文档内容
2019年江苏省扬州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，一项是
符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）下列图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列各数中，小于﹣2的数是（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣1
3．（3分）分式 可变形为（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
4．（3分）一组数据3、2、4、5、2，则这组数据的众数是（ ）
A．2 B．3 C．3.2 D．4
5．（3分）如图所示物体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）若点P在一次函数y＝﹣x+4的图象上，则点P一定不在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（3分）已知n是正整数，若一个三角形的3边长分别是n+2、n+8、3n，则满足条件的n的值
有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
第1页（共24页）8．（3分）若反比例函数y＝﹣ 的图象上有两个不同的点关于y轴的对称点都在一次函数y
＝﹣x+m的图象上，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m＜﹣2
C．m＞2 或m＜﹣2 D．﹣2 ＜m＜2
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程请把答案直接填写
在答题卡相应位置上）
9．（3分）2019年5月首届大运河文化旅游博览会在扬州成功举办，京杭大运河全长约
1790000米，数据1790000米用科学记数法表示为 ．
10．（3分）分解因式：a3b﹣9ab＝ ．
11．（3分）扬州某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行质量抽检的结果如下：
抽取的毛绒玩具数n 20 50 100 200 500 1000 1500 2000
优等品的频数m 19 47 91 184 462 921 1379 1846
0.950 0.940 0.910 0.920 0.924 0.921 0.919 0.923
优等品的频率
从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是 ．（精确到
0.01）
12．（3分）一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的根是 ．
13．（3分）计算：（ ﹣2）2018（ +2）2019的结果是 ．
14．（3分）将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠ABC＝26°，则∠ACD＝ °．
15．（3分）如图，AC是 O的内接正六边形的一边，点B在 上，且BC是 O的内接正十边
形的一边，若AB是⊙ O的内接正n边形的一边，则n＝ ． ⊙
⊙
16．（3分）如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正
第2页（共24页）方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN．若AB＝7，BE＝5，则MN＝
．
17．（3分）如图，将四边形ABCD绕顶点A顺时针旋转45°至四边形AB′C′D′的位置，若
AB＝16cm，则图中阴影部分的面积为 cm2．
18．（3分）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，若进行以下操作，在边BC上从左到右依次取
点D 、D 、D 、D 、…；过点D 作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E 、F ；过点D 作
1 2 3 4 1 1 1 1
AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E 、F ；过点D 作AB、AC的平行线分别交AC、AB
2 2 3
于点E 、F …，则4（D E +D E +…+D E ）+5（D F +D F +…+D F ）＝ ．
3 3 1 1 2 2 2019 2019 1 1 2 2 2019 2019
三、解答题（本大题共10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文
字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算或化简：
（1） ﹣（3﹣ ）0﹣4cos45°；
π
（2） + ．
20．（8分）解不等式组 ，并写出它的所有负整数解．
第3页（共24页）21．（8分）扬州市“五个一百工程“在各校普遍开展，为了了解某校学生每天课外阅读所用
的时间情况，从该校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成如图不完
整的频数分布表和频数分布直方图．
每天课外阅读时间t/h 频数 频率
0＜t≤0.5 24
0.5＜t≤1 36 0.3
1＜t≤1.5 0.4
1.5＜t≤2 12 b
合计 a 1
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中a＝ ，b＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若该校有学生1200人，试估计该校学生每天课外阅读时间超过1小时的人数．
22．（8分）只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数．我国数学家陈景润从哥德
巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是：“每个大于2的偶数都可以
表示为两个素数的和”．如20＝3+17．
（1）若从7、11、19、23这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是 ；
（2）从7、11、19、23这4个素数中随机抽取1个数，再从余下的3个数中随机抽取1个数，
再用画树状图或列表的方法，求抽到的两个素数之和等于30的概率．
23．（10分）“绿水青山就是金山银山”为了更进一步优化环境，甲、乙两队承担河道整治任
务．甲、乙两个工程队每天共整治河道1500米，且甲整治3600米河道用的时间与乙工程
队整治2400米所用的时间相等．求甲工程队每天修多少米？
24．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE＝6，BE＝8，DE＝10．
第4页（共24页）（1）求证：∠BEC＝90°；
（2）求cos∠DAE．
25．（10分）如图，AB是 O的弦，过点O作OC⊥OA，OC交AB于P，CP＝BC．
（1）求证：BC是 O的⊙切线；
（2）已知∠BAO＝⊙25°，点Q是 上的一点．
求∠AQB的度数；
①若OA＝18，求 的长．
②
26．（10分）如图，平面内的两条直线l 、l ，点A，B在直线l 上，点C、D在直线l 上，过A、B
1 2 1 2
两点分别作直线l 的垂线，垂足分別为A ，B ，我们把线段A B 叫做线段AB在直线l 上
2 1 1 1 1 2
的正投影，其长度可记作T（AB，CD） 或T ，特别地线段AC在直线l
2
上的正投影就
是线段A C．
1
请依据上述定义解决如下问题：
（1）如图1，在锐角△ABC中，AB＝5，T（AC，AB） ＝3，则T（BC，AB） ＝ ；
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，T（AC，AB） ＝4，T（BC，AB） ═9，求△ABC的面积；
（3）如图3，在钝角△ABC中，∠A＝60°，点D在AB边上，∠ACD＝90°，T（AD，AC） ＝2，T（BC，
AB）
＝6，求T（BC，CD） ，
第5页（共24页）27．（12分）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝20，BC＝10，以CD为一边向矩形外部作等腰
直角△GDC，∠G＝90°．点M在线段AB上，且AM＝a，点P沿折线AD﹣DG运动，点Q
沿折线BC﹣CG运动（与点G不重合），在运动过程中始终保持线段PQ∥AB．设PQ与
AB之间的距离为x．
（1）若a＝12．
如图1，当点P在线段AD上时，若四边形AMQP的面积为48，则x的值为 ；
①在运动过程中，求四边形AMQP的最大面积；
（②2）如图2，若点P在线段DG上时，要使四边形AMQP的面积始终不小于50，求a的取值
范围．
28．（12分）如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重
合）．直线1是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线1折叠，点B的对应点是点B′．
（1）如图1，当PB＝4时，若点B′恰好在AC边上，则AB′的长度为 ；
（2）如图2，当PB＝5时，若直线1∥AC，则BB′的长度为 ；
（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线1始终垂直于AC，△ACB′的面积是否变
化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；
（4）当PB＝6时，在直线1变化过程中，求△ACB′面积的最大值．
第6页（共24页）第7页（共24页）2019 年江苏省扬州市中考数学试卷以及解析答案
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，一项是
符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．【分析】根据中心对称图形的概念判断．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，正确．
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后
两部分重合．
2．【分析】根据题意，结合实数大小比较的法则，从符号和绝对值两个方面分析可得答案．
【解答】解：比﹣2小的数是应该是负数，且绝对值大于2的数，
分析选项可得，﹣ ＜﹣2＜﹣ ＜﹣ ＜﹣1，只有A符合．
故选：A．
【点评】本题考查的是有理数大小比较的法则： 正数都大于0； 负数都小于0； 正
数大于一切负数； 两个负数，绝对值大的其①值反而小． ② ③
3．【分析】直接利用分④式的基本性质分析得出答案．
【解答】解：分式 可变形为：﹣ ．
故选：D．
【点评】此题主要考查了分式的基本性质，正确将原式变形是解题关键．
4．【分析】根据众数的定义即可求出这组数据的众数．
【解答】解：在这组数据中2出现了2次，出现的次数最多，则这组数据的众数是2；
故选：A．
【点评】此题考查了众数的定义；熟记众数的定义是解决问题的关键．
5．【分析】根据左视图是矩形，左视图中间有横着的实线进行选择即可．
【解答】解：左视图为： ，
第8页（共24页）故选：B．
【点评】本题考查实物体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，
看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．
6．【分析】结合一次函数图象与系数的关系即可得出一次函数y＝﹣x+4的图象经过第一、二、
四象限，此题得解．
【解答】解：∵﹣1＜0，4＞0，
∴一次函数y＝﹣x+4的图象经过第一、二、四象限，即不经过第三象限．
∵点P在一次函数y＝﹣x+4的图象上，
∴点P一定不在第三象限．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次
函数的性质解答．
7．【分析】分两种情况讨论：： 若n+2＜n+8≤3n， 若n+2＜3n≤n+8，分别依据三角形三
边关系进行求解即可． ① ②
【解答】解： 若n+2＜n+8≤3n，则
①
，
解得 ，即4≤n＜10，
∴正整数n有6个：4，5，6，7，8，9；
若n+2＜3n≤n+8，则
②
，
解得 ，即2＜n≤4，
∴正整数n有2个：3和4；
综上所述，满足条件的n的值有7个，
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形三边关系的运用，在运用三角形三边关系判定三条线段能
否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条
线段能构成一个三角形．
8．【分析】根据反比例函数图形上点的坐标特征得到反比例函数y＝﹣ 的图象上有两个不
第9页（共24页）同的点关于y轴的对称点在反比例函数y＝ 的图象上，解方程组 得x2﹣mx+2
＝0，根据y＝ 的图象与一次函数y＝﹣x+m的图象有两个不同的交点，得到方程x2﹣
mx+2＝0有两个不同的实数根，于是得到结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝﹣ 的图象上有两个不同的点关于y轴的对称点在反比例函
数y＝ 的图象上，
∴解方程组 得x2﹣mx+2＝0，
∵y＝ 的图象与一次函数y＝﹣x+m有两个不同的交点，
∴方程x2﹣mx+2＝0有两个不同的实数根，
∴△＝m2﹣8＞0，
∴m＞2 或m＜﹣2 ，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关于x轴、y轴对称的点的坐标，正
确的理解题意是解题的关键．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程请把答案直接填写
在答题卡相应位置上）
9．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：数据1790000米用科学记数法表示为1.79×106，
故答案为：1.79×106．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10．【分析】首先提取公因式ab，然后再利用平方差公式继续分解，即可求得答案．
【解答】解：a3b﹣9ab＝a（a2﹣9）＝ab（a+3）（a﹣3）．
第10页（共24页）故答案为：ab（a+3）（a﹣3）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．注意先提公因式，再利用公式
法分解因式，注意分解要彻底．
11．【分析】由表中数据可判断频率在0.92左右摆动，利用频率估计概率可判断任意抽取一个
毛绒玩具是优等品的概率为0.92．
【解答】解：从这批毛绒玩具中，任意抽取一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是0.92，
故答案为0.92．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位
置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋
势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，
随实验次数的增多，值越来越精确．
12．【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：x（x﹣2）＝x﹣2，
x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣1）＝0，
x﹣2＝0，x﹣1＝0，
x ＝2，x ＝1，
1 2
故答案为：x ＝2，x ＝1．
1 2
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解
此题的关键．
13．【分析】先根据积的乘方得到原式＝（[ ﹣2）（ +2）]2018•（ +2），然后利用平方差公
式计算．
【解答】解：原式＝[（ ﹣2）（ +2）]2018•（ +2）
＝（5﹣4）2018•（ +2）
＝ +2，
故答案为 +2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进
行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵
活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
14．【分析】直接利用翻折变换的性质以及平行线的性质分析得出答案．
【解答】解：延长DC，
第11页（共24页）由题意可得：∠ABC＝∠BCE＝∠BCA＝26°，
则∠ACD＝180°﹣26°﹣26°＝128°．
故答案为：128．
【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及平行线的性质，正确应用相关性质是解题关
键．
15．【分析】根据中心角的度数＝360°÷边数，列式计算分别求出∠AOB，∠BOC的度数，则
∠AOC＝24°，则边数n＝360°÷中心角．
【解答】解：连接BO，
∵AC是 O内接正六边形的一边，
∴∠AOC⊙＝360°÷6＝60°，
∵BC是 O内接正十边形的一边，
∴∠BOC⊙＝360°÷10＝36°，
∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝60°﹣36°＝24°，
∴n＝360°÷24°＝15；
故答案为：15．
【点评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、正十边形的性质；根据题意求出中心
角的度数是解题的关键．
16．【分析】连接CF，则MN为△DCF的中位线，根据勾股定理求出CF长即可求出MN的长．
【解答】解：连接CF，
第12页（共24页）∵正方形ABCD和正方形BEFG中，AB＝7，BE＝5，
∴GF＝GB＝5，BC＝7，
∴GC＝GB+BC＝5+7＝12，
∴ ＝13．
∵M、N分别是DC、DF的中点，
∴MN＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了正方形的性质及中位线定理、勾股定理的运用．构造基本图形是解题
的关键．
17．【分析】由旋转的性质得：∠BAB'＝45°，四边形AB'C'D'≌四边形ABCD，图中阴影部分的
面积＝四边形ABCD的面积+扇形ABB'的面积﹣四边形AB'C'D'的面积＝扇形ABB'的面
积，代入扇形面积公式计算即可．
【解答】解：由旋转的性质得：∠BAB'＝45°，四边形AB'C'D'≌四边形ABCD，
则图中阴影部分的面积＝四边形ABCD的面积+扇形ABB'的面积﹣四边形AB'C'D'的面积
＝扇形ABB'的面积＝ ＝32 ；
π
故答案为：32 ．
【点评】本题考π查了旋转的性质、扇形面积公式；熟练掌握旋转的性质，得出阴影部分的面
积＝扇形ABB'的面积是解题的关键．
18．【分析】∵D F ∥AC，D E ∥AB，可得 ，因为AB＝5，BC＝4，则有
1 1 1 1
4D E +5D F ＝20；同理有如下规律4D E +5D F ＝20，…，4D E +5D F ＝20；
1 1 1 1 2 2 2 2 2019 2019 2019 2019
【解答】解：∵D F ∥AC，D E ∥AB，
1 1 1 1
∴ ，即 ，
∵AB＝5，BC＝4，
第13页（共24页）∴4D E +5D F ＝20，
1 1 1 1
同理4D E +5D F ＝20，…，4D E +5D F ＝20，
2 2 2 2 2019 2019 2019 2019
∴4（D E +D E +…+D E ）+5（D F +D F +…+D F ）＝20×2019＝40380；
1 1 2 2 2019 2019 1 1 2 2 2019 2019
故答案为40380．
【点评】本题考查平行线的性质，探索规律；能够根据平行线的性质和等量代换得到
4D E +5D F ＝20是解题的关键．
1 1 1 1
三、解答题（本大题共10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文
字说明、证明过程或演算步骤）
19．【分析】（1）先化简二次根式、计算零指数幂、代入三角函数值，再计算乘法，最后计算加
减可得；
（2）先变形为同分母分式相减，再依据法则计算，继而约分即可得．
【解答】解：（1）原式＝2 ﹣1﹣4×
＝2 ﹣1﹣2
＝﹣1；
（2）原式＝ ﹣
＝
＝
＝a+1．
【点评】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式加减运算顺序和运算法则．
20．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、
大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式4（x+1）≤7x+13，得：x≥﹣3，
解不等式x﹣4＜ ，得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜2，
所以不等式组的所有负整数解为﹣3、﹣2、﹣1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
第14页（共24页）21．【分析】（1）由0.5＜t≤1的频数与频率可得总人数a，再用12除以总人数可得b的值；
（2）总人数乘以0.4得出第3组频数，从而补全图形；
（3）利用样本估计总体思想可得．
【解答】解：（1）a＝36÷0.3＝120，b＝12÷120＝0.1，
故答案为：120，0.1；
（2）1＜t≤1.5的人数为120×0.4＝48，
补全图形如下：
（3）估计该校学生每天课外阅读时间超过1小时的人数为1200×（0.4+0.1）＝600（人）．
【点评】本题主要考查频率分布直方图和频率分布表的知识和分析问题以及解决问题的能
力，解题的关键是能够读懂统计图，并从中读出有关信息．
22．【分析】（1）直接根据概率公式计算可得；
（2）画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可
得．
【解答】解：（1）从7、11、19、23这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是 ．
故答案为 ．
（2）树状图如图所示：
共有12种可能，满足条件的有4种可能，
所以抽到的两个素数之和等于30的概率＝ ＝
第15页（共24页）【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，
再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概
率．
23．【分析】直接利用甲整治3600米河道用的时间与乙工程队整治2400米所用的时间相等，
得出等式求出答案．
【解答】解：设甲工程队每天修x米，则乙工程队每天修（1500﹣x）米，根据题意可得：
＝ ，
解得：x＝900，
经检验得：x＝900是原方程的根，
答：甲工程队每天修900米．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．
24．【分析】（1）根据平行四边形的性质得出DC＝AB，AD＝CB，DC∥AB，推出∠DEA＝
∠EAB，再根据角平分线性质得出∠DAE＝∠DEA，推出AD＝DE＝10，得出AB＝CD＝
16，由勾股定理的逆定理即可得出结论；
（2）由平行线得出∠ABE＝∠BEC＝90°，由勾股定理求出AE＝ ＝8 ，得出
cos∠DAE＝cos∠EAB，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB＝，AD＝BC，DC∥AB，
∴∠DEA＝∠EAB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠EAB，
∴∠DAE＝∠DEA
∴AD＝DE＝10，
∴BC＝10，AB＝CD＝DE+CE＝16，
∵CE2+BE2＝62+82＝100＝BC2，
∴△BCE是直角三角形，∠BEC＝90°；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠BEC＝90°，
∴AE＝ ＝ ＝8 ，
第16页（共24页）∴cos∠DAE＝cos∠EAB＝ ＝ ＝ ．
【点评】本题考查了平行四边形性质，角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定、
三角函数等知识点，证明AD＝DE是解题的关键．
25．【分析】（1）连接OB，根据等腰三角形的性质得到∠OAB＝∠OBA，∠CPB＝∠PBC，等
量代换得到∠APO＝∠CBP，根据三角形的内角和得到∠CBO＝90°，于是得到结论；
（2） 根据等腰三角形和直角三角形的性质得到∠ABO＝25°，∠APO＝65°，根据三角形
外角①的性质得到∠POB＝∠APO﹣∠ABO＝40°，根据圆周角定理即可得到结论；
根据弧长公式即可得到结论．
②【解答】（1）证明：连接OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵PC＝CB，
∴∠CPB＝∠PBC，
∵∠APO＝∠CPB，
∴∠APO＝∠CBP，
∵OC⊥OA，
∴∠AOP＝90°，
∴∠OAP+∠APO＝90°，
∴∠CBP+∠ABO＝90°，
∴∠CBO＝90°，
∴BC是 O的切线；
（2）解⊙： ∵∠BAO＝25°，
∴∠ABO＝①25°，∠APO＝65°，
∴∠POB＝∠APO﹣∠ABO＝40°，
∴∠AQB＝ （∠AOP+∠POB）＝ 130°＝65°；
∵∠AQB＝65°，
②∴∠AOB＝130°，
∴ 的长＝ 的长＝ ＝23 ．
π
第17页（共24页）【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，弧长的计
算，圆周角定理，熟练正确切线的判定和性质定理是解题的关键．
26．【分析】（1）如图1中，作CH⊥AB．根据正投影的定义求出BH即可．
（2）如图2中，作CH⊥AB于H．由正投影的定义可知AH＝4，BH＝9，利用相似三角形的
性质求解CH即可解决问题．
（3）如图3中，作CH⊥AD于H，BK⊥CD于K．根据正投影的定义，求出CD，DK即可解
决问题．
【解答】解：（1）如图1中，作CH⊥AB．
∵T（AC，AB） ＝3，
∴AH＝3，
∵AB＝5，
∴BH＝5﹣3＝2，
∴T（BC，AB） ＝BH＝2，
故答案为2．
（2）如图2中，作CH⊥AB于H．
第18页（共24页）∵T（AC，AB） ＝4，T（BC，AB） ═9，
∴AH＝4，BH＝9，
∵∠ACB＝∠CHA＝∠CHB＝90°，
∴∠A+∠ACH＝90°，∠ACH+∠BCH＝90°，
∴∠A＝∠BCH，
∴△ACH∽△CBH，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴CH＝6，
∴S△ABC ＝ •AB•CH＝ ×13×6＝39．
（3）如图3中，作CH⊥AD于H，BK⊥CD于K．
∵∠ACD＝90°，T（AD，AC） ＝2，
∴AC＝2，
∵∠A＝60°，
∴∠ADC＝∠BDK＝30°，
∴CD＝ AC＝2 ，AD＝2AC＝4，AH＝ AC＝1，DH＝AD﹣AH＝3，
∵T（BC，AB） ＝6，CH⊥AB，
∴BH＝6，
∴DB＝BH﹣DH＝3，
在Rt△BDK中，∵∠K＝90°，BD＝3，∠BDK＝30°，
∴DK＝BD•cos30°＝ ，
第19页（共24页）∴CK＝CD+DK＝2 + ＝ ，
∴T（BC，CD） ＝CK＝ ．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了正投影的定义，解直角三角形，勾股定理，相似三
角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角
形解决问题，属于中考压轴题．
27．【分析】（1） P在线段AD上，PQ＝AB＝20，AP＝x，AM＝12，由梯形面积公式得出方
程，解方程即①可；
当P，在AD上运动时，P到D点时四边形AMQP面积最大，为直角梯形，得出0＜
②
x≤10时，四边形AMQP面积的最大值＝ （12+20）10＝160，
当P在DG上运动，10＜x＜20，四边形AMQP为不规则梯形，作PM⊥AB于M，交CD于
N，作GE⊥CD于E，交AB于F，则PM＝x，PN＝x﹣10，
EF＝BC＝10，由等腰直角三角形的性质得出GE＝ CD＝10，得出GF＝GE+EF＝20，GH
＝20﹣x，证明△GPQ∽△GDC，得出比例式，得出PQ＝40﹣2x，求出梯形AMQP的面积
＝ （12+40﹣2x）×x＝﹣（x﹣13）2+169，由二次函数的性质即可得出结果；
（2）P在DG上，则10≤x＜20，AM＝a，PQ＝40﹣2x，梯形AMQP的面积S＝ （a+40﹣
2x）×x＝﹣x2+ x，对称轴x＝10+ ，得出10≤10+ ≤15，对称轴在10和15之间，得
出10≤x＜20，二次函数图象开口向下，当x无限接近于20时，S最小，得出﹣202+
×20≥50，a≥5；即可得出答案．
【解答】（1）解： P在线段AD上，PQ＝AB＝20，AP＝x，AM＝12，
①
四边形AMQP的面积＝ （12+20）x＝48，
解得：x＝3；
故答案为：3；
当P，在AD上运动时，P到D点时四边形AMQP面积最大，为直角梯形，
② 第20页（共24页）∴0＜x≤10时，四边形AMQP面积的最大值＝ （12+20）10＝160，
当P在DG上运动，10＜x＜20，四边形AMQP为不规则梯形，
作PM⊥AB于M，交CD于N，作GE⊥CD于E，交AB于F，如图2所示：
则PM＝x，PN＝x﹣10，EF＝BC＝10，
∵△GDC是等腰直角三角形，
∴DE＝CE，GE＝ CD＝10，
∴GF＝GE+EF＝20，
∴GH＝20﹣x，
由题意得：PQ∥CD，
∴△GPQ∽△GDC，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
解得：PQ＝40﹣2x，
∴梯形AMQP的面积＝ （12+40﹣2x）×x＝﹣x2+26x＝﹣（x﹣13）2+169，
∴当x＝13时，四边形AMQP的面积最大＝169；
（2）解：P在DG上，则10≤x＜20，AM＝a，PQ＝40﹣2x，
梯形AMQP的面积S＝ （a+40﹣2x）×x＝﹣x2+ x，对称轴为：x＝10+ ，
∵0≤a≤20，
∴10≤10+ ≤15，对称轴在10和15之间，
∵10≤x＜20，二次函数图象开口向下，
∴当x无限接近于20时，S最小，
∴﹣202+ ×20≥50，
∴a≥5；
综上所述，a的取值范围为5≤a≤20．
第21页（共24页）【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形
的判定与性质、梯形面积公式、二次函数的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明
三角形相似是解题的关键．
28．【分析】（1）证明△APB′是等边三角形即可解决问题．
（2）如图2中，设直线l交BC于点E．连接BB′交PE于O．证明△PEB是等边三角形，求
出OB即可解决问题．
（3）如图3中，结论：面积不变．证明BB′∥AC即可．
（4）如图4中，当B′P⊥AC时，△ACB′的面积最大，设直线PB′交AC于E，求出B′E
即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，AB＝BC＝AC＝8，
∵PB＝4，
∴PB′＝PB＝PA＝4，
∵∠A＝60°，
∴△APB′是等边三角形，
∴AB′＝AP＝4．
故答案为4．
第22页（共24页）（2）如图2中，设直线l交BC于点E．连接BB′交PE于O．
∵PE∥AC，
∴∠BPE＝∠A＝60°，∠BEP＝∠C＝60°，
∴△PEB是等边三角形，
∵PB＝5，
∴∵B，B′关于PE对称，
∴BB′⊥PE，BB′＝2OB
∴OB＝PB•sin60°＝ ，
∴BB′＝5 ．
故答案为5 ．
（3）如图3中，结论：面积不变．
∵B，B′关于直线l对称，
∴BB′⊥直线l，
∵直线l⊥AC，
∴AC∥BB′，
∴S△ACB′ ＝S△ACB ＝ •82＝16 ．
（4）如图4中，当B′P⊥AC时，△ACB′的面积最大，
第23页（共24页）设直线PB′交AC于E，
在Rt△APE中，∵PA＝2，∠PAE＝60°，
∴PE＝PA•sin60°＝ ，
∴B′E＝6+ ，
∴S△ACB′的最大值 ＝ ×8×（6+ ）＝4 +24．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质和判定，轴对称变换，解直角三
角形，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属
于中考压轴题．
第24页（共24页）
