文档内容
2016 年浙江省金华市中考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．实数﹣ 的绝对值是（ ）
A．2 B． C．﹣ D．﹣
2．若实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列判断错误的是（ ）
A．a＜0 B．ab＜0 C．a＜b D．a，b互为倒数
3．如图是加工零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（
）
A．Φ45.02 B．Φ44.9 C．Φ44.98 D．Φ45.01
4．从一个边长为3cm的大立方体挖去一个边长为1cm的小立方体，得到的几何体如图所示，
则该几何体的左视图正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两根为x，x，则下列结论正确的是（ ）
1 2
A．x=﹣1，x=2 B．x=1，x=﹣2 C．x+x=3 D．xx=2
1 2 1 2 1 2 1 2
6．如图，已知∠ABC=∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（ ）
A．AC=BD B．∠CAB=∠DBA C．∠C=∠D D．BC=AD
7．小明和小华参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一
项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为（ ）A． B． C． D．
8．一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼
梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（ ）
A． 米2B． 米2C．（4+ ）米2D．（4+4tanθ）米2
9．足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门AB的张角大小时，张角越大，射门越好．如
图的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，球员带球沿CD方向进攻，最好的射点在（
）
A．点C B．点D或点E
C．线段DE（异于端点） 上一点 D．线段CD（异于端点） 上一点
10．在四边形ABCD中，∠B=90°，AC=4，AB∥CD，DH垂直平分AC，点H为垂足．设AB=x，AD=y，
则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．不等式3x+1＜﹣2的解集是 ．12．能够说明“ =x不成立”的x的值是 （写出一个即可）．
13．为监测某河道水质，进行了6次水质检测，绘制了如图的氨氮含量的折线统计图．若这6
次水质检测氨氮含量平均数为1.5mg/L，则第3次检测得到的氨氮含量是 mg/L．
14．如图，已知AB∥CD，BC∥DE．若∠A=20°，∠C=120°，则∠AED的度数是 ．
15．如图，Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在边BC 上，以AD为折痕△ABD折叠得
到△AB′D，AB′与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形，则BD的长是 ．
16．由6根钢管首尾顺次铰接而成六边形钢架ABCDEF，相邻两钢管可以转动．已知各钢管的
长度为AB=DE=1米，BC=CD=EF=FA=2米．（铰接点长度忽略不计）
（1）转动钢管得到三角形钢架，如图1，则点A，E之间的距离是 米．
（2）转动钢管得到如图2所示的六边形钢架，有∠A=∠B=∠C=∠D=120°，现用三根钢条连接
顶点使该钢架不能活动，则所用三根钢条总长度的最小值是 米．三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17．计算： ﹣（﹣1）2016﹣3tan60°+（﹣2016）0．
18．解方程组 ．
19．某校组织学生排球垫球训练，训练前后，对每个学生进行考核．现随机抽取部分学生，统
计了训练前后两次考核成绩，并按“A，B，C”三个等次绘制了如图不完整的统计图．试根据
统计图信息，解答下列问题：
（1）抽取的学生中，训练后“A”等次的人数是多少？并补全统计图．
（2）若学校有600名学生，请估计该校训练后成绩为“A”等次的人数．20．如图1表示同一时刻的韩国首尔时间和北京时间，两地时差为整数．
（1）设北京时间为x（时），首尔时间为y（时），就0≤x≤12，求y关于x的函数表达式，并填
写下表（同一时刻的两地时间）．
北京时间 7：30 2：50
首尔时间 12：15
（2）如图2表示同一时刻的英国伦敦时间（夏时制）和北京时间，两地时差为整数．如果现在
伦敦（夏时制）时间为7：30，那么此时韩国首尔时间是多少？
21．如图，直线y= x﹣ 与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y= （k＞0）图象交于点
C，D，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点E．
（1）求点A的坐标．
（2）若AE=AC．
①求k的值．
②试判断点E与点D是否关于原点O成中心对称？并说明理由．22．四边形ABCD的对角线交于点E，有AE=EC，BE=ED，以AB为直径的半圆过点E，圆心为O．
（1）利用图1，求证：四边形ABCD是菱形．
（2）如图2，若CD的延长线与半圆相切于点F，已知直径AB=8．
①连结OE，求△OBE的面积．
②求弧AE的长．
23．在平面直角坐标系中，点O为原点，平行于x轴的直线与抛物线L：y=ax2相交于A，B两点
（点B在第一象限），点D在AB的延长线上．
（1）已知a=1，点B的纵坐标为2．
①如图1，向右平移抛物线L使该抛物线过点B，与AB的延长线交于点C，求AC的长．
②如图2，若BD= AB，过点B，D的抛物线L，其顶点M在x轴上，求该抛物线的函数表达式．
2
（2）如图3，若BD=AB，过O，B，D三点的抛物线L，顶点为P，对应函数的二次项系数为a，过
3 3
点P作PE∥x轴，交抛物线L于E，F两点，求 的值，并直接写出 的值．24．在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（﹣6，0）．如图1，正方形OBCD的顶点B
在x轴的负半轴上，点C在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形
OEFG．
（1）如图2，若α=60°，OE=OA，求直线EF的函数表达式．
（2）若α为锐角，tanα= ，当AE取得最小值时，求正方形OEFG的面积．
（3）当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，△OEP的其中两边
之比能否为 ：1？若能，求点P的坐标；若不能，试说明理由2016 年浙江省金华市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．实数﹣ 的绝对值是（ ）
A．2 B． C．﹣ D．﹣
【考点】实数的性质．
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案．
【解答】解：﹣ 的绝对值是 ．
故选：B．
【点评】本题考查了实数的性质，负数的绝对值是它的相反数．
2．若实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列判断错误的是（ ）
A．a＜0 B．ab＜0 C．a＜b D．a，b互为倒数
【考点】实数与数轴．
【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得答案．
【解答】解：A、a＜0，故A正确；
B、ab＜0，故B正确；
C、a＜b，故C正确；
D、乘积为1的两个数互为倒数，故D错误；
故选：D．
【点评】本题考查了实数与数轴，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大是解题关键．
3．如图是加工零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（
）
A．Φ45.02 B．Φ44.9 C．Φ44.98 D．Φ45.01【考点】正数和负数．
【分析】依据正负数的意义求得零件直径的合格范围，然后找出不符要求的选项即可．
【解答】解：∵45+0.03=45.03，45﹣0.04=44.96，
∴零件的直径的合格范围是：44.96≤零件的直径≤5.03．
∵44.9不在该范围之内，
∴不合格的是B．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是正数和负数的意义，根据正负数的意义求得零件直径的合格范围
是解题的关键．
4．从一个边长为3cm的大立方体挖去一个边长为1cm的小立方体，得到的几何体如图所示，
则该几何体的左视图正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单几何体的三视图．
【分析】直接利用左视图的观察角度，进而得出视图．
【解答】解：如图所示：∵从一个边长为3cm的大立方体挖去一个边长为1cm的小立方体，
∴该几何体的左视图为： ．
故选：C．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题关键．
5．一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两根为x，x，则下列结论正确的是（ ）
1 2
A．x=﹣1，x=2 B．x=1，x=﹣2 C．x+x=3 D．xx=2
1 2 1 2 1 2 1 2
【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系找出“x+x=﹣ =3，x•x= =﹣2”，再结合四个选项即可得出
1 2 1 2
结论．
【解答】解：∵方程x2﹣3x﹣2=0的两根为x，x，
1 2
∴x+x=﹣ =3，x•x= =﹣2，
1 2 1 2
∴C选项正确．
故选C．
【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出x+x=3，x•x=﹣2．本题属于基础题，
1 2 1 2
难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．
6．如图，已知∠ABC=∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（ ）
A．AC=BD B．∠CAB=∠DBA C．∠C=∠D D．BC=AD
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据全等三角形的判定：SAS，AAS，ASA，可得答案．
【解答】解：由题意，得∠ABC=∠BAD，AB=BA，
A、∠ABC=∠BAD，AB=BA，AC=BD，（SSA）三角形不全等，故A错误；
B、在△ABC与△BAD中， ，△ABC≌△BAD（ASA），故B正确；
C、在△ABC与△BAD中， ，△ABC≌△BAD（AAS），故C正确；
D、在△ABC与△BAD中， ，△ABC≌△BAD（SAS），故D正确；
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、
AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，
若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．7．小明和小华参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一
项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出小明、小华两名学生参加社会实践活动的情况数，
即可求出所求的概率；
【解答】解：解：可能出现的结果
小明 打扫社区卫生 打扫社区卫生 参加社会调查 参加社会调查
小华 打扫社区卫生 参加社会调查 参加社会调查 打扫社区卫生
由上表可知，可能的结果共有4种，且他们都是等可能的，其中两人同时选择“参加社会调
查”的结果有1种，
则所求概率P= ，
1
故选：A．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8．一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼
梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（ ）
A． 米2B． 米2C．（4+ ）米2D．（4+4tanθ）米2
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】由三角函数表示出BC，得出AC+BC的长度，由矩形的面积即可得出结果．
【解答】解：在Rt△ABC中，BC=AC•tanθ=4tanθ（米），
∴AC+BC=4+4tanθ（米），
∴地毯的面积至少需要1×（4+4tanθ）=4+tanθ（米2）；
故选：D．【点评】本题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算；由三角函数表示出BC是解决问
题的关键．
9．足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门AB的张角大小时，张角越大，射门越好．如
图的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，球员带球沿CD方向进攻，最好的射点在（
）
A．点C B．点D或点E
C．线段DE（异于端点） 上一点 D．线段CD（异于端点） 上一点
【考点】角的大小比较．
【专题】网格型．
【分析】连接BC，AC，BD，AD，AE，BE，再比较∠ACB，∠ADB，∠AEB的大小即可．
【解答】解：连接BC，AC，BD，AD，AE，BE，
通过测量可知∠ACB＜∠ADB＜∠AEB，所以射门的点越靠近线段DE，角越大，故最好选择DE
（异于端点） 上一点，
故选C．
【点评】本题考查了比较角的大小，一般情况下比较角的大小有两种方法：①测量法，即用量
角器量角的度数，角的度数越大，角越大．②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角
的顶点及一边重合，观察另一边的位置．
10．在四边形ABCD中，∠B=90°，AC=4，AB∥CD，DH垂直平分AC，点H为垂足．设AB=x，AD=y，
则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（ ）A． B． C． D．
【考点】相似三角形的判定与性质；函数的图象；线段垂直平分线的性质．
【分析】由△DAH∽△CAB，得 = ，求出y与x关系，再确定x的取值范围即可解决问题．
【解答】解：∵DH垂直平分AC，
∴DA=DC，AH=HC=2，
∴∠DAC=∠DCH，
∵CD∥AB，
∴∠DCA=∠BAC，
∴∠DAN=∠BAC，∵∠DHA=∠B=90°，
∴△DAH∽△CAB，
∴ = ，
∴ = ，
∴y= ，
∵AB＜AC，
∴x＜4，
∴图象是D．
故选D．【点评】本题科学相似三角形的判定和性质、相等垂直平分线性质、反比例函数等知识，解题
的关键是正确寻找相似三角形，构建函数关系，注意自变量的取值范围的确定，属于中考常
考题型．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．不等式3x+1＜﹣2的解集是 x ＜﹣ 1 ．
【考点】解一元一次不等式．
【分析】利用不等式的基本性质，将两边不等式同时减去1再除以3，不等号的方向不变．得到
不等式的解集为：x＜﹣1．
【解答】解：解不等式3x+1＜﹣2，得3x＜﹣3，解得x＜﹣1．
【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变
符号这一点而出错．
解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等
号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的
两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
12．能够说明“ =x不成立”的x的值是 ﹣ 1 （写出一个即可）．
【考点】算术平方根．
【专题】计算题；实数．
【分析】举一个反例，例如x=﹣1，说明原式不成立即可．
【解答】解：能够说明“ =x不成立”的x的值是﹣1，
故答案为：﹣1
【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
13．为监测某河道水质，进行了6次水质检测，绘制了如图的氨氮含量的折线统计图．若这6
次水质检测氨氮含量平均数为1.5mg/L，则第3次检测得到的氨氮含量是 1 mg/L．【考点】算术平均数；折线统计图．
【专题】统计与概率．
【分析】根据题意可以求得这6次总的含量，由折线统计图可以得到除第3次的含量，从而可
以得到第3次检测得到的氨氮含量．
【解答】解：由题意可得，
第3次检测得到的氨氮含量是：1.5×6﹣（1.6+2+1.5+1.4+1.5）=9﹣8=1mg/L，
故答案为：1．
【点评】本题考查算术平均数、折线统计图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条
件．
14．如图，已知AB∥CD，BC∥DE．若∠A=20°，∠C=120°，则∠AED的度数是 80° ．
【考点】平行线的性质．
【分析】延长DE交AB于F，根据平行线的性质得到∠AFE=∠B，∠B+∠C=180°，根据三角形的
外角的性质即可得到结论．
【解答】解：延长DE交AB于F，
∵AB∥CD，BC∥DE，
∴∠AFE=∠B，∠B+∠C=180°，
∴∠AFE=∠B=60°，
∴∠AED=∠A+∠AFE=80°，
故答案为：80°．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关
键．
15．如图，Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在边BC 上，以AD为折痕△ABD折叠得
到△AB′D，AB′与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形，则BD的长是 2 或 5 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】先依据勾股定理求得AB的长，然后由翻折的性质可知：AB′=10，DB=DB′，接下来分
为∠B′DE=90°和∠B′ED=90°，两种情况画出图形，设DB=DB′=x，然后依据勾股定理列出
关于x的方程求解即可．
【解答】解：∵Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10，
∵以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，
∴BD=DB′，AB′=AB=10．
如图1所示：当∠B′DE=90°时，过点B′作B′F⊥AF，垂足为F．设BD=DB′=x，则AF=6+x，FB′=8﹣x．
在Rt△AFB′中，由勾股定理得：AB′2=AF2+FB′2，即（6+x）2+（8﹣x）2=102．
解得：x=2，x=0（舍去）．
1 2
∴BD=2．
如图2所示：当∠B′ED=90°时，C与点E重合．
∵AB′=10，AC=6，
∴B′E=4．
设BD=DB′=x，则CD=8﹣x．
在Rt△′BDE中，DB′2=DE2+B′E2，即x2=（8﹣x）2+42．
解得：x=5．
∴BD=5．
综上所述，BD的长为2或5．
故答案为：2或5．
【点评】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于x的方程是
解题的关键．
16．由6根钢管首尾顺次铰接而成六边形钢架ABCDEF，相邻两钢管可以转动．已知各钢管的
长度为AB=DE=1米，BC=CD=EF=FA=2米．（铰接点长度忽略不计）
（1）转动钢管得到三角形钢架，如图1，则点A，E之间的距离是 米．
（2）转动钢管得到如图2所示的六边形钢架，有∠A=∠B=∠C=∠D=120°，现用三根钢条连接
顶点使该钢架不能活动，则所用三根钢条总长度的最小值是 3 米．【考点】三角形的稳定性．
【分析】（1）只要证明AE∥BD，得 = ，列出方程即可解决问题．
（2）分别求出六边形的对角线并且比较大小，即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，∵FB=DF，FA=FE，
∴∠FAE=∠FEA，∠B=∠D，
∴∠FAE=∠B，
∴AE∥BD，
∴ = ，
∴ = ，
∴AE= ，
故答案为 ．
（2）如图中，作BN⊥FA于N，延长AB、DC交于点M，连接BD、AD、BF、CF．
在RT△BFN中，∵∠BNF=90°，BN= ，FN=AN+AF= +2= ，
∴BF= = ，同理得到AC=DF= ，
∵∠ABC=∠BCD=120°，
∴∠MBC=∠MCB=60°，
∴∠M=60°，
∴CM=BC=BM，
∵∠M+∠MAF=180°，
∴AF∥DM，∵AF=CM，
∴四边形AMCF是平行四边形，
∴CF=AM=3，
∵∠BCD=∠CBD+∠CDB=60°，∠CBD=∠CDB，∴∠CBD=∠CDB=30°，∵∠M=60°，
∴∠MBD=90°，
∴BD= =2 ，同理BE=2 ，
∵ ＜3＜2 ，
∴用三根钢条连接顶点使该钢架不能活动，
∴连接AC、BF、DF即可，
∴所用三根钢条总长度的最小值3 ，
故答案为3 ．
【点评】本题考查三角形的稳定性、平行线的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理．等边
三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造特殊三角形以及平行四边形，属
于中考常考题型．
三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17．计算： ﹣（﹣1）2016﹣3tan60°+（﹣2016）0．
【考点】实数的运算．
【分析】首先利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质分别化简求出
答案．
【解答】解：原式=3 ﹣1﹣3× +1=0．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．解方程组 ．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解： ，
由①﹣②，得y=3，
把y=3代入②，得x+3=2，
解得：x=﹣1．
则原方程组的解是 ．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加
减消元法．
19．某校组织学生排球垫球训练，训练前后，对每个学生进行考核．现随机抽取部分学生，统
计了训练前后两次考核成绩，并按“A，B，C”三个等次绘制了如图不完整的统计图．试根据
统计图信息，解答下列问题：
（1）抽取的学生中，训练后“A”等次的人数是多少？并补全统计图．
（2）若学校有600名学生，请估计该校训练后成绩为“A”等次的人数．
【考点】条形统计图．
【分析】（1）将训练前各等级人数相加得总人数，将总人数减去训练后B、C两个等级人数可得
训练后A等级人数；
（2）将训练后A等级人数占总人数比例乘以总人数可得．【解答】解：（1）∵抽取的人数为21+7+2=30，
∴训练后“A”等次的人数为30﹣2﹣8=20．
补全统计图如图：
（2）600× =400（人）．
答：估计该校九年级训练后成绩为“A”等次的人数是400．
【点评】本题主要考查条形统计图，根据统计图读出训练前后各等级的人数及总人数间的关
系是解题的关键，也考查了样本估计总体．
20．如图1表示同一时刻的韩国首尔时间和北京时间，两地时差为整数．
（1）设北京时间为x（时），首尔时间为y（时），就0≤x≤12，求y关于x的函数表达式，并填
写下表（同一时刻的两地时间）．
北京时间 7：30 1 1 ： 1 5 2：50
首尔时间 8 ： 3 0 12：15 3 ： 5 0
（2）如图2表示同一时刻的英国伦敦时间（夏时制）和北京时间，两地时差为整数．如果现在
伦敦（夏时制）时间为7：30，那么此时韩国首尔时间是多少？
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）根据图1得到y关于x的函数表达式，根据表达式填表；
（2）根据如图2表示同一时刻的英国伦敦时间（夏时制）和北京时间得到伦敦（夏时制）时间
与北京时间的关系，结合（1）解答即可．【解答】解：（1）从图1看出，同一时刻，首尔时间比北京时间多1小时，
故y关于x的函数表达式是y=x+1．
北京时间 7：30 11：15 2：50
首尔时间 8：30 12：15 3：50
（2）从图2看出，设伦敦（夏时制）时间为t时，则北京时间为（t+7）时，
由第（1）题，韩国首尔时间为（t+8）时，
所以，当伦敦（夏时制）时间为7：30，韩国首尔时间为15：30．
【点评】本题考查的是一次函数的应用，根据题意正确求出函数解析式是解题的关键．
21．如图，直线y= x﹣ 与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y= （k＞0）图象交于点
C，D，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点E．
（1）求点A的坐标．
（2）若AE=AC．
①求k的值．
②试判断点E与点D是否关于原点O成中心对称？并说明理由．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）令一次函数中y=0，解关于x的一元一次方程，即可得出结论；
（2）①过点C作CF⊥x轴于点F，设AE=AC=t，由此表示出点E的坐标，利用特殊角的三角形函
数值，通过计算可得出点C的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出关于t的
一元二次方程，解方程即可得出结论；
②根据点在直线上设出点D的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出关于点D横
坐标的一元二次方程，解方程即可得出点D的坐标，结合①中点E的坐标即可得出结论．
【解答】解：（1）当y=0时，得0= x﹣ ，解得：x=3．
∴点A的坐标为（3，0）．：
（2）①过点C作CF⊥x轴于点F，如图所示．设AE=AC=t，点E的坐标是（3，t），
在Rt△AOB中，tan∠OAB= = ，
∴∠OAB=30°．
在Rt△ACF中，∠CAF=30°，
∴CF= t，AF=AC•cos30°= t，
∴点C的坐标是（3+ t， t）．
∴（3+ t）× t=3t，
解得：t=0（舍去），t=2 ．
1 2
∴k=3t=6 ．
②点E与点D关于原点O成中心对称，理由如下：
设点D的坐标是（x， x﹣ ），
∴x（ x﹣ ）=6 ，解得：x=6，x=﹣3，
1 2
∴点D的坐标是（﹣3，﹣2 ）．
又∵点E的坐标为（3，2 ），
∴点E与点D关于原点O成中心对称．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、解一元二次方程以及反比例函数图
象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）令一次函数中y=0求出x的值；（2）根据反比例函数
图象上点的坐标特征得出一元二次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根
据反比例函数图象上点的坐标特征找出关于点的横坐标的一元二次方程是关键．
22．四边形ABCD的对角线交于点E，有AE=EC，BE=ED，以AB为直径的半圆过点E，圆心为O．
（1）利用图1，求证：四边形ABCD是菱形．
（2）如图2，若CD的延长线与半圆相切于点F，已知直径AB=8．①连结OE，求△OBE的面积．
②求弧AE的长．
【考点】菱形的判定与性质；切线的性质．
【分析】（1）先由AE=EC、BE=ED可判定四边形为平行四边形，再根据∠AEB=90°可判定该平行
四边形为菱形；
（2）①连结OF，由切线可得OF为△ABD的高且OF=4，从而可得S ，由OE为△ABD的中位线
△ABD
可得S = S ；
△OBE △ABD
②作DH⊥AB于点H，结合①可知四边形OHDF为矩形，即DH=OF=4，根据sin∠DAB= = 知
∠EOB=∠DAH=30°，即∠AOE=150°，根据弧长公式可得答案
【解答】解：（1）∵AE=EC，BE=ED，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AB为直径，且过点E，
∴∠AEB=90°，即AC⊥BD．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）①连结OF．
∵CD的延长线与半圆相切于点F，
∴OF⊥CF．
∵FC∥AB，
∴OF即为△ABD中AB边上的高．∴S = AB×OF= ×8×4=16，
△ABD
∵点O是AB中点，点E是BD的中点，
∴S = S =4．
△OBE △ABD
②过点D作DH⊥AB于点H．
∵AB∥CD，OF⊥CF，
∴FO⊥AB，
∴∠F=∠FOB=∠DHO=90°．
∴四边形OHDF为矩形，即DH=OF=4．
∵在Rt△DAH中，sin∠DAB= = ，
∴∠DAH=30°．
∵点O，E分别为AB，BD中点，
∴OE∥AD，
∴∠EOB=∠DAH=30°．
∴∠AOE=180°﹣∠EOB=150°．
∴弧AE的长= = ．
【点评】本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性质
并结合题意加以灵活运用是解题的关键．
23．在平面直角坐标系中，点O为原点，平行于x轴的直线与抛物线L：y=ax2相交于A，B两点
（点B在第一象限），点D在AB的延长线上．
（1）已知a=1，点B的纵坐标为2．
①如图1，向右平移抛物线L使该抛物线过点B，与AB的延长线交于点C，求AC的长．
②如图2，若BD= AB，过点B，D的抛物线L，其顶点M在x轴上，求该抛物线的函数表达式．
2
（2）如图3，若BD=AB，过O，B，D三点的抛物线L，顶点为P，对应函数的二次项系数为a，过
3 3
点P作PE∥x轴，交抛物线L于E，F两点，求 的值，并直接写出 的值．【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）①根据函数解析式求出点A、B的坐标，求出AC的长；
②作抛物线L 的对称轴与AD相交于点N，根据抛物线的轴对称性求出OM，利用待定系数法
2
求出抛物线的函数表达式；
（2）过点B作BK⊥x轴于点K，设OK=t，得到OG=4t，利用待定系数法求出抛物线的函数表达
式，根据抛物线过点B（t，at2），求出 的值，根据抛物线上点的坐标特征求出 的值．
【解答】解：（1）①二次函数y=x2，当y=2时，2=x2，
解得x= ，x=﹣ ，
1 2
∴AB=2 ．
∵平移得到的抛物线L 经过点B，
1
∴BC=AB=2 ，
∴AC=4 ．
②作抛物线L 的对称轴与AD相交于点N，如图2，
2
根据抛物线的轴对称性，得BN= DB= ，
∴OM= ．
设抛物线L 的函数表达式为y=a（x﹣ ）2，
2
由①得，B点的坐标为（ ，2），
∴2=a（ ﹣ ）2，
解得a=4．
抛物线L 的函数表达式为y=4（x﹣ ）2；
2（2）如图3，抛物线L 与x轴交于点G，其对称轴与x轴交于点Q，
3
过点B作BK⊥x轴于点K，
设OK=t，则AB=BD=2t，点B的坐标为（t，at2），
根据抛物线的轴对称性，得OQ=2t，OG=2OQ=4t．
设抛物线L 的函数表达式为y=ax（x﹣4t），
3 3
∵该抛物线过点B（t，at2），
∴at2=at（t﹣4t），
3
∵t≠0，
∴ =﹣ ，
由题意得，点P的坐标为（2t，﹣4at2），
3
则﹣4at2=ax2，
3
解得，x=﹣ t，x= t，
1 2
EF= t，
∴ = ．
【点评】本题考查的是二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式，灵活运用待定系数
法求出函数解析式、掌握抛物线的对称性、正确理解抛物线上点的坐标特征是解题的关键．24．在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（﹣6，0）．如图1，正方形OBCD的顶点B
在x轴的负半轴上，点C在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形
OEFG．
（1）如图2，若α=60°，OE=OA，求直线EF的函数表达式．
（2）若α为锐角，tanα= ，当AE取得最小值时，求正方形OEFG的面积．
（3）当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，△OEP的其中两边
之比能否为 ：1？若能，求点P的坐标；若不能，试说明理由
【考点】正方形的性质；待定系数法求一次函数解析式．
【分析】（1）先判断出△AEO为正三角形，再根据锐角三角函数求出OM即可；
（2）判断出当AE⊥OQ时，线段AE的长最小，用勾股定理计算即可；
（3）由△OEP的其中两边之比为 ：1分三种情况进行计算即可．
【解答】解：（1）如图1，过点E作EH⊥OA于点H，EF与y轴的交点为M．
∵OE=OA，α=60°，
∴△AEO为正三角形，
∴OH=3，EH= =3 ．
∴E（﹣3，3 ）．
∵∠AOM=90°，
∴∠EOM=30°．
在Rt△EOM中，
∵cos∠EOM= ，
即 = ，
∴OM=4 ．
∴M（0，4 ）．
设直线EF的函数表达式为y=kx+4 ，
∵该直线过点E（﹣3，3 ），
∴﹣3k+4 =3 ，
解得k= ，
所以，直线EF的函数表达式为y= x+4 ．
（2）如图2，
射线OQ与OA的夹角为α（ α为锐角，tanα ）．
无论正方形边长为多少，绕点O旋转角α后得到正方形OEFG的顶点E在射线OQ上，
∴当AE⊥OQ时，线段AE的长最小．
在Rt△AOE中，设AE=a，则OE=2a，
∴a2+（2a）2=62，解得a= ，a=﹣ （舍去），
1 2
∴OE=2a= ，∴S =OE2= ．
正方形OEFG
（3）设正方形边长为m．
当点F落在y轴正半轴时．
如图3，
当P与F重合时，△PEO是等腰直角三角形，有 = 或 = ．
在Rt△AOP中，∠APO=45°，OP=OA=6，
∴点P 的坐标为（0，6）．
1
在图3的基础上，
当减小正方形边长时，
点P在边FG 上，△OEP的其中两边之比不可能为 ：1；
当增加正方形边长时，存在 = （图4）和 = （图5）两种情况．
如图4，△EFP是等腰直角三角形，
有 = ，
即 = ，
此时有AP∥OF．
在Rt△AOE中，∠AOE=45°，
∴OE= OA=6 ，
∴PE= OE=12，PA=PE+AE=18，
∴点P 的坐标为（﹣6，18）．
2
如图5，
过P作PR⊥x轴于点R，延长PG交x轴于点H．设PF=n．
在Rt△POG中，PO2=PG2+OG2=m2+（m+n）2=2m2+2mn+n2，
在Rt△PEF中，PE2=PF2+EF2=m2+n2，
当 = 时，
∴PO2=2PE2．
∴2m2+2mn+n2=2（m2+n2），得n=2m．∵EO∥PH，
∴△AOE∽△AHP，
∴ = ，
∴AH=4OA=24，
即OH=18，
∴m=9 ．
在等腰Rt△PRH中，PR=HR= PH=36，
∴OR=RH﹣OH=18，
∴点P 的坐标为（﹣18，36）．
3
当点F落在y轴负半轴时，
如图6，
P与A重合时，在Rt△POG中，OP= OG，
又∵正方形OGFE中，OG=OE，
∴OP= OE．
∴点P 的坐标为（﹣6，0）．
4
在图6的基础上，当正方形边长减小时，△OEP的其中
两边之比不可能为 ：1；当正方形边长增加时，存在 = （图7）这一种情况．
如图7，过P作PR⊥x轴于点R，设PG=n．
在Rt△OPG中，PO2=PG2+OG2=n2+m2，
在Rt△PEF中，PE2=PF2+FE2=（m+n ）2+m2=2m2+2mn+n2．
当 = 时，
∴PE2=2PO2．
∴2m2+2mn+n2=2n2+2m2，
∴n=2m，
由于NG=OG=m，则PN=NG=m，
∵OE∥PN，∴△AOE∽△ANP，∴ =1，
即AN=OA=6．
在等腰Rt△ONG中，ON= m，
∴12= m，
∴m=6 ，
在等腰Rt△PRN中，RN=PR=6，
∴点P 的坐标为（﹣18，6）．
5
所以，△OEP的其中两边的比能为 ：1，点P的坐标是：P（0，6），P（﹣6，18），
1 2
P（﹣18，36），P（﹣6，0），P（﹣18，6）．
3 4 5
【点评】此题是正方形的性质题，主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解
本题的关键是灵活运用勾股定理进行计算．
