文档内容
2015 年浙江省宁波市中考数学试卷
b b2 4ac
参考公式：抛物线yax2 bxc的顶点坐标为 , .
2a 4a
一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）
1．（4分）（2015•宁波）﹣ 的绝对值为（ ）
A． B．3 C． D．﹣3
﹣
2．（4分）（2015•宁波）下列计算正确的是（ ）
A．（a2）3=a5 B．2a﹣a=2 C．（2a）2=4a D．a•a3=a4
3．（4分）（2015•宁波）2015年中国高端装备制造业销售收入将超6万亿元，其中
6万亿元用科学记数法可表示为（ ）
A．0.6×1013元 B．60×1011元 C．6×1012元 D．6×1013元
4．（4分）（2015•宁波）在端午节到来之前，学校食堂推荐了A，B，C三家粽子专
卖店，对全校师生爱吃哪家店的粽子作调查，以决定最终向哪家店采购，下面的
统计量中最值得关注的是（ ）
A．方差 B．平均数 C．中位数 D．众数
5．（4分）（2015•宁波）如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，则它的俯视
图是（ ）
A． B． C． D．
6．（4分）（2015•宁波）如图，直线a∥b，直线c分别与a，b相交，∠1=50°，则∠2的
度数为（ ）
1A．150° B．130° C．100° D．50°
7．（4分）（2015•宁波）如图， ▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加
一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（ ）
A．BE=DF B．BF=DE C．AE=CF D．∠1=∠2
8．（4分）（2015•宁波）如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A=72°，则∠BCO的度数
为（ ）
A．15° B．18° C．20° D．28°
9．（4分）（2015•宁波）如图，用一个半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮，制
作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径r为（ ）
A．5cm B．10cm C．20cm D．5πcm
10．（4分）（2015•宁波）如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落
在BC边上的A 处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h ；还原纸片后，
2 1
再将△ADE沿着过AD中点D 的直线折叠，使点A落在DE边上的A 处，称为
1 2
2第2次操作，折痕D E 到BC的距离记为h ；按上述方法不断操作下去…，经过第
1 1 2
2015次操作后得到的折痕D E 到BC的距离记为h ，到BC的距离记为
2014 2014 2015
h ．若h =1，则h 的值为（ ）
2015 1 2015
A． B． C． D．
1﹣ 2﹣
11．（4分）（2015•宁波）二次函数y=a（x﹣4）2﹣4（a≠0）的图象在2＜x＜3这一段
位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
12．（4分）（2015•宁波）如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方
形和2个长方形后仍是中心对称图形．若只知道原住房平面图长方形的周长，则
分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
13．（4分）（2015•宁波）实数8的立方根是 ．
14．（4分）（2015•岳阳）分解因式：x2﹣9= ．
15．（4分）（2015•宁波）命题“对角线相等的四边形是矩形”是 命
题（填“真”或“假”）．
16．（4分）（2015•宁波）如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的
高度．站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的俯角
为30°．若旗杆与教学楼的距离为9m，则旗杆AB的高度是 m（结果
保留根号）
317．（4分）（2015•宁波）如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=12，过A，D两点的
⊙O与BC边相切于点E，则⊙O的半径为 ．
18．（4分）（2015•宁波）如图，已知点A，C在反比例函数y=（a＞0）的图象上，点
B，D在反比例函数y= （b＜0）的图象上，AB∥CD∥x轴，AB，CD在x轴的两侧，
AB=3，CD=2，AB与CD的距离为5，则a﹣b的值是 ．
三、解答题（共8小题，满分78分）
19．（6分）（2015•宁波）解一元一次不等式组 ，并把解在数轴上表示出
来．
420．（8分）（2015•宁波）一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红
球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为 ．
（1）布袋里红球有多少个？
（2）先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表法或画树状图等
方法求出两次摸到的球都是白球的概率．
21．（8分）（2015•宁波）某校积极开展“阳光体育”活动，共开设了跳绳、足球、
篮球、跑步四种运动项目，为了解学生最喜爱哪一种项目，随机抽取了部分学生
进行调查，并绘制了如下的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．
（1）求本次被调查的学生人数；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有1200名学生，请估计全校最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数
多多少？
522．（10分）（2015•宁波）宁波火车站北广场将于2015年底投入使用，计划在广场
内种植A，B两种花木共6600棵，若A花木数量是B花木数量的2倍少600棵
（1）A，B两种花木的数量分别是多少棵？
（2）如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木60棵或
B花木40棵，应分别安排多少人种植A花木和B花木，才能确保同时完成各自
的任务？
23．（10分）（2015•宁波）已知抛物线y=（x﹣m）2﹣（x﹣m），其中m是常数．
（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2）若该抛物线的对称轴为直线x= ．
①求该抛物线的函数解析式；
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个
公共点．
24．（10分）（2015•宁波）在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若多边形的各
顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的多边形称为格点多边
形．记格点多边形内的格点数为a，边界上的格点数为b，则格点多边形的面积可
表示为S=ma+nb﹣1，其中m，n为常数．
（1）在下面的方格中各画出一个面积为6的格点多边形，依次为三角形、平行四
边形（非菱形）、菱形；
（2）利用（1）中的格点多边形确定m，n的值．
625．（12分）（2015•宁波）如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的
角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满
足OA•OB=OP2，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角．
（1）如图2，已知∠MON=90°，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角
的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB=135°．求证：∠APB是
∠MON的智慧角．
（2）如图1，已知∠MON=α（0°＜α＜90°），OP=2．若∠APB是∠MON的智慧角，
连结AB，用含α的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积．
（3）如图3，C是函数y= （x＞0）图象上的一个动点，过C的直线CD分别交x轴
和y轴于A，B两点，且满足BC=2CA，请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P
的坐标．
26．（14分）（2015•宁波）如图，在平面直角坐标系中，点M是第一象限内一点，过
M的直线分别交x轴，y轴的正半轴于A，B两点，且M是AB的中点．以OM为
7直径的⊙P分别交x轴，y轴于C，D两点，交直线AB于点E（位于点M右下方），
连结DE交OM于点K．
（1）若点M的坐标为（3，4），
①求A，B两点的坐标；
②求ME的长．
（2）若 =3，求∠OBA的度数．
（3）设tan∠OBA=x（0＜x＜1）， =y，直接写出y关于x的函数解析式．
2015 年浙江省宁波市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）
1．（4分）（2015•宁波）﹣ 的绝对值为（ ）
A． B．3 C． D．﹣3
﹣
考点： 绝对值．菁优网版权所有
分析： 根据当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a可得答．
解答：
解：﹣ 的绝对值等于 ，
故选：A．
8点评： 此题主要考查了绝对值，关键是掌握①当a是正有理数时，a的绝对值是
它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是
零时，a的绝对值是零．
2．（4分）（2015•宁波）下列计算正确的是（ ）
A．（a2）3=a5 B．2a﹣a=2 C．（2a）2=4a D．a•a3=a4
考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．菁优网版权所有
分析：根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，积的乘方的性质，合并同
类项的法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答：解：A、（a2）3=a6，故错误；
B、2a﹣a=a，故错误；
C、（2a）2=4a2，故错误；
D、正确；
故选：D．
点评：本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数
的变化是解题的关键．
3．（4分）（2015•宁波）2015年中国高端装备制造业销售收入将超6万亿元，其中
6万亿元用科学记数法可表示为（ ）
A．0.6×1013元 B．60×1011元 C．6×1012元 D．6×1013元
考点：科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n
的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点
移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，
n是负数．
解答：解：将6万亿用科学记数法表示为：6×1012．
故选：C．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
94．（4分）（2015•宁波）在端午节到来之前，学校食堂推荐了A，B，C三家粽子专
卖店，对全校师生爱吃哪家店的粽子作调查，以决定最终向哪家店采购，下面的
统计量中最值得关注的是（ ）
A．方差 B．平均数 C．中位数 D．众数
考点：统计量的选择．菁优网版权所有
分析：学校食堂最值得关注的应该是哪种粽子爱吃的人数最多，即众数．
解答：解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故学校食堂最值得关注的应该
是统计调查数据的众数．
故选D．
点评：此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反
映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要
对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
5．（4分）（2015•宁波）如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，则它的俯视
图是（ ）
A． B． C． D．
考点：简单组合体的三视图．菁优网版权所有
分析：找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视
图中．
解答：解：从上面看易得上面一层有3个正方形，下面中间有一个正方形．
故选A．
点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
106．（4分）（2015•宁波）如图，直线a∥b，直线c分别与a，b相交，∠1=50°，则∠2的
度数为（ ）
A．150° B．130° C．100° D．50°
考点：平行线的性质．菁优网版权所有
分析：先根据两直线平行同位角相等，求出∠3的度数，然后根据邻补角的定义
即可求出∠2的度数．
解答：解：如图所示，
∵a∥b，∠1=50°，
∴∠3=∠1=50°，
∵∠2+∠3=180°，
∴∠2=130°．
故选B．
点评：此题考查了平行线的性质，解题的关键是：熟记两直线平行同位角相等，
两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补．
7．（4分）（2015•宁波）如图， ▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加
一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（ ）
A．BE=DF B．BF=DE C．AE=CF D．∠1=∠2
11考点： 全等三角形的判定；平行四边形的性质．菁优网版权所有
分析： 利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别得出三角形全等，再
进行选择即可．
解答： 解：A、当BE=FD，
∵平行四边形ABCD中，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；
C、当AE=CF无法得出△ABE≌△CDF，故此选项符合题意；
B、当BF=ED，
∴BE=DF，
∵平行四边形ABCD中，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；
D、当∠1=∠2，
∵平行四边形ABCD中，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），故此选项错误；
故选C．
点评： 本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握
全等三角形的判定方法是解题关键．
128．（4分）（2015•宁波）如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A=72°，则∠BCO的度数
为（ ）
A．15° B．18° C．20° D．28°
考点：圆周角定理．菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：连结OB，如图，先根据圆周角定理得到∠BOC=2∠A=144°，然后根据等腰
三角形的性质和三角形内角和定理计算∠BCO的度数．
解答：解：连结OB，如图，∠BOC=2∠A=2×72°=144°，
∵OB=OC，
∴∠CBO=∠BCO，
∴∠BCO= （180°﹣∠BOC）= ×（180°﹣144°）=18°．
故选B．
点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰三角形的性质．
9．（4分）（2015•宁波）如图，用一个半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮，制
作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径r为（ ）
13A．5cm B．10cm C．20cm D．5πcm
考点：圆锥的计算．菁优网版权所有
分析：由圆锥的几何特征，我们可得用半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮
制作一个无盖的圆锥形容器，则圆锥的底面周长等于扇形的弧长，据此求
得圆锥的底面圆的半径．
解答：解：设铁皮扇形的半径和弧长分别为R、l，圆锥形容器底面半径为r，
则由题意得R=30，由 Rl=300π得l=20π；
由2πr=l得r=10cm；
故选B．
点评：本题考查的知识点是圆锥的体积，其中根据已知制作一个无盖的圆锥形容
器的扇形铁皮的相关几何量，计算出圆锥的底面半径和高，是解答本题的
关键．
10．（4分）（2015•宁波）如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落
在BC边上的A 处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h ；还原纸片后，
2 1
再将△ADE沿着过AD中点D 的直线折叠，使点A落在DE边上的A 处，称为
1 2
第2次操作，折痕D E 到BC的距离记为h ；按上述方法不断操作下去…，经过第
1 1 2
2015次操作后得到的折痕D E 到BC的距离记为h ，到BC的距离记为
2014 2014 2015
h ．若h =1，则h 的值为（ ）
2015 1 2015
14A． B． C． D．
1﹣ 2﹣
考点：相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理；翻折变换（折叠问题）．菁
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专题：规律型．
分析：根据中点的性质及折叠的性质可得DA=DA'=DB，从而可得
∠ADA'=2∠B，结合折叠的性质，∠ADA'=2∠ADE，可得∠ADE=∠B，继而
判断DE∥BC，得出DE是△ABC的中位线，证得AA ⊥BC，得到AA =2，
1 1
求出h =2﹣1=1，同理h =2﹣ ，h =2﹣ =2﹣ ，于是经过第n次操作
1 2 3
后得到的折痕D E 到BC的距离h =2﹣ ，求得结果h =2﹣
n﹣1 n﹣1 n 2015
．
解答：解：连接AA ，
1
由折叠的性质可得：AA ⊥DE，DA=DA ，
1 1
又∵D是AB中点，
∴DA=DB，
∴DB=DA ，
1
∴∠BA D=∠B，
1
∴∠ADA =2∠B，
1
又∵∠ADA =2∠ADE，
1
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，
∴AA ⊥BC，
1
∴AA =2，
1
∴h =2﹣1=1，
1
同理，h =2﹣ ，h =2﹣ =2﹣ ，
2 3
…
∴经过第n次操作后得到的折痕D E 到BC的距离h =2﹣ ，
n﹣1 n﹣1 n
15∴h =2﹣ ，
2015
故选D．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，平行线等分
线段定理，找出规律是解题的关键．
11．（4分）（2015•宁波）二次函数y=a（x﹣4）2﹣4（a≠0）的图象在2＜x＜3这一段
位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
考点：抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
分析：根据抛物线顶点式得到对称轴为直线x=4，利用抛物线对称性得到抛物线
在1＜x＜2这一段位于x轴的上方，而抛物线在2＜x＜3这一段位于x轴
的下方，于是可得抛物线过点（2，0），然后把（2，0）代入y=a（x﹣4）2﹣4
（a≠0）可求出a的值．
解答：解：∵抛物线y=a（x﹣4）2﹣4（a≠0）的对称轴为直线x=4，
而抛物线在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，
∴抛物线在1＜x＜2这一段位于x轴的上方，
∵抛物线在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，
∴抛物线过点（2，0），
把（2，0）代入y=a（x﹣4）2﹣4（a≠0）得4a﹣4=0，解得a=1．
故选A．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常
数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次
方程即可求得交点横坐标．△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：
△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与
x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
1612．（4分）（2015•宁波）如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方
形和2个长方形后仍是中心对称图形．若只知道原住房平面图长方形的周长，则
分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
考点： 中心对称．菁优网版权所有
专题： 应用题．
分析： 首先根据长方形被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图
形，可得A的对应点是A′，B的对应点是B′，判断出AB=A′B′；然后根据
①的长和②的边长的和等于原长方形的长，①的宽和②的边长的和等于
原长方形的宽，可得①②的周长和等于原长方形的周长，据此判断即可．
解答： 解：如图，
，
∵长方形被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形，
∴A的对应点是A′，B的对应点是B′，
∴AB=A′B′，
∵①的长和②的边长的和等于原长方形的长，①的宽和②的边长的和等
于原长方形的宽，
∴①②的周长和等于原长方形的周长，
∴分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为①②，
其余的图形的周长不用测量无法判断．
故选：A．
点评： 此题主要考查了中心对称的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是
要明确中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关
于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心
17平分．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
13．（4分）（2015•宁波）实数8的立方根是 2 ．
考点：立方根．菁优网版权所有
专题：常规题型．
分析：根据立方根的定义解答．
解答：解：∵23=8，
∴8的立方根是2．
故答案为：2．
点评：本题考查了立方根的定义，找出2的立方是8是解题的关键．
14．（4分）（2015•岳阳）分解因式：x2﹣9= （ x+ 3 ）（ x﹣ 3 ） ．
考 因式分解-运用公式法．菁优网版权所有
点：
分 本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．
析：
解 解：x2﹣9=（x+3）（x﹣3）．
答： 故答案为：（x+3）（x﹣3）．
点 主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的
评： 特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．
15．（4分）（2015•宁波）命题“对角线相等的四边形是矩形”是 假 命题（填
“真”或“假”）．
考点：命题与定理．菁优网版权所有
分析：举出反例即可得到该命题是假命题．
解答：解：∵等腰梯形的对角线也相等，
∴“对角线相等的四边形是矩形”是假命题，
故答案为：假；
18点评：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是知道如何判断一个命题的
真假，是假命题时找到反例即可．
16．（4分）（2015•宁波）如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的
高度．站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的俯角
为30°．若旗杆与教学楼的距离为9m，则旗杆AB的高度是 3 +9 m（结果保
留根号）
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．菁优网版权所有
分析：
根据在Rt△ACD中，tan∠ACD= ，求出AD的值，再根据在Rt△BCD
中，tan∠BCD= ，求出BD的值，最后根据AB=AD+BD，即可求出答案．
解答：解：在Rt△ACD中，
∵tan∠ACD= ，
∴tan30°= ，
∴ = ，
∴AD=3 m，
在Rt△BCD中，
∵∠BCD=45°，
∴BD=CD=9m，
∴AB=AD+BD=3 +9（m）．
故答案为：3 +9．
点评：此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，本题要求学生借助俯
19角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
17．（4分）（2015•宁波）如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=12，过A，D两点的
⊙O与BC边相切于点E，则⊙O的半径为 6.2 5 ．
考点：切线的性质；勾股定理；矩形的性质；垂径定理．菁优网版权所有
分析：首先连接OE，并反向延长交AD于点F，连接OA，由在矩形ABCD中，过
A，D两点的⊙O与BC边相切于点E，易得四边形CDFE是矩形，由垂径
定理可求得AF的长，然后设⊙O的半径为x，则OE=EF﹣OE=8﹣x，利用
勾股定理即可得：（8﹣x）2+36=x2，继而求得答案．
解答：解：连接OE，并反向延长交AD于点F，连接OA，
∵BC是切线，
∴OE⊥BC，
∴∠OEC=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴四边形CDFE是矩形，
∴EF=CD=AB=8，OF⊥AD，
∴AF= AD= ×12=6，
设⊙O的半径为x，则OE=EF﹣OE=8﹣x，
在Rt△OAF中，OF2+AF2=OA2，
则（8﹣x）2+36=x2，
解得：x=6.25，
∴⊙O的半径为：6.25．
故答案为：6.25．
20点评：此题考查了切线的性质、垂径定理、矩形的性质以及勾股定理．注意准确
作出辅助线是解此题的关键．
18．（4分）（2015•宁波）如图，已知点A，C在反比例函数y=（a＞0）的图象上，点
B，D在反比例函数y= （b＜0）的图象上，AB∥CD∥x轴，AB，CD在x轴的两侧，
AB=3，CD=2，AB与CD的距离为5，则a﹣b的值是 ．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
分析：
设A（t，），则C（﹣t，﹣ ），B（ ，），D（﹣ ，﹣ ），结合相关线段的
长度来求a﹣b的值．
解答：
解：设A（t， ），则C（﹣t，﹣ ），B（ ， ），D（﹣ ，﹣ ），
依题意得 ，
21解得 ，
所以a﹣b= ﹣（﹣ ）= ．
故答案是： ．
点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．此题借助于方程组来求得
相关系数的．
三、解答题（共8小题，满分78分）
19．（6分）（2015•宁波）解一元一次不等式组 ，并把解在数轴上表示出
来．
考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．菁优网版权所有
分析：别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
解答：
解：
由①得，x＞﹣3，
由②得，x≤2，
故此不等式组的解集为：﹣3＜x≤2．
在数轴上表示为：
点评：本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大
中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
2220．（8分）（2015•宁波）一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红
球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为 ．
（1）布袋里红球有多少个？
（2）先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表法或画树状图等
方法求出两次摸到的球都是白球的概率．
考点：列表法与树状图法；概率公式．菁优网版权所有
分析：（1）设红球的个数为x，根据白球的概率可得关于x的方程，解方程即可；
（2）画出树形图，即可求出两次摸到的球都是白球的概率．
解答：解：（1）设红球的个数为x，由题意可得：
，
解得：x=1，
即红球的个数为1个；
（2）画树状图如下：
∴P（摸得两白）= = ．
点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列
出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以
上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知
识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21．（8分）（2015•宁波）某校积极开展“阳光体育”活动，共开设了跳绳、足球、
篮球、跑步四种运动项目，为了解学生最喜爱哪一种项目，随机抽取了部分学生
进行调查，并绘制了如下的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．
23（1）求本次被调查的学生人数；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有1200名学生，请估计全校最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数
多多少？
考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．菁优网版权所有
分析：（1）用喜欢跳绳的人数除以其所占的百分比即可求得被调查的总人数；
（2）用总人数乘以足球所占的百分比即可求得喜欢足球的人数，用总数减
去其他各小组的人数即可求得喜欢跑步的人数，从而补全条形统计图；
（3）用样本估计总体即可确定最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多
多少．
解答：解：（1）观察条形统计图与扇形统计图知：喜欢跳绳的有10人，占25%，
故总人数有10÷25%=40人；
（2）喜欢足球的有40×30%=12人，
喜欢跑步的有40﹣10﹣15﹣12=3人，
故条形统计图补充为：
24（3）全校最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多1200× =90人．
点评：本题考查了扇形统计图、条形统计图及用样本估计总体的知识，解题的关
键是能够读懂两种统计图并从中整理出进一步解题的有关信息，难度不
大．
22．（10分）（2015•宁波）宁波火车站北广场将于2015年底投入使用，计划在广场
内种植A，B两种花木共6600棵，若A花木数量是B花木数量的2倍少600棵
（1）A，B两种花木的数量分别是多少棵？
（2）如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木60棵或
B花木40棵，应分别安排多少人种植A花木和B花木，才能确保同时完成各自
的任务？
考点：分式方程的应用；二元一次方程组的应用．菁优网版权所有
分析：（1）首先设B花木数量为x棵，则A花木数量是（2x﹣600）棵，由题意得
等量关系：种植A，B两种花木共6600棵，根据等量关系列出方程，再解即
可；
（2）首先设安排a人种植A花木，由题意得等量关系：a人种植A花木所
用时间=（26﹣a）人种植B花木所用时间，根据等量关系列出方程，再解即
可．
解答：解：（1）设B花木数量为x棵，则A花木数量是（2x﹣600）棵，由题意得：
x+2x﹣600=6600，
解得：x=2400，
2x﹣600=4200，
答：B花木数量为2400棵，则A花木数量是4200棵；
（2）设安排a人种植A花木，由题意得：
= ，
解得：a=14，
经检验：a=14是原分式方程的解，
26﹣a=26﹣14=12，
25答：安排14人种植A花木，12人种植B花木．
点评：此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等
量关系，列出方程．注意不要忘记检验．
23．（10分）（2015•宁波）已知抛物线y=（x﹣m）2﹣（x﹣m），其中m是常数．
（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2）若该抛物线的对称轴为直线x= ．
①求该抛物线的函数解析式；
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个
公共点．
考点：抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数
解析式．菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：（1）先把抛物线解析式化为一般式，再计算△的值，得到△=1＞0，于是根
据△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数即可判断不论m为何值，该
抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2）①根据对称轴方程得到=﹣ = ，然后解出m的值即可得到
抛物线解析式；
②根据抛物线的平移规律，设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得
到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为y=x2﹣
5x+6+k，再利用抛物线与x轴的交点问题得到△=52﹣4（6+k）=0，
然后解关于k的方程即可．
解答：（1）证明：y=（x﹣m）2﹣（x﹣m）=x2﹣（2m+1）x+m2+m，
∵△=（2m+1）2﹣4（m2+m）=1＞0，
∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2）解：①∵x=﹣ = ，
∴m=2，
∴抛物线解析式为y=x2﹣5x+6；
②设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一
26个公共点，则平移后抛物线解析式为y=x2﹣5x+6+k，
∵抛物线y=x2﹣5x+6+k与x轴只有一个公共点，
∴△=52﹣4（6+k）=0，
∴k= ，
即把该抛物线沿y轴向上平移 个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有
一个公共点．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，
a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程
即可求得交点横坐标．△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2﹣
4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1
个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
24．（10分）（2015•宁波）在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若多边形的各
顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的多边形称为格点多边
形．记格点多边形内的格点数为a，边界上的格点数为b，则格点多边形的面积可
表示为S=ma+nb﹣1，其中m，n为常数．
（1）在下面的方格中各画出一个面积为6的格点多边形，依次为三角形、平行四
边形（非菱形）、菱形；
（2）利用（1）中的格点多边形确定m，n的值．
考点：作图—应用与设计作图．菁优网版权所有
分析：（1）利用格点图形的定义结合三角形以及平行四边形面积求法得出即可；
（2）利用已知图形，结合S=ma+nb﹣1得出关于m，n的关系式，进而求出
即可．
解答：解：（1）如图所示：
27；
（2）∵格点多边形内的格点数为a，边界上的格点数为b，则格点多边形的
面积可表示为S=ma+nb﹣1，其中m，n为常数，
∴三角形：S=3m+8n﹣1=6，平行四边形：S=3m+8n﹣1=6，菱形：S=5m+4n
﹣1=6，
则 ，
解得： ．
点评：此题主要考查了应用设计与作图以及三角形、平行四边形面积求法和二
元一次方程组的解法，正确得出关于m，n的方程组是解题关键．
25．（12分）（2015•宁波）如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的
角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满
足OA•OB=OP2，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角．
（1）如图2，已知∠MON=90°，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角
的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB=135°．求证：∠APB是
∠MON的智慧角．
（2）如图1，已知∠MON=α（0°＜α＜90°），OP=2．若∠APB是∠MON的智慧角，
连结AB，用含α的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积．
（3）如图3，C是函数y= （x＞0）图象上的一个动点，过C的直线CD分别交x轴
和y轴于A，B两点，且满足BC=2CA，请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P
的坐标．
28考点：反比例函数综合题．菁优网版权所有
分析：
（1）由角平分线求出∠AOP=∠BOP= ∠MON=45°，再证出
∠OAP=∠OPB，证明△AOP∽△POB，得出对应边成比例 ，得出
OP2=OA•OB，即可得出结论；
（2）由∠APB是∠MON的智慧角，得出 ，证出△AOP∽△POB，得出
对应角相等∠OAP=∠OPB，即可得出∠APB=180°﹣ α；过点A作
AH⊥OB于H，由三角形的面积公式得出：S = OB•AH，即可得出
△AOB
S =2sinα；
△AOB
（3）设点C（a，b），则ab=3，过点C作CH⊥OA于H；分两种情况：
①当点B在y轴正半轴上时；当点A在x轴的负半轴上时，BC=2CA不可
能；当得A在x轴的正半轴上时；先求出 ，由平行线得出
△ACH∽△ABO，得出比例式： = ，得出OB=3b，OA= ，求出
OA•OB= ，根据∠APB是∠AOB的智慧角，得出OP，即可得出点P的
坐标；
②当点B在y轴的负半轴上时；由题意得出：AB=CA，由AAS证明
△ACH≌△ABO，得出OB=CH=b，OA=AH= a，得出OA•OB= ，求出OP，
即可得出点P的坐标．
解答：（1）证明：∵∠MON=90°，P为∠MON的平分线上一点，
∴∠AOP=∠BOP= ∠MON=45°，
∵∠AOP+∠OAP+∠APO=180°，
29∴∠OAP+∠APO=135°，
∵∠APB=135°，
∴∠APO+∠OPB=135°，
∴∠OAP=∠OPB，
∴△AOP∽△POB，
∴ ，
∴OP2=OA•OB，
∴∠APB是∠MON的智慧角；
（2）解：∵∠APB是∠MON的智慧角，
∴OA•OB=OP2，
∴ ，
∵P为∠MON的平分线上一点，
∴∠AOP=∠BOP= α，
∴△AOP∽△POB，
∴∠OAP=∠OPB，
∴∠APB=∠OPB+∠OPA=∠OAP+∠OPA=180°﹣ α，
即∠APB=180°﹣ α；
过点A作AH⊥OB于H，连接AB；如图1所示：
则S = OB•AH= OB•OAsinα= OP2•sinα，
△AOB
∵OP=2，
∴S =2sinα；
△AOB
（3）设点C（a，b），则ab=3，过点C作CH⊥OA于H；分两种情况：
①当点B在y轴正半轴上时；当点A在x轴的负半轴上时，如图2所示：
BC=2CA不可能；
当得A在x轴的正半轴上时，如图3所示：
∵BC=2CA，
∴ ，
∵CH∥OB，
30∴△ACH∽△ABO，
∴ = ，
∴OB=3b，OA= ，
∴OA•OB= •3b= = ，
∵∠APB是∠AOB的智慧角，
∴OP= = = ，
∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB，
∴点P的坐标为：（ ， ）；
②当点B在y轴的负半轴上时，如图4所示：
∵BC=2CA，
∴AB=CA，
在△ACH和△ABO中，
，
∴△ACH≌△ABO（AAS），
∴OB=CH=b，OA=AH= a，
∴OA•OB= a•b= ，
∵∠APB是∠AOB的智慧角，
∴OP= = = ，
∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB，
∴点P的坐标为：（ ，﹣ ）；
综上所述：点P的坐标为：（ ， ），或（ ，﹣ ）．
31点评：本题是反比例函数综合题目，考查了角平分线的性质、相似三角形的判定
与性质、新定义以及运用、三角形面积的计算、全等三角形的判定与性质
等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要通过作辅助线进行
分类讨论，证明三角形相似和三角形全等才能得出结果．
26．（14分）（2015•宁波）如图，在平面直角坐标系中，点M是第一象限内一点，过
M的直线分别交x轴，y轴的正半轴于A，B两点，且M是AB的中点．以OM为
直径的⊙P分别交x轴，y轴于C，D两点，交直线AB于点E（位于点M右下方），
连结DE交OM于点K．
（1）若点M的坐标为（3，4），
①求A，B两点的坐标；
②求ME的长．
32（2）若 =3，求∠OBA的度数．
（3）设tan∠OBA=x（0＜x＜1）， =y，直接写出y关于x的函数解析式．
考点：圆的综合题；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股
定理；三角形中位线定理；矩形的判定与性质；平行线分线段成比例；相似
三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值．菁优
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专题：综合题．
分析：（1）①连接DM、MC，如图1，易证四边形OCMD是矩形，从而得到
MD∥OA，MC∥OB，由点M是AB的中点即可得到BD=DO，AC=OC，然
后利用点M的坐标就可解决问题；
②根据勾股定理可求出AB的长，从而得到BM的长，要求ME的长，只需
求BE的长，只需证△OBM∽△EBD，然后运用相似三角形的性质即可；
（2）连接DP、PE，如图2，由 =3可得OK=3MK，进而得到OM=4MK，
PM=2MK，PK=MK．易证△DPK≌△EMK，则有DK=EK．由PD=PE可得
PK⊥DE，从而可得cos∠DPK= = ，则有∠DPK=60°，根据圆周角定理可
得∠DOM=30°．由∠AOB=90°，AM=BM可得OM=BM，即可得到
∠OBA=∠DOM=30°；
（3）连接PD、OE，如图3，设MK=t，则有OK=yt，OM=（y+1）t，BM=OM=
（y+1）t，DP=PM= ，PK= ．由DP∥BM可得
33△DKP∽△EKM，则有 = ，由此可得ME= t，从而可求得OE=
• ，BE= ，则有x=tan∠OBA= = ，即
x2= =1﹣ ，整理得y= ．
解答：解：（1）①连接DM、MC，如图1．
∵OM是⊙P的直径，
∴∠MDO=∠MCO=90°．
∵∠AOB=90°，
∴四边形OCMD是矩形，
∴MD∥OA，MC∥OB，
∴ = ， = ．
∵点M是AB的中点，即BM=AM，
∴BD=DO，AC=OC．
∵点M的坐标为（3，4），
∴OB=2OD=8，OA=2OC=6，
∴点B的坐标为（0，8），点A的坐标为（6，0）；
②在Rt△AOB中，OA=6，OB=8，
∴AB= =10．
∴BM= AB=5．
∵∠OBM=∠EBD，∠BOM=∠BED，
∴△OBM∽△EBD，
∴ = ，
∴ = ，
∴BE= ，
∴ME=BE﹣BM= ﹣5= ；
34（2）连接DP、PE，如图2．
∵ =3，
∴OK=3MK，
∴OM=4MK，PM=2MK，
∴PK=MK．
∵OD=BD，OP=MP，
∴DP∥BM，
∴∠PDK=∠MEK，∠DPK=∠EMK．
在△DPK和△EMK中，
，
∴△DPK≌△EMK，
∴DK=EK．
∵PD=PE，
∴PK⊥DE，
∴cos∠DPK= = ，
∴∠DPK=60°，
∴∠DOM=30°．
∵∠AOB=90°，AM=BM，
∴OM=BM，
∴∠OBA=∠DOM=30°；
（3）y关于x的函数解析式为y= ．
提示：连接PD、OE，如图3．
设MK=t，则有OK=yt，OM=（y+1）t，
BM=OM=（y+1）t，DP=PM= ，
PK= ﹣t= ．
由DP∥BM可得△DKP∽△EKM，
35则有 = ，可得ME= t．
∵OM是⊙P的直径，
∴∠OEM=90°，
∴OE2=OM2﹣ME2=[（y+1）t 2﹣[ t 2= •（y2﹣2y），
] ]
即OE= • ，
BE=BM+ME=（y+1）t+ t= ，
∴x=tan∠OBA= = ，
∴x2= =1﹣ ，
整理得：y= ．
36点评：本题主要考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判
定与性质、矩形的判定与性质、平行线分线段成比例、三角形中位线定理、
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、勾股定
理、三角函数的定义、特殊角的三角函数值等知识，综合性比较强，有一定
的难度，通过证明△OBM∽△EBD求出BE是解决第（1）②小题的关键，通
过证明△DPK≌△EMK得到DK=EK是解决第（2）小题的关键，设MK=t，
然后运用相似三角形的性质、勾股定理求出OE、BE（用y、t的代数式表
示）是解决第（3）小题的关键．
37
