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2015 年江苏省扬州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，
恰有一个选项是符合题目要求的．）
1．（3分）实数0是（ ）
A．有理数 B．无理数 C．正数D．负数
2．（3分）2015年我国大学生毕业人数将达到7 490 000人，这个数据用科学记数
法表示为（ ）
A．7.49×107B．7.49×106C．74.9×105D．0.749×107
3．（3分）如图是某校学生参加课外兴趣小组的人数占总人数比例的统计图，则参
加人数最多的课外兴趣小组是（ ）
A．音乐组 B．美术组 C．体育组 D．科技组
4．（3分）下列二次根式中的最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图所示的物体的左视图（从左面看得到的视图）是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E、在y轴上，Rt△ABC经过变换得
到Rt△ODE．若点C的坐标为（0，1），AC=2，则这种变换可以是（ ）
第1页（共32页）A．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3
B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1
C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1
D．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3
7．（3分）如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（与点C在AB同侧），则
下列三个结论：①sin∠C＞sin∠D；②cos∠C＞cos∠D；③tan∠C＞tan∠D中，正
确的结论为（ ）
A．①②B．②③C．①②③ D．①③
8．（3分）已知x=2是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解，且x=1不是这个不等式
的解，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞1B．a≤2C．1＜a≤2D．1≤a≤2
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不许写出解答过程，请把
答案直接填写在相应位置）
9．（3分）﹣3的相反数是 ．
10．（3分）因式分解：x3﹣9x= ．
11．（3分）已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的一个交点坐标为（1，
3），则另一个交点坐标是 ．
12．（3分）色盲是伴X染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体
检信息库中随机抽取体检表，统计结果如表：
抽取的体检表数n 50 10 20 400 500 800 100 120 150 200
第2页（共32页）0 0 0 0 0 0
色盲患者的频数 3 7 13 29 37 55 69 85 105 138
m
色盲患者的频率 0.0 0.0 0.0 0.0 0.07 0.06 0.0 0.0 0.07 0.0
m/n 60 70 65 73 4 9 69 71 0 69
根据表中数据，估计在男性中，男性患色盲的概率为 （结果精确到0.01）
13．（3分）若a2﹣3b=5，则6b﹣2a2+2015= ．
14．（3分）已知一个圆锥的侧面积是2πcm2，它的侧面展开图是一个半圆，则这个
圆锥的高为 cm（结果保留根号）．
15．（3分）如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，
同一条直线上的三个点 A、B、C都在横格线上．若线段 AB=4cm，则线段BC=
cm．
16．（3分）如图，已知矩形纸片的一条边经过直角三角形纸片的直角顶点，若矩
形纸片的一组对边与直角三角形纸片的两条直角边相交成∠1、∠2，则∠2﹣
∠1= ．
17．（3分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，将△ABC绕直角顶点C
顺时针旋转90°得到△DEC．若点F是DE的中点，连接AF，则AF= ．
第3页（共32页）18．（3分）如图，已知△ABC的三边长为a、b、c，且a＜b＜c，若平行于三角形一边
的直线l将△ABC的周长分成相等的两部分．设图中的小三角形①、②、③的面积
分别为S ，S ，S ，则S ，S ，S 的大小关系是 ．（用“＜”号连接）
1 2 3 1 2 3
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．）
19．（8分）（1）计算：（ ）﹣1+|1﹣ |﹣ tan30°；
（2）化简： ÷（ ﹣ ）．
20．（8分）解不等式组 ，并把它的解集在数轴上表示出来．
21．（8分）在“爱满扬州”慈善一日捐活动中，学校团总支为了了解本校学生的
捐款情况，随机抽取了50名学生的捐款数进行了统计，并绘制成统计图．
（1）这50名同学捐款的众数为 元，中位数为 元；
（2）求这50名同学捐款的平均数；
（3）该校共有600名学生参与捐款，请估计该校学生的捐款总数．
第4页（共32页）22．（8分）“2015扬州鉴真国际半程马拉松”的赛事共有三项：A．“半程马拉
松”、B．“10公里”、C．“迷你马拉松”．小明和小刚参与了该项赛事的志愿者
服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组．
（1）小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为 ；
（2）求小明和小刚被分配到不同项目组的概率．
23．（10分）如图，将 ▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，
折痕l交CD边于点E，连接BE．
（1）求证：四边形BCED′是平行四边形；
（2）若BE平分∠ABC，求证：AB2=AE2+BE2．
24．（10分）扬州建城2500年之际，为了继续美化城市，计划在路旁栽树1200棵，
由于志愿者的参加，实际每天栽树的棵数比原计划多20%，结果提前2天完成，求
原计划每天栽树多少棵？
25．（10分）如图，已知⊙O的直径AB=12cm，AC是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线
交BA的延长线于点P，连接BC．
（1）求证：∠PCA=∠B；
（2）已知∠P=40°，点Q在优弧ABC上，从点A开始逆时针运动到点C停止（点Q
与点C不重合），当△ABQ与△ABC的面积相等时，求动点Q所经过的弧长．
26．（10分）平面直角坐标系中，点P（x，y）的横坐标x的绝对值表示为|x|，纵坐
标y的绝对值表示为|y|，我们把点P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做
点P（x，y）的勾股值，记为「P」，即「P」=|x|+|y|．（其中的“+”是四则运算中的加
第5页（共32页）法）
（1）求点A（﹣1，3），B（ +2， ﹣2）的勾股值「A」、「B」；
（2）点M在反比例函数y= 的图象上，且「M」=4，求点M的坐标；
（3）求满足条件「N」=3的所有点N围成的图形的面积．
27．（12分）科研所计划建一幢宿舍楼，因为科研所实验中会产生辐射，所以需要
有两项配套工程：①在科研所到宿舍楼之间修一条笔直的道路；②对宿舍楼进行
防辐射处理，已知防辐射费y万元与科研所到宿舍楼的距离xkm之间的关系式为
y=a +b（0≤x≤9）．当科研所到宿舍楼的距离为1km时，防辐射费用为720万元；
当科研所到宿舍楼的距离为9km或大于9km时，辐射影响忽略不计，不进行防辐
射处理．设每公里修路的费用为m万元，配套工程费w=防辐射费+修路费．
（1）当科研所到宿舍楼的距离x=9km时，防辐射费y= 万元，a= ，
b= ；
（2）若每公里修路的费用为90万元，求当科研所到宿舍楼的距离为多少km时，
配套工程费最少？
（3）如果配套工程费不超过675万元，且科研所到宿舍楼的距离小于9km，求每
公里修路费用m万元的最大值．
28．（12分）如图1，直线l⊥AB于点B，点C在AB上，且AC：CB=2：1，点M是直线
l上的动点，作点B关于直线CM的对称点B′，直线AB′与直线CM相交于点P，连
接PB．
（1）如图2，若点P与点M重合，则∠PAB= ，线段PA与PB的比值为
（2）如图3，若点P与点M不重合，设过P，B，C三点的圆与直线AP相交于D，连
接CD，求证：①CD=CB′；②PA=2PB；
（3）如图4，若AC=2，BC=1，则满足条件PA=2PB的点都在一个确定的圆上，在以下
小题中选做一题：
①如果你能发现这个确定的圆的圆心和半径，那么不必写出发现过程，只要证明
这个圆上的任意一点Q，都满足QA=2QB；
②如果你不能发现这个确定的圆的圆心和半径，那么请取出几个特殊位置的P点
如点P在直线AB上，点P与点M重合等进行探究，求这个圆的半径．
第6页（共32页）第7页（共32页）2015 年江苏省扬州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，
恰有一个选项是符合题目要求的．）
1．（3分）实数0是（ ）
A．有理数 B．无理数 C．正数D．负数
【分析】根据实数的分类，即可解答．
【解答】解：0是有理数，
故选：A．
【点评】本题考查了实数，解决本题的关键是掌握实数的分类．
2．（3分）2015年我国大学生毕业人数将达到7 490 000人，这个数据用科学记数
法表示为（ ）
A．7.49×107B．7.49×106C．74.9×105D．0.749×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移
动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将7 490 000用科学记数法表示为：7.49×106．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）如图是某校学生参加课外兴趣小组的人数占总人数比例的统计图，则参
加人数最多的课外兴趣小组是（ ）
第8页（共32页）A．音乐组 B．美术组 C．体育组 D．科技组
【分析】根据扇形统计图中扇形面积越大，所占的比例越重，相应的人数越多，可
得答案．
【解答】解：由40%＞25%＞23%＞12%，
体育组的人数最多，
故选：C．
【点评】本题考查了扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息
是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
4．（3分）下列二次根式中的最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次
根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、符合最简二次根式的定义，故本选项正确；
B、原式= ，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误
C、原式= ，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
D、被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项错误；
故选：A
【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式
必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
5．（3分）如图所示的物体的左视图（从左面看得到的视图）是（ ）
第9页（共32页）A． B． C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可．
【解答】解：从左边看去，就是两个长方形叠在一起，故选D．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E、在y轴上，Rt△ABC经过变换得
到Rt△ODE．若点C的坐标为（0，1），AC=2，则这种变换可以是（ ）
A．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3
B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1
C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1
D．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3
【分析】观察图形可以看出，Rt△ABC通过变换得到Rt△ODE，应先旋转然后平移
即可．
【解答】解：根据图形可以看出，△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单
位可以得到△ODE．
故选：A．
【点评】本题考查的是坐标与图形变化旋转和平移的知识，掌握旋转和平移的概
念和性质是解题的关键．
7．（3分）如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（与点C在AB同侧），则
下列三个结论：①sin∠C＞sin∠D；②cos∠C＞cos∠D；③tan∠C＞tan∠D中，正
第10页（共32页）确的结论为（ ）
A．①②B．②③C．①②③ D．①③
【分析】连接BE，根据圆周角定理，可得∠C=∠AEB，因为∠AEB=∠D+∠DBE，所以
∠AEB＞∠D，所以∠C＞∠D，根据锐角三角形函数的增减性，即可判断．
【解答】解：如图，连接BE，
根据圆周角定理，可得∠C=∠AEB，
∵∠AEB=∠D+∠DBE，
∴∠AEB＞∠D，
∴∠C＞∠D，
根据锐角三角形函数的增减性，可得，
sin∠C＞sin∠D，故①正确；
cos∠C＜cos∠D，故②错误；
tan∠C＞tan∠D，故③正确；
故选：D．
【点评】本题考查了锐角三角形函数的增减性，解决本题的关键是比较出∠C＞
∠D．
8．（3分）已知x=2是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解，且x=1不是这个不等式
的解，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞1B．a≤2C．1＜a≤2D．1≤a≤2
【分析】根据x=2是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解，且x=1不是这个不等式的
第11页（共32页）解，列出不等式，求出解集，即可解答．
【解答】解：∵x=2是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解，
∴（2﹣5）（2a﹣3a+2）≤0，
解得：a≤2，
∵x=1不是这个不等式的解，
∴（1﹣5）（a﹣3a+2）＞0，
解得：a＞1，
∴1＜a≤2，
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的解集，解决本题的关键是求不等式的解集．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不许写出解答过程，请把
答案直接填写在相应位置）
9．（3分）﹣3的相反数是 3 ．
【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．
【解答】解：﹣（﹣3）=3，
故﹣3的相反数是3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上
“﹣”号．一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是
0．学生易把相反数的意义与倒数的意义混淆．
10．（3分）因式分解：x3﹣9x= x （ x + 3 ）（ x﹣3 ） ．
【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解．
【解答】解：x3﹣9x，
=x（x2﹣9），
=x（x+3）（x﹣3）．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要
进行二次分解，分解因式要彻底．
第12页（共32页）11．（3分）已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的一个交点坐标为（1，
3），则另一个交点坐标是 （﹣ 1 ，﹣ 3 ） ．
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定
关于原点对称．
【解答】解：∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对
称，
∴另一个交点的坐标与点（1，3）关于原点对称，
∴该点的坐标为（﹣1，﹣3）．
故答案为：（﹣1，﹣3）．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握
关于原点对称的两个点的坐标的横、纵坐标都互为相反数．
12．（3分）色盲是伴X染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体
检信息库中随机抽取体检表，统计结果如表：
抽取的体检表数n 50 10 20 400 500 800 100 120 150 200
0 0 0 0 0 0
色盲患者的频数 3 7 13 29 37 55 69 85 105 138
m
色盲患者的频率 0.0 0.0 0.0 0.0 0.07 0.06 0.0 0.0 0.07 0.0
m/n 60 70 65 73 4 9 69 71 0 69
根据表中数据，估计在男性中，男性患色盲的概率为 0.07 （结果精确到0.01）
【分析】观察随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到的常数即可表示男性患色盲
的概率．
【解答】解：观察表格发现，随着实验人数的增多，男性患色盲的频率逐渐稳定在
常数0.07左右，
故男性中，男性患色盲的概率为0.07，
故答案为：0.07．
【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是仔细观察表格，找到
频率稳定到的常数，难度不大．
13．（3分）若a2﹣3b=5，则6b﹣2a2+2015= 2005 ．
第13页（共32页）【分析】首先根据a2﹣3b=5，求出6b﹣2a2的值是多少，然后用所得的结果加上
2015，求出算式6b﹣2a2+2015的值是多少即可．
【解答】解：6b﹣2a2+2015
=﹣2（a2﹣3b）+2015
=﹣2×5+2015
=﹣10+2015
=2005．
故答案为：2005．
【点评】此题主要考查了代数式的求值问题，采用代入法即可，要熟练掌握，题型
简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给
代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．
14．（3分）已知一个圆锥的侧面积是2πcm2，它的侧面展开图是一个半圆，则这个
圆锥的高为 cm（结果保留根号）．
【分析】利用扇形的面积公式可得圆锥的母线长，进而求得扇形的弧长，除以2π
即为圆锥的底面圆半径，利用勾股定理求得圆锥的高即可．
【解答】解：设圆锥的母线长为R，
π×R2÷2=2π，
解得：R=2，
∴圆锥侧面展开图的弧长为：2π，
∴圆锥的底面圆半径是2π÷2π=1，
∴圆锥的高为 ．
故答案为 ．
【点评】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等
于底面周长．
15．（3分）如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，
同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上．若线段AB=4cm，则线段BC= 1 2
cm．
第14页（共32页）【分析】过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，根据平行线分线段成比例可得
，代入计算即可解答．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，
∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，
∴ ，
即 ，
∴BC=12cm．
故答案为：12．
【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成
比例是解题的关键．
16．（3分）如图，已知矩形纸片的一条边经过直角三角形纸片的直角顶点，若矩
形纸片的一组对边与直角三角形纸片的两条直角边相交成∠1、∠2，则∠2﹣
∠1= 90 ° ．
第15页（共32页）【分析】先根据平角的定义得出∠3=180°﹣∠2，再由平行线的性质得出∠4=∠3，
根据∠4+∠1=90°即可得出结论．
【解答】解：∵∠2+∠3=180°，
∴∠3=180°﹣∠2．
∵直尺的两边互相平行，
∴∠4=∠3，
∴∠4=180°﹣∠2．
∵∠4+∠1=90°，
∴180°﹣∠2+∠1=90°，即∠2﹣∠1=90°．
故答案为：90°．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
17．（3分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，将△ABC绕直角顶点C
顺时针旋转90°得到△DEC．若点F是DE的中点，连接AF，则AF= 5 ．
【分析】根据旋转的性质，EC=BC=4，DC=AC=6，∠ACD=∠ACB=90°，由点F是DE的
中点，可求出EG、GF，因为AE=AC﹣EC=2，可求出AG，然后运用勾股定理求出AF．
【解答】解：作FG⊥AC，
根据旋转的性质，EC=BC=4，DC=AC=6，∠ACD=∠ACB=90°，
第16页（共32页）∵点F是DE的中点，
∴FG∥CD
∴GF= CD= AC=3
EG= EC= BC=2
∵AC=6，EC=BC=4
∴AE=2
∴AG=4
根据勾股定理，AF=5．
【点评】本题主要考查了旋转的性质、三角形中位线性质、勾股定理的综合运用，
作垂线构造直角三角形是解决问题的关键．
18．（3分）如图，已知△ABC的三边长为a、b、c，且a＜b＜c，若平行于三角形一边
的直线l将△ABC的周长分成相等的两部分．设图中的小三角形①、②、③的面积
分别为S ，S ，S ，则S ，S ，S 的大小关系是 S ＜ S ＜ S ．（用“＜”号连接）
1 2 3 1 2 3 1 3 2
【分析】设△ABC的面积为S，周长为C．①若l∥BC，如图1，则有△ADE∽△ABC，
根据相似三角形的性质及等比性质可得 = = = = ；②若l∥BC，
第17页（共32页）如图2，同理可得 = ；③若l∥AC，如图3，同理可得 = ．由0＜a＜b
＜c可得0＜a+b＜a+c＜b+c，即可得到 ＜ ＜ ．
【解答】解：设△ABC的面积为S，周长为C．
①若l∥BC，如图1，
则有△ADE∽△ABC，
∴ = = = = ；
②若l∥AB，如图2，
同理可得： = ；
③若l∥AC，如图3，
同理可得： = ．
∵0＜a＜b＜c，
∴0＜a+b＜a+c＜b+c，
∴ ＜ ＜ ，
∴S ＜S ＜S ，
1 3 2
故答案为S ＜S ＜S ．
1 3 2
第18页（共32页）【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质、等比性质等知识，把相似三
角形的面积比等于相似比的平方转化为相似三角形面积算术平方根比等于相似
比，是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．）
19．（8分）（1）计算：（ ）﹣1+|1﹣ |﹣ tan30°；
（2）化简： ÷（ ﹣ ）．
【分析】（1）原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用绝对值的代数
意义化简，最后一项利用二次根式性质及特殊角的三角函数值计算即可得到结果
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则
变形，约分即可得到结果．
【解答】解：（1）原式=4+ ﹣1﹣3 × =4+ ﹣1﹣3= ；
（2）原式= ÷ = • = ．
【点评】此题考查了分式的混合运算，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本
题的关键．
第19页（共32页）20．（8分）解不等式组 ，并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
【解答】解： ，
由①得：x≤1；
由②得：x＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤1，
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练
掌握运算法则是解本题的关键．
21．（8分）在“爱满扬州”慈善一日捐活动中，学校团总支为了了解本校学生的
捐款情况，随机抽取了50名学生的捐款数进行了统计，并绘制成统计图．
（1）这50名同学捐款的众数为 1 5 元，中位数为 1 5 元；
（2）求这50名同学捐款的平均数；
（3）该校共有600名学生参与捐款，请估计该校学生的捐款总数．
【分析】（1）根据众数的定义即出现次数最多的数据进而得出即可，再利用中位
数的定义得出即可；
（2）利用条形统计图得出各组频数，再根据加权平均数的公式计算即可；
（3）利用样本估计总体的思想，用总数乘以捐款平均数即可得到捐款总数．
【解答】解：（1）数据15元出现了20次，出现次数最多，所以众数是15元；
数据总数为50，所以中位数是第25、26位数的平均数，即（15+15）÷2=15（元）．
故答案为15，15；
第20页（共32页）（2）50名同学捐款的平均数=（5×8+10×14+15×20+20×6+25×2）÷50=13（元）
（3）估计这个中学的捐款总数=600×13=7800（元）．
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要
的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．除此之
外，本题也考查了平均数、中位数、众数的定义以及利用样本估计总体的思想．
22．（8分）“2015扬州鉴真国际半程马拉松”的赛事共有三项：A．“半程马拉
松”、B．“10公里”、C．“迷你马拉松”．小明和小刚参与了该项赛事的志愿者
服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组．
（1）小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为 ；
（2）求小明和小刚被分配到不同项目组的概率．
【分析】（1）利用概率公式直接计算即可；
（2）列表或画树形图得到所有可能的结果，即可求出小明和小刚被分配到不同项
目组的概率．
【解答】解：（1）∵共有A，B，C三项赛事，
∴小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率是 ，
故答案为： ；
（2）设三种赛事分别为1，2，3，列表得：
1 2 3
1 （1，1） （2，1） （3，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3）
所有等可能的情况有9种，分别为（1，1）；（1，2）；（1，3）；（2，1）；（2，2）；（2，
3）；（3，1）；（3，2）；（3，3），
小明和小刚被分配到不同项目组的情况有6种，所有其概率= = ．
第21页（共32页）【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的
列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完
成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概
率=所求情况数与总情况数之比．
23．（10分）如图，将 ▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，
折痕l交CD边于点E，连接BE．
（1）求证：四边形BCED′是平行四边形；
（2）若BE平分∠ABC，求证：AB2=AE2+BE2．
【 分 析 】 （ 1 ） 利 用 翻 折 变 换 的 性 质 以 及 平 行 线 的 性 质 得 出
∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，进而利用平行四边形的判定方法得出四边形
DAD′E是平行四边形，进而求出四边形BCED′是平行四边形；
（2）利用平行线的性质结合勾股定理得出答案．
【解答】证明：（1）∵将 ▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′
处，
∴∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA，∠D=∠AD′E，
∵DE∥AD′，
∴∠DEA=∠EAD′，
∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，
∴∠DAD′=∠DED′，
∴四边形DAD′E是平行四边形，
∴DE=AD′，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB DC，
第22页（共32页）∴CE D′B，
∴四边形BCED′是平行四边形；
（2）∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠EBA，
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
∵∠DAE=∠BAE，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
∴∠AEB=90°，
∴AB2=AE2+BE2．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，得出四
边形DAD′E是平行四边形是解题关键．
24．（10分）扬州建城2500年之际，为了继续美化城市，计划在路旁栽树1200棵，
由于志愿者的参加，实际每天栽树的棵数比原计划多20%，结果提前2天完成，求
原计划每天栽树多少棵？
【分析】设原计划每天种树x棵，则实际每天栽树的棵数为（1+20%），根据题意可
得，实际比计划少用2天，据此列方程求解．
【解答】解：设原计划每天种树x棵，则实际每天栽树的棵数为（1+20%），
由题意得， ﹣ =2，
解得：x=100，
经检验，x=100是原分式方程的解，且符合题意．
答：原计划每天种树100棵．
第23页（共32页）【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，
找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
25．（10分）如图，已知⊙O的直径AB=12cm，AC是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线
交BA的延长线于点P，连接BC．
（1）求证：∠PCA=∠B；
（2）已知∠P=40°，点Q在优弧ABC上，从点A开始逆时针运动到点C停止（点Q
与点C不重合），当△ABQ与△ABC的面积相等时，求动点Q所经过的弧长．
【分析】（1）证明：连接OC，由PC是⊙O的切线，得到∠1+∠PCA=90°，由AB是
⊙O的直径，得到∠2+∠B=90°，于是得到结论；
（2）当∠AOQ=∠AOC=50°时，△ABQ与△ABC的面积相等，求得点Q所经过的弧
长= = ，当∠BOQ=∠AOC=50°时，即∠AOQ=130°时，△ABQ与△ABC的
面积相等，求得点 Q 所经过的弧长= = ，当∠BOQ=50°时，即
∠AOQ=230°时，△ABQ与△ABC的面积相等．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠PCO=90°，
∴∠1+∠PCA=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠2+∠B=90°，
∵OC=OA，
∴∠1=∠2，
∴∠PCA=∠B；
第24页（共32页）（2）解：∵∠P=40°，
∴∠AOC=50°，
∵AB=12，
∴AO=6，
当∠AOQ=∠AOC=50°时，△ABQ与△ABC的面积相等，
∴点Q所经过的弧长= = ，
当∠BOQ=∠AOC=50°时，即∠AOQ=130°时，△ABQ与△ABC的面积相等，
∴点Q所经过的弧长= = ，
当∠BOQ=50°时，即∠AOQ=230°时，△ABQ与△ABC的面积相等，
∴点Q所经过的弧长= = ，
∴当△ABQ与△ABC的面积相等时，动点Q所经过的弧长为 或 或 ．
【点评】本题考查了切线的性质，弦切角定理，弧长的求法，熟练掌握定理和计算
公式是解题的关键．
26．（10分）平面直角坐标系中，点P（x，y）的横坐标x的绝对值表示为|x|，纵坐
标y的绝对值表示为|y|，我们把点P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做
点P（x，y）的勾股值，记为「P」，即「P」=|x|+|y|．（其中的“+”是四则运算中的加
法）
（1）求点A（﹣1，3），B（ +2， ﹣2）的勾股值「A」、「B」；
（2）点M在反比例函数y= 的图象上，且「M」=4，求点M的坐标；
（3）求满足条件「N」=3的所有点N围成的图形的面积．
第25页（共32页）【分析】（1）由勾股值的定义即可求解；
（2）点M在反比例函数y= 的图象上，且「M」=4，列方程组即可得到结果；
（3）设N点的坐标为（x，y），由「N」=3，得到方程|x|+|y|=3，得到x+y=3，﹣x﹣
y=3，x﹣y=3，﹣x+y=3，化为一次函数的解析式y=﹣x+3，y=﹣x﹣3，y=x﹣3，y=x+3，
于是得到所有点N围成的图形是边长为3 的正方形，则面积可求．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，3），B（ +2， ﹣2），
∴「A」=|﹣1|+|3|=4，「B」=| +2|+| ﹣2|= +2+2﹣ =4；
（2）设：点M的坐标为（m，n），
由题意得
解得： ， ， ， ，
∴M（1，3），（﹣1，﹣3），（3，1），（﹣3，﹣1）．
（3）设N点的坐标为（x，y），
∵「N」=3，
∴|x|+|y|=3，
∴x+y=3，﹣x﹣y=3，x﹣y=3，﹣x+y=3，
∴y=﹣x+3，y=﹣x﹣3，y=x﹣3，y=x+3，
如图：所有点N围成的图形的面积=3 =18．
第26页（共32页）【点评】本题考查了反比例函数的性质，点的坐标的求法，求一次函数的解析式，
正确理解勾股值的定义是解题的关键．
27．（12分）科研所计划建一幢宿舍楼，因为科研所实验中会产生辐射，所以需要
有两项配套工程：①在科研所到宿舍楼之间修一条笔直的道路；②对宿舍楼进行
防辐射处理，已知防辐射费y万元与科研所到宿舍楼的距离xkm之间的关系式为
y=a +b（0≤x≤9）．当科研所到宿舍楼的距离为1km时，防辐射费用为720万元；
当科研所到宿舍楼的距离为9km或大于9km时，辐射影响忽略不计，不进行防辐
射处理．设每公里修路的费用为m万元，配套工程费w=防辐射费+修路费．
（1）当科研所到宿舍楼的距离x=9km时，防辐射费y= 0 万元，a= ﹣ 36 0 ，
b= 1080 ；
（2）若每公里修路的费用为90万元，求当科研所到宿舍楼的距离为多少km时，
配套工程费最少？
（3）如果配套工程费不超过675万元，且科研所到宿舍楼的距离小于9km，求每
公里修路费用m万元的最大值．
【分析】（1）当科研所到宿舍楼的距离为9km或大于9km时，辐射影响忽略不计，
不进行防辐射处理，所以当科研所到宿舍楼的距离x=9km时，防辐射费y=0万元，
根据题意得方程组，即可求出a，b的值；
（2）科研所到宿舍楼的距离为xkm，配套工程费为w元，分两种情况：①当x＜9
时，w=﹣360 +1080+90x=90 +720，②当x≥9时，w=90x，分别求出最小
第27页（共32页）值，即可解答；
（3）根据配套工程费不超过675万元，且科研所到宿舍楼的距离小于9km，列出
不等式组，即可解答．
【解答】解：（1）∵当科研所到宿舍楼的距离为9km或大于9km时，辐射影响忽略
不计，不进行防辐射处理，
∴当科研所到宿舍楼的距离x=9km时，防辐射费y=0万元，
根据题意得： ，
解得： ，
故答案为：0，﹣360，1080．
（2）科研所到宿舍楼的距离为xkm，配套工程费为w元，
①当x＜9时，w=﹣360 +1080+90x=90 +720，
当 =0时，即x=4，w有最小值，最小值为720万元；
②当x≥9时，w=90x，
当x=9时，w有最小值，最小值为810万元，
∴当x=4时，w有最小值，最小值为720万元；
即当科研所到宿舍楼的距离4km时，配套工程费最少．
（3）由题意得： ，
由①得： ，
由②得： ，
∴ ，
w= ，
∴60＜m≤80，
∴每公里修路费用m万元的最大值为80．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意，得到函数关系
式，并利用二次函数的性质解决问题．
第28页（共32页）28．（12分）如图1，直线l⊥AB于点B，点C在AB上，且AC：CB=2：1，点M是直线
l上的动点，作点B关于直线CM的对称点B′，直线AB′与直线CM相交于点P，连
接PB．
（1）如图2，若点P与点M重合，则∠PAB= 30 ° ，线段PA与PB的比值为 2
（2）如图3，若点P与点M不重合，设过P，B，C三点的圆与直线AP相交于D，连
接CD，求证：①CD=CB′；②PA=2PB；
（3）如图4，若AC=2，BC=1，则满足条件PA=2PB的点都在一个确定的圆上，在以下
小题中选做一题：
①如果你能发现这个确定的圆的圆心和半径，那么不必写出发现过程，只要证明
这个圆上的任意一点Q，都满足QA=2QB；
②如果你不能发现这个确定的圆的圆心和半径，那么请取出几个特殊位置的P点
如点P在直线AB上，点P与点M重合等进行探究，求这个圆的半径．
【分析】（1）如图2，根据对称性质得△PBC沿PC翻折得到△PB′C，根据折叠性质
得CB′=CB，∠PB′C=∠PBC=90°，由于AC：CB=2：1，则AC=2CB′，然后在Rt△AB′C中，
利用正弦定义可计算出∠A=30°，再利用含30度的直角三角形三边的关系易得
PA=2PB；
（2）①与（1）一样可得∠PB′C=∠PBC，再根据圆内接四边形的性质得
∠CDB′=∠CBP，所以∠CDB′=∠CB′D，于是根据等腰三角形的判定得到CD=CB′；
②作B′E∥PC交AC于E，连结BB′交PC于F，如图3，利用对称性质得FB=FB′，
第29页（共32页）PB=PB′，而CF∥B′E，则CF为△BEB′的中位线，所以BC=CE，加上AC=2BC，所以
AE=EC，然后利用B′E∥PC，则AB′=PB′，所以PA=2PB′=2PB；
（3）选①进行证明，作B′E∥QC交AC于E，连结BB′交QC于F，如图4，与（2）中②
的证明方法一样．
【解答】（1）解：如图2，
∵B关于直线CM的对称点为点B′，
∴△PBC沿PC翻折得到△PB′C，
∴CB′=CB，∠PB′C=∠PBC=90°，
∵AC：CB=2：1，
∴AC=2CB′，
在Rt△AB′C中，sin∠A= = ，
∴∠A=30°，
在Rt△PAB中，PA=2PB；
故答案为30°；2；
（2）证明：①∵B关于直线CM的对称点为点B′，
∴△PBC沿PC翻折得到△PB′C，
∴∠PB′C=∠PBC，
∵∠CDB′=∠CBP，
∴∠CDB′=∠CB′D，
∴CD=CB′；
②作B′E∥PC交AC于E，连结BB′交PC于F，如图3，
∵B关于直线CM的对称点为点B′，
∴FB=FB′，PB=PB′，
而CF∥B′E，
∴BC=CE，
∵AC=2BC，
∴AE=EC，
而B′E∥PC，
∴AB′=PB′，
第30页（共32页）∴PA=2PB′=2PB；
（3）选①．
证明：作B′E∥QC交AC于E，连结BB′交QC于F，如图4，
∵B关于直线CM的对称点为点B′，
∴FB=FB′，QB=QB′，
而CF∥B′E，
∴BC=CE，
∵AC=2BC，
∴AE=EC，
而B′E∥QC，
∴AB′=QB′，
∴QA=2QB′=2QB．
【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆内接四边形的性质、轴对称的性质和
第31页（共32页）三角形中位线的性质；会解直角三角形．
第32页（共32页）
