文档内容
2015年浙江省湖州市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）﹣5的绝对值为（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣ D．
2．（3分）当x＝1时，代数式4﹣3x的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（3分）4的算术平方根是（ ）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．
4．（3分）若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240°的扇形，则这个圆锥的底
面半径长是（ ）
A．6cm B．9cm C．12cm D．18cm
5．（3分）已知一组数据的方差是3，则这组数据的标准差是（ ）
A．9 B．3 C． D．
6．（3分）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝
5，DE＝2，则△BCE的面积等于（ ）
A．10 B．7 C．5 D．4
7．（3分）一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一
个球后放回并搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若
OD＝2，tan∠OAB＝ ，则AB的长是（ ）
第1页（共27页）A．4 B．2 C．8 D．4
9．（3分）如图，AC是矩形ABCD的对角线， O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图
所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕⊙为FG．点F，G分别在边AD，BC上，连结OG，
DG．若OG⊥DG，且 O的半径长为1，则下列结论不成立的是（ ）
⊙
A．CD+DF＝4 B．CD﹣DF＝2 ﹣3 C．BC+AB＝2 +4 D．BC﹣AB＝2
10．（3分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A是函数y＝ （x＜0）图
象上一点，AO的延长线交函数y＝ （x＞0，k是不等于0的常数）的图象于点C，点A关
于y轴的对称点为A′，点C关于x轴的对称点为C′，交于x轴于点B，连结AB，AA′，
A′C′．若△ABC的面积等于6，则由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面
积等于（ ）
A．8 B．10 C．3 D．4
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）计算：23×（ ）2＝ ．
第2页（共27页）12．（4分）放学后，小明骑车回家，他经过的路程s（千米）与所用时间（t 分钟）的函数关系如
图所示，则小明的骑车速度是 千米/分钟．
13．（4分）在“争创美丽校园，争做文明学生”示范校评比活动中，10位评委给某校的评分
情况下表所示：
评分（分） 80 85 90 95
评委人数 1 2 5 2
则这10位评委评分的平均数是 分．
14．（4分）如图，已知C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心，半径OA＝2，
∠COD＝120°，则图中阴影部分的面积等于 ．
15．（4分）如图，已知抛物线C ：y＝a x2+b x+c 和C ：y＝a x2+b x+c 都经过原点，顶点分别
1 1 1 1 2 2 2 2
为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N，如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中
心对称，则称抛物线C 和C 为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C 和C ，使四边形
1 2 1 2
ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是 和 ．
16．（4分）已知正方形ABC D 的边长为1，延长C D 到A ，以A C 为边向右作正方形
1 1 1 1 1 1 1
A C C D ，延长C D 到A ，以A C 为边向右作正方形A C C D（如图所示），以此类推…．
1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3
若A C ＝2，且点A，D ，D ，…，D 都在同一直线上，则正方形A C C D 的边长是
1 1 2 3 10 9 9 10 10
第3页（共27页）．
三、解答题（本题有8个小题，共66分）
17．（6分）计算： ．
18．（6分）解不等式组 ．
19．（6分）已知y是x的一次函数，当x＝3时，y＝1；当x＝﹣2时，y＝﹣4，求这个一次函数
的解析式．
20．（8分）如图，已知BC是 O的直径，AC切 O于点C，AB交 O于点D，E为AC的中点，
连结DE． ⊙ ⊙ ⊙
（1）若AD＝DB，OC＝5，求切线AC的长；
（2）求证：ED是 O的切线．
⊙
21．（8分）为了深化课程改革，某校积极开展校本课程建设，计划成立“文学鉴赏”、“科学
实验”、“音乐舞蹈”和“手工编织”等多个社团，要求每位学生都自主选择其中一个社
团．为此，随机调查了本校各年级部分学生选择社团的意向，并将调查结果绘制成如下统
计图表（不完整）：
选择意向 所占百分比
文学鉴赏 a
科学实验 35%
音乐舞蹈 b
手工编织 10%
第4页（共27页）其他 c
根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）求本次调查的学生总人数及a，b，c的值；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有1200名学生，试估计全校选择“科学实验”社团的学生人数．
22．（10分）某工厂计划在规定时间内生产24000个零件．若每天比原计划多生产30个零件，
则在规定时间内可以多生产300个零件．
（1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数；
（2）为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机
器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比
20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%．按此测算，恰好提前两天完成24000个
零件的生产任务，求原计划安排的工人人数．
23．（10分）问题背景
已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B运动（与A，B不重合），点E与点D同时出
发，由点C沿BC的延长线方向运动（E不与C重合），连接DE交AC于点F，点H是线段
AF上一点．
（1）初步尝试
如图1，若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且点D，E的运动速度相等．
求证：HF＝AH+CF．
小五同学发现可以由以下两种思路解决此问题：
思路一：过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证GH＝AH，再证GF＝CF，从而证得结论
成立；
思路二：过点E作EM⊥AC，交AC的延长线于点M，先证CM＝AH，再证HF＝MF，从而
第5页（共27页）证得结论成立．
请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程（如用两种方法作答，则以第一种方法
评分）；
（2）类比探究
如图2，若在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ADH＝∠BAC＝30°，且D，E的运动速度之比是
：1，求 的值；
（3）延伸拓展
如图3，若在△ABC中，AB＝AC，∠ADH＝∠BAC＝36°，记 ＝m，且点D，E运动速度相
等，试用含m的代数式表示 （直接写出结果，不必写解答过程）．
24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2），B
（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时
针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点D．
（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a＝﹣ ．
求点D的坐标及该抛物线的解析式；
①连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出
②所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（2）如图2，若该抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足
∠QOB与∠BCD互余．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．
第6页（共27页）第7页（共27页）2015年浙江省湖州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．【分析】根据绝对值的概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值可直接得到
答案．
【解答】解：﹣5的绝对值为5，
故选：B．
【点评】此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本
身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．【分析】把x的值代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：当x＝1时，原式＝4﹣3＝1，
故选：A．
【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．【分析】根据开方运算，可得一个数的算术平方根．
【解答】解：4的算术平方根是2，
故选：B．
【点评】本题考查了算术平方根，注意一个正数只有一个算术平方根．
4．【分析】利用弧长公式可得圆锥的侧面展开图的弧长，除以2 即为圆锥的底面半径．
π
【解答】解：圆锥的弧长为： ＝24 ，
π
∴圆锥的底面半径为24 ÷2 ＝12，
故选：C． π π
【点评】考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面
周长；
5．【分析】根据标准差是方差的算术平方根，即可得出答案．
【解答】解：∵数据的方差是S2＝3，
∴这组数据的标准差是 ；
故选：D．
【点评】本题考查了标准差，关键是掌握标准差和方差的关系，标准差即方差的算术平方
根；注意标准差和方差一样都是非负数．
第8页（共27页）6．【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF＝DE＝2，然后根据三角形面积公式
求得即可．
【解答】解：作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴EF＝DE＝2，
∴S△BCE ＝ BC•EF＝ ×5×2＝5，
故选：C．
【点评】本题考查了角的平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是
解题的关键．
7．【分析】列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．
【解答】解：列表得：
黑 白 白
黑 （黑，黑） （黑，白） （黑，白）
白 （黑，白） （白，白） （白，白）
白 （黑，白） （白，白） （白，白）
∵共9种等可能的结果，两次都是黑色的情况有1种，
∴两次摸出的球都是黑球的概率为 ，
故选：D．
【点评】本题考查了列表法与树状图法的知识，解决本题时采用了两个独立事件同时发生
的概率等于两个独立事件单独发生的概率的积，难度不大．
8．【分析】连接OC，利用切线的性质知OC⊥AB，由垂径定理得AB＝2AC，因为tan∠OAB＝
，易得 ＝ ，代入得结果．
【解答】解：连接OC，
∵大圆的弦AB切小圆于点C，
∴OC⊥AB，
第9页（共27页）∴AB＝2AC，
∵OD＝2，
∴OC＝2，
∵tan∠OAB＝ ，
∴AC＝4，
∴AB＝8，
故选：C．
【点评】本题主要考查了切线的性质和垂径定理，连接过切点的半径是解答此题的关键．
9．【分析】设 O 与 BC 的切点为 M，连接 MO 并延长 MO 交 AD 于点 N，证明
△OMG≌△GC⊙D，得到OM＝GC＝1，CD＝GM＝BC﹣BM﹣GC＝BC﹣2．设AB＝a，BC
＝b，AC＝c， O的半径为r， O是Rt△ABC的内切圆可得r＝ （a+b﹣c），所以c＝a+b
⊙ ⊙
﹣2．在Rt△ABC中，利用勾股定理求得 （舍去），从而求出a，b的
值，所以BC+AB＝2 +4．再设DF＝x，在Rt△ONF中，FN＝ ，OF＝x，ON＝
，由勾股定理可得 ，解得x＝4 ，从而得到
CD﹣DF＝ ，CD+DF＝ ．即可解答．
【解答】解：如图，
设 O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N，
∵⊙将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，
第10页（共27页）∴OG＝DG，
∵OG⊥DG，
∴∠MGO+∠DGC＝90°，
∵∠MOG+∠MGO＝90°，
∴∠MOG＝∠DGC，
在△OMG和△GCD中，
∴△OMG≌△GCD，
∴OM＝GC＝1，CD＝GM＝BC﹣BM﹣GC＝BC﹣2．
∵AB＝CD，
∴BC﹣AB＝2．
设AB＝a，BC＝b，AC＝c， O的半径为r，
⊙
O是Rt△ABC的内切圆可得r＝ （a+b﹣c），
⊙
∴c＝a+b﹣2．
在Rt△ABC中，由勾股定理可得a2+b2＝（a+b﹣2）2，
整理得2ab﹣4a﹣4b+4＝0，
又∵BC﹣AB＝2即b＝2+a，代入可得2a（2+a）﹣4a﹣4（2+a）+4＝0，
解得 （舍去），
∴ ，
∴BC+AB＝2 +4．
再设DF＝x，在Rt△ONF中，FN＝ ，OF＝x，ON＝ ，
由勾股定理可得 ，
解得x＝4 ，
∴CD﹣DF＝ ，CD+DF＝ ．
综上只有选项A错误，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心，切线的性质，勾股定理，矩形的性质等知识点
的综合应用，解决本题的关键是三角形内切圆的性质．
第11页（共27页）10．【分析】过A作AD⊥x轴于D，连接OA′，设A（a， ），C（b， ），由△OAD∽△BCO，
得到 ＝ ＝ ，根据反比例函数的系数k的几何意义得到S△ADO ＝ ，
S△BOC ＝ ，求出k2＝ ，得到k＝﹣ ，根据S△ABC ＝S△AOB +S△BOC ＝ （﹣ ）•b+
＝6，列出关于k的方程k2+k﹣12＝0，求得k＝3，由于点A关于y轴的对称点为A′，
点C关于x轴的对称点为C′，得到OA′，OC′在同一条直线上，于是得到由线段AC，
CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积＝S△OBC +S△OBC′+S△OAA′ ＝10．
【解答】解：过A作AD⊥x轴于D，连接OA′，
∵点A是函数y＝ （x＜0）图象上一点，
∴设A（a， ），
∵点C在函数y＝ （x＞0，k是不等于0的常数）的图象上，
∴设C（b， ），
∵AD⊥BD，BC⊥BD，
∴△OAD∽△OCB，
∴ ＝ ＝ ，
∵S△ADO ＝ ，S△BOC ＝ ，
∴k2＝ ，
∵S△ABC ＝S△AOB +S△BOC ＝ （﹣ ）•b+ ＝6，
∴k2﹣ ＝12，
当k＞0时，
① 第12页（共27页）k＝﹣ ，
∴k2+k﹣12＝0，
解得：k＝3，k＝﹣4（不合题意舍去），
当k＜0时，
②
k＝ ，
∴k2﹣k﹣12＝0，
解得：k＝﹣3，k＝4（不合题意舍去），
∴k2＝9
∵点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴的对称点为C′，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1+∠4＝∠2+∠3＝90°，
∴OA′，OC′在同一条直线上，
∴S△OBC′ ＝S△OBC ＝ ＝ ，
∵S△OAA′ ＝2S△OAD ＝1，
∴由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积＝S△OBC +S△OBC′+S△OAA′ ＝10．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的图象的性质，系数k的几何意义，相似三角形的判定和性
质，轴对称的性质，正确的理解轴对称图形的性质是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．【分析】根据有理数的乘方，即可解答．
【解答】解：23×（ ）2＝8× ＝2，
第13页（共27页）故答案为：2．
【点评】本题考查了有理数的乘方，解决本题的关键是熟记有理数乘方的定义．
12．【分析】根据函数图象的纵坐标，可得路程，根据函数图象的横坐标，可得时间，根据路程
与时间的关系，可得答案．
【解答】解：由纵坐标看出路程是2千米，
由横坐标看出时间是10分钟，
小明的骑车速度是2÷10＝0.2（千米/分钟），
故答案为：0.2．
【点评】本题考查了函数图象，观察函数图象的纵坐标得出路程，观察函数图象的横坐标
得出时间，利用了路程与时间的关系．
13．【分析】平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．
【解答】解：这10位评委评分的平均数是：
（80+85×2+90×5+95×2）÷10＝89（分）．
故答案为89．
【点评】本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求80，85，90，95这四个数
的平均数，对平均数的理解不正确．
14．【分析】图中阴影部分的面积＝半圆的面积﹣圆心角是120°的扇形的面积，根据扇形面积
的计算公式计算即可求解．
【解答】解：图中阴影部分的面积＝ ×22﹣
π
＝2 ﹣
π π
＝ ．
π
答：图中阴影部分的面积等于 ．
π
故答案为： ．
π
【点评】考查了扇形面积的计算，求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则
图形的面积．
15．【分析】连接AB，根据姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数，一次项系数相等且不等于
零，常数项都是零，设抛物线C 的解析式为y＝ax2+bx，
1
第14页（共27页）根据四边形ANBM恰好是矩形可得△AOM是等边三角形，设OM＝2，则点A的坐标是
（1， ），求出抛物线C 的解析式，从而求出抛物线C 的解析式．
1 2
【解答】解：连接AB，
根据姐妹抛物线的定义，可得姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数，一次项系数相等且
不等于零，常数项都是零，
设抛物线C 的解析式为y＝ax2+bx，
1
根据四边形ANBM恰好是矩形可得：OA＝OM，
∵OA＝MA，
∴△AOM是等边三角形，
设OM＝2，则点A的坐标是（1， ），
则 ，
解得：
则抛物线C 的解析式为y＝﹣ x2+2 x，
1
抛物线C 的解析式为y＝ x2+2 x，
2
故答案为：y＝﹣ x2+2 x，y＝ x2+2 x（答案不唯一）．
【点评】此题考查了二次函数的图象与几何变换，用到的知识点是姐妹抛物线的定义、二
次函数的图象与性质、矩形的判定，关键是根据姐妹抛物线的定义得出姐妹抛物线的二次
项的系数、一次项系数、常数项之间的关系．
16．【分析】延长D A和C B交于O，根据正方形的性质和三角形相似的性质即可求得各个正
4 1
方形的边长，从而得出规律，即可求得正方形A C C D 的边长．
9 9 10 10
【解答】解：延长D A和C B交于O，
4 1
∵AB∥A C ，
2 2
第15页（共27页）∴△AOB∽△D OC ，
2 2
∴ ＝ ，
∵AB＝BC ＝1， C ＝C C ＝2，
1 2 1 2
∴ ＝ ＝
∴OC ＝2OB，
2
∴OB＝BC ＝3，
2
∴OC ＝6，
2
设正方形A C C D 的边长为x ，
2 2 3 3 1
同理证得：△D OC ∽△D OC ，
2 2 3 3
∴ ＝ ，解得，x ＝3，
1
∴正方形A C C D 的边长为3，
2 2 3 3
设正方形A C C D 的边长为x ，
3 3 4 4 2
同理证得：△D OC ∽△D OC ，
3 3 4 4
∴ ＝ ，解得x ＝ ，
2
∴正方形A C C D 的边长为 ；
3 3 4 4
设正方形A C C D 的边长为x ，
4 4 5 5 3
同理证得：△D OC ∽△D OC ，
4 4 5 5
∴ ＝ ，解得x＝ ，
∴正方形A C C D 的边长为 ；
4 4 5 5
以此类推…．
正方形A n﹣1 C n﹣1 n D n 的边长为 ；
∁
第16页（共27页）∴正方形A C C D 的边长为 ．
9 9 10 10
故答案为 ．
【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，求得前五个正方形的边长
得出规律是解题的关键．
三、解答题（本题有8个小题，共66分）
17．【分析】原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
【解答】解：原式＝ ＝ ＝a+b．
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．【分析】先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即
可．
【解答】解：
∵解不等式 得：x＜6，
解不等式 ①得：x＞1，
∴不等式②组的解集为1＜x＜6．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集求
出不等式组的解集，难度适中．
19．【分析】一次函数解析式为y＝kx+b，将x与y的两对值代入求出k与b的值，即可确定出
一次函数解析式．
【解答】解：设一次函数解析式为y＝kx+b，
将x＝3，y＝1；x＝﹣2，y＝﹣4代入得： ，
第17页（共27页）解得：k＝1，b＝﹣2．
则一次函数解析式为y＝x﹣2．
【点评】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
20．【分析】（1）连接CD，由直径所对的圆周角为直角可得：∠BDC＝90°，即可得：CD⊥AB，
然后根据AD＝DB，进而可得CD垂直平分AB，进而可得 AC＝BC＝2OC＝10；
（2）连接OD，先由直角三角形中线的性质可得DE＝EC，然后根据等边对等角可得∠1＝
∠2，由OD＝OC，根据等边对等角可得∠3＝∠4，然后根据切线的性质可得∠2+∠4＝
90°，进而可得：∠1+∠3＝90°，进而可得：DE⊥OD，从而可得：ED是 O的切线．
【解答】（1）解：连接CD， ⊙
∵BC是 O的直径，
∴∠BDC⊙＝90°，
即CD⊥AB，
∵AD＝DB，OC＝5，
∴CD垂直平分AB，
∴AC＝BC＝2OC＝10；
（2）证明：连接OD，如图所示，
∵∠ADC＝90°，E为AC的中点，
∴DE＝EC＝ AC，
∴∠1＝∠2，
∵OD＝OC，
第18页（共27页）∴∠3＝∠4，
∵AC切 O于点C，
∴AC⊥O⊙C，
∴∠1+∠3＝∠2+∠4＝90°，
即DE⊥OD，
∴ED是 O的切线．
【点评】此⊙题考查了切线的判定与性质，解题的关键是：熟记切线的判定定理与性质定理，
经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于过切点的直径．
21．【分析】（1）先计算出本次调查的学生总人数，再分别计算出百分比，即可解答；
（2）根据百分比，计算出文学鉴赏和手工编织的人数，即可补全条形统计图；
（3）用总人数乘以“科学实验”社团的百分比，即可解答．
【解答】解：（1）本次调查的学生总人数是：70÷35%＝200（人），
b＝40÷200＝20%，
c＝10÷200＝5%，
a＝1﹣（35%+20%+10%+5%）＝30%．
（2）文学鉴赏的人数：30%×200＝60（人），
手工编织的人数：10%×200＝20（人），
如图所示，
（3）全校选择“科学实验”社团的学生人数：1200×35%＝420（人）．
【点评】本题考查条形统计图，解决本题的关键是读懂图形，获取相关信息．
22．【分析】（1）可设原计划每天生产的零件x个，根据时间是一定的，列出方程求得原计划
每天生产的零件个数，再根据工作时间＝工作总量÷工作效率，即可求得规定的天数；
（2）可设原计划安排的工人人数为y人，根据等量关系：恰好提前两天完成2400个零件的
生产任务，列出方程求解即可．
【解答】解：（1）设原计划每天生产的零件x个，依题意有
第19页（共27页）＝ ，
解得x＝2400，
经检验，x＝2400是原方程的根，且符合题意．
∴规定的天数为24000÷2400＝10（天）．
答：原计划每天生产的零件2400个，规定的天数是10天；
（2）设原计划安排的工人人数为y人，依题意有
[5×20×（1+20%）× +2400]×（10﹣2）＝24000，
解得y＝480，
经检验，y＝480是原方程的根，且符合题意．
答：原计划安排的工人人数为480人．
【点评】考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到
合适的等量关系是解决问题的关键．此题等量关系比较多，主要用到公式：工作总量＝工
作效率×工作时间．
23．【分析】（1）过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证明△ADG是等边三角形，得出GD＝
AD＝CE，再证明GH＝AH，由ASA证明△GDF≌△CEF，得出GF＝CF，即可得出结论；
（2）过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证出AH＝GH＝GD，AD＝ GD，由题意AD＝
CE，得出GD＝CE，再证明△GDF≌△CEF，得出GF＝CF，即可得出结论；
（3）过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证出 DG＝DH＝AH，再证明△ADG∽△ABC，
△ADG∽△ DGH，△ DGH∽△ ABC，得出 ＝m， ＝m，
△DGH∽△ABC，得出 ＝m， ＝m，证明△DFG∽△EFC，得出 ＝m，
＝m， ＝ ，即可得出结果．
【解答】（1）证明（选择思路一）：过点D作DG∥BC，交AC于点G，如图1所示：
则∠ADG＝∠B，∠AGD＝∠ACB，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，
∴∠ADG＝∠AGD＝∠A，
第20页（共27页）∴△ADG是等边三角形，
∴GD＝AD＝CE，
∵DH⊥AC，
∴GH＝AH，
∵DG∥BC，
∴∠GDF＝∠CEF，∠DGF＝∠ECF，
在△GDF和△CEF中，
，
∴△GDF≌△CEF（ASA），
∴GF＝CF，
∴GH+GF＝AH+CF，
即HF＝AH+CF；
（2）解：过点D作DG∥BC，交AC于点G，如图2所示：
则∠ADG＝∠B＝90°，
∵∠BAC＝∠ADH＝30°，
∴∠HGD＝∠HDG＝60°，
∴AH＝GH＝GD，AD＝ GD，
根据题意得：AD＝ CE，
∴GD＝CE，
∵DG∥BC，
∴∠GDF＝∠CEF，∠DGF＝∠ECF，
在△GDF和△CEF中，
，
∴△GDF≌△CEF（ASA），
∴GF＝CF，
∴GH+GF＝AH+CF，
即HF＝AH+CF，
∴ ＝2；
第21页（共27页）（3解： ，理由如下：
过点D作DG∥BC，交AC于点G，如图3所示：
则∠ADG＝∠B，∠AGD＝∠ACB，
∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ACB＝∠B＝∠ADG＝∠AGD＝72°，
∵∠ADH＝∠BAC＝36°，
∴AH＝DH，∠DHG＝72°＝∠AGD，
∴DG＝DH＝AH，△ADG∽△ABC，△ADG∽△DGH，
∴ ＝m， ＝m，
∴△DGH∽△ABC，
∴ ＝m，
∴ ＝m，
∵DG∥BC，
∴△DFG∽△EFC，
∴ ＝m，
∴ ＝m，
即 ＝m，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ＝ ．
第22页（共27页）【点评】本题是相似形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与
性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合
性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线证明三角形全等或三角形相似才能得出结果．
24．【分析】（1） 过点D作DF⊥x轴于点F，先通过三角形全等求得D的坐标，把D的坐标
①
和a＝﹣ ，c＝0代入y＝ax2+bx+c即可求得抛物线的解析式；
先证得CD∥x轴，进而求得要使得∠POB与∠BCD互余，则必须∠POB＝∠BAO，设P
②
的坐标为（x，﹣ x2+ x），分两种情况讨论即可求得；
（2）若符合条件的Q点的个数是4个，则当a＜0时，抛物线交于y轴的负半轴，当a＞0时，
最小值得＜﹣1，解不等式即可求得．
【解答】解：（1） 过点D作DF⊥x轴于点F，如图1，
∵∠DBF+∠ABO＝9①0°，∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠DBF＝∠BAO，
又∵∠AOB＝∠BFD＝90°，AB＝BD，
在△AOB和△BFD中，
，
∴△AOB≌△BFD（AAS）
∴DF＝BO＝1，BF＝AO＝2，
第23页（共27页）∴D的坐标是（3，1），
根据题意，得a＝﹣ ，c＝0，且a×32+b×3+c＝1，
∴b＝ ，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣ x2+ x；
∵点A（0，2），B（1，0），点C为线段AB的中点，
②
∴C（ ，1），
∵C、D两点的纵坐标都为1，
∴CD∥x轴，
∴∠BCD＝∠ABO，
∴∠BAO与∠BCD互余，
要使得∠POB与∠BCD互余，则必须∠POB＝∠BAO，
设P的坐标为（x，﹣ x2+ x），
（Ⅰ）当P在x轴的上方时，过P作PG⊥x轴于点G，如图2，
则tan∠POB＝tan∠BAO，即 ＝ ，
∴ ＝ ，解得x ＝0（舍去），x ＝ ，
1 2
∴﹣ x2+ x＝ ，
∴P点的坐标为（ ， ）；
（Ⅱ）当P在x轴的下方时，过P作PG⊥x轴于点G，如图3
则tan∠POB＝tan∠BAO，即 ＝ ，
∴ ＝ ，解得x ＝0（舍去），x ＝ ，
1 2
第24页（共27页）∴﹣ x2+ x＝﹣ ，
∴P点的坐标为（ ，﹣ ）；
综上，在抛物线上是否存在点P（ ， ）或（ ，﹣ ），使得∠POB与∠BCD互余．
（2）如图3，∵D（3，1），E（1，1），
抛物线y＝ax2+bx+c过点E、D，代入可得 ，解得 ，所以y＝ax2﹣
4ax+3a+1．
分两种情况：
当抛物线y＝ax2+bx+c开口向下时，若满足∠QOB与∠BCD互余且符合条件的Q点的
①个数是4个，则点Q在x轴的上、下方各有两个．
（i）当点Q在x轴的下方时，直线OQ与抛物线有两个交点，满足条件的Q有2个；
（ii）当点Q在x轴的上方时，要使直线OQ与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点，抛物线y＝
ax2+bx+c与x轴的交点必须在x轴的正半轴上，与y轴的交点在y轴的负半轴，所以3a+1
＜0，解得a＜﹣ ；
当抛物线y＝ax2+bx+c开口向上时，点Q在x轴的上、下方各有两个，
（②i）当点Q在x轴的上方时，直线OQ与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q
有两个；
（ii）当点Q在x轴的下方时，要使直线OQ与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点，符合条件
的点Q才两个．
根据（2）可知，要使得∠QOB与∠BCD互余，则必须∠QOB＝∠BAO，
∴tan∠QOB＝tan∠BAO＝ ＝ ，此时直线OQ的斜率为﹣ ，则直线OQ的解析式为
y＝﹣ x，要使直线OQ与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点，所以方程ax2﹣4ax+3a+1＝﹣
x有两个不相等的实数根，所以△＝（﹣4a+ ）2﹣4a（3a+1）＞0，即4a2﹣8a+ ＞0，解
第25页（共27页）得a＞ ，a＜ （舍去），
综上所示，a的取值范围为a＜﹣ 或a＞ ．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，正切函数，最
第26页（共27页）小值等，分类讨论的思想是本题的关键．
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