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2015年浙江省温州市中考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）给出四个数0， ，﹣1，其中最小的是（ ）
A．0 B． C． D．﹣1
2．（4分）将一个长方体内部挖去一个圆柱（如图所示），它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（4分）某校学生参加体育兴趣小组情况的统计图如图所示，若参加人数最少的小组有25
人，则参加人数最多的小组有（ ）
A．25人 B．35人 C．40人 D．100人
4．（4分）下列选项中的图形，不属于中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．正方形 C．正六边形 D．圆
5．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosA的值是（ ）
第1页（共25页）A． B． C． D．
6．（4分）若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c＝0有两个相等实数根，则c的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4
7．（4分）不等式组 的解是（ ）
A．x＜1 B．x≥3 C．1≤x＜3 D．1＜x≤3
8．（4分）如图，点A的坐标是（2，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限．若反比例函数
y＝ 的图象经过点B，则k的值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
9．（4分）如图，在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，分别交
OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH．已知∠DFE＝∠GFH＝120°，FG＝FE，
设OC＝x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝2 D．y＝3
10．（4分）如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外
作正方形ACDE，BCFG．DE，FG， 的中点分别是M，N，P，Q．若MP+NQ＝14，
AC+BC＝18，则AB的长为（ ）
第2页（共25页）A． B． C．13 D．16
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）分解因式：a2﹣2a+1＝ ．
12．（5分）一个不透明的袋中只装有1个红球和2个蓝球，它们除颜色外其余均相同．现随机
从袋中摸出两个球，颜色是一红一蓝的概率是 ．
13．（5分）已知扇形的圆心角为120°，弧长为2 ，则它的半径为 ．
π
14．（5分）方程 的根为 ．
15．（5分）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在
如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则
能建成的饲养室面积最大为 m2．
16．（5分）图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品．该作品由形如图乙的矩形图案拼接而
成（不重叠、无缝隙）．图乙中 ，EF＝4cm，上下两个阴影三角形的面积之和为
54cm2，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为 cm．
三、解答题（本题有8小题，共80分）
第3页（共25页）17．（10分）（1）计算：20150+
（2）化简：（2a+1）（2a﹣1）﹣4a（a﹣1）
18．（8分）如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝
∠D．
（1）求证：AB＝CD．
（2）若AB＝CF，∠B＝30°，求∠D的度数．
19．（8分）某公司需招聘一名员工，对应聘者甲、乙、丙从笔试、面试、体能三个方面进行量化
考核．甲、乙、丙各项得分如下表：
笔试 面试 体能
甲 83 79 90
乙 85 80 75
丙 80 90 73
（1）根据三项得分的平均分，从高到低确定三名应聘者的排名顺序．
（2）该公司规定：笔试，面试、体能得分分别不得低于80分，80分，70分，并按60%，30%，
10%的比例计入总分．根据规定，请你说明谁将被录用．
20．（8分）各顶点都在方格纸格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形．如何
计算它的面积？奥地利数学家皮克（G•Pick，1859～1942年）证明了格点多边形的面积公
式S＝a+ b﹣1，其中a表示多边形内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示
多边形的面积．如图，a＝4，b＝6，S＝4+ ×6﹣1＝6
（1）请在图甲中画一个格点正方形，使它的内部只含有4个格点，并写出它的面积．
（2）请在图乙中画一个格点三角形，使它的面积为 ，且每条边上除顶点外无其它格点．
（注：图甲、图乙在答题纸上）
第4页（共25页）21．（10分）如图，AB是半圆O的直径，CD⊥AB于点C，交半圆于点E，DF切半圆于点F．已
知∠AEF＝135°．
（1）求证：DF∥AB；
（2）若OC＝CE，BF＝ ，求DE的长．
22．（10分）某农业观光园计划将一块面积为900m2的园圃分成A，B，C三个区域，分别种植
甲、乙、丙三种花卉，且每平方米栽种甲3株或乙6株或丙12株．已知B区域面积是A区
域面积的2倍．设A区域面积为x（m2）．
（1）求该园圃栽种的花卉总株数y关于x的函数表达式．
（2）若三种花卉共栽种6600株，则A，B，C三个区域的面积分别是多少？
（3）若三种花卉的单价（都是整数）之和为45元，且差价均不超过10元，在（2）的前提下，
全部栽种共需84000元．请写出甲、乙、丙三种花卉中，种植面积最大的花卉总价．
23．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+6x交x轴正半轴于点A，顶点为M，对称轴MB交x轴于点
B．过点C（2，0）作射线CD交MB于点D（D在x轴上方），OE∥CD交MB于点E，EF∥x
轴交CD于点F，作直线MF．
（1）求点A，M的坐标．
（2）当BD为何值时，点F恰好落在该抛物线上？
（3）当BD＝1时
求直线MF的解析式，并判断点A是否落在该直线上．
①延长OE交FM于点G，取CF中点P，连结PG，△FPG，四边形DEGP，四边形OCDE
②
第5页（共25页）的面积分别记为S ，S ，S ，则S ：S ：S ＝ ．
1 2 3 1 2 3
24．（14分）如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作
Rt△ABQ，使∠BAQ＝90°，AQ：AB＝3：4，作△ABQ的外接圆O．点C在点P右侧，PC＝
4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上
取点F，使DF＝ CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ＝3x．
（1）用关于x的代数式表示BQ，DF．
（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长．
（3）在点P的整个运动过程中，
当AP为何值时，矩形DEGF是正方形？
①作直线BG交 O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长（直接写出答案）．
② ⊙
第6页（共25页）2015年浙江省温州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分）
1．【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的
反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得
﹣1＜0＜ ，
∴四个数0， ，﹣1，其中最小的是﹣1．
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正
实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看易得主视图为长方形，中间有两条垂直地面的虚线．
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3．【分析】根据参加足球的人数除以参加足球所长的百分比，可得参加兴趣小组的总人数，参
加兴趣小组的总人数乘以参加乒乓球所占的百分比，可得答案．
【解答】解：参加兴趣小组的总人数25÷25%＝100（人），
参加乒乓球小组的人数100×（1﹣25%﹣35%）＝40（人），
故选：C．
【点评】本题考查了扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决
问题的关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
4．【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项正确；
B、是中心对称图形，故本选项错误；
C、是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项错误．
故选：A．
第7页（共25页）【点评】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后
与原图重合．
5．【分析】根据锐角的余弦等于邻边比斜边求解即可．
【解答】解：∵AB＝5，BC＝3，
∴AC＝4，
∴cosA＝ ＝ ．
故选：D．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜
边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边
6．【分析】根据判别式的意义得到△＝42﹣4×4c＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：∵一元二次方程4x2﹣4x+c＝0有两个相等实数根，
∴△＝42﹣4×4c＝0，
∴c＝1，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞
0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有
实数根．
7．【分析】先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即
可．
【解答】解：
∵解不等式 得：x＞1，
解不等式 ①得：x≤3，
∴不等式②组的解集为1＜x≤3，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集求
出不等式组的解集，难度适中．
8．【分析】首先过点B作BC垂直OA于C，根据AO＝2，△ABO是等边三角形，得出B点坐标，
进而求出反比例函数解析式．
【解答】解：过点B作BC垂直OA于C，
∵点A的坐标是（2，0），
第8页（共25页）∴AO＝2，
∵△ABO是等边三角形，
∴OC＝1，BC＝ ，
∴点B的坐标是（1， ），
把（1， ）代入y＝ ，
得k＝ ．
故选：C．
【点评】此题主要考查了反比例函数的综合应用、等边三角形的性质以及图象上点的坐标
特点等知识，根据已知表示出B点坐标是解题关键．
9．【分析】由在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，可得△OCD
与△OCE是等腰直角三角形，即可得OC垂直平分DE，求得DE＝2x，再由∠DFE＝
∠GFH＝120°，可求得CF与DF，EF的长，继而求得△DF的面积，再由菱形FGMH中，
FG＝FE，得到△FGM是等边三角形，即可求得其面积，继而求得答案．
【解答】解：∵ON是Rt∠AOB的平分线，
∴∠DOC＝∠EOC＝45°，
∵DE⊥OC，
∴∠ODC＝∠OEC＝45°，
∴CD＝CE＝OC＝x，
∴DF＝EF，DE＝CD+CE＝2x，
∵∠DFE＝∠GFH＝120°，
∴∠CEF＝30°，
∴CF＝CE•tan30°＝ x，
∴EF＝2CF＝ x，
∴S△DEF ＝ DE•CF＝ x2，
∵四边形FGMH是菱形，
∴FG＝MG＝FE＝ x，
∵∠G＝180°﹣∠GFH＝60°，
∴△FMG是等边三角形，
第9页（共25页）∴S△FGH ＝ x2，
∴S菱形FGMH ＝ x2，
∴S阴影 ＝S△DEF +S菱形FGMH ＝ x2．
故选：B．
【点评】此题考查了菱形的性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及
三角函数等知识．注意证得△OCD与△OCE是等腰直角三角形，△FGM是等边三角形是
关键．
10．【分析】连接OP，OQ，根据DE，FG， 的中点分别是M，N，P，Q得到OP⊥AC，
OQ⊥BC，从而得到H、I是AC、BD的中点，利用中位线定理得到OH+OI＝ （AC+BC）＝
9和PH+QI，从而利用AB＝OP+OQ＝OH+OI+PH+QI求解．
【解答】解：连接OP，OQ，
∵DE，FG， 的中点分别是M，N，P，Q，
∴OP⊥AC，OQ⊥BC，
∴H、I是AC、BD的中点，
∴OH+OI＝ （AC+BC）＝9，
∵MH+NI＝AC+BC＝18，MP+NQ＝14，
∴PH+QI＝18﹣14＝4，
∴AB＝OP+OQ＝OH+OI+PH+QI＝9+4＝13，
故选：C．
【点评】本题考查了中位线定理，解题的关键是正确的作出辅助线，题目中还考查了垂径
第10页（共25页）定理的知识，难度不大．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．【分析】观察原式发现，此三项符合差的完全平方公式a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，即可把原式
化为积的形式．
【解答】解：a2﹣2a+1＝a2﹣2×1×a+12＝（a﹣1）2．
故答案为：（a﹣1）2．
【点评】本题考查了完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的
关键．
12．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与随机从袋中摸
出两个球，颜色是一红一蓝的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，随机从袋中摸出两个球，颜色是一红一蓝的有4种情况，
∴随机从袋中摸出两个球，颜色是一红一蓝的概率是： ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总
情况数之比．
13．【分析】根据弧长公式代入求解即可．
【解答】解：∵l＝ ，
∴R＝ ＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：l＝ ．
14．【分析】观察可得最简公分母是x（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为
整式方程求解．
【解答】解：去分母得：2（x+1）＝3x
第11页（共25页）即2x+2＝3x
解得：x＝2
经检验：x＝2是原方程的解．
故答案是：x＝2
【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
15．【分析】设垂直于墙的材料长为x米，则平行于墙的材料长为27+3﹣3x＝30﹣3x，表示出
总面积S＝x（30﹣3x）＝﹣3x2+30x＝﹣3（x﹣5）2+75即可求得面积的最值．
【解答】解：设垂直于墙的材料长为x米，
则平行于墙的材料长为27+3﹣3x＝30﹣3x，
则总面积S＝x（30﹣3x）＝﹣3x2+30x＝﹣3（x﹣5）2+75，
故饲养室的最大面积为75平方米，
故答案为：75．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出函数模型，难度
不大．
16．【分析】首先取CD的中点G，连接HG，设AB＝6acm，则BC＝7acm，中间菱形的对角线
HI的长度为xcm；然后根据GH∥BC，可得x＝3.5a﹣2；再根据上下两个阴影三角形的面
积之和为54cm2，可得a（7a﹣x）＝18，据此求出a、x的值各是多少；最后根据AM∥FC，求
出HK的长度，再用HK的长度乘以4，求出该菱形的周长为多少即可．
【解答】解：如图乙，H是CF与DN的交点，取CD的中点G，连接HG， ，
设AB＝6acm，则BC＝7acm，中间菱形的对角线HI的长度为xcm，
∵BC＝7acm，MN＝EF＝4cm，
∴CN＝ ，
∵GH∥BC，
∴ ，
第12页（共25页）∴ ，
∴x＝3.5a﹣2…（1）；
∵上下两个阴影三角形的面积之和为54cm2，
∴6a•（7a﹣x）÷2＝54，
∴a（7a﹣x）＝18…（2）；
由（1）（2），可得
a＝2，x＝5，
∴CD＝6×2＝12（cm），CN＝ ，
∴DN＝ ＝15（cm），
又∵DH＝ ＝ ＝7.5（cm），
∴HN＝15﹣7.5＝7.5（cm），
∵AM∥FC，
∴ ＝ ，
∴HK＝ ，
∴该菱形的周长为：
＝ （cm）．
故答案为： ．
【点评】（1）此题主要考查了菱形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
菱形具有平行四边形的一切性质； 菱形的四条边都相等； 菱形的两条对角线互相
①垂直，并且每一条对角线平分一组对角②； 菱形是轴对称图形，③它有2条对称轴，分别是
两条对角线所在直线． ④
（2）此题还考查了矩形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： 平行四
边形的性质矩形都具有； 角：矩形的四个角都是直角； 边：邻边垂直； ①
② ③
第13页（共25页）对角线：矩形的对角线相等； 矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称
④轴，分别是每组对边中点连线所⑤在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
三、解答题（本题有8小题，共80分）
17．【分析】（1）先算乘方、化简二次根式与乘法，最后算加法；
（2）利用平方差公式和整式的乘法计算，进一步合并得出答案即可．
【解答】解：（1）原式＝1+2 ﹣1
＝2 ；
（2）原式＝4a2﹣1﹣4a2+4a
＝4a﹣1．
【点评】此题考查整式的混合运算，掌握运算顺序与计算方法是解决问题的关键．
18．【分析】（1）易证得△ABE≌△DCF，即可得AB＝CD；
（2）易证得△ABE≌△DCF，即可得AB＝CD，又由AB＝CF，∠B＝30°，即可证得△ABE
是等腰三角形，解答即可．
【解答】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴AB＝CD；
（2）∵△ABE≌△DCF，
∴AB＝CD，BE＝CF，
∵AB＝CF，∠B＝30°，
∴AB＝BE，
∴△ABE是等腰三角形，
∴∠D＝ ．
【点评】此题考查全等三角形问题，关键是根据AAS证明三角形全等，再利用全等三角形
的性质解答．
19．【分析】（1）代入求平均数公式即可求出三人的平均成绩，比较得出结果；
（2）由于甲的面试成绩低于80分，根据公司规定甲被淘汰；再将乙与丙的总成绩按比例求
第14页（共25页）出测试成绩，比较得出结果．
【解答】解：（1）
甲
＝（83+79+90）÷3＝84，
乙
＝（85+80+75）÷3＝80，
丙
＝（80+90+73）÷3＝81．
从高到低确定三名应聘者的排名顺序为：甲，丙，乙；
（2）∵该公司规定：笔试，面试、体能得分分别不得低于80分，80分，70分，
∴甲淘汰；
乙成绩＝85×60%+80×30%+75×10%＝82.5，
丙成绩＝80×60%+90×30%+73×10%＝82.3，
乙将被录取．
【点评】本题考查了算术平均数和加权平均数的计算．平均数等于所有数据的和除以数据
的个数．
20．【分析】（1）根据皮克公式画图计算即可；
（2）根据题意可知a＝3，b＝3，画出满足题意的图形即可．
【解答】解：（1）如图所示，a＝4，b＝4，S＝4+ ×4﹣1＝5；
（2）因为S＝ ，b＝3，所以a＝3，如图所示，
第15页（共25页）【点评】本题考查了应用与设计作图，关键是理解皮克公式，根据题意求出a、b的值．
21．【分析】（1）证明：连接OF，根据圆内接四边形的性质得到∠AEF+∠B＝180°，由于
∠AEF＝135°，得出∠B＝45°，于是得到∠AOF＝2∠B＝90°，由DF切 O于F，得到
∠DFO＝90°，由于DC⊥AB，得到∠DCO＝90°，于是结论可得； ⊙
（2）过E作EM⊥BF于M，由四边形DCOF是矩形，得到OF＝DC＝OA，由于OC＝CE，
推出AC＝DE，设DE＝x，则AC＝x，在Rt△FOB中，∠FOB＝90°，OF＝OB，BF＝2 ，由
勾股定理得：OF＝OB＝2，则AB＝4，BC＝4﹣x，由于AC＝DE，OCDF＝CE，由勾股定理
得：AE＝EF，通过Rt△ECA≌Rt△EMF，得出AC＝MF＝DE＝x，在Rt△ECB和Rt△EMB
中，由勾股定理得：BC＝BM，问题可得．
【解答】（1）证明：连接OF，
∵A、E、F、B四点共圆，
∴∠AEF+∠B＝180°，
∵∠AEF＝135°，
∴∠B＝45°，
∴∠AOF＝2∠B＝90°，
∵DF切 O于F，
∴∠DFO⊙＝90°，
∵DC⊥AB，
∴∠DCO＝90°，
即∠DCO＝∠FOC＝∠DFO＝90°，
∴四边形DCOF是矩形，
∴DF∥AB；
（2）解：过E作EM⊥BF于M，
∵四边形DCOF是矩形，
∴OF＝DC＝OA，
∵OC＝CE，
∴AC＝DE，
设DE＝x，则AC＝x，
∵在Rt△FOB中，∠FOB＝90°，OF＝OB，BF＝2 ，由勾股定理得：OF＝OB＝2，
则AB＝4，BC＝4﹣x，
第16页（共25页）∵AC＝DE，OCDF＝CE，
∴由勾股定理得：AE＝EF，
∴∠ABE＝∠FBE，
∵EC⊥AB，EM⊥BF
∴EC＝EM，∠ECB＝∠M＝90°，
在Rt△ECA和Rt△EMF中
∴Rt△ECA≌Rt△EMF，
∴AC＝MF＝DE＝x，
在Rt△ECB和Rt△EMB中，由勾股定理得：BC＝BM，
∴BF＝BM﹣MF＝BC﹣MF＝4﹣x﹣x＝2 ，
解得：x＝2﹣ ，
即DE＝2﹣ ．
【点评】本题考查了圆周角性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的性质和判定，角平分
线性质，矩形的性质和判定的应用，正确的作出辅助线是解题的关键．
22．【分析】（1）设A区域面积为x，则B区域面积是2x，C区域面积是900﹣3x，根据每平方
米栽种甲3株或乙6株或丙12株，即可解答；
（2）当y＝6600时，即﹣21x+10800＝6600，解得：x＝200，则2x＝400，900﹣3x＝300，即可
第17页（共25页）解答；
（ 3 ） 设 三 种 花 卉 的 单 价 分 别 为 a 元 、 b 元 、 c ， 根 据 根 据 题 意 得 ：
，整理得：3b+5c＝95，根据三种花卉的单价（都是整数）之
和为45元，且差价均不超过10元，所以b＝15，c＝10，a＝20或b＝10，c＝13，a＝22，即
可解答．
【解答】解：（1）y＝3x+12x+12（900﹣3x）＝﹣21x+10800．
（2）当y＝6600时，即﹣21x+10800＝6600，
解得：x＝200，
∴2x＝400，900﹣3x＝300，
答：A，B，C三个区域的面积分别是200m2，400m2，300m2．
（3）设三种花卉的单价分别为a元、b元、c元，在（2）的前提下，分别种植甲、乙、丙三种花
卉的株数为600株，2400株，3600株，
根据题意得： ，
整理得：3b+5c＝95，
∵三种花卉的单价（都是整数）之和为45元，且差价均不超过10元，
∴b＝15，c＝10或b＝10，c＝13，
∴a＝20或a＝22，
∵差价均不超过10
∴a＝20，b＝15，c＝10，
∴种植面积最大的花卉总价为：2400×15＝36000（元），
答：种植面积最大的花卉总价为36000元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是关键题意，列出函数关系式和方
程组．
23．【分析】（1）在抛物线解析式中令y＝0，容易求得A点坐标，再根据顶点式，可求得M点
坐标；
（2）由条件可证明四边形OCFE为平行四边形，可求得EF的点，可求得F点坐标，可得出
BE的长，再利用平行线的性质可求得BD的长；
（3） 由条件可求得F点坐标，可求得直线MF的解析式，把A点坐标代入其解析式可判
断出①A点在直线MF上； 由点的坐标结合勾股定理求得OE、GE、CD、DM、MF的长，再
②
第18页（共25页）结合面积公式可分别表示出S ，S ，S ，可求得答案．
1 2 3
【解答】解：
（1）令y＝0，则﹣x2+6x＝0，解得x＝0或x＝6，
∴A点坐标为（6，0），
又∵y＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9，
∴M点坐标为（3，9）；
（2）∵OE∥CF，OC∥EF，
∴四边形OCFE为平行四边形，且C（2，0），
∴EF＝OC＝2，
又B（3，0），
∴OB＝3，BC＝1，
∴F点的横坐标为5，
∵点F落在抛物线y＝﹣x2+6x上，
∴F点的坐标为（5，5），
∴BE＝5，
∵OE∥CF，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴BD＝ ；
（3） 当BD＝1时，由（2）可知BE＝3BD＝3，
∴F（①5，3），
设直线MF解析式为y＝kx+b，
把M、F两点坐标代入可得 ，解得 ，
∴直线MF解析式为y＝﹣3x+18，
∵当x＝6时，y＝﹣3×6+18＝0，
∴点A落在直线MF上；
如图所示，
②
第19页（共25页）∵E（3，3），
∴直线OE解析式为y＝x，
联立直线OE和直线MF解析式可得 ，解得 ，
∴G（ ， ），
∴OG＝ ＝ ，OE＝CF＝3 ，
∴EG＝OG﹣OE＝ ﹣3 ＝ ，
∵ ＝ ，
∴CD＝ OE＝ ，
∵P为CF中点，
∴PF＝ CF＝ ，
∴DP＝CF﹣CD﹣PF＝3 ﹣ ﹣ ＝ ，
∵OG∥CF，
∴可设OG和CF之间的距离为h，
∴S△FPG ＝ PF•h＝ × h＝ h，
第20页（共25页）S四边形DEGP ＝ （EG+DP）h＝ ×（ + ）h＝ h，
S四边形OCDE ＝ （OE+CD）h＝ （3 + ）h＝2 h，
∴S ，S ，S ＝ h： h：2 h＝3：4：8，
1 2 3
故答案为：3：4：8．
【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及二次函数的性质、一元二次方程、平行四
边形的判定和性质、平行线分线段成比例、待定系数法、勾股定理等知识点．在（1）中注意
抛物线顶点式的应用，在（2）中求得F点的坐标是解题的关键，在（3） 中，求得直线MF
的解析式是解题的关键，在 中利用两平行线间的距离为定值表示出①S ，S ，S 是解题的
1 2 3
关键．本题考查知识点较多②，综合性质较强，难度较大．
24．【分析】（1）由AQ：AB＝3：4，AQ＝3x，易得AB＝4x，由勾股定理得BQ，再由中位线的性
质得AH＝BH＝ AB，求得CD，FD；
（2）利用（1）的结论，易得CQ的长，作OM⊥AQ于点M（如图1），则OM∥AB，由垂径定
理得QM＝AM＝ x，由矩形性质得OD＝MC，利用矩形面积，求得x，得出结论；
（3） 点P在A点的右侧时（如图1），利用（1）（2）的结论和正方形的性质得2x+4＝3x，
①
得AP；点P在A点的左侧时，当点C在Q右侧，0＜x＜ 时（如图2），4﹣7x＝3x，解得x，
易得AP；当 时（如图3），7﹣4x＝3x，得AP；当点C在Q的左侧时，即x≥ （如
图4），同理得AP；
连接NQ，由点O到BN的弦心距为l，得NQ＝2，当点N在AB的左侧时（如图5），过点
②B作BM⊥EG于点M，GM＝x，BM＝x，易得∠GBM＝45°，BM∥AQ，易得AI＝AB，求得
IQ，由NQ得AP；当点N在AB的右侧时（如图6），过点B作BJ⊥GE于点J，由GJ＝x，BJ
＝4x得tan∠GBJ＝ ，利用（1）（2）中结论得AI＝16x，QI＝19x，
解得x，得AP．
【解答】解：（1）在Rt△ABQ中，
第21页（共25页）∵AQ：AB＝3：4，AQ＝3x，
∴AB＝4x，
∴BQ＝5x，
∵OD⊥m，m⊥l，
∴OD∥l，
∵OB＝OQ，
∴ ＝2x，
∴CD＝2x，
∴FD＝ ＝3x；
（2）∵AP＝AQ＝3x，PC＝4，
∴CQ＝6x+4，
作OM⊥AQ于点M（如图1），
∴OM∥AB，
∵ O是△ABQ的外接圆，∠BAQ＝90°，
∴⊙点O是BQ的中点，
∴QM＝AM＝ x
∴OD＝MC＝ ，
∴OE＝ BQ＝ ，
∴ED＝2x+4，
S矩形DEGF ＝DF•DE＝3x（2x+4）＝90，
解得：x ＝﹣5（舍去），x ＝3，
1 2
∴AP＝3x＝9；
（3） 若矩形DEGF是正方形，则ED＝DF，
I．点①P在A点的右侧时（如图1）
∴2x+4＝3x，解得：x＝4，
∴AP＝3x＝12；
第22页（共25页）II．点P在A点的左侧时，
当点C在Q右侧，
0＜x＜ 时（如图2），
∵ED＝4﹣7x，DF＝3x，
∴4﹣7x＝3x，解得：x＝ ，
∴AP＝ ；
当 ≤x＜ 时（如图3），
∵ED＝4﹣7x，DF＝3x，
∴4﹣7x＝3x，解得：x＝ （舍去），
当点C在Q的左侧时，即x≥ （如图4），
DE＝7x﹣4，DF＝3x，
∴7x﹣4＝3x，解得：x＝1，
∴AP＝3，
综上所述：当AP为12或 或3时，矩形DEGF是正方形；
连接NQ，由点O到BN的弦心距为l，得NQ＝2，
②当点N在AB的左侧时（如图5），
过点B作BM⊥EG于点M，
∵GM＝x，BM＝x，
∴∠GBM＝45°，
∴BM∥AQ，
∴AI＝AB＝4x，
∴IQ＝x，
∴NQ＝ ＝2，
∴x＝2 ，
∴AP＝6 ；
当点N在AB的右侧时（如图6），
第23页（共25页）过点B作BJ⊥GE于点J，
∵GJ＝x，BJ＝4x，
∴tan∠GBJ＝ ，
∴AI＝16x，
∴QI＝19x，
∴NQ＝ ＝2，
∴x＝ ，
∴AP＝ ，
综上所述：AP的长为6 或 ．
第24页（共25页）【点评】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，正方形的性质，中位线的性质等，结合图形，
分类讨论是解答此题的关键．
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