文档内容
2015 年浙江省湖州市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）（2015•湖州）﹣5的绝对值为（ ）
A．﹣5 B．5 C． D．
﹣
2．（3分）（2015•湖州）当x=1时，代数式4﹣3x的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（3分）（2015•湖州）4的算术平方根是（ ）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．
4．（3分）（2015•湖州）若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240°的扇形，则这
个圆锥的底面半径长是（ ）
A．6cm B．9cm C．12cm D．18cm
5．（3分）（2015•湖州）已知一组数据的方差是3，则这组数据的标准差是（ ）
A．9 B．3 C． D．
6．（3分）（2015•湖州）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD
于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于（ ）
A．10 B．7 C．5 D．4
7．（3分）（2015•湖州）一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，
随机摸出一个球后放回并搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是（
）
A． B． C． D．
8．（3分）（2015•湖州）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交
小圆于点D，若OD=2，tan∠OAB= ，则AB的长是（ ）
第1页（共33页）A．4 B．2 C．8 D．4
9．（3分）（2015•湖州）如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形
ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG．点F，G分别在边AD，BC上，
连结OG，DG．若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是（ ）
A．CD+DF=4 B．CD﹣DF=2 ﹣3 C．BC+AB=2 +4 D．BC﹣AB=2
10．（3分）（2015•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A是函数y=
（x＜0）图象上一点，AO的延长线交函数y= （x＞0，k是不等于0的常数）的图象于点C，
点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴的对称点为C′，交于x轴于点B，连结AB，AA′，
A′C′．若△ABC的面积等于6，则由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积等于
（ ）
A．8 B．10 C．3 D．4
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）（2015•湖州）计算：23×（ ）2= ．
第2页（共33页）12．（4分）（2015•湖州）放学后，小明骑车回家，他经过的路程（s 千米）与所用时间（t 分钟）的
函数关系如图所示，则小明的骑车速度是 千米/分钟．
13．（4分）（2015•湖州）在“争创美丽校园，争做文明学生”示范校评比活动中，10位评委给
某校的评分情况下表所示：
评分（分）80 85 90 95
评委人数 1 2 5 2
则这10位评委评分的平均数是 分．
14．（4分）（2015•湖州）如图，已知C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心，半径
OA=2，∠COD=120°，则图中阴影部分的面积等于 ．
15．（4分）（2015•湖州）如图，已知抛物线C ：y=a x2+b x+c 和C ：y=a x2+b x+c 都经过原点，
1 1 1 1 2 2 2 2
顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N，如果点A与点B，点M与点N都关于原
点O成中心对称，则称抛物线C 和C 为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C 和C ，使
1 2 1 2
四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是 和 ．
16．（4分）（2015•湖州）已知正方形ABC D 的边长为1，延长C D 到A ，以A C 为边向右
1 1 1 1 1 1 1
作正方形A C C D ，延长C D 到A ，以A C 为边向右作正方形A C C D（如图所示），以此
1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3
第3页（共33页）类推…．若A C =2，且点A，D ，D ，…，D 都在同一直线上，则正方形A C C D 的边长是
1 1 2 3 10 9 9 10 10
．
三、解答题（本题有8个小题，共66分）
17．（6分）（2015•湖州）计算： ．
18．（6分）（2015•湖州）解不等式组 ．
19．（6分）（2015•湖州）已知y是x的一次函数，当x=3时，y=1；当x=﹣2时，y=﹣4，求这个
一次函数的解析式．
20．（8分）（2015•湖州）如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E
为AC的中点，连结DE．
（1）若AD=DB，OC=5，求切线AC的长；
（2）求证：ED是⊙O的切线．
第4页（共33页）21．（8分）（2015•湖州）为了深化课程改革，某校积极开展校本课程建设，计划成立“文学鉴
赏”、“科学实验”、“音乐舞蹈”和“手工编织”等多个社团，要求每位学生都自主选择
其中一个社团．为此，随机调查了本校各年级部分学生选择社团的意向，并将调查结果绘制
成如下统计图表（不完整）：
选择意向 所占百分比
文学鉴赏 a
科学实验 35%
音乐舞蹈 b
手工编织 10%
其他 c
根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）求本次调查的学生总人数及a，b，c的值；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有1200名学生，试估计全校选择“科学实验”社团的学生人数．
22．（10分）（2015•湖州）某工厂计划在规定时间内生产24000个零件．若每天比原计划多生
产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件．
（1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数；
（2）为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器
人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个
第5页（共33页）工人原计划每天生产的零件总数还多20%．按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生
产任务，求原计划安排的工人人数．
23．（10分）（2015•湖州）问题背景
已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B运动（与A，B不重合），点E与点D同时出发，
由点C沿BC的延长线方向运动（E不与C重合），边结DE交AC于点F，点H是线段AF上
一点．
（1）初步尝试
如图1，若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且点D，E的运动速度相等．
求证：HF=AH+CF．
小五同学发现可以由以下两种思路解决此问题：
思路一：过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证DH=AH，再证GF=CF，从而证得结论成立；
思路二：过点E作EM⊥AC，交AC的延长线于点M，先证CM=AH，再证HF=MF，从而证得
结论成立．
请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程（如用两种方法作答，则以第一种方法评
分）；
（2）类比探究
如图2，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，且D，E的运动速度之比是 ：1，求
的值；
（3）延伸拓展
如图3，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，记 =m，且点D，E运动速度相等，试
用含m的代数式表示 （直接写出结果，不必写解答过程）．
第6页（共33页）24．（12分）（2015•湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点
A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点
B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点D．
（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a=﹣ ．
①求点D的坐标及该抛物线的解析式；
②连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出
所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（2）如图2，若该抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB
与∠BCD互余．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．
2015 年浙江省湖州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）（2015•湖州）﹣5的绝对值为（ ）
A．﹣5 B．5 C． D．
﹣
考点：绝对值．
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分析：根据绝对值的概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值可直接得到答
案．
解答：解：﹣5的绝对值为5，
第7页（共33页）故选：B．
点评：此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一
个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．（3分）（2015•湖州）当x=1时，代数式4﹣3x的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点：代数式求值．
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专题：计算题．
分析：把x的值代入原式计算即可得到结果．
解答：解：当x=1时，原式=4﹣3=1，
故选A．
点评：此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（3分）（2015•湖州）4的算术平方根是（ ）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．
考点：算术平方根．
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分析：根据开方运算，可得一个数的算术平方根．
解答：解：4的算术平方根是2，
故选：B．
点评：本题考查了算术平方根，注意一个正数只有一个算术平方根．
4．（3分）（2015•湖州）若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240°的扇形，则这
个圆锥的底面半径长是（ ）
A．6cm B．9cm C．12cm D．18cm
考点：圆锥的计算．
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分析：利用弧长公式可得圆锥的侧面展开图的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．
解答：
解：圆锥的弧长为： =24π，
∴圆锥的底面半径为24π÷2π=12，
故选C．
点评：考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长；
第8页（共33页）5．（3分）（2015•湖州）已知一组数据的方差是3，则这组数据的标准差是（ ）
A．9 B．3 C． D．
考点：标准差；方差．
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分析：根据标准差是方差的算术平方根，即可得出答案．
解答：解：∵数据的方差是S2=3，
∴这组数据的标准差是 ；
故选D．
点评：本题考查了标准差，关键是掌握标准差和方差的关系，标准差即方差的算术平方根；注
意标准差和方差一样都是非负数．
6．（3分）（2015•湖州）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD
于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于（ ）
A．10 B．7 C．5 D．4
考点：角平分线的性质．
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分析：作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF=DE=2，然后根据三角形面积公式求得
即可．
解答：解：作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴EF=DE=2，
∴S = BC•EF= ×5×2=5，
△BCE
故选C．
点评：本题考查了角的平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题
的关键．
7．（3分）（2015•湖州）一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，
随机摸出一个球后放回并搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是（
）
第9页（共33页）A． B． C． D．
考点：列表法与树状图法．
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分析：列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．
解答：解：列表得：
黑 白 白
黑（黑，黑）（黑，白）（黑，白）
白（黑，白）（白，白）（白，白）
白（黑，白）（白，白）（白，白）
∵共9种等可能的结果，两次都是黑色的情况有1种，
∴两次摸出的球都是黑球的概率为 ，
故选D．
点评：本题考查了列表法与树状图法的知识，解决本题时采用了两个独立事件同时发生的概
率等于两个独立事件单独发生的概率的积，难度不大．
8．（3分）（2015•湖州）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交
小圆于点D，若OD=2，tan∠OAB= ，则AB的长是（ ）
A．4 B．2 C．8 D．4
考点：切线的性质．
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分析：
连接OC，利用切线的性质知OC⊥AB，由垂径定理得AB=2AC，因为tan∠OAB= ，易
得 = ，代入得结果．
解答：解：连接OC，
∵大圆的弦AB切小圆于点C，
∴OC⊥AB，
∴AB=2AC，
∵OD=2，
第10页（共33页）∴OC=2，
∵tan∠OAB= ，
∴AC=4，
∴AB=8，
故选C．
点评：本题主要考查了切线的性质和垂径定理，连接过切点的半径是解答此题的关键．
9．（3分）（2015•湖州）如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形
ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG．点F，G分别在边AD，BC上，
连结OG，DG．若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是（ ）
A．CD+DF=4 B．CD﹣DF=2 ﹣3 C．BC+AB=2 +4 D．BC﹣AB=2
考点：三角形的内切圆与内心；翻折变换（折叠问题）．
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分析：设⊙O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N，证明△OMG≌△GCD，
得到OM=GC=1，CD=GM=BC﹣BM﹣GC=BC﹣2．设AB=a，BC=b，AC=c，⊙O的半
径为r，⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r= （a+b﹣c），所以c=a+b﹣2．在Rt△ABC中，
利用勾股定理求得 （舍去），从而求出a，b的值，所以
BC+AB=2 +4．再设DF=x，在Rt△ONF中，FN= ，OF=x，ON=
，由勾股定理可得 ，解得x=4 ，
从而得到CD﹣DF= ，CD+DF= ．即
可解答．
解答：解：如图，
第11页（共33页）设⊙O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N，
∵将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，
∴OG=DG，
∵OG⊥DG，
∴∠MGO+∠DGC=90°，
∵∠MOG+∠MGO=90°，
∴∠MOG=∠DGC，
在△OMG和△GCD中，
∴△OMG≌△GCD，
∴OM=GC=1，CD=GM=BC﹣BM﹣GC=BC﹣2．
∵AB=CD，
∴BC﹣AB=2．
设AB=a，BC=b，AC=c，⊙O的半径为r，
⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r= （a+b﹣c），
∴c=a+b﹣2．
在Rt△ABC中，由勾股定理可得a2+b2=（a+b﹣2）2，
整理得2ab﹣4a﹣4b+4=0，
又∵BC﹣AB=2即b=2+a，代入可得2a（2+a）﹣4a﹣4（2+a）+4=0，
解得 （舍去），
∴ ，
∴BC+AB=2 +4．
再设DF=x，在Rt△ONF中，FN= ，OF=x，ON= ，
由勾股定理可得 ，
解得x=4 ，
∴CD﹣DF= ，CD+DF= ．
综上只有选项A错误，
第12页（共33页）故选A．
点评：本题考查了三角形的内切圆和内心，切线的性质，勾股定理，矩形的性质等知识点的综
合应用，解决本题的关键是三角形内切圆的性质．
10．（3分）（2015•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A是函数y=
（x＜0）图象上一点，AO的延长线交函数y= （x＞0，k是不等于0的常数）的图象于点C，
点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴的对称点为C′，交于x轴于点B，连结AB，AA′，
A′C′．若△ABC的面积等于6，则由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积等于
（ ）
A．8 B．10 C．3 D．4
考点：反比例函数综合题．
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分析：
过A作AD⊥x轴于D，连接OA′，设A（a， ），C（b， ），由△OAD∽△BCO，得到
= = ，根据反比例函数的系数k的几何意义得到S = ，S =
△ADO △BOC
，求出k2= ，得到k=﹣ ，根据S =S +S = （﹣ ）•b+ =6，列
△ABC △AOB △BOC
出关于k的方程k2+k﹣12=0，求得k=3，由于点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x
轴的对称点为C′，得到OA′，OC′在同一条直线上，于是得到由线段AC，CC′，C′A′，A′A
所围成的图形的面积=S +S +S =10．
△OBC △OBC′ △OAA′
解答：解：过A作AD⊥x轴于D，连接OA′，
∵点A是函数y= （x＜0）图象上一点，
第13页（共33页）∴设A（a， ），
∵点C在函数y= （x＞0，k是不等于0的常数）的图象上，
∴设C（b， ），
∵AD⊥BD，BC⊥BD，
∴△OAD∽△BCO，
∴ = = ，
∵S = ，S = ，
△ADO △BOC
∴k2= ，
∴k=﹣ ，
∵S =S +S = （﹣ ）•b+ =6，
△ABC △AOB △BOC
∴k2﹣ =12，
∴k2+k﹣12=0，
解得：k=3，k=﹣4（不合题意舍去），
∵点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴的对称点为C′，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1+∠4=∠2+∠3=90°，
∴OA′，OC′在同一条直线上，
∴S =S = = ，
△OBC′ △OBC
∵S =2S =1，
△OAA′ △OAD
∴由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积=S +S +S =10．
△OBC △OBC′ △OAA′
故选B．
第14页（共33页）点评：本题考查了反比例函数的图象的性质，系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质，
轴对称的性质，正确的理解轴对称图形的性质是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）（2015•湖州）计算：23×（ ）2= 2 ．
考点：有理数的乘方；有理数的乘法．
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分析：根据有理数的乘方，即可解答．
解答：
解：23×（ ）2=8× =2，
故答案为：2．
点评：本题考查了有理数的乘方，解决本题的关键是熟记有理数乘方的定义．
12．（4分）（2015•湖州）放学后，小明骑车回家，他经过的路程（s 千米）与所用时间（t 分钟）的
函数关系如图所示，则小明的骑车速度是 0. 2 千米/分钟．
考点：函数的图象．
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分析：根据函数图象的纵坐标，可得路程，根据函数图象的横坐标，可得时间，根据路程与时
间的关系，可得答案．
解答：解：由纵坐标看出路程是2千米，
由横坐标看出时间是10分钟，
第15页（共33页）小明的骑车速度是2÷10=0.2（千米/分钟），
故答案为：0.2．
点评：本题考查了函数图象，观察函数图象的纵坐标得出路程，观察函数图象的横坐标得出
时间，利用了路程与时间的关系．
13．（4分）（2015•湖州）在“争创美丽校园，争做文明学生”示范校评比活动中，10位评委给
某校的评分情况下表所示：
评分（分）80 85 90 95
评委人数 1 2 5 2
则这10位评委评分的平均数是 8 9 分．
考点：加权平均数．
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分析：平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．
解答：解：这10位评委评分的平均数是：
（80+85×2+90×5+95×2）÷10=89（分）．
故答案为89．
点评：本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求80，85，90，95这四个数的平
均数，对平均数的理解不正确．
14．（4分）（2015•湖州）如图，已知C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心，半径
OA=2，∠COD=120°，则图中阴影部分的面积等于 π ．
考点：扇形面积的计算．
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分析：图中阴影部分的面积=半圆的面积﹣圆心角是120°的扇形的面积，根据扇形面积的计
算公式计算即可求解．
解答：
解：图中阴影部分的面积= π×22﹣
=2π﹣ π
第16页（共33页）= π．
答：图中阴影部分的面积等于 π．
故答案为： π．
点评：考查了扇形面积的计算，求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形
的面积．
15．（4分）（2015•湖州）如图，已知抛物线C ：y=a x2+b x+c 和C ：y=a x2+b x+c 都经过原点，
1 1 1 1 2 2 2 2
顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N，如果点A与点B，点M与点N都关于原
点O成中心对称，则称抛物线C 和C 为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C 和C ，使
1 2 1 2
四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是 y=﹣ x 2 +2 x 和 y=
x 2 +2 x ．
考点：二次函数图象与几何变换．
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专题：新定义．
分析：连接AB，根据姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数，一次项系数相等且不等于零，
常数项都是零，设抛物线C 的解析式为y=ax2+bx，
1
根据四边形ANBM恰好是矩形可得△AOM是等边三角形，设OM=2，则点A的坐标
是（1， ），求出抛物线C 的解析式，从而求出抛物线C 的解析式．
1 2
解答：解：连接AB，
根据姐妹抛物线的定义，可得姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数，一次项系数相
等且不等于零，常数项都是零，
设抛物线C 的解析式为y=ax2+bx，
1
根据四边形ANBM恰好是矩形可得：OA=OM，
∵OA=MA，
∴△AOM是等边三角形，
第17页（共33页）设OM=2，则点A的坐标是（1， ），
则 ，
解得：
则抛物线C 的解析式为y=﹣ x2+2 x，
1
抛物线C 的解析式为y= x2+2 x，
2
故答案为：y=﹣ x2+2 x，y= x2+2 x．
点评：此题考查了二次函数的图象与几何变换，用到的知识点是姐妹抛物线的定义、二次函
数的图象与性质、矩形的判定，关键是根据姐妹抛物线的定义得出姐妹抛物线的二次
项的系数、一次项系数、常数项之间的关系．
16．（4分）（2015•湖州）已知正方形ABC D 的边长为1，延长C D 到A ，以A C 为边向右
1 1 1 1 1 1 1
作正方形A C C D ，延长C D 到A ，以A C 为边向右作正方形A C C D（如图所示），以此
1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3
类推…．若A C =2，且点A，D ，D ，…，D 都在同一直线上，则正方形A C C D 的边长是
1 1 2 3 10 9 9 10 10
．
考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
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专题：规律型．
第18页（共33页）分析：延长D A和C B交于O，根据正方形的性质和三角形相似的性质即可求得各个正方形
4 1
的边长，从而得出规律，即可求得正方形A C C D 的边长．
9 9 10 10
解答：解：延长D A和C B交于O，
4 1
∵AB∥A C ，
2 1
∴△AOB∽△D
2
OC
2
，
∴ = ，
∵AB=BC =1，D C =C C =2，
1 2 1 2
∴ = =
∴OC =2OB，
2
∴OB=BC =3，
2
∴OC =6，
2
设正方形A C C D 的边长为x ，
2 2 3 3 1
同理证得：△D OC ∽△D OC ，
2 2 3 3
∴ = ，解得，x =3，
1
∴正方形A C C D 的边长为3，
2 2 3 3
设正方形A C C D 的边长为x ，
3 3 4 4 2
同理证得：△D OC ∽△D OC ，
3 3 4 4
∴ = ，解得x = ，
2
∴正方形A C C D 的边长为 ；
3 3 4 4
设正方形A C C D 的边长为x ，
4 4 5 5 3
同理证得：△D OC ∽△D OC ，
4 4 5 5
∴ = ，解得x= ，
∴正方形A C C D 的边长为 ；
4 4 5 5
以此类推…．
正方形A C C D 的边长为 ；
n﹣1 n﹣1 n n
第19页（共33页）∴正方形A C C D 的边长为 ．
9 9 10 10
故答案为 ．
点评：本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，求得前五个正方形的边长得出
规律是解题的关键．
三、解答题（本题有8个小题，共66分）
17．（6分）（2015•湖州）计算： ．
考点：分式的加减法．
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专题：计算题．
分析：原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
解答：
解：原式= = =a+b．
点评：此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（6分）（2015•湖州）解不等式组 ．
考点：解一元一次不等式组．
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分析：先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．
解答：
解：
∵解不等式①得：x＜6，
解不等式②得：x＞1，
∴不等式组的解集为1＜x＜6．
第20页（共33页）点评：本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集求出不
等式组的解集，难度适中．
19．（6分）（2015•湖州）已知y是x的一次函数，当x=3时，y=1；当x=﹣2时，y=﹣4，求这个
一次函数的解析式．
考点：待定系数法求一次函数解析式．
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分析：一次函数解析式为y=kx+b，将x与y的两对值代入求出k与b的值，即可确定出一次
函数解析式．
解答：解：设一次函数解析式为y=kx+b，
将x=3，y=1；x=﹣2，y=﹣4代入得： ，
解得：k=1，b=﹣2．
则一次函数解析式为y=x﹣2．
点评：此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
20．（8分）（2015•湖州）如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E
为AC的中点，连结DE．
（1）若AD=DB，OC=5，求切线AC的长；
（2）求证：ED是⊙O的切线．
考点：切线的判定与性质．
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分析：（1）连接CD，由直径所对的圆周角为直角可得：∠BDC=90°，即可得：CD⊥AB，然后根
据AD=DB，进而可得CD是AB的垂直平分线，进而可得 AC=BC=2OC=10；
（2）连接OD，先由直角三角形中线的性质可得DE=EC，然后根据等边对等角可得
∠1=∠2，由OD=OC，根据等边对等角可得∠3=∠4，然后根据切线的性质可得
∠2+∠4=90°，进而可得：∠1+∠3=90°，进而可得：DE⊥OD，从而可得：ED是⊙O的切
线．
解答：（1）解：连接CD，
第21页（共33页）∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
即CD⊥AB，
∵AD=DB，OC=5，
∴CD是AB的垂直平分线，
∴AC=BC=2OC=10；
（2）证明：连接OD，如图所示，
∵∠ADC=90°，E为AC的中点，
∴DE=EC= AC，
∴∠1=∠2，
∵OD=OC，
∴∠3=∠4，
∵AC切⊙O于点C，
∴AC⊥OC，
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，
即DE⊥OD，
∴ED是⊙O的切线．
点评：此题考查了切线的判定与性质，解题的关键是：熟记切线的判定定理与性质定理，经过
半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于过切点的直径．
21．（8分）（2015•湖州）为了深化课程改革，某校积极开展校本课程建设，计划成立“文学鉴
赏”、“科学实验”、“音乐舞蹈”和“手工编织”等多个社团，要求每位学生都自主选择
第22页（共33页）其中一个社团．为此，随机调查了本校各年级部分学生选择社团的意向，并将调查结果绘制
成如下统计图表（不完整）：
选择意向 所占百分比
文学鉴赏 a
科学实验 35%
音乐舞蹈 b
手工编织 10%
其他 c
根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）求本次调查的学生总人数及a，b，c的值；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有1200名学生，试估计全校选择“科学实验”社团的学生人数．
考点：条形统计图；用样本估计总体；统计表．
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分析：（1）先计算出本次调查的学生总人数，再分别计算出百分比，即可解答；
（2）根据百分比，计算出文学鉴赏和手工编织的人数，即可补全条形统计图；
（3）用总人数乘以“科学实验”社团的百分比，即可解答．
解答：解：（1）本次调查的学生总人数是：70÷35%=200（人），
b=40÷200=20%，
c=10÷200=5%，
a=1﹣（35%+20%+10%+5%）=30%．
（2）文学鉴赏的人数：30%×200=60（人），
手工编织的人数：10%×200=20（人），
如图所示，
第23页（共33页）（3）全校选择“科学实验”社团的学生人数：1200×35%=420（人）．
点评：本题考查条形统计图，解决本题的关键是读懂图形，获取相关信息．
22．（10分）（2015•湖州）某工厂计划在规定时间内生产24000个零件．若每天比原计划多生
产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件．
（1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数；
（2）为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器
人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个
工人原计划每天生产的零件总数还多20%．按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生
产任务，求原计划安排的工人人数．
考点：分式方程的应用；一元一次方程的应用．
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分析：（1）可设原计划每天生产的零件x个，根据时间是一定的，列出方程求得原计划每天生
产的零件个数，再根据工作时间=工作总量÷工作效率，即可求得规定的天数；
（2）可设原计划安排的工人人数为y人，根据等量关系：恰好提前两天完成24000个零
件的生产任务，列出方程求解即可．
解答：解：（1）设原计划每天生产的零件x个，依题意有
= ，
解得x=2400，
经检验，x=2400是原方程的根，且符合题意．
∴规定的天数为24000÷2400=10（天）．
答：原计划每天生产的零件2400个，规定的天数是10天；
（2）设原计划安排的工人人数为y人，依题意有
[5×20×（1+20%）× +2400 ×（10﹣2）=24000，
解得y=480， ]
第24页（共33页）经检验，y=480是原方程的根，且符合题意．
答：原计划安排的工人人数为480人．
点评：考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适
的等量关系是解决问题的关键．此题等量关系比较多，主要用到公式：工作总量=工作
效率×工作时间．
23．（10分）（2015•湖州）问题背景
已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B运动（与A，B不重合），点E与点D同时出发，
由点C沿BC的延长线方向运动（E不与C重合），边结DE交AC于点F，点H是线段AF上
一点．
（1）初步尝试
如图1，若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且点D，E的运动速度相等．
求证：HF=AH+CF．
小五同学发现可以由以下两种思路解决此问题：
思路一：过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证DH=AH，再证GF=CF，从而证得结论成立；
思路二：过点E作EM⊥AC，交AC的延长线于点M，先证CM=AH，再证HF=MF，从而证得
结论成立．
请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程（如用两种方法作答，则以第一种方法评
分）；
（2）类比探究
如图2，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，且D，E的运动速度之比是 ：1，求
的值；
（3）延伸拓展
如图3，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，记 =m，且点D，E运动速度相等，试
用含m的代数式表示 （直接写出结果，不必写解答过程）．
第25页（共33页）考点：相似形综合题．
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分析：（1）过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证明△ADG是等边三角形，得出
GD=AD=CE，再证明GH=AH，由ASA证明△GDF≌△CEF，得出GF=CF，即可得出结
论；
（2）过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证出AH=GH=GD，AD= GD，由题意AD=
CE，得出GD=CE，再证明△GDF≌△CEF，得出GF=CF，即可得出结论；
（3）过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证出 DG=DH=AH，再证明△ADG∽△ABC，
△ADG∽△DGH，△DGH∽△ABC，得出 =m， =m，△DGH∽△ABC，
得出 =m， =m，证明△DFG∽△EFC，得出 =m， =m， = ，
即可得出结果．
解答：（1）证明（选择思路一）：过点D作DG∥BC，交AC于点G，如图1所示：
则∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，
∴∠ADG=∠AGD=∠A，
∴△ADG是等边三角形，
∴GD=AD=CE，
∵DH⊥AC，
∴GH=AH，
∵DG∥BC，
∴∠GDF=∠CEF，∠DGF=∠ECF，
在△GDF和△CEF中，
，
∴△GDF≌△CEF（ASA），
∴GF=CF，
第26页（共33页）∴GH+GF=AH+CF，
即HF=AH+CF；
（2）解：过点D作DG∥BC，交AC于点G，如图2所示：
则∠ADG=∠B=90°，
∵∠BAC=∠ADH=30°，
∴∠HGD=∠HDG=60°，
∴AH=GH=GD，AD= GD，
根据题意得：AD= CE，
∴GD=CE，
∵DG∥BC，
∴∠GDF=∠CEF，∠DGF=∠ECF，
在△GDF和△CEF中，
，
∴△GDF≌△CEF（ASA），
∴GF=CF，
∴GH+GF=AH+CF，
即HF=AH+CF，
∴ =2；
（3）解： ，理由如下：
过点D作DG∥BC，交AC于点G，如图3所示：
则∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，
∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ACB=∠B=∠ADG=∠AGD=72°，
∵∠ADH=∠BAC=36°，
∴AH=DH，∠DHG=72°=∠AGD，
∴DG=DH=AH，△ADG∽△ABC，△ADG∽△DGH，
∴ =m， =m，
∴△DGH∽△ABC，
∴ =m，
∴ =m，
第27页（共33页）∵DG∥BC，
∴△DFG∽△EFC，
∴ =m，
∴ =m，
即 =m，
∴ = ，
∴ = = = ．
点评：本题是相似形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、
全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性
强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线证明三角形全等或三角形相似才能得出结
果．
第28页（共33页）24．（12分）（2015•湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点
A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点
B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点D．
（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a=﹣ ．
①求点D的坐标及该抛物线的解析式；
②连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出
所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（2）如图2，若该抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB
与∠BCD互余．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．
考点：二次函数综合题．
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分析：（1）①过点D作DF⊥x轴于点F，先通过三角形全等求得D的坐标，把D的坐标和a=
﹣ ，c=0代入y=ax2+bx+c即可求得抛物线的解析式；
②先证得CD∥x轴，进而求得要使得∠POB与∠BCD互余，则必须∠POB=∠BAO，设
P的坐标为（x，﹣ x2+ x），分两种情况讨论即可求得；
（2）若符合条件的Q点的个数是4个，则当a＜0时，抛物线交于y轴的负半轴，当a＞
0时，最小值得＜﹣1，解不等式即可求得．
解答：解：（1）①过点D作DF⊥x轴于点F，如图1，
∵∠DBF+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠DBF=∠BAO，
又∵∠AOB=∠BFD=90°，AB=BD，
在△AOB和△BFD中，
，
∴△AOB≌△BFD（AAS）
第29页（共33页）∴DF=BO=1，BF=AO=2，
∴D的坐标是（3，1），
根据题意，得a=﹣ ，c=0，且a×32+b×3+c=1，
∴b= ，
∴该抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x；
②∵点A（0，2），B（1，0），点C为线段AB的中点，
∴C（ ，1），
∵C、D两点的纵坐标都为1，
∴CD∥x轴，
∴∠BCD=∠ABO，
∴∠BAO与∠BCD互余，
要使得∠POB与∠BCD互余，则必须∠POB=∠BAO，
设P的坐标为（x，﹣ x2+ x），
（Ⅰ）当P在x轴的上方时，过P作PG⊥x轴于点G，如图2，
则tan∠POB=tan∠BAO，即 = ，
∴ = ，解得x =0（舍去），x = ，
1 2
∴﹣ x2+ x= ，
∴P点的坐标为（ ， ）；
（Ⅱ）当P在x轴的上方时，过P作PG⊥x轴于点G，如图3
则tan∠POB=tan∠BAO，即 = ，
∴ = ，解得x =0（舍去），x = ，
1 2
∴﹣ x2+ x=﹣ ，
∴P点的坐标为（ ，﹣ ）；
第30页（共33页）综上，在抛物线上是否存在点P（ ， ）或（ ，﹣ ），使得∠POB与∠BCD互余．
（2）如图3，∵D（3，1），E（1，1），
抛物线y=ax2+bx+c过点E、D，代入可得 ，解得 ，所以y=ax2﹣
4ax+3a+1．
分两种情况：
①当抛物线y=ax2+bx+c开口向下时，若满足∠QOB与∠BCD互余且符合条件的Q点
的个数是4个，则点Q在x轴的上、下方各有两个．
（i）当点Q在x轴的下方时，直线OQ与抛物线有两个交点，满足条件的Q有2个；
（ii）当点Q在x轴的上方时，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，抛物线
y=ax2+bx+c与x轴的交点必须在x轴的正半轴上，与y轴的交点在y轴的负半轴，所
以3a+1＜0，解得a＜﹣ ；
②当抛物线y=ax2+bx+c开口向上时，点Q在x轴的上、下方各有两个，
（i）当点Q在x轴的上方时，直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点
Q有两个；
（ii）当点Q在x轴的下方时，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，符合条
件的点Q才两个．
根据（2）可知，要使得∠QOB与∠BCD互余，则必须∠POB=∠BAO，
∴tan∠QOB=tan∠BAO= = ，此时直线OQ的斜率为﹣ ，则直线OQ的解析式为y=
﹣ x，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，所以方程ax2﹣4ax+3a+1=﹣ x
有两个不相等的实数根，所以△=（﹣4a+ ）2﹣4a（3a+1）＞0，即4a2﹣8a+ ＞0，解得a
＞ （a＜ 舍去）
综上所示，a的取值范围为a＜﹣ 或a＞ ．
第31页（共33页）点评：本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，正切函数，最小值
等，分类讨论的思想是本题的关键．
第32页（共33页）参与本试卷答题和审题的老师有：sd2011；sks；2300680618；sjzx；张其铎；守拙；fangcao；
sdwdmahongye；王学峰；HJJ；HLing；lantin；zjx111；zcl5287；wdzyzmsy@126.com（排名不分
先后）
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2015年7月24日
第33页（共33页）
