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2015 年浙江省杭州市中考数学试卷
一、仔细选一选（每小题3分，共30分）
1．（3分）（2015•杭州）统计显示，2013年底杭州市各类高中在校学生人数大约是
11.4万人，将11.4万用科学记数法表示应为（ ）
A．11.4×102 B．1.14×103 C．1.14×104 D．1.14×105
2．（3分）（2015•杭州）下列计算正确的是（ ）
A．23+26=29 B．23﹣24=2﹣1 C．23×23=29 D．24÷22=22
3．（3分）（2015•杭州）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（2015•杭州）下列各式的变形中，正确的是（ ）
A．（﹣x﹣y）（﹣x+y）=x2﹣y2 B．
﹣x=
C．x2﹣4x+3=（x﹣2）2+1 D．
x÷（x2+x）= +1
5．（3分）（2015•杭州）圆内接四边形ABCD中，已知∠A=70°，则∠C=（ ）
A．20° B．30° C．70° D．110°
6．（3分）（2015•杭州）若k＜ ＜k+1（k是整数），则k=（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．（3分）（2015•杭州）某村原有林地108公顷，旱地54公顷，为保护环境，需把一
部分旱地改造为林地，使旱地面积占林地面积的20%．设把x公顷旱地改为林地
则可列方程（ ）
A．54﹣x=20%×108 B．54﹣x=20%（108+x）
C．54+x=20%×162 D．108﹣x=20%（54+x）
8．（3分）（2015•杭州）如图是某地2月18日到23日PM2.5浓度和空气质量指数
AQI的统计图（当AQI不大于100时称空气质量为“优良”）．由图可得下列说
法：①18日的PM2.5浓度最低；②这六天中PM2.5浓度的中位数是112ug/m3；③
这六天中有4天空气质量为“优良”；④空气质量指数AQI与PM2.5浓度有关．
其中正确的是（ ）
第1页（共27页）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
9．（3分）（2015•杭州）如图，已知点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶
点，连接任意两点均可得到一条线段．在连接两点所得的所有线段中任取一条线
段，取到长度为 的线段的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）（2015•杭州）设二次函数y =a（x﹣x ）（x﹣x ）（a≠0，x ≠x ）的图象与一
1 1 2 1 2
次函数y =dx+e（d≠0）的图象交于点（x ，0），若函数y=y +y 的图象与x轴仅有一
2 1 1 2
个交点，则（ ）
A．a（x ﹣x ）=d B．a（x ﹣x ）=d C．a（x ﹣x ）2=d D．a（x +x ）2=d
1 2 2 1 1 2 1 2
二、认真填一填（每小题4分，共24分）
11．（4分）（2015•杭州）数据1，2，3，5，5的众数是 ，平均数是
．
12．（4分）（2015•杭州）分解因式：m3n﹣4mn= ．
13．（4分）（2015•杭州）函数y=x2+2x+1，当y=0时，x= ；当1＜x＜2
时，y随x的增大而 （填写“增大”或“减小”）．
14．（4分）（2015•杭州）如图，点A，C，F，B在同一直线上，CD平分∠ECB，
FG∥CD．若∠ECA为α度，则∠GFB为 度（用关于α的代数式表
示）．
第2页（共27页）15．（4分）（2015•杭州）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P（1，t）在反比
例函数y= 的图象上，过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足
QP=OP．若反比例函数y= 的图象经过点Q，则k= ．
16．（4分）（2015•杭州）如图，在四边形纸片ABCD中，AB=BC，AD=CD，
∠A=∠C=90°，∠B=150°．将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个
顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平．若铺平后的图形中有一个是面积
为2的平行四边形，则CD= ．
三、全面答一答（共66分）
17．（6分）（2015•杭州）杭州市推行垃圾分类已经多年，但在剩余垃圾中除了厨余
类垃圾还混杂着非厨余类垃圾．如图是杭州某一天收到的厨余垃圾的统计图．
（1）试求出m的值；
（2）杭州市某天收到厨余垃圾约200吨，请计算其中混杂着的玻璃类垃圾的吨数
第3页（共27页）18．（8分）（2015•杭州）如图，在△ABC中，已知AB=AC，AD平分∠BAC，点M，
N分别在AB，AC边上，AM=2MB，AN=2NC．求证：DM=DN．
19．（8分）（2015•杭州）如图1，⊙O的半径为（r r＞0），若点P′在射线OP上，满足
OP′•OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．
如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′，B′分别是点
A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．
20．（10分）（2015•杭州）设函数y=（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣3）（k是常数）．
（1）当k取1和2时的函数y 和y 的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画
1 2 ]
出当k取0时的函数的图象；
（2）根据图象，写出你发现的一条结论；
（3）将函数y 的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到的函数y 的
2 3
图象，求函数y 的最小值．
3
第4页（共27页）21．（10分）（2015•杭州）“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些
三角形的三边分别为a，b，c，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整
数个单位长度．
（1）用记号（a，b，c）（a≤b≤c）表示一个满足条件的三角形，如（2，3，3）表示边长分
别为2，3，3个单位长度的一个三角形．请列举出所有满足条件的三角形．
（2）用直尺和圆规作出三边满足a＜b＜c的三角形（用给定的单位长度，不写作
法，保留作图痕迹）．
22．（12分）（2015•杭州）如图，在△ABC中（BC＞AC），∠ACB=90°，点D在AB
边上，DE⊥AC于点E．
（1）若 = ，AE=2，求EC的长；
（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与
△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高线还
是中线？或两者都有可能？请说明理由．
第5页（共27页）23．（12分）（2015•杭州）方成同学看到一则材料：甲开汽车，乙骑自行车从M地
出发沿一条公路匀速前往N地．设乙行驶的时间为（t h），甲乙两人之间的距离为
y（km），y与t的函数关系如图1所示．
方成思考后发现了如图1的部分正确信息：乙先出发1h；甲出发0.5小时与乙相
遇；…．
请你帮助方成同学解决以下问题：
（1）分别求出线段BC，CD所在直线的函数表达式；
（2）当20＜y＜30时，求t的取值范围；
（3）分别求出甲，乙行驶的路程S ，S 与时间t的函数表达式，并在图2所给的
甲 乙
直角坐标系中分别画出它们的图象；
（4）丙骑摩托车与乙同时出发，从N地沿同一公路匀速前往M地，若丙经过 h与
乙相遇，问丙出发后多少时间与甲相遇？
第6页（共27页）2015 年浙江省杭州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、仔细选一选（每小题3分，共30分）
1．（3分）（2015•杭州）统计显示，2013年底杭州市各类高中在校学生人数大约是
11.4万人，将11.4万用科学记数法表示应为（ ）
A．11.4×102 B．1.14×103 C．1.14×104 D．1.14×105
考点：科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n
的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点
移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，
n是负数．
解答：解：将11.4万用科学记数法表示为：1.14×105．
故选D．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（3分）（2015•杭州）下列计算正确的是（ ）
A．23+26=29 B．23﹣24=2﹣1 C．23×23=29 D．24÷22=22
考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；负整数指数幂．菁优网版
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分析：根据同类项、同底数幂的乘法和同底数幂的除法计算即可．
解答：解：A、23与26不能合并，错误；
B、23与24不能合并，错误；
C、23×23=26，错误；
D、24÷22=22，正确；
故选D．
点评：此题考查同类项、同底数幂的乘法和同底数幂的除法，关键是根据法则进
第7页（共27页）行计算．
3．（3分）（2015•杭州）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
考点：中心对称图形．菁优网版权所有
分析：根据中心对称图形的定义和图形的特点即可求解．
解答：解：由中心对称的定义知，绕一个点旋转180°后能与原图重合，则只有选
项A是中心对称图形．
故选：A．
点评：本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕某一点旋转180°后能
够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中
心．
4．（3分）（2015•杭州）下列各式的变形中，正确的是（ ）
A．（﹣x﹣y）（﹣x+y）=x2﹣y2 B．
﹣x=
C．x2﹣4x+3=（x﹣2）2+1 D．
x÷（x2+x）= +1
考点：平方差公式；整式的除法；因式分解-十字相乘法等；分式的加减法．菁优
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分析：根据平方差公式和分式的加减以及整式的除法计算即可．
解答：解：A、（﹣x﹣y）（﹣x+y）=x2﹣y2，正确；
B、 ，错误；
C、x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，错误；
D、x÷（x2+x）= ，错误；
故选A．
点评：此题考查平方差公式和分式的加减以及整式的除法，关键是根据法则计
算．
第8页（共27页）5．（3分）（2015•杭州）圆内接四边形ABCD中，已知∠A=70°，则∠C=（ ）
A．20° B．30° C．70° D．110°
考点：圆内接四边形的性质．菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：直接根据圆内接四边形的性质求解．
解答：解：∵四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，
∴∠C=180°﹣70°=110°．
故选D．
点评：本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．
6．（3分）（2015•杭州）若k＜ ＜k+1（k是整数），则k=（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
考点：估算无理数的大小．菁优网版权所有
分析：根据 =9， =10，可知9＜ ＜10，依此即可得到k的值．
解答：解：∵k＜ ＜k+1（k是整数），9＜ ＜10，
∴k=9．
故选：D．
点评：本题考查了估算无理数的大小，解题关键是估算 的取值范围，从而解
决问题．
7．（3分）（2015•杭州）某村原有林地108公顷，旱地54公顷，为保护环境，需把一
部分旱地改造为林地，使旱地面积占林地面积的20%．设把x公顷旱地改为林地
则可列方程（ ）
A．54﹣x=20%×108 B．54﹣x=20%（108+x）
C．54+x=20%×162 D．108﹣x=20%（54+x）
考点： 由实际问题抽象出一元一次方程．菁优网版权所有
第9页（共27页）分析： 设把x公顷旱地改为林地，根据旱地面积占林地面积的20%列出方程即
可．
解答： 解：设把x公顷旱地改为林地，根据题意可得方程：54﹣x=20%（108+x）．
故选B．
点评： 本题考查一元一次方程的应用，关键是设出未知数以以改造后的旱地与
林地的关系为等量关系列出方程．
8．（3分）（2015•杭州）如图是某地2月18日到23日PM2.5浓度和空气质量指数
AQI的统计图（当AQI不大于100时称空气质量为“优良”）．由图可得下列说
法：①18日的PM2.5浓度最低；②这六天中PM2.5浓度的中位数是112ug/m3；③
这六天中有4天空气质量为“优良”；④空气质量指数AQI与PM2.5浓度有关．
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
考点： 折线统计图；中位数．菁优网版权所有
分析： 根据折线统计图提供的信息，逐一分析，即可解答．
解答： 解：由图1可知，18日的PM2.5浓度为25ug/m3，浓度最低，故①正确；
这六天中PM2.5浓度的中位数是 =79.5ug/m3，故②错误；
∵当AQI不大于100时称空气质量为“优良”，
∴18日、19日、20日、23日空气质量为优，
故③正确；
空气质量指数AQI与PM2.5浓度有关，故④正确；
故选：C．
第10页（共27页）点评： 本题考查了折线统计图，解决本题的关键是从折线统计图中获取相关信
息，注意中位数的确定，要先把数据进行排序．
9．（3分）（2015•杭州）如图，已知点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶
点，连接任意两点均可得到一条线段．在连接两点所得的所有线段中任取一条线
段，取到长度为 的线段的概率为（ ）
A． B． C． D．
考点：正多边形和圆；勾股定理；概率公式．菁优网版权所有
分析：利用正六边形的性质以及勾股定理得出AE的长，进而利用概率公式求出
即可．
解答：解：连接AF，EF，AE，过点F作FN⊥AE于点N，
∵点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，
∴AF=EF=1，∠AFE=120°，
∴∠FAE=30°，
∴AN= ，
∴AE= ，同理可得：AC= ，
故从任意一点，连接两点所得的所有线段一共有15种，任取一条线段，取
到长度为 的线段有6种情况，
则在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为 的线段的
概率为： ．
故选：B．
点评：此题主要考查了正多边形和圆，正确利用正六边形的性质得出AE的长是
第11页（共27页）解题关键．
10．（3分）（2015•杭州）设二次函数y =a（x﹣x ）（x﹣x ）（a≠0，x ≠x ）的图象与一
1 1 2 1 2
次函数y =dx+e（d≠0）的图象交于点（x ，0），若函数y=y +y 的图象与x轴仅有一
2 1 1 2
个交点，则（ ）
A．a（x ﹣x ）=d B．a（x ﹣x ）=d C．a（x ﹣x ）2=d D．a（x +x ）2=d
1 2 2 1 1 2 1 2
考点：抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
分析：首先根据一次函数y =dx+e（d≠0）的图象经过点（x ，0），可得y =d（x﹣
2 1 2
x ），y=y +y =（x﹣x ）[a（x﹣x ）+d ；然后根据函数y=y +y 的图象与x轴
1 1 2 1 2 1 2
仅有一个交点，可得函数y=y +y 是二次函数，且它的顶点在x轴上，即
1 2 ]
y=y +y =a ，推得a（x﹣x ）+d=a（x﹣x ），令x=x ，即可判断出
1 2 2 1 2
a（x ﹣x ）=d．
2 1
解答：解：∵一次函数y =dx+e（d≠0）的图象经过点（x ，0），
2 1
∴dx +e=0，
1
∴y =d（x﹣x ），
2 1
∴y=y +y =a（x﹣x ）（x﹣x ）+d（x﹣x ）
1 2 1 2 1
=（x﹣x ）[a（x﹣x ）+d
1 2
∵函数y=y +y 的图象与x轴仅有一个交点，
1 2 ]
∴函数y=y +y 是二次函数，且它的顶点在x轴上，
1 2
即y=y +y =a ，
1 2
∴a（x﹣x ）+d=a（x﹣x ），
2 1
令x=x ，可得
2
a（x ﹣x ）+d=a（x ﹣x ），
2 2 2 1
∴a（x ﹣x ）=d．
2 1
故选：B．
点评：此题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，以及曲线上点的坐标与方程
的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出：函数y=y +y 是二次函
1 2
数，且y=y +y =a ．
1 2
第12页（共27页）二、认真填一填（每小题4分，共24分）
11．（4分）（2015•杭州）数据1，2，3，5，5的众数是 5 ，平均数是 ．
考点：众数；算术平均数．菁优网版权所有
分析：根据众数、平均数的概念求解．
解答：解：数据1，2，3，5，5的众数是5；
平均数是 （1+2+3+5+5）= ．
故答案为：5； ．
点评：本题考查了众数和平均数的概念，掌握各知识点的概念是解答本题的关
键．
12．（4分）（2015•杭州）分解因式：m3n﹣4mn= m n （ m﹣ 2 ）（ m+ 2 ） ．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
分析：先提取公因式mn，再利用平方差公式分解因式得出即可．
解答：解：m3n﹣4mn
=mn（m2﹣4）
=mn（m﹣2）（m+2）．
故答案为：mn（m﹣2）（m+2）．
点评：此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用平方差公
式是解题关键．
13．（4分）（2015•杭州）函数y=x2+2x+1，当y=0时，x= ﹣ 1 ；当1＜x＜2时，y
随x的增大而 增大 （填写“增大”或“减小”）．
考点：二次函数的性质．菁优网版权所有
分析：将y=0代入y=x2+2x+1，求得x的值即可，根据函数开口向上，当x＞﹣1
时，y随x的增大而增大．
解答：解：把y=0代入y=x2+2x+1，
第13页（共27页）得x2+2x+1=0，
解得x=﹣1，
当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
∴当1＜x＜2时，y随x的增大而增大；
故答案为﹣1，增大．
点评：本题考查了二次函数的性质，重点掌握对称轴两侧的增减性问题，解此题
的关键是利用数形结合的思想．
14．（4分）（2015•杭州）如图，点A，C，F，B在同一直线上，CD平分∠ECB，
FG∥CD．若∠ECA为α度，则∠GFB为 90﹣ 度（用关于α的代数式表示）．
考点：平行线的性质．菁优网版权所有
分析：
根据FG∥CD得出∠GFB=∠DCF，再由互补和角平分线得出∠DCF=
（180°﹣α），解答即可．
解答：解：∵点A，C，F，B在同一直线上，∠ECA为α，
∴∠ECB=180°﹣α，
∵CD平分∠ECB，
∴∠DCB= （180°﹣α），
∵FG∥CD，
∴∠GFB=∠DCB=90﹣ ．
点评：此题考查平行线的性质，关键是根据平行线得出∠GFB=∠DCF和利用角
平分线解答．
第14页（共27页）15．（4分）（2015•杭州）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P（1，t）在反比
例函数y= 的图象上，过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足
QP=OP．若反比例函数y= 的图象经过点Q，则k= 2+ 2 或 2﹣ 2 ．
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征；勾股定理．菁优网版权所有
专题： 分类讨论．
分析：
把P点代入y= 求得P的坐标，进而求得OP的长，即可求得Q的坐标，
从而求得k的值．
解答：
解：∵点P（1，t）在反比例函数y= 的图象上，
∴t= =2，
∴P（1.2），
∴OP= = ，
∵过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP=OP．
∴Q（1+ ，2）或（1﹣ ，2）
∵反比例函数y= 的图象经过点Q，
∴2= 或2= ，解得k=2+2 或2﹣2
故答案为2+2 或2﹣2 ．
点评： 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，求得Q点
的坐标是解题的关键．
16．（4分）（2015•杭州）如图，在四边形纸片ABCD中，AB=BC，AD=CD，
∠A=∠C=90°，∠B=150°．将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个
顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平．若铺平后的图形中有一个是面积
为2的平行四边形，则CD= 2+ 或 4+ 2 ．
第15页（共27页）考点：剪纸问题．菁优网版权所有
分析：根据题意结合裁剪的方法得出符合题意的图形有两个，分别利用菱形的
判定与性质以及勾股定理得出CD的长．
解答：解：如图1所示：延长AE交CD于点N，过点B作BT⊥EC于点T，
当四边形ABCE为平行四边形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCE是菱形，
∵∠A=∠C=90°，∠B=150°，BC∥AN，
∴∠ADC=30°，∠BAN=∠BCE=30°，
则∠NAD=60°，
∴∠AND=90°，
∵四边形ABCE面积为2，
∴设BT=x，则BC=EC=2x，
故2x×x=2，
解得：x=1（负数舍去），
则AE=EC=2，EN= = ，
故AN=2+ ，
则AD=DC=4+2 ；
如图2，当四边形BEDF是平行四边形，
∵BE=BF，
∴平行四边形BEDF是菱形，
∵∠A=∠C=90°，∠B=150°，
∴∠ADB=∠BDC=15°，
第16页（共27页）∵BE=DE，
∴∠AEB=30°，
∴设AB=y，则BE=2y，AE= y，
∵四边形BEDF面积为2，
∴AB×DE=2y2=1，
解得：y=1，故AE= ，DE=2，
则AD=2+ ，
综上所述：CD的值为：2+ 或4+2 ．
故答案为：2+ 或4+2 ．
点评：此题主要考查了剪纸问题以及勾股定理和平行四边形的性质等知识，根
据题意画出正确图形是解题关键．
三、全面答一答（共66分）
17．（6分）（2015•杭州）杭州市推行垃圾分类已经多年，但在剩余垃圾中除了厨余
类垃圾还混杂着非厨余类垃圾．如图是杭州某一天收到的厨余垃圾的统计图．
（1）试求出m的值；
（2）杭州市某天收到厨余垃圾约200吨，请计算其中混杂着的玻璃类垃圾的吨数
第17页（共27页）考点：扇形统计图；用样本估计总体．菁优网版权所有
分析：（1）根据整体单位减去其它类垃圾所占的百分比，可得厨余类所占的百分
比；
（2）根据总垃圾乘以玻璃类垃圾所占的百分比，可得答案．
解答：解：（1）m%=1﹣22.39%﹣0.9%﹣7.55%﹣0.15%=69.01%，
m=69.01；
（2）其中混杂着的玻璃类垃圾的吨数约等于200×0.9%=1.8（吨）．
点评：本题考查了扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决
问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
18．（8分）（2015•杭州）如图，在△ABC中，已知AB=AC，AD平分∠BAC，点M，
N分别在AB，AC边上，AM=2MB，AN=2NC．求证：DM=DN．
考点：全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题：证明题．
分析：首先根据等腰三角形的性质得到AD是顶角的平分线，再利用全等三角形
进行证明即可．
解答：证明：∵AM=2MB，AN=2NC，AB=AC，
∴AM=AN，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
第18页（共27页）∴∠MAD=∠NAD，
在△AMD与△AND中，
，
∴△AMD≌△AND（SAS），
∴DM=DN．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，关键是根据等腰三角形的性质进
行证明．
19．（8分）（2015•杭州）如图1，⊙O的半径为（r r＞0），若点P′在射线OP上，满足
OP′•OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．
如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′，B′分别是点
A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．
考点：点与圆的位置关系；勾股定理．菁优网版权所有
专题：新定义．
分析：设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2，根据新定义计算出OA′=2，OB′=4，
则点A′为OC的中点，点B和B′重合，再证明△OBC为等边三角形，则
B′A′⊥OC，然后在Rt△OA′B′中，利用正弦的定义可求A′B′的长．
解答：解：设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2，
∵OA′•OA=42，
而r=4，OA=8，
∴OA′=2，
∵OB′•OB=42，
∴OB′=4，即点B和B′重合，
∵∠BOA=60°，OB=OC，
第19页（共27页）∴△OBC为等边三角形，
而点A′为OC的中点，
∴B′A′⊥OC，
在Rt△OA′B′中，sin∠A′OB′= ，
∴A′B′=4sin60°=2 ．
点评：本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半
径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的
位置关系．也考查了阅读理解能力．
20．（10分）（2015•杭州）设函数y=（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣3）（k是常数）．
（1）当k取1和2时的函数y 和y 的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画
1 2 ]
出当k取0时的函数的图象；
（2）根据图象，写出你发现的一条结论；
（3）将函数y 的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到的函数y 的
2 3
图象，求函数y 的最小值．
3
考点：二次函数图象与几何变换；二次函数的图象；二次函数的最值．菁优网版
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分析：（1）把k=0代入函数解析式即可得到所求的函数解析式，根据函数解析式
第20页（共27页）作出图象；
（2）根据函数图象回答问题；
（3）由“左减右加，上加下减”的规律写出函数解析式，根据函数图象的
增减性来求函数y 的最小值．
2
解答：解：（1）当k=0时，y=﹣（x﹣1）（x+3），所画函数图象如图所示：
（2）①根据图象知，图象都经过点（1，0）和（﹣1，4）．
②图象与x轴的交点是（1，0）．
③k取0和2时的函数图象关于点（0，2）中心对称．
④函数y=（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣3）（k是常数）的图象都经过（1，0）和
（﹣1，4）等等．
]
（3）平移后的函数y 的表达式为y =（x+3）2﹣2．
2 2
所以当x=﹣3时，函数y 的最小值是﹣2．
2
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象，二次函数图象与几
何变换以及二次函数的最值．熟练掌握函数图象的性质和学会读图是解
题的关键．
21．（10分）（2015•杭州）“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些
三角形的三边分别为a，b，c，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整
数个单位长度．
（1）用记号（a，b，c）（a≤b≤c）表示一个满足条件的三角形，如（2，3，3）表示边长分
别为2，3，3个单位长度的一个三角形．请列举出所有满足条件的三角形．
第21页（共27页）（2）用直尺和圆规作出三边满足a＜b＜c的三角形（用给定的单位长度，不写作
法，保留作图痕迹）．
考点：作图—应用与设计作图；三角形三边关系．菁优网版权所有
分析：（1）应用列举法，根据三角形三边关系列举出所有满足条件的三角形．
（2）首先判断满足条件的三角形只有一个：a=2，b=3，c=4，再作图：
①作射线AB，且取ABAB=4；
②以点AA为圆心，3为半径画弧；以点BB为圆心，2为半径画弧，两弧交
于点C；
③连接AC、BC．则△ABC即为满足条件的三角形．
解答：解：（1）共9种：（2，2，2），（2，2，3），（2，3，3），（2，3，4），（2，4，4），（3，
3，3），（3，3，4），（3，4，4），（4，4，4）．
（2）由（1）可知，只有（2，3，4），即a=2，b=3，c=4时满足a＜b＜c．
如答图的△ABC即为满足条件的三角形．
点评：本题考查了三角形的三边关系，作图﹣应用与设计作图．首先要理解题
意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图
的方法作图．
22．（12分）（2015•杭州）如图，在△ABC中（BC＞AC），∠ACB=90°，点D在AB
边上，DE⊥AC于点E．
（1）若 = ，AE=2，求EC的长；
第22页（共27页）（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与
△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高线还
是中线？或两者都有可能？请说明理由．
考点：相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题：分类讨论．
分析：（1）易证DE∥BC，由平行线分线段成比例定理列比例式即可求解；
（2）分三种情况讨论：①若∠CFG=∠ECD，此时线段CP是△CFG的FG边
上的中线；②若∠CFG=∠EDC，此时线段CP为△CFG的FG边上的高线；
③当CD为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中
线．
解答：解：（1）∵∠AVB=90°，DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∴ ，
∵ ，AE=2，
∴EC=6；
（2）①如图1，若∠CFG=∠ECD，此时线段CP是△CFG的FG边上的中
线．
证明：∵∠CFG+∠CGF=90°，∠ECD+∠PCG=90°，
又∵∠CFG=∠ECD，
∴∠CGF=∠PCG，
∴CP=PG，
∵∠CFG=∠ECD，
∴CP=FP，
∴PF=PG=CP，
∴线段CP是△CFG的FG边上的中线；
第23页（共27页）②如图2，若∠CFG=∠EDC，此时线段CP为△CFG的FG边上的高线．
证明：∵DE⊥AC，
∴∠EDC+∠ECD=90°，
∵∠CFG=∠EDC，
∴∠CFG+∠ECD=90°，
∴∠CPF=90°，
∴线段CP为△CFG的FG边上的高线．
③如图3，当CD为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线
又是中线．
点评：本题主要考查了平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定、三角形的
有关概念，分类讨论，能全面的思考问题是解决问题的关键．
23．（12分）（2015•杭州）方成同学看到一则材料：甲开汽车，乙骑自行车从M地
出发沿一条公路匀速前往N地．设乙行驶的时间为（t h），甲乙两人之间的距离为
y（km），y与t的函数关系如图1所示．
方成思考后发现了如图1的部分正确信息：乙先出发1h；甲出发0.5小时与乙相
遇；…．
请你帮助方成同学解决以下问题：
（1）分别求出线段BC，CD所在直线的函数表达式；
第24页（共27页）（2）当20＜y＜30时，求t的取值范围；
（3）分别求出甲，乙行驶的路程S ，S 与时间t的函数表达式，并在图2所给的
甲 乙
直角坐标系中分别画出它们的图象；
（4）丙骑摩托车与乙同时出发，从N地沿同一公路匀速前往M地，若丙经过 h与
乙相遇，问丙出发后多少时间与甲相遇？
考点： 一次函数的应用．菁优网版权所有
分析： （1）利用待定系数法求函数解析式，即可解答；
（2）先求出甲、乙的速度、所以OA的函数解析式为：y=20（t 0≤t≤1），所以
点A的纵坐标为20，根据当20＜y＜30时，得到20＜40t﹣60＜30，或20
＜﹣20t+80＜30，解不等式组即可；
（3）得到S =60t﹣60（ ），S =20（t 0≤t≤4），画出函数图象即可；
甲 乙
（4）确定丙距M地的路程S 与时间t的函数表达式为：S =﹣40t+80
丙 丙
（0≤t≤2），根据S =﹣40t+80与S =60t﹣60的图象交点的横坐标为 ，所
丙 甲
以丙出发 h与甲相遇．
解答： 解：（1）直线BC的函数解析式为y=kt+b，
把（1.5，0），（ ）代入得：
解得： ，
∴直线BC的解析式为：y=40t﹣60；
第25页（共27页）设直线CD的函数解析式为y =k t+b ，
1 1 1
把（ ），（4，0）代入得： ，
解得： ，
∴直线CD的函数解析式为：y=﹣20t+80．
（2）设甲的速度为akm/h，乙的速度为bkm/h，根据题意得；
，
解得： ，
∴甲的速度为60km/h，乙的速度为20km/h，
∴OA的函数解析式为：y=20t（0≤t≤1），所以点A的纵坐标为20，
当20＜y＜30时，
即20＜40t﹣60＜30，或20＜﹣20t+80＜30，
解得： 或 ．
（3）根据题意得：S =60t﹣60（ ）
甲
S =20t（0≤t≤4），
乙
所画图象如图2所示：
（4）当t= 时， ，丙距M地的路程S 与时间t的函数表达式为：
丙
S =﹣40t+80（0≤t≤2），
丙
如图3，
第26页（共27页）S =﹣40t+80与S =60t﹣60的图象交点的横坐标为 ，
丙 甲
所以丙出发 h与甲相遇．
点评： 本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据图象获取相关信息，
利用待定系数法求函数解析式．
第27页（共27页）
