．
点评：本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及逆定理、锐角三角
函数的综合运用，有一定难度，作BE⊥AQ，构造等角的余弦值相等列方程或运用相似
三角形对应线段成比例求出BQ是解决问题的关键．
25．（10分）（2015•南充）已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+1，0）
（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：x=1．
（1）求抛物线解析式．
（2）直线y=kx+2（k≠0）与抛物线相交于两点M（x ，y ），N（x ，y ）（x ＜x ），当|x ﹣x |最小时，
1 1 2 2 1 2 1 2
求抛物线与直线的交点M与N的坐标．
（3）首尾顺次连接点O、B、P、C构成多边形的周长为L，若线段OB在x轴上移动，求L最小
值时点O，B移动后的坐标及L的最小值．
第27页（共30页）考点：二次函数综合题．
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分析：（1）根据对称轴公式求出b的值，再根据根与系数的关系求出c的值，从而求出二次函
数解析式；
（2）将一次函数与二次函数组成方程组，得到一元二次方程x2+（k﹣2）x﹣1=0，根据根
与系数的关系求出k的值，进而求出M（﹣1，0），N（1，4）；
（3）O，B，P，C构成多边形的周长L=OB+BP+PC+CO，根据线段OB平移过程中，OB、
PC长度不变，得到要使L最小，只需BP+CO最短，作点P关于x轴（或OB）对称点
P′（1，﹣4），
连接C′P′与x轴交于点B′，然后根据平移知识和勾股定理解答．
解答：
解：（1）由已知对称轴为x=1，得﹣ =1，
∴b=2，
抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+1，0），
即﹣x2+2x+c=0的解为m﹣2和2m+1，
（m﹣2）+（2m+1）=2，
3m=3，
m=1，
将m=1代入（m﹣2）（2m+1）=﹣c得，
（1﹣2）（2+1）=﹣c，
∴c=3，
∴m=1，c=3，
抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）由 ，
∴x2+（k﹣2）x﹣1=0，
x +x =﹣（k﹣2），x x =﹣1，
1 2 1 2
第28页（共30页）∴（x ﹣x ）2=（x +x ）2﹣4x x =（k﹣2）2+4，
1 2 1 2 1 2
∴当k=2时，（x ﹣x ）2的最小值为4，即|x ﹣x |的最小值为2，
1 2 1 2
∴x ﹣1=0，x =1，x =﹣1，即y =4，y =0，
2 1 2 1 2
∴当|x ﹣x |最小时，抛物线与直线的交点为M（﹣1，0），N（1，4）；
1 2
（3）O（0，0），B（3，0），P（1，4），C（0，3），
O，B，P，C构成多边形的周长L=OB+BP+PC+CO，
∵线段OB平移过程中，OB、PC长度不变，
∴要使L最小，只需BP+CO最短，
如图，平移线段OC到BC′，四边形OBC′C是矩形，
∴C′（3，3），
作点P关于x轴（或OB）对称点P′（1，﹣4），
连接C′P′与x轴交于点B′，
设C′P′解析式为y=ax+n，
∴ ，解得 ，
∴y= x﹣ ，
当y=0时，x= ，
∴B′（ ，0），
又3﹣ = ，
故点B向左平移 ，平移到B′，
同时，点O向左平移 ，平移到0′（﹣ ，0）．
即线段OB向左平移 时，周长L最短，
此时，线段BP，CO之和最短为P′C′= = ，O′B′=OB=3，CP= ，
∴当线段OB向左平移 ，即点O平移到O（′ ﹣ ，0），点B平移到B（′ ，0）时，周长
L最短为 + +3．
第29页（共30页）点评：本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数解析式、函数与方程的关系、
最短路径问题等，综合性强，值得关注．
第30页（共30页）
