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2015 年浙江省温州市中考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）（2015•温州）给出四个数0， ，﹣1，其中最小的是（ ）
A．0 B． C．1 D．﹣1
2．（4分）（2015•温州）将一个长方体内部挖去一个圆柱（如图所示），它的主视图
是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）（2015•温州）某校学生参加体育兴趣小组情况的统计图如图所示，若参
加人数最少的小组有25人，则参加人数最多的小组有（ ）
A．25人 B．35人 C．40人 D．100人
4．（4分）（2015•温州）下列选项中的图形，不属于中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．正方形 C．正六边形 D．圆
5．（4分）（2015•温州）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosA的值是
（ ）
第1页（共37页）A． B． C． D．
6．（4分）（2015•温州）若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，
则c的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4
7．（4分）（2015•温州）不等式组 的解是（ ）
A．x＜1 B．x≥3 C．1≤x＜3 D．1＜x≤3
8．（4分）（2015•温州）如图，点A的坐标是（2，0），△ABO是等边三角形，点B在
第一象限．若反比例函数y= 的图象经过点B，则k的值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
9．（4分）（2015•温州）如图，在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点
C作DE⊥OC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH．已知
∠DFE=∠GFH=120°，FG=FE，设OC=x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的
函数关系式是（ ）
第2页（共37页）A．y= B．y= C．y=2 D．y=3
10．（4分）（2015•温州）如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，
分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG．DE，FC， 的中点分别是
M，N，P，Q．若MP+NQ=14，AC+BC=18，则AB的长为（ ）
A． B． C．13 D．16
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）（2015•温州）分解因式：a2﹣2a+1= ．
12．（5分）（2015•温州）一个不透明的袋中只装有1个红球和2个篮球，它们除颜
色外其余均相同．现随机从袋中摸出两个球，颜色是一红一蓝的概率是
13．（5分）（2015•温州）已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则它的半径为
．
14．（5分）（2015•温州）方程 的根为 ．
15．（5分）（2015•温州）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），
中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可
建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为 m2．
第3页（共37页）16．（5分）（2015•温州）图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品．该作品由形如
图乙的矩形图案拼接而成（不重叠、无缝隙）．图乙中 ，EF=4cm，上下两个阴
影三角形的面积之和为54cm2，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，
则该菱形的周长为 cm．
三、解答题（本题有8小题，共80分）
17．（10分）（2015•温州）（1）计算：20150+
（2）化简：（2a+1）（2a﹣1）﹣4a（a﹣1）
18．（8分）（2015•温州）如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，
AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D．
（1）求证：AB=CD．
（2）若AB=CF，∠B=30°，求∠D的度数．
第4页（共37页）19．（8分）（2015•温州）某公司需招聘一名员工，对应聘者甲、乙、丙从笔试、面试、
体能三个方面进行量化考核．甲、乙、丙各项得分如下表：
笔试 面试 体能
甲 83 79 90
乙 85 80 75
丙 80 90 73
（1）根据三项得分的平均分，从高到低确定三名应聘者的排名顺序．
（2）该公司规定：笔试，面试、体能得分分别不得低于80分，80分，70分，并按
60%，30%，10%的比例计入总分．根据规定，请你说明谁将被录用．
20．（8分）（2015•温州）各顶点都在方格纸格点（横竖格子线的交错点）上的多边
形称为格点多边形．如何计算它的面积？奥地利数学家皮克（G•Pick，1859～1942
年）证明了格点多边形的面积公式S=a+ b﹣1，其中a表示多边形内部的格点数，
b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积．如图，a=4，b=6，S=4+ ×6﹣
1=6
（1）请在图中画一个格点正方形，使它的内部只含有4个格点，并写出它的面积．
（2）请在图乙中画一个格点三角形，使它的面积为 ，且每条边上除顶点外无其它
格点．（注：图甲、图乙在答题纸上）
第5页（共37页）21．（10分）（2015•温州）如图，AB是半圆O的直径，CD⊥AB于点C，交半圆于点
E，DF切半圆于点F．已知∠AEF=135°．
（1）求证：DF∥AB；
（2）若OC=CE，BF= ，求DE的长．
22．（10分）（2015•温州）某农业观光园计划将一块面积为900m2的圆圃分成A，
B，C三个区域，分别种植甲、乙、丙三种花卉，且每平方米栽种甲3株或乙6株或
丙12株．已知B区域面积是A区域面积的2倍．设A区域面积为x（m2）．
（1）求该园圃栽种的花卉总株数y关于x的函数表达式．
（2）若三种花卉共栽种6600株，则A，B，C三个区域的面积分别是多少？
（3）若三种花卉的单价（都是整数）之和为45元，且差价均不超过10元，在（2）的
前提下，全部栽种共需84000元．请写出甲、乙、丙三种花卉中，种植面积最大的
花卉总价．
第6页（共37页）23．（12分）（2015•温州）如图，抛物线y=﹣x2+6x交x轴正半轴于点A，顶点为
M，对称轴MB交x轴于点B．过点C（2，0）作射线CD交MB于点D（D在x轴上
方），OE∥CD交MB于点E，EF∥x轴交CD于点F，作直线MF．
（1）求点A，M的坐标．
（2）当BD为何值时，点F恰好落在该抛物线上？
（3）当BD=1时
①求直线MF的解析式，并判断点A是否落在该直线上．
②延长OE交FM于点G，取CF中点P，连结PG，△FPG，四边形DEGP，四边形
OCDE的面积分别记为S ，S ，S ，则S ：S ：S = 3 ： 4 ： 8 ．
1 2 3 1 2 3
第7页（共37页）24．（14分）（2015•温州）如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点
为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4，作△ABQ的外接圆
O．点C在点P右侧，PC=4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB
右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF= CD，以DE，DF为邻边作矩形
DEGF．设AQ=3x．
（1）用关于x的代数式表示BQ，DF．
（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长．
（3）在点P的整个运动过程中，
①当AP为何值时，矩形DEGF是正方形？
②作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长（直接写出答案）．
第8页（共37页）2015 年浙江省温州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）（2015•温州）给出四个数0， ，﹣1，其中最小的是（ ）
A．0 B． C．1 D．﹣1
【考点】实数大小比较．.
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝
对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得
﹣1＜0＜ ，
∴四个数0， ，﹣1，其中最小的是﹣1．
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要
明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2．（4分）（2015•温州）将一个长方体内部挖去一个圆柱（如图所示），它的主视图
是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．.
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视
图中．
第9页（共37页）【解答】解：从正面看易得主视图为长方形，中间有两条垂直地面的虚线．
故选A．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3．（4分）（2015•温州）某校学生参加体育兴趣小组情况的统计图如图所示，若参
加人数最少的小组有25人，则参加人数最多的小组有（ ）
A．25人 B．35人 C．40人 D．100人
【考点】扇形统计图．.
【分析】根据参加足球的人数除以参加足球所长的百分比，可得参加兴趣小组的
总人数，参加兴趣小组的总人数乘以参加乒乓球所占的百分比，可得答案．
【解答】解：参加兴趣小组的总人数25÷25%=100（人），
参加乒乓球小组的人数100×（1﹣25%﹣35%）=40（人），
故选：C．
【点评】本题考查了扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息
是解决问题的关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
4．（4分）（2015•温州）下列选项中的图形，不属于中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．正方形 C．正六边形 D．圆
【考点】中心对称图形．.
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项正确；
B、是中心对称图形，故本选项错误；
C、是中心对称图形，故本选项错误；
第10页（共37页）D、是中心对称图形，故本选项错误．
故选A．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转
180度后与原图重合．
5．（4分）（2015•温州）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosA的值是
（ ）
A． B． C． D．
【考点】锐角三角函数的定义．.
【分析】根据锐角的余弦等于邻边比斜边求解即可．
【解答】解：∵AB=5，BC=3，
∴AC=4，
∴cosA= = ．
故选D．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对
边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边
6．（4分）（2015•温州）若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，
则c的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4
【考点】根的判别式．.
【分析】根据判别式的意义得到△=42﹣4×4c=0，然后解一次方程即可．
【解答】解：∵一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，
第11页（共37页）∴△=42﹣4×4c=0，
∴c=1，
故选B．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当
△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜
0，方程没有实数根．
7．（4分）（2015•温州）不等式组 的解是（ ）
A．x＜1 B．x≥3 C．1≤x＜3 D．1＜x≤3
【考点】解一元一次不等式组．.
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组
的解集即可．
【解答】解：
∵解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x≤3，
∴不等式组的解集为1＜x≤3，
故选D．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式
的解集求出不等式组的解集，难度适中．
8．（4分）（2015•温州）如图，点A的坐标是（2，0），△ABO是等边三角形，点B在
第一象限．若反比例函数y= 的图象经过点B，则k的值是（ ）
第12页（共37页）A．1 B．2 C． D．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．.
【分析】首先过点A作BC⊥OA于点C，根据AO=2，△ABO是等边三角形，得出
B点坐标，进而求出反比例函数解析式．
【解答】解：过点A作BC⊥OA于点C，
∵点A的坐标是（2，0），
∴AO=2，
∵△ABO是等边三角形，
∴OC=1，BC= ，
∴点B的坐标是（1， ），
把（1， ）代入y= ，
得k= ．
故选C．
【点评】此题主要考查了反比例函数的综合应用、等边三角形的性质以及图象上
点的坐标特点等知识，根据已知表示出B点坐标是解题关键．
9．（4分）（2015•温州）如图，在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点
C作DE⊥OC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH．已知
∠DFE=∠GFH=120°，FG=FE，设OC=x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的
函数关系式是（ ）
第13页（共37页）A．y= B．y= C．y=2 D．y=3
【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质；解直角三角形．.
【分析】由在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，可得
△OCD与△OCE是等腰直角三角形，即可得OC垂直平分DE，求得DE=2x，再
由∠DFE=∠GFH=120°，可求得C与DF，EF的长，继而求得△DF的面积，再由菱
形FGMH中，FG=FE，得到△FGM是等边三角形，即可求得其面积，继而求得答
案．
【解答】解：∵ON是Rt∠AOB的平分线，
∴∠DOC=∠EOC=45°，
∵DE⊥OC，
∴∠ODC=∠OEC=45°，
∴CD=CE=OC=x，
∴DF=EF，DE=CD+CE=2x，
∵∠DFE=∠GFH=120°，
∴∠CEF=30°，
∴CF=CE•tan30°= x，
∴EF=2CF= x，
∴S = DE•CF= x2，
△DEF
∵四边形FGMH是菱形，
∴FG=MG=FE= x，
第14页（共37页）∵∠G=180°﹣∠GFH=60°，
∴△FMG是等边三角形，
∴S = x2，
△FGH
∴S = x2，
菱形FGMH
∴S =S +S = x2．
阴影 △DEF 菱形FGMH
故选B．
【点评】此题考查了菱形的性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性
质以及三角函数等知识．注意证得△OCD与△OCE是等腰直角三角形，△FGM
是等边三角形是关键．
10．（4分）（2015•温州）如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，
分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG．DE，FC， 的中点分别是
M，N，P，Q．若MP+NQ=14，AC+BC=18，则AB的长为（ ）
A． B． C．13 D．16
【考点】梯形中位线定理．.
【分析】连接OP，OQ，根据DE，FC， 的中点分别是M，N，P，Q得到
OP⊥AC，OQ⊥BC，从而得到H、I是AC、BD的中点，利用中位线定理得到
OH+OI= （AC+BC）=9和PH+QI，从而利用AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI求解．
【解答】解：连接OP，OQ，
第15页（共37页）∵DE，FC， 的中点分别是M，N，P，Q，
∴OP⊥AC，OQ⊥BC，
∴H、I是AC、BD的中点，
∴OH+OI= （AC+BC）=9，
∵MH+NI=AC+BC=18，MP+NQ=14，
∴PH+QI=18﹣14=4，
∴AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI=9+4=13，
故选C．
【点评】本题考查了中位线定理，解题的关键是正确的作出辅助线，题目中还考查
了垂径定理的知识，难度不大．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）（2015•温州）分解因式：a2﹣2a+1= （ a﹣ 1 ） 2 ．
【考点】因式分解-运用公式法．.
专题： 计算题．
【分析】观察原式发现，此三项符合差的完全平方公式a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2，即可
把原式化为积的形式．
【解答】解：a2﹣2a+1=a2﹣2×1×a+12=（a﹣1）2．
故答案为：（a﹣1）2．
【点评】本题考查了完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式的结构特点
是解题的关键．
第16页（共37页）12．（5分）（2015•温州）一个不透明的袋中只装有1个红球和2个篮球，它们除颜
色外其余均相同．现随机从袋中摸出两个球，颜色是一红一蓝的概率是 ．
【考点】列表法与树状图法．.
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与随机
从袋中摸出两个球，颜色是一红一蓝的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，随机从袋中摸出两个球，颜色是一红一蓝的有4种情
况，
∴随机从袋中摸出两个球，颜色是一红一蓝的概率是： = ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况
数与总情况数之比．
13．（5分）（2015•温州）已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则它的半径为 3
．
【考点】弧长的计算．.
【分析】根据弧长公式代入求解即可．
【解答】解：∵L= ，
∴R= =3．
故答案为：3．
第17页（共37页）【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：L= ．
14．（5分）（2015•温州）方程 的根为 x= 2 ．
【考点】解分式方程．.
【分析】观察可得最简公分母是x（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方
程转化为整式方程求解．
【解答】解：去分母得：2（x+1）=3x
即2x+2=3x
解得：x=2
经检验：x=2是原方程的解．
故答案是：x=2
【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方
程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
15．（5分）（2015•温州）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），
中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可
建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为 7 5 m2．
【考点】二次函数的应用．.
【分析】设垂直于墙的材料长为x米，则平行于墙的材料长为27+3﹣3x=30﹣3x，
表示出总面积S=x（30﹣3x）=﹣3x2+30x=﹣3（x﹣5）2+75即可求得面积的最值．
【解答】解：设垂直于墙的材料长为x米，
则平行于墙的材料长为27+3﹣3x=30﹣3x，
第18页（共37页）则总面积S=x（30﹣3x）=﹣3x2+30x=﹣3（x﹣5）2+75，
故饲养室的最大面积为75平方米，
故答案为：75．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出函数模
型，难度不大．
16．（5分）（2015•温州）图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品．该作品由形如
图乙的矩形图案拼接而成（不重叠、无缝隙）．图乙中 ，EF=4cm，上下两个阴
影三角形的面积之和为54cm2，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，
则该菱形的周长为 cm．
【考点】菱形的性质；矩形的性质．.
【分析】首先取CD的中点G，连接HG，设AB=6acm，则BC=7acm，中间菱形的对
角线HI的长度为xcm；然后根据GH∥BC，可得x=3.5a﹣2；再根据上下两个阴影
三角形的面积之和为54cm2，可得a（7a﹣x）=18，据此求出a、x的值各是多少；最
后根据AM∥FC，求出HK的长度，再用HK的长度乘以4，求出该菱形的周长为
多少即可．
【解答】解：如图乙，取CD的中点G，连接HG， ，
设AB=6acm，则BC=7acm，中间菱形的对角线HI的长度为xcm，
∵BC=7acm，MN=EF=4cm，
第19页（共37页）∴CN= ，
∵GH∥BC，
∴ ，
∴ ，
∴x=3.5a﹣2…（1）；
∵上下两个阴影三角形的面积之和为54cm2，
∴6a•（7a﹣x）÷2=54，
∴a（7a﹣x）=18…（2）；
由（1）（2），可得
a=2，x=5，
∴CD=6×2=12（cm），CN= ，
∴DN= =15（cm），
又∵DH= = =7.5（cm），
∴HN=15﹣7.5=7.5（cm），
∵AM∥FC，
∴ ，
∴HK= ，
∴该菱形的周长为：
= （cm）．
故答案为： ．
第20页（共37页）【点评】（1）此题主要考查了菱形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是
要明确：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的
两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，
它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）此题还考查了矩形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①
平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2
条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点
三、解答题（本题有8小题，共80分）
17．（10分）（2015•温州）（1）计算：20150+
（2）化简：（2a+1）（2a﹣1）﹣4a（a﹣1）
【考点】整式的混合运算；实数的运算．.
【分析】（1）先算乘方、化简二次根式与乘法，最后算加法；
（2）利用平方差公式和整式的乘法计算，进一步合并得出答案即可．
【解答】解：（1）原式=1+2 ﹣1
=2 ；
（2）原式=4a2﹣1﹣4a2+4a
=4a﹣1．
【点评】此题考查整式的混合运算，掌握运算顺序与计算方法是解决问题的关键．
18．（8分）（2015•温州）如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，
AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D．
（1）求证：AB=CD．
（2）若AB=CF，∠B=30°，求∠D的度数．
第21页（共37页）【考点】全等三角形的判定与性质．.
【分析】（1）易证得△ABE≌△CDF，即可得AB=CD；
（2）易证得△ABE≌△CDF，即可得AB=CD，又由AB=CF，∠B=30°，即可证得
△ABE是等腰三角形，解答即可．
【解答】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AB=CD；
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴AB=CD，BE=CF，
∵AB=CF，∠B=30°，
∴AB=BE，
∴△ABE是等腰三角形，
∴∠D= ．
【点评】此题考查全等三角形问题，关键是根据AAS证明三角形全等，再利用全
等三角形的性质解答．
19．（8分）（2015•温州）某公司需招聘一名员工，对应聘者甲、乙、丙从笔试、面试、
体能三个方面进行量化考核．甲、乙、丙各项得分如下表：
笔试 面试 体能
甲 83 79 90
第22页（共37页）乙 85 80 75
丙 80 90 73
（1）根据三项得分的平均分，从高到低确定三名应聘者的排名顺序．
（2）该公司规定：笔试，面试、体能得分分别不得低于80分，80分，70分，并按
60%，30%，10%的比例计入总分．根据规定，请你说明谁将被录用．
【考点】加权平均数．.
【分析】（1）代入求平均数公式即可求出三人的平均成绩，比较得出结果；
（2）由于甲的面试成绩低于80分，根据公司规定甲被淘汰；再将乙与丙的总成绩
按比例求出测试成绩，比较得出结果．
【解答】解：（1） =（83+79+90）÷3=84，
甲
=（85+80+75）÷3=80，
乙
=（80+90+73）÷3=81．
丙
从高到低确定三名应聘者的排名顺序为：甲，丙，乙；
（2）∵该公司规定：笔试，面试、体能得分分别不得低于80分，80分，70分，
∴甲淘汰；
乙成绩=85×60%+80×30%+75×10%=82.5，
丙成绩=80×60%+90×30%+73×10%=82.3，
乙将被录取．
【点评】本题考查了算术平均数和加权平均数的计算．平均数等于所有数据的和
除以数据的个数．
20．（8分）（2015•温州）各顶点都在方格纸格点（横竖格子线的交错点）上的多边
形称为格点多边形．如何计算它的面积？奥地利数学家皮克（G•Pick，1859～1942
年）证明了格点多边形的面积公式S=a+ b﹣1，其中a表示多边形内部的格点数，
b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积．如图，a=4，b=6，S=4+ ×6﹣
1=6
第23页（共37页）（1）请在图中画一个格点正方形，使它的内部只含有4个格点，并写出它的面积．
（2）请在图乙中画一个格点三角形，使它的面积为 ，且每条边上除顶点外无其它
格点．（注：图甲、图乙在答题纸上）
【考点】作图—应用与设计作图．.
【分析】（1）根据皮克公式画图计算即可；
（2）根据题意可知a=3，b=3，画出满足题意的图形即可．
【解答】解：（1）如图所示，a=4，b=4，S=4+ ×4﹣1=5；
（2）因为S= ，b=3，所以a=3，如图所示，
第24页（共37页）【点评】本题考查了应用与设计作图，关键是理解皮克公式，根据题意求出a、b的
值．
21．（10分）（2015•温州）如图，AB是半圆O的直径，CD⊥AB于点C，交半圆于点
E，DF切半圆于点F．已知∠AEF=135°．
（1）求证：DF∥AB；
（2）若OC=CE，BF= ，求DE的长．
【考点】切线的性质．.
【分析】（1）证明：连接OF，根据圆内接四边形的性质得到∠AEF+∠B=180°，由
于∠AEF=135°，得出∠B=45°，于是得到∠AOF=2∠B=90°，由DF切⊙O于F，得
到∠DFO=90°，由于DC⊥AB，得到∠DCO=90°，于是结论可得；
（2）过E作EM⊥BF于M，由四边形DCOF是矩形，得到OF=DC=OA，由于
OC=CE，推出AC=DE，设DE=x，则AC=x，在Rt△FOB中，∠FOB=90°，OF=OB，
BF=2 ，由勾股定理得：OF=OB=2，则AB=4，BC=4﹣x，由于AC=DE，
OCDF=CE，由勾股定理得：AE=EF，通过Rt△ECA≌Rt△EMF，得出
AC=MF=DE=x，在Rt△ECB和Rt△EMB中，由勾股定理得：BC=BM，问题可得．
【解答】（1）证明：连接OF，
∵A、E、F、B四点共圆，
∴∠AEF+∠B=180°，
∵∠AEF=135°，
∴∠B=45°，
∴∠AOF=2∠B=90°，
∵DF切⊙O于F，
∴∠DFO=90°，
第25页（共37页）∵DC⊥AB，
∴∠DCO=90°，
即∠DCO=∠FOC=∠DFO=90°，
∴四边形DCOF是矩形，
∴DF∥AB；
（2）解：过E作EM⊥BF于M，
∵四边形DCOF是矩形，
∴OF=DC=OA，
∵OC=CE，
∴AC=DE，
设DE=x，则AC=x，
∵在Rt△FOB中，∠FOB=90°，OF=OB，BF=2 ，由勾股定理得：OF=OB=2，
则AB=4，BC=4﹣x，
∵AC=DE，OCDF=CE，
∴由勾股定理得：AE=EF，
∴∠ABE=∠FBE，
∵EC⊥AB，EM⊥BF
∴EC=EM，∠ECB=∠M=90°，
在Rt△ECA和Rt△EMF中
∴Rt△ECA≌Rt△EMF，
∴AC=MF=DE=x，
在Rt△ECB和Rt△EMB中，由勾股定理得：BC=BM，
∴BF=BM﹣MF=BC﹣MF=4﹣x﹣x=2 ，
解得：x=2﹣ ，
即DE=2﹣ ．
第26页（共37页）【点评】本题考查了圆周角性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的性质和判定
角平分线性质，矩形的性质和判定的应用，正确的作出辅助线是解题的关键．
22．（10分）（2015•温州）某农业观光园计划将一块面积为900m2的圆圃分成A，
B，C三个区域，分别种植甲、乙、丙三种花卉，且每平方米栽种甲3株或乙6株或
丙12株．已知B区域面积是A区域面积的2倍．设A区域面积为x（m2）．
（1）求该园圃栽种的花卉总株数y关于x的函数表达式．
（2）若三种花卉共栽种6600株，则A，B，C三个区域的面积分别是多少？
（3）若三种花卉的单价（都是整数）之和为45元，且差价均不超过10元，在（2）的
前提下，全部栽种共需84000元．请写出甲、乙、丙三种花卉中，种植面积最大的
花卉总价．
【考点】一次函数的应用．.
【分析】（1）设A区域面积为x，则B区域面积是2x，C区域面积是900﹣3x，根据
每平方米栽种甲3株或乙6株或丙12株，即可解答；
（2）当y=6600时，即﹣21x+10800=6600，解得：x=200，则2x=400，900﹣3x=300，
即可解答；
第27页（共37页）（3）设三种花卉的单价分别为a元、b元、c，根据根据题意得：
，整理得：3b+5c=95，根据三种花卉的单价（都是整
数）之和为45元，且差价均不超过10元，所以b=15，c=10，a=20，即可解答．
【解答】解：（1）y=3x+12x+12（900﹣3x）=﹣21x+10800．
（2）当y=6600时，即﹣21x+10800=6600，
解得：x=200，
∴2x=400，900﹣3x=300，
答：A，B，C三个区域的面积分别是200m2，400m2，300m2．
（3）设三种花卉的单价分别为a元、b元、c元，在（2）的前提下，分别种植甲、乙、
丙三种花卉的株数为600株，2400株，3600株，
根据题意得： ，
整理得：3b+5c=95，
∵三种花卉的单价（都是整数）之和为45元，且差价均不超过10元，
∴b=15，c=10，
∴a=20，
∴种植面积最大的花卉总价为：2400×15=36000（元），
答：种植面积最大的花卉总价为36000元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是关键题意，列出函数关系
式和方程组．
23．（12分）（2015•温州）如图，抛物线y=﹣x2+6x交x轴正半轴于点A，顶点为
M，对称轴MB交x轴于点B．过点C（2，0）作射线CD交MB于点D（D在x轴上
方），OE∥CD交MB于点E，EF∥x轴交CD于点F，作直线MF．
（1）求点A，M的坐标．
（2）当BD为何值时，点F恰好落在该抛物线上？
（3）当BD=1时
①求直线MF的解析式，并判断点A是否落在该直线上．
第28页（共37页）②延长OE交FM于点G，取CF中点P，连结PG，△FPG，四边形DEGP，四边形
OCDE的面积分别记为S ，S ，S ，则S ：S ：S = 3 ： 4 ： 8 ．
1 2 3 1 2 3
【考点】二次函数综合题．.
【分析】（1）在抛物线解析式中令y=0，容易求得A点坐标，再根据顶点式，可求
得M点坐标；
（2）由条件可证明四边形OCFE为平行四边形，可求得EF的点，可求得F点坐标，
可得出BE的长，再利用平行线的性质可求得BD的长；
（3）①由条件可求得F点坐标，可求得直线MF的解析式，把A点坐标代入其解
析式可判断出A点在直线MF上；②由点的坐标结合勾股定理求得OE、GE、CD、
DM、MF的长，再结合面积公式可分别表示出S ，S ，S ，可求得答案．
1 2 3
【解答】解：
（1）令y=0，则﹣x2+6x=0，解得x=0或x=6，
∴A点坐标为（6，0），
又∵y=﹣x2+6x=﹣（x﹣3）2+9，
∴M点坐标为（3，9）；
（2）∵OE∥CF，OC∥EF，
∴四边形OCFE为平行四边形，且C（2，0），
∴EF=OC=2，
又B（3，0），
∴OB=3，BC=1，
∴F点的横坐标为5，
∵点F落在抛物线y=﹣x2+6x上，
第29页（共37页）∴F点的坐标为（5，5），
∴BE=5，
∵OE∥CF，
∴ = ，即 = ，
∴BD= ；
（3）①当BD=1时，由（2）可知BE=3BD=3，
∴F（5，3），
设直线MF解析式为y=kx+b，
把M、F两点坐标代入可得 ，解得 ，
∴直线MF解析式为y=﹣3x+18，
∵当x=6时，y=﹣3×6+18=0，
∴点A落在直线MF上；
②如图所示，
∵E（3，3），
∴直线OE解析式为y=x，
联立直线OE和直线MF解析式可得 ，解得 ，
∴G（ ， ），
第30页（共37页）∴OG= = ，OE=CF=3 ，
∴EG=OG﹣OE= ﹣3 = ，
∵ = ，
∴CD= OE= ，
∵P为CF中点，
∴PF= CF= ，
∴DP=CF﹣CD﹣PF=3 ﹣ ﹣ = ，
∵OG∥CF，
∴可设OG和CF之间的距离为h，
∴S = PF•h= × h= h，
△FPG
S = （EG+DP）h= ×（ + ）h= h，
四边形DEGP
S = （OE+CD）h= （3 + ）h=2 h，
四边形OCDE
∴S ，S ，S = h： h：2 h=3：4：8，
1 2 3
故答案为：3：4：8．
【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及二次函数的性质、一元二次方程
平行四边形的判定和性质、平行线分线段成比例、待定系数法、勾股定理等知识
点．在（1）中注意抛物线顶点式的应用，在（2）中求得F点的坐标是解题的关键，
在（3）①中，求得直线MF的解析式是解题的关键，在②中利用两平行线间的距
离为定值表示出S ，S ，S 是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性质较强，
1 2 3
难度较大．
24．（14分）（2015•温州）如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点
为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4，作△ABQ的外接圆
第31页（共37页）O．点C在点P右侧，PC=4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB
右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF= CD，以DE，DF为邻边作矩形
DEGF．设AQ=3x．
（1）用关于x的代数式表示BQ，DF．
（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长．
（3）在点P的整个运动过程中，
①当AP为何值时，矩形DEGF是正方形？
②作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长（直接写出答案）．
【考点】圆的综合题．.
【分析】（1）由AQ：AB=3：4，AQ=3x，易得AB=4x，由勾股定理得BQ，再由中位
线的性质得AH=BH= AB，求得CD，FD；
（2）利用（1）的结论，易得CQ的长，作OM⊥AQ于点M（如图1），则OM∥AB，由
垂径定理得QM=AM= x，由矩形性质得OD=MC，利用矩形面积，求得x，得出结
论；
（3）①点P在A点的右侧时（如图1），利用（1）（2）的结论和正方形的性质得
2x+4=3x，得AP；点P在A点的左侧时，当点C在Q右侧，0＜x＜ 时（如图2），4
第32页（共37页）﹣7x=3x，解得x，易得AP；当 时（如图3），7﹣4x=3x，得AP；当点C在Q
的左侧时，即x≥ （如图4），同理得AP；
②连接NQ，由点O到BN的弦心距为l，得NQ=2，当点N在AB的左侧时（如图
5），过点B作BM⊥EG于点M，GM=x，BM=x，易得∠GBM=45°，BM∥AQ，易得
AI=AB，求得IQ，由NQ得AP；当点N在AB的右侧时（如图6），过点B作
BJ⊥GE于点J，由GJ=x，BJ=4x得tan∠GBJ= ，利用（1）（2）中结论得AI=16x，
QI=19x，
解得x，得AP．
【解答】解：（1）在Rt△ABQ中，
∵AQ：AB=3：4，AQ=3x，
∴AB=4x，
∴BQ=5x，
∵OD⊥m，m⊥l，
∴OD∥l，
∵OB=OQ，
∴ =2x，
∴CD=2x，
∴FD= =3x；
（2）∵AP=AQ=3x，PC=4，
∴CQ=6x+4，
作OM⊥AQ于点M（如图1），
∴OM∥AB，
∵⊙O是△ABQ的外接圆，∠BAQ=90°，
∴点O是BQ的中点，
第33页（共37页）∴QM=AM= x
∴OD=MC= ，
∴OE= BQ= ，
∴ED=2x+4，
S =DF•DE=3x（2x+4）=90，
矩形DEGF
解得：x =﹣5（舍去），x =3，
1 2
∴AP=3x=9；
（3）①若矩形DEGF是正方形，则ED=DF，
I．点P在A点的右侧时（如图1），
∴2x+4=3x，解得：x=4，
∴AP=3x=12；
II．点P在A点的左侧时，
当点C在Q右侧，
0＜x＜ 时（如图2），
∵ED=4﹣7x，DF=3x，
∴4﹣7x=3x，解得：x= ，
∴AP= ；
当 ≤x＜ 时（如图3），
∵ED=7﹣4x，DF=3x，
∴7﹣4x=3x，解得：x=1（舍去），
当点C在Q的左侧时，即x≥ （如图4），
DE=7x﹣4，DF=3x，
∴7x﹣4=3x，解得：x=1，
∴AP=3，
第34页（共37页）综上所述：当AP为12或 或3时，矩形DEGF是正方形；
②连接NQ，由点O到BN的弦心距为l，得NQ=2，
当点N在AB的左侧时（如图5），
过点B作BM⊥EG于点M，
∵GM=x，BM=x，
∴∠GBM=45°，
∴BM∥AQ，
∴AI=AB=4x，
∴IQ=x，
∴NQ= =2，
∴x=2 ，
∴AP=6 ；
当点N在AB的右侧时（如图6），
过点B作BJ⊥GE于点J，
∵GJ=x，BJ=4x，
∴tan∠GBJ= ，
∴AI=16x，∴QI=19x，
∴NQ= =2，
∴x= ，
∴AP= ，
综上所述：AP的长为6 或 ．
第35页（共37页）第36页（共37页）【点评】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，正方形的性质，中位线的性质等，结
合图形，分类讨论是解答此题的关键．
第37页（共37页）
