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2015年浙江省舟山市中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）（2015•嘉兴）计算2﹣3的结果为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
2．（3分）（2015•舟山）下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称
图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（3分）（2015•舟山）截至今年4月10日，舟山全市需水量为84 327 000m3，数据84 327 000
用科学记数法表示为（ ）
A．0.84327×108 B．8.4327×107 C．8.4327×108 D．84327×103
4．（3分）（2015•嘉兴）质检部门为了检测某品牌电器的质量，从同一批次共10000件产品中
随机抽取100件进行检测，检测出次品5件，由此估计这一批次产品中的次品件数是（ ）
A．5 B．100 C．500 D．10000
5．（3分）（2015•舟山）如图，直线l 1∥l 2∥l
3
，直线AC分别交l
1
，l
2
，l
3
于点A，B，C，直线DF分
别交l ，l ，l 于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则 的值为
1 2 3
（ ）
A． B．2 C． D．
6．（3分）（2015•嘉兴）与无理数 最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
第1页（共30页）7．（3分）（2015•嘉兴）如图，△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，
则⊙C的半径为（ ）
A．2.3 B．2.4 C．2.5 D．2.6
8．（3分）（2015•嘉兴）一元一次不等式2（x+1）≥4的解在数轴上表示为（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）（2015•嘉兴）数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一
点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”分别作出了下列四个图形．其中作法错误
的是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）（2015•嘉兴）如图，抛物线y=﹣x2+2x+m+1交x轴与点A（a，0）和B（b，0），交y轴
于点C，抛物线的顶点为D，下列四个命题：
①当x＞0时，y＞0；
②若a=﹣1，则b=4；
③抛物线上有两点P（x ，y ）和Q（x ，y ），若x ＜1＜x ，且x +x ＞2，则y ＞y ；
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边形
EDFG周长的最小值为6 ．
其中真命题的序号是（ ）
第2页（共30页）A．① B．② C．③ D．④
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）（2015•嘉兴）因式分解：ab﹣a= ．
12．（4分）（2015•舟山）把二次函数y=x2﹣12x化为形如y=a（x﹣h）2+k的形式 ．
13．（4分）（2015•嘉兴）把一枚均匀的硬币连续抛掷两次，两次正面朝上的概率是
．
14．（4分）（2015•舟山）一张三角形纸片ABC，AB=AC=5，折叠该纸片使点A落在BC的中
点上，折痕经过AC上的点E，则AE的长为 ．
15．（4分）（2015•舟山）如图，多边形的各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上，
这样的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式S=a+ b﹣1（a是多边形内的格点数，b
是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克定理”．现用一张方格纸共有200个
格点，画有一个格点多边形，它的面积S=40．
（1）这个格点多边形边界上的格点数b= （用含a的代数式表示）．
（2）设该格点多边形外的格点数为c，则c﹣a= ．
16．（4分）（2015•舟山）如图，在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），点P在线段OA上，以
AP为半径的⊙P周长为1，点M从A开始沿⊙P按逆时针方向转动，射线AM交x轴于点N
（n，0）．设点M转过的路程为m（0＜m＜1），随着点M的转动，当m从 变化到 时，点N相
应移动的路经长为 ．
第3页（共30页）三、解答题（6，6，6，8，8，10，10）
17．（6分）（2015•嘉兴）（1）计算：|﹣5|+ ×2﹣1；
（2）化简：a（2﹣a）+（a+1）（a﹣1）．
18．（6分）（2015•嘉兴）小明解方程 ﹣ =1的过程如图．请指出他解答过程中的错误，并
写出正确的解答过程．
19．（6分）（2015•嘉兴）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF=DE，AF和
DE相交于点G，
（1）观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角．
（2）选择图中与∠AED相等的任意一个角，并加以证明．
第4页（共30页）20．（8分）（2015•舟山）舟山市2010﹣2014年社会消费品零售总额及增速统计图如图：
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求舟山市2010﹣2014年社会消费品零售总额增速这组数据的中位数．
（2）求舟山市2010﹣2014年社会消费品零售总额这组数据的平均数．
（3）用适当的方法预测舟山市2015年社会消费品零售总额（只要求列式说明，不必计算出结
果）．
21．（10分）（2015•舟山）如图，直线y=2x与反比例函数y= （k≠0，x＞0）的图象交于点A（1，
a），B是反比例函数图象上一点，直线OB与x轴的夹角为α，tanα= ．
（1）求k的值．
（2）求点B的坐标．
（3）设点P（m，0），使△PAB的面积为2，求m的值．
第5页（共30页）22．（10分）（2015•嘉兴）小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在
水平线的夹角为120°，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2．使用时为了散热，她在底板
下垫入散热架ACO′后，电脑转到AO′B′位置（如图3），侧面示意图为图4．已知
OA=OB=24cm，O′C⊥OA于点C，O′C=12cm．
（1）求∠CAO′的度数．
（2）显示屏的顶部B′比原来升高了多少？
（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O′B′应绕
点O′按顺时针方向旋转多少度？
第6页（共30页）23．（10分）（2015•舟山）某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽
子的出厂价为每只6元，为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的
粽子数量为y只，y与x满足下列关系式：
y= ．
（1）李明第几天生产的粽子数量为420只？
（2）如图，设第x天每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．
若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，
最大利润是多少元？（利润=出厂价﹣成本）
（3）设（2）小题中第m天利润达到最大值，若要使第（m+1）天的利润比第m天的利润至少多
48元，则第（m+1）天每只粽子至少应提价几元？
第7页（共30页）24．（10分）（2015•嘉兴）类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫
做“等邻边四边形”．
（1）概念理解：
如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”．请写出
你添加的一个条件．
（2）问题探究：
①小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形，她的猜想正确吗？请说明理由．
②如图2，小红画了一个Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并将Rt△ABC沿∠ABC
的平分线BB′方向平移得到△A′B′C′，连结AA′，BC′，小红要使平移后的四边形ABC′A′是
“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段BB′的长）？
（3）拓展应用：
如图3，“等邻边四边形”ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC，BD为对角线，AC=
AB，试探究BC，CD，BD的数量关系．
2015 年浙江省舟山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）（2015•嘉兴）计算2﹣3的结果为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
考点：有理数的减法．
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分析：根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可．
解答：解：2﹣3=2+（﹣3）=﹣1，
第8页（共30页）故选：A．
点评：本题主要考查了有理数的减法计算，减去一个数等于加上这个数的相反数．
2．（3分）（2015•舟山）下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称
图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点：中心对称图形．
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分析：根据中心对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．
解答：解：第一个图形是中心对称图形，
第二个图形不是中心对称图形，
第三个图形是中心对称图形，
第四个图形不是中心对称图形，
综上所述，属于中心对称图形的有2个．
故选B．
点评：本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两
部分重合．
3．（3分）（2015•舟山）截至今年4月10日，舟山全市需水量为84 327 000m3，数据84 327 000
用科学记数法表示为（ ）
A．0.84327×108 B．8.4327×107 C．8.4327×108 D．84327×103
考点：科学记数法—表示较大的数．
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分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看
把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数
绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：将84 327 000用科学记数法表示为：8.4327×107．
故选：B．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
第9页（共30页）4．（3分）（2015•嘉兴）质检部门为了检测某品牌电器的质量，从同一批次共10000件产品中
随机抽取100件进行检测，检测出次品5件，由此估计这一批次产品中的次品件数是（ ）
A．5 B．100 C．500 D．10000
考点：用样本估计总体．
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分析：先求出次品所占的百分比，再根据生产这种零件10000件，直接相乘得出答案即可．
解答：解：∵随机抽取100件进行检测，检测出次品5件，
∴次品所占的百分比是： ，
∴这一批次产品中的次品件数是：10000× =500（件），
故选C．
点评：此题主要考查了用样本估计总体，根据出现次品的数量求出次品所占的百分比是解题
关键．
5．（3分）（2015•舟山）如图，直线l 1∥l 2∥l
3
，直线AC分别交l
1
，l
2
，l
3
于点A，B，C，直线DF分
别交l ，l ，l 于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则 的值为
1 2 3
（ ）
A． B．2 C． D．
考点：平行线分线段成比例．
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分析：
根据平行线分线段成比例可得 ，代入计算，可求得答案．
解答：解：∵AG=2，GB=1，
∴AB=AG+BG=3，
∵直线l 1∥l 2∥l
3
，
第10页（共30页）∴ = ，
故选：D．
点评：本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的
关键．
6．（3分）（2015•嘉兴）与无理数 最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
考点：估算无理数的大小．
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分析：根据无理数的意义和二次根式的性质得出 ＜ ＜ ，即可求出答案．
解答：解：∵ ＜ ＜ ，
∴ 最接近的整数是 ，
=6，
故选：C．
点评：本题考查了二次根式的性质和估计无理数的大小等知识点，主要考查学生能否知道
在5和6之间，题目比较典型．
7．（3分）（2015•嘉兴）如图，△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，
则⊙C的半径为（ ）
A．2.3 B．2.4 C．2.5 D．2.6
考点：切线的性质；勾股定理的逆定理．
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分析：首先根据题意作图，由AB是⊙C的切线，即可得CD⊥AB，又由在直角△ABC中，
∠C=90°，AC=3，BC=4，根据勾股定理求得AB的长，然后由S = AC•BC=
△ABC
AB•CD，即可求得以C为圆心与AB相切的圆的半径的长．
解答：解：在△ABC中，
∵AB=5，BC=3，AC=4，
∴AC2+BC2=32+42=52=AB2，
∴∠C=90°，
第11页（共30页）如图：设切点为D，连接CD，
∵AB是⊙C的切线，
∴CD⊥AB，
∵S = AC•BC= AB•CD，
△ABC
∴AC•BC=AB•CD，
即CD= = = ，
∴⊙C的半径为 ，
故选B．
点评：此题考查了圆的切线的性质，勾股定理，以及直角三角形斜边上的高的求解方法．此题
难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法与数形结合思想的应用．
8．（3分）（2015•嘉兴）一元一次不等式2（x+1）≥4的解在数轴上表示为（ ）
A． B． C． D．
考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．
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分析：首先根据解一元一次不等式的方法，求出不等式2（x+1）≥4的解集，然后根据在数轴
上表示不等式的解集的方法，把不等式2（x+1）≥4的解集在数轴上表示出来即可．
解答：解：由2（x+1）≥4，
可得x+1≥2，
解得x≥1，
所以一元一次不等式2（x+1）≥4的解在数轴上表示为：
．
故选：A．
点评：（1）此题主要考查了在数轴上表示不等式的解集的方法，要熟练掌握，解答此题的关
键是要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时
要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二
是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．（2）此题还考查了解一元一次
第12页（共30页）不等式的方法，要熟练掌握，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步
骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
9．（3分）（2015•嘉兴）数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一
点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”分别作出了下列四个图形．其中作法错误
的是（ ）
A． B． C． D．
考点：作图—基本作图．
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分析：A、根据作法无法判定PQ⊥l；
B、以P为圆心大于P到直线l的距离为半径画弧，交直线l，于两点，再以两点为圆心，
大于它们的长为半径画弧，得出其交点，进而作出判断；
C、根据直径所对的圆周角等于90°作出判断；
D、根据全等三角形的判定和性质即可作出判断．
解答：解：根据分析可知，
选项B、C、D都能够得到PQ⊥l于点Q；选项A不能够得到PQ⊥l于点Q．
故选：A．
点评：此题主要考查了过直线外以及过直线上一点作已知直线的垂线，熟练掌握基本作图方
法是解题关键．
10．（3分）（2015•嘉兴）如图，抛物线y=﹣x2+2x+m+1交x轴与点A（a，0）和B（b，0），交y轴
于点C，抛物线的顶点为D，下列四个命题：
①当x＞0时，y＞0；
②若a=﹣1，则b=4；
③抛物线上有两点P（x ，y ）和Q（x ，y ），若x ＜1＜x ，且x +x ＞2，则y ＞y ；
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边形
EDFG周长的最小值为6 ．
第13页（共30页）其中真命题的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
考点：二次函数综合题．
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分析：①根据二次函数所过象限，判断出y的符号；
②根据A、B关于对称轴对称，求出b的值；
③根据 ＞1，得到x ＜1＜x ，从而得到Q点距离对称轴较远，进而判断出y ＞
1 2 1
y ；
2
④作D关于y轴的对称点D′，E关于x轴的对称点E′，连接D′E′，D′E′与DE的和即为
四边形EDFG周长的最小值．求出D、E、D′、E′的坐标即可解答．
解答：解：①当x＞0时，函数图象过二四象限，当0＜x＜b时，y＞0；当x＞b时，y＜0，故本选
项错误；
②二次函数对称轴为x=﹣ =1，当a=﹣1时有 =1，解得b=3，故本选
项错误；
③∵x +x ＞2，
1 2
∴ ＞1，
又∵x ＜1＜x ，
1 2
∴Q点距离对称轴较远，
∴y ＞y ，故本选项正确；
1 2
④如图，作D关于y轴的对称点D′，E关于x轴的对称点E′，
连接D′E′，D′E′与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值．
当m=2时，二次函数为y=﹣x2+2x+3，顶点纵坐标为y=﹣1+2+3=4，D为（1，4），则D′
为（﹣1，4）；C点坐标为C（0，3）；则E为（2，3），E′为（2，﹣3）；
则DE= = ；D′E′= = ；
∴四边形EDFG周长的最小值为 + ，故本选项错误．
故选C．
第14页（共30页）点评：本题考查了二次函数综合题，涉及函数与不等式的关系、二次函数的对称轴、函数图象
上点的坐标特征、轴对称﹣﹣最短路径问题等，值得关注．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）（2015•嘉兴）因式分解：ab﹣a= a （ b﹣ 1 ） ．
考点：因式分解-提公因式法．
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分析：提公因式a即可．
解答：解：ab﹣a=a（b﹣1）．
故答案为：a（b﹣1）．
点评：本题考查了提取公因式法因式分解．关键是求出多项式里各项的公因式，提公因式．
12．（4分）（2015•舟山）把二次函数y=x2﹣12x化为形如y=a（x﹣h）2+k的形式 y= （ x﹣ 6 ） 2
﹣36 ．
考点：二次函数的三种形式．
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分析：由于二次项系数为1，所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一
般式转化为顶点式．
解答：解：y=x2﹣12x=（x2﹣12x+36）﹣36=（x﹣6）2﹣36，即y=（x﹣6）2﹣36．
故答案为y=（x﹣6）2﹣36．
点评：本题考查了二次函数解析式的三种形式：
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y=a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x ）（x﹣x ）．
1 2
13．（4分）（2015•嘉兴）把一枚均匀的硬币连续抛掷两次，两次正面朝上的概率是 ．
第15页（共30页）考点：列表法与树状图法．
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分析：举出所有情况，看正面都朝上的情况数占总情况数的多少即可．
解答：
解：共4种情况，正面都朝上的情况数有1种，所以概率是 ．
故答案为： ．
点评：本题主要考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到
所求的情况数是解决本题的关键．
14．（4分）（2015•舟山）一张三角形纸片ABC，AB=AC=5，折叠该纸片使点A落在BC的中
点上，折痕经过AC上的点E，则AE的长为 2. 5 ．
考点：翻折变换（折叠问题）．
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分析：如图，D为BC的中点，AD⊥BC，因为折叠该纸片使点A落在BC的中点D上，所以折
痕EF垂直平分AD，根据平行线等分线段定理，易知E是AC的中点，故AE=2.5．
解答：解：如图所示，
∵D为BC的中点，AB=AC，
∴AD⊥BC，
∵折叠该纸片使点A落在BC的中点D上，
∴折痕EF垂直平分AD，
∴E是AC的中点，
∵AC=5
∴AE=2.5．
故答案为：2.5．
点评：本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质以及平行线等分线段定理，意识到折痕EF
第16页（共30页）垂直平分AD，是解决问题的关键．
15．（4分）（2015•舟山）如图，多边形的各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上，
这样的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式S=a+ b﹣1（a是多边形内的格点数，b
是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克定理”．现用一张方格纸共有200个
格点，画有一个格点多边形，它的面积S=40．
（1）这个格点多边形边界上的格点数b= 82﹣2 a （用含a的代数式表示）．
（2）设该格点多边形外的格点数为c，则c﹣a= 11 8 ．
考点：规律型：图形的变化类．
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分析：
（1）将S=40代入S=a+ b﹣1后用含a的代数式表示即可；
（2）首先用a表示出c，然后可求得c﹣a的值．
解答：
解：（1）∵S=a+ b﹣1，且S=40，
∴a+ b﹣1=40，
整理得：b=82﹣2a；
（2）∵a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数，总格点数为200，
∴边界上的格点数与多边形内的格点数的和为b+a=82﹣2a+a=82﹣a，
∴多边形外的格点数c=200﹣（82﹣a）=118+a，
∴c﹣a=118+a﹣a=118，
故答案为：82﹣2a，118．
点评：本题考查了图形的变化类问题，解决本题的关键是根据题意表示出b，难度不大．
16．（4分）（2015•舟山）如图，在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），点P在线段OA上，以
AP为半径的⊙P周长为1，点M从A开始沿⊙P按逆时针方向转动，射线AM交x轴于点N
第17页（共30页）（n，0）．设点M转过的路程为m（0＜m＜1），随着点M的转动，当m从 变化到 时，点N相
应移动的路经长为 ．
考点：圆的综合题；轨迹．
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分析：
当m从 变化到 时，点N相应移动的路经是一条线段，只需考虑始点和终点位置即
可解决问题．当m= 时，连接PM，如图1，点M从点A绕着点P逆时针旋转了一周的
，从而可得到旋转角为120°，则∠APM=120°，根据PA=PM可得∠PAM=30°，在
Rt△AON中运用三角函数可求出ON的长；当m= 时，连接PM，如图2，点M从点A
绕着点P逆时针旋转了一周的 ，从而可得到旋转角为240°，则∠APM=120°，同理可
求出ON的长，问题得以解决．
解答：
解：①当m= 时，连接PM，如图1，
∠APM= ×360°=120°．
∵PA=PM，∴∠PAM=∠PMA=30°．
在Rt△AON中，NO=AO•tan∠OAN=1× = ．
第18页（共30页）②当m= 时，连接PM，如图2，
∠APM=360°﹣ ×360°=120°，
同理可得：NO= ．
综合①、②可得：点N相应移动的路经长为 + = ．
故答案为 ．
点评：本题主要考查了旋转角、等腰三角形的性质、三角函数等知识，若动点的运动路径是一
条线段，常常可通过考虑临界位置（动点的始点和终点）来解决．
三、解答题（6，6，6，8，8，10，10）
17．（6分）（2015•嘉兴）（1）计算：|﹣5|+ ×2﹣1；
（2）化简：a（2﹣a）+（a+1）（a﹣1）．
考点：整式的混合运算；实数的运算；负整数指数幂．
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分析：（1）首先求出﹣5的绝对值，然后根据整式的混合运算顺序，计算乘法和加法，求出算
式|﹣5|+ ×2﹣1的值是多少即可．
（2）根据整式的混合运算顺序，首先计算乘法和，然后计算加法，求出算式a（2﹣a）+
（a+1）（a﹣1）的值是多少即可．
解答：解：（1）|﹣5|+ ×2﹣1；
=5+2×
=5+1
=6
（2）a（2﹣a）+（a+1）（a﹣1）
=2a﹣a2+a2﹣1
=2a﹣1
第19页（共30页）点评：（1）此题主要考查了整式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：有乘
方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合
运算顺序相似．
（2）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a﹣
p= （a≠0，p为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计
算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
（3）此题还考查了绝对值的非负性，以及算术平方根的求法，要熟练掌握．
18．（6分）（2015•嘉兴）小明解方程 ﹣ =1的过程如图．请指出他解答过程中的错误，并
写出正确的解答过程．
考点：解分式方程．
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专题：图表型．
分析：小明的解法有三处错误，步骤①去分母有误； 步骤②去括号有误；步骤⑥少检验，写
出正确的解题过程即可．
解答：解：小明的解法有三处错误，步骤①去分母有误； 步骤②去括号有误；步骤⑥少检验；
正确解法为：方程两边乘以x，得：1﹣（x﹣2）=x，
去括号得：1﹣x+2=x，
移项得：﹣x﹣x=﹣1﹣2，
合并同类项得：﹣2x=﹣3，
解得：x= ，
经检验x= 是分式方程的解，
则方程的解为x= ．
点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为
第20页（共30页）整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
19．（6分）（2015•嘉兴）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF=DE，AF和
DE相交于点G，
（1）观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角．
（2）选择图中与∠AED相等的任意一个角，并加以证明．
考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
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分析：（1）由图示得出∠DAG，∠AFB，∠CDE与∠AED相等；
（2）根据SAS证明△DAE与△ABF全等，利用全等三角形的性质即可证明．
解答：解：（1）由图可知，∠DAG，∠AFB，∠CDE与∠AED相等；
（2）选择∠DAG=∠AED，证明如下：
∵正方形ABCD，
∴∠DAB=∠B=90°，AD=AB，
∵AF=DE，
在△DAE与△ABF中，
，
∴△DAE≌△ABF（SAS），
∴∠ADE=∠BAF，
∵∠DAG+∠BAF=90°，∠GDA+∠AED=90°，
∴∠DAG=∠AED．
点评：此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SAS证明△DAE与△ABF全等．
20．（8分）（2015•舟山）舟山市2010﹣2014年社会消费品零售总额及增速统计图如图：
第21页（共30页）请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求舟山市2010﹣2014年社会消费品零售总额增速这组数据的中位数．
（2）求舟山市2010﹣2014年社会消费品零售总额这组数据的平均数．
（3）用适当的方法预测舟山市2015年社会消费品零售总额（只要求列式说明，不必计算出结
果）．
考点：折线统计图；条形统计图；算术平均数；中位数．
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分析：解：（1）根据中位数的定义，可得答案
（2）根据平均数的定义，可得答案；
（3）根据增长率的中位数，可得2015年的销售额．
解答：解：（1）数据从小到大排列13.5%，14.2%，15.4%，17.0%，18.4%，
舟山市2010﹣2014年社会消费品零售总额增速这组数据的中位数是15.4%；
（2）舟山市2010﹣2014年社会消费品零售总额这组数据的平均数
=292.6（亿元）；
（3）从增速中位数分析，舟山市2015年社会消费品零售总额为376.6×（1+15.4%）
=435.124（亿元）．
点评：本题考查了折线统计图，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
中位数是一组由小到大排列的数据中间的一个或中间两个数的平均数．平均数是表示
一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标．解答平均数应用题的
关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份数．
21．（10分）（2015•舟山）如图，直线y=2x与反比例函数y= （k≠0，x＞0）的图象交于点A（1，
a），B是反比例函数图象上一点，直线OB与x轴的夹角为α，tanα= ．
（1）求k的值．
第22页（共30页）（2）求点B的坐标．
（3）设点P（m，0），使△PAB的面积为2，求m的值．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
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分析：
（1）把点A（1，a）代入y=2x，求出a=2，再把A（1，2）代入y= ，即可求出k的值；
（2）过B作BC⊥x轴于点C．在Rt△BOC中，由tanα= ，可设B（2h，h）．将B（2h，h）代
入y= ，求出h的值，即可得到点B的坐标；
（3）由A（1，2），B（2，1），利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=﹣x+3，那么直
线AB与x轴交点D的坐标为（3，0）．根据△PAB的面积为2列出方程 |3﹣m|×（2﹣
1）=2，解方程即可求出m的值．
解答：解：（1）把点A（1，a）代入y=2x，
得a=2，
则A（1，2）．
把A（1，2）代入y= ，得k=1×2=2；
（2）过B作BC⊥x轴于点C．
∵在Rt△BOC中，tanα= ，
∴可设B（2h，h）．
∵B（2h，h）在反比例函数y= 的图象上，
∴2h2=2，解得h=±1，
∵h＞0，∴h=1，
∴B（2，1）；
（3）∵A（1，2），B（2，1），
第23页（共30页）∴直线AB的解析式为y=﹣x+3，
设直线AB与x轴交于点D，则D（3，0）．
∵S =S ﹣S =2，点P（m，0），
△PAB △PAD △PBD
∴ |3﹣m|×（2﹣1）=2，
解得m =﹣1，m =7．
1 2
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数、反比例函数图象上点的坐
标特征，利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，正切函数的定义，三角形
的面积，难度适中，利用数形结合是解题的关键．
22．（10分）（2015•嘉兴）小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在
水平线的夹角为120°，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2．使用时为了散热，她在底板
下垫入散热架ACO′后，电脑转到AO′B′位置（如图3），侧面示意图为图4．已知
OA=OB=24cm，O′C⊥OA于点C，O′C=12cm．
（1）求∠CAO′的度数．
（2）显示屏的顶部B′比原来升高了多少？
第24页（共30页）（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O′B′应绕
点O′按顺时针方向旋转多少度？
考点：解直角三角形的应用；旋转的性质．
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分析：（1）通过解直角三角形即可得到结果；
（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，通过解直角三角形求得
BD=OB•sin∠BOD=24× =12 ，由C、O′、B′三点共线可得结果；
（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，求得∠EO′B′=∠FO′A=30°，既是显示
屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．
解答：解：（1）∵O′C⊥OA于C，OA=OB=24cm，
∴sin∠CAO′= ，
∴∠CAO′=30°；
（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D
∵sin∠BOD= ，
∴BD=OB•sin∠BOD，
∵∠AOB=120°，
∴∠BOD=60°，
∴BD=OB•sin∠BOD=24× =12 ，
∵O′C⊥OA，∠CAO′=30°，
∴∠AO′C=60°，
∵∠AO′B′=120°，
∴∠AO′B′+∠AO′C=180°，
∴O′B′+O′C﹣BD=24+12﹣12 =3﹣12 ，
∴显示屏的顶部B′比原来升高了（36﹣12 ）cm；
（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，
理由：∵显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°，
∴∠EO′F=120°，
∴∠FO′A=∠CAO′=30°，
∵∠AO′B′=120°，
∴∠EO′B′=∠FO′A=30°，
第25页（共30页）∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．
点评：本题考查了解直角三角形的应用，旋转的性质，正确的画出图形是解题的关键．
23．（10分）（2015•舟山）某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽
子的出厂价为每只6元，为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的
粽子数量为y只，y与x满足下列关系式：
y= ．
（1）李明第几天生产的粽子数量为420只？
（2）如图，设第x天每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．
若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，
最大利润是多少元？（利润=出厂价﹣成本）
（3）设（2）小题中第m天利润达到最大值，若要使第（m+1）天的利润比第m天的利润至少多
48元，则第（m+1）天每只粽子至少应提价几元？
考点：二次函数的应用．
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分析：（1）把y=420代入y=30x+120，解方程即可求得；
（2）根据图象求得成本p与x之间的关系，然后根据利润等于订购价减去成本价，然后
整理即可得到W与x的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答；
（3）根据（2）得出m+1=13，根据利润等于订购价减去成本价得出提价a与利润w的关
系式，再根据题意列出不等式求解即可．
第26页（共30页）解答：解：（1）设李明第n天生产的粽子数量为420只，
由题意可知：30n+120=420，
解得n=10．
答：第10天生产的粽子数量为420只．
（2）由图象得，当0≤x≤9时，p=4.1；
当9≤x≤15时，设P=kx+b，
把点（9，4.1），（15，4.7）代入得， ，
解得 ，
∴p=0.1x+3.2，
①0≤x≤5时，w=（6﹣4.1）×54x=102.6x，当x=5时，w最大=513（元）；
②5＜x≤9时，w=（6﹣4.1）×（30x+120）=57x+228，
∵x是整数，
∴当x=9时，w最大=714（元）；
③9＜x≤15时，w=（6﹣0.1x﹣3.2）×（30x+120）=﹣3x2+72x+336，
∵a=﹣3＜0，
∴当x=﹣ =12时，w最大=768（元）；
综上，当x=12时，w有最大值，最大值为768．
（3）由（2）可知m=12，m+1=13，
设第13天提价a元，由题意得，w =（6+a﹣p）（30x+120）=510（a+1.5），
13
∴510（a+1.5）﹣768≥48，解得a=0.1．
答：第13天每只粽子至少应提价0.1元．
点评：本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问
题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式．
24．（10分）（2015•嘉兴）类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫
做“等邻边四边形”．
（1）概念理解：
如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”．请写出
你添加的一个条件．
（2）问题探究：
①小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形，她的猜想正确吗？请说明理由．
第27页（共30页）②如图2，小红画了一个Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并将Rt△ABC沿∠ABC
的平分线BB′方向平移得到△A′B′C′，连结AA′，BC′，小红要使平移后的四边形ABC′A′是
“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段BB′的长）？
（3）拓展应用：
如图3，“等邻边四边形”ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC，BD为对角线，AC=
AB，试探究BC，CD，BD的数量关系．
考点：四边形综合题．
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分析：（1）由“等邻边四边形”的定义易得出结论；
（2）①先利用平行四边形的判定定理得平行四边形，再利用“等邻边四边形”定义得
邻边相等，得出结论；
②由平移的性质易得BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC= ，再
利用“等邻边四边形”定义分类讨论，由勾股定理得出结论；
（3）由旋转的性质可得△ABF≌△ADC，由全等性质得∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，
AF=AC，FB=CD，利用相似三角形判定得△ACF∽△ABD，由相似的性质和四边形内角
和得∠CBF=90°，利用勾股定理，等量代换得出结论．
解答：解：（1）AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB（任写一个即可）；
（2）①正确，理由为：
∵四边形的对角线互相平分，∴这个四边形是平行四边形，
∵四边形是“等邻边四边形”，∴这个四边形有一组邻边相等，
∴这个“等邻边四边形”是菱形；
②∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1，
∴AC= ，
∵将Rt△ABC平移得到△A′B′C′，
∴BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC= ，
（I）如图1，当AA′=AB时，BB′=AA′=AB=2；
（II）如图2，当AA′=A′C′时，BB′=AA′=A′C′= ；
（III）当A′C′=BC′= 时，
如图3，延长C′B′交AB于点D，则C′B′⊥AB，
第28页（共30页）∵BB′平分∠ABC，
∴∠ABB′= ∠ABC=45°，
∴∠BB′D=′∠ABB′=45°
∴B′D=B，
设B′D=BD=x，
则C′D=x+1，BB′= x，
∵在Rt△BC′D中，BD2+（C′D）2=（BC′）2
∴x2+（x+1）2=（ ）2，
解得：x =1，x ﹣2（不合题意，舍去），
1 2=
∴BB′= x=
（Ⅳ）当BC′=AB=2时，如图4，与（Ⅲ）方法一同理可得：BD2+（C′D）2=（BC′2，
设B′D=BD=x，
则x2+（x+1）2=22，
解得：x ，x （不合题意，舍去），
1= 2=
∴BB′= x= ；
（3）BC，CD，BD的数量关系为：BC2+CD2=2BD2，如图5，
∵AB=AD，
∴将△ADC绕点A旋转到△ABF，连接CF，
∴△ABF≌△ADC，
∴∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，FB=CD，
∴∠BAD=∠CAF， = =1，
∴△ACF∽△ABD，
∴ = = ，∴ BD，
∵∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠ABC=360°，
∴∠ABC+∠ADC﹣360°﹣（∠BAD+∠BCD）=360°﹣90°=270°，
∴∠ABC+∠ABF=270°，
∴∠CBF=90°，
∴BC2+FB2=CF2=（ BD）2=2BD2，
∴BC2+CD2=2BD2．
第29页（共30页）点评：本题主要考查了对新定义的理解，菱形的判定，勾股定理，相似三角形的性质等，理解
新定义，分类讨论是解答此题的关键．
第30页（共30页）
