文档内容
2015 年江苏省扬州市中考数学试卷
一、单选题：本大题共8小题，每小题3分，共24分
1.（2015•扬州）实数0是（ ）
A. 有理数 B. 无理数 C. 正数 D. 负数
2.（2015•扬州）2015年我国大学生毕业人数将达到7 490 000人，这个数据用科学记数法
表示为（ ）
A. 7.49×107 B. 7.49×106 C. 74.9×105 D. 0.749×107
3.（2015•扬州）如图是某校学生参加课外兴趣小组的人数占总人数比例的统计图，则参加
人数最多的课外兴趣小组是（ ）
A. 音乐组 B. 美
术组 C. 体育
组 D. 科技组
4.（2015•扬州）下列二次根式中的最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
5.（2015•扬州）如图所示的物体的左视图为（ ）
A. B. C. D.
1 / 306.（2015•扬州）如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E、在y轴上，Rt△ABC经过变换
得到Rt△ODE．若点C的坐标为（0，1），AC=2，则这种变换可以是（ ）
A. △ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3
B. △ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1
C. △ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1
D. △ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3
7.（2015•扬州）如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（与点C在AB同侧），
则下列三个结论：①sin∠C＞sin∠D；②cos∠C＞cos∠D；③tan∠C＞tan∠D中，正确的结
论为（ ）
A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③
8.（2015•扬州）已知x=2是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解，且x=1不是这个不等
式的解，则实数a的取值范围是（ ）
A. a＞1 B. a≤2 C. 1＜a≤2 D. 1≤a≤2
二、填空题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分
9.（2015•扬州）﹣3的相反数是________ .
10.（2015•扬州）因式分解：x3﹣9x=________ .
11.（2015•扬州）已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的一个交点坐标为（1，
3），则另一个交点坐标是________ .
12.（2015•扬州）色盲是伴X染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体
检信息库中随机抽取体检表，统计结果如表：
抽取的体检表数n 50 100 200 400 500 800 1000 1200 1500 2000
色盲患者的频数m 3 7 13 29 37 55 69 85 105 138
2 / 30色盲患者的频率m/n 0.060 0.070 0.065 0.073 0.074 0.069 0.069 0.071 0.070 0.069
根据表中数据，估计在男性中，男性患色盲的概率为 ________（ 结果精确到0.01）.
13.（2015•扬州）若a2﹣3b=5，则6b﹣2a2+2015=________ .
14.（2015•扬州）已知一个圆锥的侧面积是2πcm2 ， 它的侧面展开图是一个半圆，则这
个圆锥的高为 ________ cm（结果保留根号）．
15.（2015•扬州）如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，
同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上．若线段AB=4cm，则线段BC=________ c
m．
16.（2015•扬州）如图，已知矩形纸片的一条边经过直角三角形纸片的直角顶点，若矩形
纸片的一组对边与直角三角形纸片的两条直角边相交成∠1、∠2，则∠2﹣∠1=________ .
17.（2015•扬州）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，将△ABC绕直角
顶点C顺时针旋转90°得到△DEC．若点F是DE的中点，连接AF，则AF=________
18.（2015•扬州）如图，已知△ABC的三边长为a、b、c，且a＜b＜c，若平行于三角形一
边的直线l将△ABC的周长分成相等的两部分．设图中的小三角形①、②、③的面积分别
为S ， S ， S ， 则S ， S ， S 的大小关系是________ （用“＜”号连接）
1 2 3 1 2 3
3 / 30三、解答题（本大题共有10小题，共96分．）
19.（2015•扬州）（1）计算：（ ）﹣1+|1﹣ |﹣ tan30°；
（2）化简： ÷（ ﹣ ）．
20.（2015•扬州）解不等式组 ，并把它的解集在数轴上表示出来．
21.（2015•扬州）在“爱满扬州”慈善一日捐活动中，学校团总支为了了解本校学生的捐
款情况，随机抽取了50名学生的捐款数进行了统计，并绘制成统计图．
（1）这50名同学捐款的众数为________ 元，中位数为________ 元。
（2）求这50名同学捐款的平均数。
（3）该校共有600名学生参与捐款，请估计该校学生的捐款总数。
4 / 3022.（2015•扬州）“2015扬州鉴真国际半程马拉松”的赛事共有三项：A．“半程马拉
松”、B．“10公里”、C．“迷你马拉松”．小明和小刚参与了该项赛事的志愿者服务工
作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组．
（1）小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为________ 。
（2）求小明和小刚被分配到不同项目组的概率。
23.（2015•扬州）如图，将 ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′
▱
处，折痕l交CD边于点E，连接BE．
（1）求证：四边形BCED′是平行四边形。
（2）若BE平分∠ABC，求证：AB2=AE2+BE2
24.（2015•扬州）扬州建城2500年之际，为了继续美化城市，计划在路旁栽树1200棵，由
于志愿者的参加，实际每天栽树的棵数比原计划多20%，结果提前2天完成，求原计划每
天栽树多少棵？
5 / 3025.（2015•扬州）如图，已知⊙O的直径AB=12cm，AC是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线
交BA的延长线于点P，连接BC．
（1）求证：∠PCA=∠B
（2）已知∠P=40°，点Q在优弧ABC上，从点A开始逆时针运动到点C停止（点Q与点
C不重合），当△ABQ与△ABC的面积相等时，求动点Q所经过的弧长。
26.（2015•扬州）平面直角坐标系中，点P（x，y）的横坐标x的绝对值表示为|x|，纵坐标
y的绝对值表示为|y|，我们把点P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，
y）的勾股值，记为「P」，即「P」=|x|+|y|．（其中的“+”是四则运算中的加法）
（1）求点A（﹣1，3），B（ +2， ﹣2）的勾股值「A」、「B」。
（2）点M在反比例函数y= 的图象上，且「M」=4，求点M的坐标。
（3）求满足条件「N」=3的所有点N围成的图形的面积。
6 / 3027.（2015•扬州）科研所计划建一幢宿舍楼，因为科研所实验中会产生辐射，所以需要有
两项配套工程：①在科研所到宿舍楼之间修一条笔直的道路；②对宿舍楼进行防辐射处
理，已知防辐射费y万元与科研所到宿舍楼的距离xkm之间的关系式为y=ax+b
（0≤x≤9）．当科研所到宿舍楼的距离为1km时，防辐射费用为720万元；当科研所到宿
舍楼的距离为9km或大于9km时，辐射影响忽略不计，不进行防辐射处理．设每公里修路
的费用为m万元，配套工程费w=防辐射费+修路费．
（1）当科研所到宿舍楼的距离x=9km时，防辐射费y=________万元，a=________ ，
b=________
（2）若每公里修路的费用为90万元，求当科研所到宿舍楼的距离为多少km时，配套工
程费最少？
（3）如果配套工程费不超过675万元，且科研所到宿舍楼的距离小于9km，求每公里修路
费用m万元的最大值．
7 / 3028.（2015•扬州）如图1，直线l⊥AB于点B，点C在AB上，且AC：CB=2：1，点M是直
线l上的动点，作点B关于直线CM的对称点B′，直线AB′与直线CM相交于点P，连接
PB．
（1）如图2，若点P与点M重合，则∠PAB=________ ， 线段PA与PB的比值为
________
（2）如图3，若点P与点M不重合，设过P，B，C三点的圆与直线AP相交于D，连接
CD，求证：①CD=CB′；②PA=2PB
（3）如图4，若AC=2，BC=1，则满足条件PA=2PB的点都在一个确定的圆上，在以下小
题中选做一题：
①如果你能发现这个确定的圆的圆心和半径，那么不必写出发现过程，只要证明这个圆上
的任意一点Q，都满足QA=2QB；
②如果你不能发现这个确定的圆的圆心和半径，那么请取出几个特殊位置的P点，如点P
在直线AB上，点P与点M重合等进行探究，求这个圆的半径．
8 / 302015 年江苏省扬州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：本大题共8小题，每小题3分，共24分
1.（2015•扬州）实数0是（ ）
A. 有理数 B. 无理数 C. 正数 D. 负数
【答案】A
【考点】实数
【解析】解：0是有理数，
故选：A．
【分析】根据实数的分类，即可解答．
2.（2015•扬州）2015年我国大学生毕业人数将达到7 490 000人，这个数据用科学记数法
表示为（ ）
A. 7.49×107 B. 7.49×106 C. 74.9×105 D. 0.749×107
【答案】B
【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数
【解析】解：将7 490 000用科学记数法表示为：7.49×106 ．
故选：B．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值
时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当
原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
3.（2015•扬州）如图是某校学生参加课外兴趣小组的人数占总人数比例的统计图，则参加
人数最多的课外兴趣小组是（ ）
A. 音乐组 B. 美
术组 C. 体育
组 D. 科技组
【答案】C
【考点】扇形统计图
9 / 30【解析】解：由40%＞25%＞23%＞12%，
体育组的人数最多，
故选：C．
【分析】根据扇形统计图中扇形面积越大，所占的比例越重，相应的人数越多，可得答
案．
4.（2015•扬州）下列二次根式中的最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【考点】最简二次根式
【解析】解：A、符合最简二次根式的定义，故本选项正确；
B、原式=2 ，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
C、原式=2 ，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
D、被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项错误；
故选：A
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两
个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
5.（2015•扬州）如图所示的物体的左视图为（ ）
A. B. C.
D.
【答案】A
10 / 30【考点】简单组合体的三视图
【解析】解：从左面看易得第一层有1个矩形，第二层最左边有一个正方形．
故选A．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
6.（2015•扬州）如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E、在y轴上，Rt△ABC经过变换
得到Rt△ODE．若点C的坐标为（0，1），AC=2，则这种变换可以是（ ）
A. △ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3 B. △ABC绕点C顺时针旋转90°，
再向下平移1
C. △ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1 D. △ABC绕点C逆时针旋转90°，
再向下平移3
【答案】A
【考点】坐标与图形变化-平移，坐标与图形变化-旋转
【解析】解：根据图形可以看出，△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位可
以得到△ODE．
故选：A．
【分析】观察图形可以看出，Rt△ABC通过变换得到Rt△ODE，应先旋转然后平移即可．
7.（2015•扬州）如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（与点C在AB同侧），
则下列三个结论：①sin∠C＞sin∠D；②cos∠C＞cos∠D；③tan∠C＞tan∠D中，正确的结
论为（ ）
A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③
【答案】D
【考点】圆周角定理，锐角三角函数的增减性
【解析】解：如图，连接BE，
11 / 30根据圆周角定理，可得∠C=∠AEB，
∵∠AEB=∠D+∠DBE，
∴∠AEB＞∠D，
∴∠C＞∠D，
根据锐角三角形函数的增减性，可得，
sin∠C＞sin∠D，故①正确；
cos∠C＜cos∠D，故②错误；
tan∠C＞tan∠D，故③正确；
故选：D．
【分析】连接BE，根据圆周角定理，可得∠C=∠AEB，因为∠AEB=∠D+∠DBE，所以
∠AEB＞∠D，所以∠C＞∠D，根据锐角三角形函数的增减性，即可判断．
8.（2015•扬州）已知x=2是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解，且x=1不是这个不等
式的解，则实数a的取值范围是（ ）
A. a＞1 B. a≤2 C. 1＜a≤2 D. 1≤a≤2
【答案】C
【考点】不等式的解集
【解析】解：∵x=2是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解，
∴（2﹣5）（2a﹣3a+2）≤0，
解得：a≤2，
∵x=1不是这个不等式的解，
∴（1﹣5）（a﹣3a+2）＞0，
解得：a＞1，
∴1＜a≤2，
故选：C．
【分析】根据x=2是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解，且x=1不是这个不等式的
解，列出不等式，求出解集，即可解答．
二、填空题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分
9.（2015•扬州）﹣3的相反数是________ .
【答案】3
【考点】相反数
【解析】解：﹣（﹣3）=3，
故﹣3的相反数是3．
12 / 30故答案为：3．
【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．
10.（2015•扬州）因式分解：x3﹣9x=________ .
【答案】x（x+3）（x﹣3）
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】解：x3﹣9x，
=x（x2﹣9），
=x（x+3）（x﹣3）．
【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解．
11.（2015•扬州）已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的一个交点坐标为（1，
3），则另一个交点坐标是________ .
【答案】（﹣1，﹣3）
【考点】反比例函数图象的对称性
【解析】解：∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，
∴另一个交点的坐标与点（1，3）关于原点对称，
∴该点的坐标为（﹣1，﹣3）．
故答案为：（﹣1，﹣3）．
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点
对称．
12.（2015•扬州）色盲是伴X染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体
检信息库中随机抽取体检表，统计结果如表：
抽取的体检表数n 50 100 200 400 500 800 1000 1200 1500 2000
色盲患者的频数m 3 7 13 29 37 55 69 85 105 138
色盲患者的频率m/n 0.060 0.070 0.065 0.073 0.074 0.069 0.069 0.071 0.070 0.069
根据表中数据，估计在男性中，男性患色盲的概率为 ________（ 结果精确到0.01）.
【答案】0.07
【考点】利用频率估计概率
【解析】解：观察表格发现，随着实验人数的增多，男性患色盲的频率逐渐稳定在常数
0.07左右，
故男性中，男性患色盲的概率为0.07，
故答案为：0.07．
【分析】观察随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到的常数即可表示男性患色盲的概率．
13.（2015•扬州）若a2﹣3b=5，则6b﹣2a2+2015=________ .
【答案】2005
【考点】代数式求值
【解析】解：6b﹣2a2+2015
=﹣2（a2﹣3b）+2015
13 / 30=﹣2×5+2015
=﹣10+2015
=2005．
故答案为：2005．
【分析】首先根据a2﹣3b=5，求出6b﹣2a2的值是多少，然后用所得的结果加上2015，求
出算式6b﹣2a2+2015的值是多少即可．
14.（2015•扬州）已知一个圆锥的侧面积是2πcm2 ， 它的侧面展开图是一个半圆，则这
个圆锥的高为 ________ cm（结果保留根号）．
【答案】
【考点】圆锥的计算
【解析】解：设圆锥的母线长为R，
π×R2÷2=2π，
解得：R=2，
∴圆锥侧面展开图的弧长为：2π，
∴圆锥的底面圆半径是2π÷2π=1，
∴圆锥的高为 ．
故答案为 ．
【分析】利用扇形的面积公式可得圆锥的母线长，进而求得扇形的弧长，除以2π即为圆锥
的底面圆半径，利用勾股定理求得圆锥的高即可．
15.（2015•扬州）如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，
同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上．若线段AB=4cm，则线段BC=________ c
m．
【答案】12
【考点】平行线分线段成比例
14 / 30【解析】解：如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，
∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，
∴ ，
即 ，
∴BC=12cm．
故答案为：12．
【分析】过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，根据平行线分线段成比例可得 ，
代入计算即可解答．
16.（2015•扬州）如图，已知矩形纸片的一条边经过直角三角形纸片的直角顶点，若矩形
纸片的一组对边与直角三角形纸片的两条直角边相交成∠1、∠2，则∠2﹣∠1=________ .
【答案】90°
【考点】平行线的性质
【解析】解：∵∠2+∠3=180°，
∴∠3=180°﹣∠2．
∵直尺的两边互相平行，
∴∠4=∠3，
15 / 30∴∠4=180°﹣∠2．
∵∠4+∠1=90°，
∴180°﹣∠2+∠1=90°，即∠2﹣∠1=90°．
故答案为：90°．
【分析】先根据平角的定义得出∠3=180°﹣∠2，再由平行线的性质得出∠4=∠3，根据
∠4+∠1=90°即可得出结论．
17.（2015•扬州）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，将△ABC绕直角
顶点C顺时针旋转90°得到△DEC．若点F是DE的中点，连接AF，则AF=________
【答案】5
【考点】旋转的性质
【解析】作FG⊥AC，
根据旋转的性质，EC=BC=4，
DC=AC=6，∠ACD=∠ACB=90°，
∵点F是DE的中点，
∴FG∥CD
∴GF= CD= AC=3
16 / 30EG= EC= BC=2
∵AC=6，EC=BC=4
∴AE=2
∴AG=4
根据勾股定理，AF=5．
【分析】根据旋转的性质，EC=BC=4，DC=AC=6，∠ACD=∠ACB=90°，由点F是DE的
中点，可求出EG、GF，因为AE=AC﹣EC=2，可求出AG，然后运用勾股定理求出AF．
18.（2015•扬州）如图，已知△ABC的三边长为a、b、c，且a＜b＜c，若平行于三角形一
边的直线l将△ABC的周长分成相等的两部分．设图中的小三角形①、②、③的面积分别
为S ， S ， S ， 则S ， S ， S 的大小关系是________ （用“＜”号连接）
1 2 3 1 2 3
【答案】S＜S＜S
1 3 2
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】解：设△ABC的面积为S，周长为C．
①若l∥BC，如图1，
则有△ADE∽△ABC，
∴ = = = = ；
②若l∥BC，如图2，
17 / 30同理可得： = ；
③若l∥AC，如图3，
同理可得： = ．
∵0＜a＜b＜c，
∴0＜a+b＜a+c＜b+c，
∴ ＜ ＜ ，
∴S＜S＜S ，
1 3 2
故答案为S＜S＜S ．
1 3 2
【分析】设△ABC的面积为S，周长为C．①若l∥BC，如图1，则有△ADE∽△ABC，根据
相似三角形的性质及等比性质可得 = = = = ；②若l∥BC，如图2，同理可得
= ；③若l∥AC，如图3，同理可得 = 由0＜a＜b＜c可得0＜a+b＜a+c＜b+c，即可得
18 / 30到 ＜ ＜ ．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．）
19.（2015•扬州）（1）计算：（ ）﹣1+|1﹣ |﹣ tan30°；
（2）化简： ÷（ ﹣ ）．
【答案】解：（1）原式=4+ ﹣1﹣3 × =4+ ﹣1﹣3= ；
（2）原式= ÷ = • = ．
【考点】实数的运算，分式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用绝对值的代数
意义化简，最后一项利用二次根式性质及特殊角的三角函数值计算即可得到结果；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约
分即可得到结果．
【分析】此题考查了实数的运算，涉及知识点有分式运算，零指数幂，负整数指数幂和特
殊角的三角函数等，解题时，注意符号的变化。
20.（2015•扬州）解不等式组 ，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】【解答】
由①得：x≤1；
由②得：x＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤1，
【考点】在数轴上表示不等式的解集，解一元一次不等式组
19 / 30【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
【分析】此题考查了不等式组的解法，注意符号变化，分别求出两个不等式的解，再找出
公共部分。
21.（2015•扬州）在“爱满扬州”慈善一日捐活动中，学校团总支为了了解本校学生的捐
款情况，随机抽取了50名学生的捐款数进行了统计，并绘制成统计图．
（1）这50名同学捐款的众数为________ 元，中位数为________ 元。
（2）求这50名同学捐款的平均数。
（3）该校共有600名学生参与捐款，请估计该校学生的捐款总数。
【答案】（1）15；15
（2）解：50名同学捐款的平均数=（5×8+10×14+15×20+20×6+25×2）÷50=13（元）
（3）解：估计这个中学的捐款总数为：
600×13=7800（元）
【考点】用样本估计总体，条形统计图，中位数、众数
【解析】 （1）根据众数的定义即出现次数最多的数据进而得出即可，再利用中位数的定
义得出即可；
（2）利用条形统计图得出各组频数，再根据加权平均数的公式计算即可；
（3）利用样本估计总体的思想，用总数乘以捐款平均数即可得到捐款总数．
【分析】此题考查了统计图的应用，包括利用样本估计总体，中位数，众数和加权平均数
公式以及条形统计图等。
22.（2015•扬州）“2015扬州鉴真国际半程马拉松”的赛事共有三项：A．“半程马拉
松”、B．“10公里”、C．“迷你马拉松”．小明和小刚参与了该项赛事的志愿者服务工
作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组．
（1）小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为________ 。
（2）求小明和小刚被分配到不同项目组的概率。
【答案】（1）
（2）解：设三种赛事分别为1，2，3，列表得：
1 2 3
1 （1，1） （2，1） （3，1）
20 / 302 （1，2） （2，2） （3，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3）
所有等可能的情况有9种，分别为（1，1）；（1，2）；（1，3）；（2，1）；（2，
2）；（2，3）；（3，1）；（3，2）；（3，3），
小明和小刚被分配到不同项目组的情况有6种，所有其概率= =
【考点】列表法与树状图法
【解析】（1）∵共有A，B，C三项赛事，
∴小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率是
（2）列表可以很清楚得到小明和小刚被分到不同项目组的情况并求出概率为 。
【分析】（1）利用概率公式直接计算即可；
（2）列表或画树形图得到所有可能的结果，即可求出小明和小刚被分配到不同项目组的概
率．
23.（2015•扬州）如图，将 ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′
▱
处，折痕l交CD边于点E，连接BE．
（1）求证：四边形BCED′是平行四边形。
（2）若BE平分∠ABC，求证：AB2=AE2+BE2
【答案】（1）证明：∵将 ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′
▱
处，
∴∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA，∠D=∠AD′E，
∵DE∥AD′，
∴∠DEA=∠EAD′，
∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，
∴∠DAD′=∠DED′，
21 / 30∴四边形DAD′E是平行四边形
∴DE=AD′，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB DC，
∴CE D′B，
∴四边形BCED′是平行四边形
（2）解：∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠EBA，
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
∵∠DAE=∠BAE，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
∴∠AEB=90°，
∴AB2=AE2+BE2 ．
【考点】勾股定理，平行四边形的判定与性质，翻折变换（折叠问题）
【解析】（1）利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出
∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，进而利用平行四边形的判定方法得出四边形DAD′E是平
行四边形，进而求出四边形BCED′是平行四边形；
（2）利用平行线的性质结合勾股定理得出答案．
【分析】此题考查了图形的翻转变换以及平行四边形的性质和勾股定理等知识点。
24.（2015•扬州）扬州建城2500年之际，为了继续美化城市，计划在路旁栽树1200棵，由
于志愿者的参加，实际每天栽树的棵数比原计划多20%，结果提前2天完成，求原计划每
天栽树多少棵？
【答案】解：设原计划每天种树x棵，则实际每天栽树的棵数为（1+20%），
由题意得， ﹣ =2，
解得：x=100，
经检验，x=100是原分式方程的解，且符合题意．
答：原计划每天种树100棵．
【考点】分式方程的应用
【解析】设原计划每天种树x棵，则实际每天栽树的棵数为（1+20%），根据题意可得，
实际比计划少用2天，据此列方程求解．
【分析】此题考查了分式方程与实际问题，根据题意找出等量关系，列出相应的分式方程
并解方程，而且要验证解得的 结果是否符合题意。
22 / 3025.（2015•扬州）如图，已知⊙O的直径AB=12cm，AC是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线
交BA的延长线于点P，连接BC．
（1）求证：∠PCA=∠B
（2）已知∠P=40°，点Q在优弧ABC上，从点A开始逆时针运动到点C停止（点Q与点
C不重合），当△ABQ与△ABC的面积相等时，求动点Q所经过的弧长。
【答案】（1）证明：连接OC，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠PCO=90°，
∴∠1+∠PCA=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠2+∠B=90°，
∵OC=OA，
∴∠1=∠2，
∴∠PCA=∠B；
（2）解：∵∠P=40°，
∴∠AOC=50°，
∵AB=12，
∴AO=6，
当∠AOQ=∠AOC=50°时，△ABQ与△ABC的面积相等，
∴点Q所经过的弧长= = ，
当∠BOQ=∠AOC=50°时，即∠AOQ=130°时，△ABQ与△ABC的面积相等，
23 / 30∴点Q所经过的弧长= = ，
当∠BOQ=50°时，即∠AOQ=230°时，△ABQ与△ABC的面积相等，
∴点Q所经过的弧长= = ，
∴当△ABQ与△ABC的面积相等时，动点Q所经过的弧长为 或 或 ．
【考点】切线的性质，弧长的计算
【解析】（1）证明：连接OC，由PC是⊙O的切线，得到∠1+∠PCA=90°，由AB是⊙O
的直径，得到∠2+∠B=90°，于是得到结论；
（2）当∠AOQ=∠AOC=50°时，△ABQ与△ABC的面积相等，求得点Q所经过的弧长=
= ，当∠BOQ=∠AOC=50°时，即∠AOQ=130°时，△ABQ与△ABC的面积相
等，求得点Q所经过的弧长= = ，当∠BOQ=50°时，即∠AOQ=230°时，
△ABQ与△ABC的面积相等，
∴点Q所经过的弧长= =
【分析】此题考查了圆的应用，包括切线的性质和弧长的计算。注意分情况讨论，熟练掌
握弧长公式。
26.（2015•扬州）平面直角坐标系中，点P（x，y）的横坐标x的绝对值表示为|x|，纵坐标
y的绝对值表示为|y|，我们把点P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，
y）的勾股值，记为「P」，即「P」=|x|+|y|．（其中的“+”是四则运算中的加法）
（1）求点A（﹣1，3），B（ +2， ﹣2）的勾股值「A」、「B」。
（2）点M在反比例函数y= 的图象上，且「M」=4，求点M的坐标。
（3）求满足条件「N」=3的所有点N围成的图形的面积。
【答案】（1）解：∵A（﹣1，3），B（ +2， ﹣2），
24 / 30∴「A」=|﹣1|+|3|=4，「B」=| +2|+| ﹣2|= +2+2﹣ =4
（2）解：设：点M的坐标为（m，n），
由题意得
解得： ， ， ， ，
∴M（1，3），（﹣1，﹣3），（3，1），（﹣3，﹣1）．
（3）解：设N点的坐标为（x，y），
∵「N」=3，
∴|x|+|y|=3，
∴x+y=3，﹣x﹣y=3，x﹣y=3，﹣x+y=3，
∴y=﹣x+3，y=﹣x﹣3，y=x﹣3，y=x+3，
如图：所有点N围成的图形的面积=3 ×3 =18．
【考点】反比例函数的应用
【解析】（1）由勾股值的定义即可求解；
（2）点M在反比例函数y= 的图象上，且「M」=4，列方程组即可得到结果；
（3）设N点的坐标为（x，y），由「N」=3，得到方程|x|+|y|=3，得到x+y=3，﹣x﹣
y=3，x﹣y=3，﹣x+y=3，化为一次函数的解析式y=﹣x+3，y=﹣x﹣3，y=x﹣3，y=x+3，
25 / 30于是得到所有点N围成的图形是边长为3 的正方形，则面积可求．
【分析】此题考查了勾股值得定义、反比例函数和一次函数的应用，根据函数图象构成的
图形解决面积问题。
27.（2015•扬州）科研所计划建一幢宿舍楼，因为科研所实验中会产生辐射，所以需要有
两项配套工程：①在科研所到宿舍楼之间修一条笔直的道路；②对宿舍楼进行防辐射处
理，已知防辐射费y万元与科研所到宿舍楼的距离xkm之间的关系式为y=ax+b
（0≤x≤9）．当科研所到宿舍楼的距离为1km时，防辐射费用为720万元；当科研所到宿
舍楼的距离为9km或大于9km时，辐射影响忽略不计，不进行防辐射处理．设每公里修路
的费用为m万元，配套工程费w=防辐射费+修路费．
（1）当科研所到宿舍楼的距离x=9km时，防辐射费y=________万元，a=________ ，
b=________
（2）若每公里修路的费用为90万元，求当科研所到宿舍楼的距离为多少km时，配套工
程费最少？
（3）如果配套工程费不超过675万元，且科研所到宿舍楼的距离小于9km，求每公里修路
费用m万元的最大值．
【答案】（1）0；-360；1080
（2）解：科研所到宿舍楼的距离为xkm，配套工程费为w元，
①当x＜90时，w=﹣360 +1080+90x=90 +720，
当 =0时，即x=4，w有最小值，最小值为720元；
②当x≥9时，w=90x，
当x=9时，w有最小值，最小值为810元，
∴当x=4时，w有最小值，最小值为720元；
即当科研所到宿舍楼的距离4km时，配套工程费最少．
（3）解：由题意得：
由①得：m ，
由②得： ，
∴ ，
26 / 30w= ，
∴60＜m≤80，
∴每公里修路费用m万元的最大值为80．
【考点】一次函数的应用
【解析】（1）当科研所到宿舍楼的距离为9km或大于9km时，辐射影响忽略不计，不进
行防辐射处理，所以当科研所到宿舍楼的距离x=9km时，防辐射费y=0万元，根据题意得
方程组，即可求出a，b的值；
（2）科研所到宿舍楼的距离为xkm，配套工程费为w元，分两种情况：①当w＜90时，
w=﹣360 +1080+90x=90 +720 ， ②当x≥90时，w=90x，分别求出最小值，即
可解答；
（3）根据配套工程费不超过675万元，且科研所到宿舍楼的距离小于9km，列出不等式
组，即可解答．
【分析】此题考查了实际问题与一次函数和一元一次不等式组，根据题意找出等量关系，
列出方程组和不等式组，再进行求值。
28.（2015•扬州）如图1，直线l⊥AB于点B，点C在AB上，且AC：CB=2：1，点M是直
线l上的动点，作点B关于直线CM的对称点B′，直线AB′与直线CM相交于点P，连接
PB．
（1）如图2，若点P与点M重合，则∠PAB=________ ， 线段PA与PB的比值为
________
27 / 30（2）如图3，若点P与点M不重合，设过P，B，C三点的圆与直线AP相交于D，连接
CD，求证：①CD=CB′；②PA=2PB
（3）如图4，若AC=2，BC=1，则满足条件PA=2PB的点都在一个确定的圆上，在以下小
题中选做一题：
①如果你能发现这个确定的圆的圆心和半径，那么不必写出发现过程，只要证明这个圆上
的任意一点Q，都满足QA=2QB；
②如果你不能发现这个确定的圆的圆心和半径，那么请取出几个特殊位置的P点，如点P
在直线AB上，点P与点M重合等进行探究，求这个圆的半径．
【答案】（1）30°；2
（2）证明：①∵B关于直线CM的对称点为点B′，
∴△PBC沿PC翻折得到△PB′C，
∴∠PB′C=∠PBC，
∵∠CDB′=∠CBP，
∴∠CDB′=∠CB′D，
∴CD=CB′；
②作B′E∥PC交AC于E，连结BB′交PC于F，如图3，
28 / 30∵B关于直线CM的对称点为点B′，
∴FB=FB′，PB=PB′，
而CF∥B′E，
∴BC=CE，
∵AC=2BC，
∴AE=EC，
而B′E∥PC，
∴AB′=PB′，
∴PA=2PB′=2PB
（3）解：选①．
证明：作B′E∥QC交AC于E，连结BB′交QC于F，如图4，
∵B关于直线CM的对称点为点B′，
∴FB=FB′，QB=QB′，
而CF∥B′E，
∴BC=CE，
∵AC=2BC，
∴AE=EC，
而B′E∥QC，
∴AB′=QB′，
29 / 30∴PA=2QB′=2QB．
【考点】圆的综合题
【解析】（1）如图2，根据对称性质得△PBC沿PC翻折得到△PB′C，根据折叠性质得
CB′=CB，∠PB′C=∠PBC=90°，由于AC：CB=2：1，则AC=2CB′，然后在Rt△AB′C中，
利用正弦定义可计算出∠A=30°，再利用含30度的直角三角形三边的关系易得PA=2PB；
（2）①与（1）一样可得∠PB′C=∠PBC，再根据圆内接四边形的性质得∠CDB′=∠CBP，
所以∠CDB′=∠CB′D，于是根据等腰三角形的判定得到CD=CB′；
②作B′E∥PC交AC于E，连结BB′交PC于F，如图3，利用对称性质得FB=FB′，
PB=PB′，而CF∥B′E，则CF为△BEB′的中位线，所以BC=CE，加上AC=2BC，所以
AE=EC，然后利用B′E∥PC，则AB′=PB′，所以PA=2PB′=2PB；
（3）选①进行证明，作B′E∥QC交AC于E，连结BB′交QC于F，如图4，与（2）中②的
证明方法一样．
【分析】此题考查了圆的综合应用，实际知识点有图形的翻折，正弦定义，圆内接四边
形，等腰三角形判定以及对称性质和中位线等。
30 / 30
