文档内容
2015年重庆市中考数学试卷（A卷）
一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）
1．（4分）（2015•重庆）在﹣4，0，﹣1，3这四个数中，最大的数是（ ）
A．﹣4 B．0 C．﹣1 D．3
2．（4分）（2015•重庆）下列图形是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）（2015•重庆）化简 的结果是（ ）
A．4 B．2 C．3 D．2
4．（4分）（2015•重庆）计算（a2b）3的结果是（ ）
A．a6b3 B．a2b3 C．a5b3 D．a6b
5．（4分）（2015•重庆）下列调查中，最适合用普查方式的是（ ）
A．调查一批电视机的使用寿命情况
B．调查某中学九年级一班学生的视力情况
C．调查重庆市初中学生每天锻炼所用的时间情况
D．调查重庆市初中学生利用网络媒体自主学习的情况
6．（4分）（2015•重庆）如图，直线AB∥CD，直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H．若
∠1=135°，则∠2的度数为（ ）
A．65° B．55° C．45° D．35°
7．（4分）（2015•重庆）在某校九年级二班组织的跳绳比赛中，第一小组五位同学跳绳的个数
分别为198，230，220，216，209，则这五个数据的中位数为（ ）
A．220 B．218 C．216 D．209
8．（4分）（2015•重庆）一元二次方程x2﹣2x=0的根是（ ）
A．x =0，x =﹣2 B．x =1，x =2 C．x =1，x =﹣2 D．x =0，x =2
1 2 1 2 1 2 1 2
9．（4分）（2015•重庆）如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连
接BC并延长交AE于点D．若∠AOC=80°，则∠ADB的度数为（ ）A．40° B．50° C．60° D．20°
10．（4分）（2015•重庆）今年“五一”节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途
休息了一段时间．设他从山脚出发后所用时间为（t 分钟），所走的路程为（s 米），s与t之间的
函数关系如图所示．下列说法错误的是（ ）
A．小明中途休息用了20分钟
B．小明休息前爬山的平均速度为每分钟70米
C．小明在上述过程中所走的路程为6600米
D．小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度
11．（4分）（2015•重庆）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图
形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，
…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（ ）
A．21 B．24 C．27 D．30
12．（4分）（2015•重庆）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴
平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1．反比例函数y= 的图象经过A，B两点，则菱形ABCD
的面积为（ ）A．2 B．4 C．2 D．4
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
13．（4分）（2015•重庆）我国“南仓”级远洋综合补给舱满载排水量为37000吨，把数37000
用科学记数法表示为 ．
14．（4分）（2015•重庆）计算：20150﹣|2|= ．
15．（4分）（2015•重庆）已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为4：1，则△ABC与
△DEF对应边上的高之比为 ．
16．（4分）（2015•重庆）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=4 ．以A为圆
心，AC长为半径作弧，交AB于点D，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）
17．（4分）（2015•重庆）从﹣3，﹣2，﹣1，0，4这五个数中随机抽取一个数记为a，a的值既是
不等式组 的解，又在函数y= 的自变量取值范围内的概率是
．
18．（4分）（2015•重庆）如图，在矩形ABCD中，AB=4 ，AD=10．连接BD，∠DBC的角平
分线BE交DC于点E，现把△BCE绕点B逆时针旋转，记旋转后的△BCE为△BC′E′．当射
线BE′和射线BC′都与线段AD相交时，设交点分别为F，G．若△BFD为等腰三角形，则线段
DG长为 ．
三、解答题（共2小题，满分14分）19．（7分）（2015•重庆）解方程组 ．
20．（7分）（2015•重庆）如图，在△ABD和△FEC中，点B，C，D，E在同一直线上，且
AB=FE，BC=DE，∠B=∠E．求证：∠ADB=∠FCE．
四、解答题（共4小题，满分40分）
21．（10分）（2015•重庆）计算：
（1）y（2x﹣y）+（x+y）2；
（2）（y﹣1﹣ ）÷ ．
22．（10分）（2015•重庆）为贯彻政府报告中“全民创新，万众创业”的精神，某镇对辖区内
所有的小微企业按年利润w（万元）的多少分为以下四个类型：A类（w＜10），B类（10≤w＜
20），C类（20≤w＜30），D类（w≥30），该镇政府对辖区内所有小微企业的相关信息进行统计
后，绘制成以下条形统计图和扇形统计图，请你结合图中信息解答下列问题：
（1）该镇本次统计的小微企业总个数是 ，扇形统计图中B类所对应扇形圆心角
的度数为 度，请补全条形统计图；
（2）为了进一步解决小微企业在发展中的问题，该镇政府准备召开一次座谈会，每个企业派
一名代表参会．计划从D类企业的4个参会代表中随机抽取2个发言，D类企业的4个参会
代表中有2个来自高新区，另2个来自开发区．请用列表或画树状图的方法求出所抽取的2
个发言代表都来自高新区的概率．
23．（10分）（2015•重庆）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串
数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到
最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此12321是一个“和谐数”，再加22，545，
3883，345543，…，都是“和谐数”．
（1）请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？
并说明理由；
（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字x（1≤x≤4，x为自然数），十
位上的数字为y，求y与x的函数关系式．
24．（10分）（2015•重庆）某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中AB∥CD，大
坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M，N．观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船M
的俯角α为31°，渔船N的俯角β为45°．已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为E，
且PE长为30米．
（1）求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；
（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i=1：0.25，为提高大坝防洪能力，请施工
队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH，加固后背水坡DH的
坡度i=1：1.75，施工队施工10天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效
率提高到原来的2倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土
石方多少立方米？
（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52）
五、解答题（共2小题，满分24分）
25．（12分）（2015•重庆）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，点E是∠BAC角平
分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是
BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF．
（1）如图1，若点H是AC的中点，AC=2 ，求AB，BD的长；
（2）如图1，求证：HF=EF；
（3）如图2，连接CF，CE．猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，说明理由．26．（12分）（2015•重庆）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣ x2+ x+3 交x轴
于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点W，顶点为C，抛物线的对称轴与x轴的交点
为D．
（1）求直线BC的解析式；
（2）点E（m，0），F（m+2，0）为x轴上两点，其中2＜m＜4，EE′，FF′分别垂直于x轴，交抛物
线于点E′，F′，交BC于点M，N，当ME′+NF′的值最大时，在y轴上找一点R，使|RF′﹣RE′|的
值最大，请求出R点的坐标及|RF′﹣RE′|的最大值；
（3）如图2，已知x轴上一点P（ ，0），现以P为顶点，2 为边长在x轴上方作等边三角形
QPG，使GP⊥x轴，现将△QPG沿PA方向以每秒1个单位长度的速度平移，当点P到达点A
时停止，记平移后的△QPG为△Q′P′G′．设△Q′P′G′与△ADC的重叠部分面积为s．当Q′到x
轴的距离与点Q′到直线AW的距离相等时，求s的值．2015 年重庆市中考数学试卷（A 卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）
1．（4分）（2015•重庆）在﹣4，0，﹣1，3这四个数中，最大的数是（ ）
A．﹣4 B．0 C．﹣1 D．3
考点：有理数大小比较．
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分析：先计算|﹣4|=4，|﹣1|=1，根据负数的绝对值越大，这个数越小得﹣4＜﹣1，再根据正数
大于0，负数小于0得到﹣4＜﹣1＜0＜3．
解答：解：∵|﹣4|=4，|﹣1|=1，
∴﹣4＜﹣1，
∴﹣4，0，﹣1，3这四个数的大小关系为﹣4＜﹣1＜0＜3．
故选D．
点评：本题考查了有理数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越
小．
2．（4分）（2015•重庆）下列图形是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
考点：轴对称图形．
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分析：根据轴对称图形的概念求解．
解答：解：A、是轴对称图形，故正确；
B、不是轴对称图形，故错误；
C、不是轴对称图形，故错误；
D、不是轴对称图形，故错误．
故选A．
点评：本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称
轴折叠后可重合．
3．（4分）（2015•重庆）化简 的结果是（ ）
A．4 B．2 C．3 D．2
考点：二次根式的性质与化简．
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分析：直接利用二次根式的性质化简求出即可．
解答：解： =2 ．
故选：B．
点评：此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
4．（4分）（2015•重庆）计算（a2b）3的结果是（ ）
A．a6b3 B．a2b3 C．a5b3 D．a6b
考点：幂的乘方与积的乘方．
分析：根据幂的乘方和积的乘 菁 方 优网版权所有 的运算方法：①（am）n=am（n m，n是正整数）；②（ab）n=anb（n n
是正整数）；求出（a2b）3的结果是多少即可．解答：解：（a2b）3
=（a2）3•b3
=a6b3
即计算（a2b）3的结果是a6b3．
故选：A．
点评：此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①
（am）n=amn（m，n是正整数）；②（ab）n=anbn（n是正整数）．
5．（4分）（2015•重庆）下列调查中，最适合用普查方式的是（ ）
A．调查一批电视机的使用寿命情况
B．调查某中学九年级一班学生的视力情况
C．调查重庆市初中学生每天锻炼所用的时间情况
D．调查重庆市初中学生利用网络媒体自主学习的情况
考点：全面调查与抽样调查．
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分析：由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调
查结果比较近似．
解答：解：A、调查一批电视机的使用寿命情况，调查局有破坏性，适合抽样调查，故A不符合
题意；
B、调查某中学九年级一班学生的视力情况，适合普查，故B符合题意；
C、调查重庆市初中学生每天锻炼所用的时间情况，调查范围广，适合抽样调查，故C
不符合题意；
D、调查重庆市初中学生利用网络媒体自主学习的情况，适合抽样调查，故D不符合题
意；
故选：B．
点评：本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对
象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或
价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普
查．
6．（4分）（2015•重庆）如图，直线AB∥CD，直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H．若
∠1=135°，则∠2的度数为（ ）
A．65° B．55° C．45° D．35°
考点：平行线的性质．
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分析：根据平行线的性质求出∠2的度数即可．
解答：解：∵AB∥CD，∠1=135°，
∴∠2=180°﹣135°=45°．
故选C．
点评：本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．
7．（4分）（2015•重庆）在某校九年级二班组织的跳绳比赛中，第一小组五位同学跳绳的个数
分别为198，230，220，216，209，则这五个数据的中位数为（ ）
A．220 B．218 C．216 D．209考点：中位数．
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分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）
为中位数．
解答：解：先对这组数据按从小到大的顺序重新排序：198，209，216，220，230．
位于最中间的数是216，
则这组数的中位数是216．
故选C．
点评：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要
先排好顺序，然后根据奇数和偶数的个数来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间
的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
8．（4分）（2015•重庆）一元二次方程x2﹣2x=0的根是（ ）
A．x =0，x =﹣2 B．x =1，x =2 C．x =1，x =﹣2 D．x =0，x =2
1 2 1 2 1 2 1 2
考点：解一元二次方程-因式分解法．
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分析：先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
解答：解：x2﹣2x=0，
x（x﹣2）=0，
x=0，x﹣2=0，
x =0，x =2，
1 2
故选D．
点评：本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一
次方程，难度适中．
9．（4分）（2015•重庆）如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连
接BC并延长交AE于点D．若∠AOC=80°，则∠ADB的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．20°
考点：切线的性质．
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分析：
由AB是⊙O直径，AE是⊙O的切线，推出AD⊥AB，∠DAC=∠B= ∠AOC=40°，推出
∠AOD=50°．
解答：解：∵AB是⊙O直径，AE是⊙O的切线，
∴∠BAD=90°，
∵∠B= ∠AOC=40°，
∴∠ADB=90°﹣∠B=50°，
故选B．
点评：本题主要考查圆周角定理、切线的性质，解题的关键在于连接AC，构建直角三角形，
求∠B的度数．10．（4分）（2015•重庆）今年“五一”节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途
休息了一段时间．设他从山脚出发后所用时间为（t 分钟），所走的路程为（s 米），s与t之间的
函数关系如图所示．下列说法错误的是（ ）
A．小明中途休息用了20分钟
B．小明休息前爬山的平均速度为每分钟70米
C．小明在上述过程中所走的路程为6600米
D．小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度
考点：一次函数的应用．
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分析：根据函数图象可知，小明40分钟爬山2800米，40～60分钟休息，60～100分钟爬山
（3800﹣2800）米，爬山的总路程为3800米，根据路程、速度、时间的关系进行解答即
可．
解答：解：A、根据图象可知，在40～60分钟，路程没有发生变化，所以小明中途休息的时间
为：60﹣40=20分钟，故正确；
B、根据图象可知，当t=40时，s=2800，所以小明休息前爬山的平均速度为：
2800÷40=70（米/分钟），故B正确；
C、根据图象可知，小明在上述过程中所走的路程为3800米，故错误；
D、小明休息后的爬山的平均速度为：（3800﹣2800）÷（100﹣60）=25（米/分），小明休
息前爬山的平均速度为：2800÷40=70（米/分钟），
70＞25，所以小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度，故正确；
故选：C．
点评：本题考查了函数图象，解决本题的关键是读懂函数图象，获取信息，进行解决问题．
11．（4分）（2015•重庆）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图
形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，
…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（ ）
A．21 B．24 C．27 D．30
考点：规律型：图形的变化类．
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分析：仔细观察图形，找到图形中圆形个数的通项公式，然后代入n=7求解即可．
解答：解：观察图形得：
第1个图形有3+3×1=6个圆圈，
第2个图形有3+3×2=9个圆圈，
第3个图形有3+3×3=12个圆圈，
…
第n个图形有3+3n=3（n+1）个圆圈，
当n=7时，3×（7+1）=24，
故选B．点评：本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并找到图形变化的通项公
式，难度不大．
12．（4分）（2015•重庆）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴
平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1．反比例函数y= 的图象经过A，B两点，则菱形ABCD
的面积为（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
考点：菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
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分析：过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，根据A，B两点的纵坐标分别为3，1，
可得出横坐标，即可求得AE，BE，再根据勾股定理得出AB，根据菱形的面积公式：底
乘高即可得出答案．
解答：解：过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，
∵A，B两点在反比例函数y= 的图象上且纵坐标分别为3，1，
∴A，B横坐标分别为1，3，
∴AE=2，BE=2，
∴AB=2 ，
S菱形ABCD =底×高=2 ×2=4 ，
故选D．
点评：本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的面积公式是
解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
13．（4分）（2015•重庆）我国“南仓”级远洋综合补给舱满载排水量为37000吨，把数37000
用科学记数法表示为 3.7×1 0 4 ．
考点：科学记数法—表示较大的数．
分析：科学记数法的表示形式为a×10
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的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看
把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数
绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：将37000用科学记数法表示为3.7×104．
故答案为：3.7×104．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14．（4分）（2015•重庆）计算：20150﹣|2|= ﹣ 1 ．
考点：实数的运算；零指数幂．
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专题：计算题．
分析：原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得
到结果．
解答：解：原式=1﹣2
=﹣1．
故答案为：﹣1．
点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．（4分）（2015•重庆）已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为4：1，则△ABC与
△DEF对应边上的高之比为 4 ： 1 ．
考点：相似三角形的性质．
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分析：根据相似三角形的对应边上的高之比等于相似比得出即可．
解答：解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为4：1，
∴△ABC与△DEF对应边上的高之比是4：1，
故答案为：4：1．
点评：本题考查了相似三角形的性质的应用，能熟练地运用相似三角形的性质进行计算是解
此题的关键，注意：相似三角形的对应边上的高之比等于相似比．
16．（4分）（2015•重庆）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=4 ．以A为圆
心，AC长为半径作弧，交AB于点D，则图中阴影部分的面积是 8﹣2 π ．（结果保留π）
考点：扇形面积的计算；等腰直角三角形．
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分析：根据等腰直角三角形性质求出∠A度数，解直角三角形求出AC和BC，分别求出
△ACB的面积和扇形ACD的面积即可．
解答：解：∵△ACB是等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∵AB=4 ，
∴AC=BC=AB×sin45°=4，
∴S
△ACB
= = =8，S扇形ACD = =2π，
∴图中阴影部分的面积是8﹣2π，
故答案为：8﹣2π．
点评：本题考查了扇形的面积，三角形的面积，解直角三角形，等腰直角三角形性质的应用，
解此题的关键是能求出△ACB和扇形ACD的面积，难度适中．17．（4分）（2015•重庆）从﹣3，﹣2，﹣1，0，4这五个数中随机抽取一个数记为a，a的值既是
不等式组 的解，又在函数y= 的自变量取值范围内的概率是 ．
考点：概率公式；解一元一次不等式组；函数自变量的取值范围．
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分析：
由a的值既是不等式组 的解，又在函数y= 的自变量取值范围
内的有﹣3，﹣2，可直接利用概率公式求解即可求得答案．
解答：
解：∵不等式组 的解集是：﹣ ＜x＜ ，
∴a的值既是不等式组 的解的有：﹣3，﹣2，﹣1，0，
∵函数y= 的自变量取值范围为：2x2+2x≠0，
∴在函数y= 的自变量取值范围内的有﹣3，﹣2，4；
∴a的值既是不等式组 的解，又在函数y= 的自变量取值范围
内的有：﹣3，﹣2；
∴a的值既是不等式组 的解，又在函数y= 的自变量取值范围
内的概率是： ．
故答案为： ．
点评：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18．（4分）（2015•重庆）如图，在矩形ABCD中，AB=4 ，AD=10．连接BD，∠DBC的角平
分线BE交DC于点E，现把△BCE绕点B逆时针旋转，记旋转后的△BCE为△BC′E′．当射
线BE′和射线BC′都与线段AD相交时，设交点分别为F，G．若△BFD为等腰三角形，则线段
DG长为 ．
考点：旋转的性质．
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分析：根据角平分线的性质，可得CE的长，根据旋转的性质，可得BC′=BC，E′C′=EC；根据
等腰三角形，可得FD、FB的关系，根据勾股定理，可得BF的长，根据正切函数，可得tan∠ABF，tan∠FBG的值，根据三角函数的和差，可得AG的长，根据有理数的减法，
可得答案．
解答：解：作FK⊥BC′于K点，如图：
在Rt△ABD中，由勾股定理，得
BD= = =14
设DE=x，CE=4 ﹣x，
由BE平分∠DBC，得
= ，即 = ．
解得x= ，EC= ．
在Rt△BCE中，由勾股定理，得
BE= = = ．
由旋转的性质，得
BE′=BE= ，BC′=BC=10，E′C′=EC= ．
△BFD是等腰三角形，BF=FD=x，
在Rt△ABF中，由勾股定理，得
x2=（4 ）2+（10﹣x）2，
解得x= ，
AF=10﹣ = ．
tan∠ABF= = = ，tan∠FBG= = = ，
tan∠ABG=tan（∠ABF+∠FBG）= = = ，
tan∠ABG= = ，
AG= ×4 = ，
DG=AD﹣AG=10﹣ = = ，
故答案为： ．
点评：本题考查了旋转的性质，利用了勾股定理，旋转的性质，正切函数的定义，利用三角函
数的和差得出AG的长是解题关键．三、解答题（共2小题，满分14分）
19．（7分）（2015•重庆）解方程组 ．
考点：解二元一次方程组．
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专题：计算题．
分析：方程组利用代入消元法求出解即可．
解答：
解： ，
①代入②得：3x+2x﹣4=1，
解得：x=1，
把x=1代入①得：y=﹣2，
则方程组的解为 ．
点评：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减
消元法．
20．（7分）（2015•重庆）如图，在△ABD和△FEC中，点B，C，D，E在同一直线上，且
AB=FE，BC=DE，∠B=∠E．求证：∠ADB=∠FCE．
考点：全等三角形的判定与性质．
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专题：证明题．
分析：根据等式的性质得出BD=CE，再利用SAS得出：△ABD与△FEC全等，进而得出
∠ADB=∠FCE．
解答：证明：∵BC=DE，
∴BC+CD=DE+CD，
即BD=CE，
在△ABD与△FEC中，
，
∴△ABD≌△FEC（SAS），
∴∠ADB=∠FCE．
点评：此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据等式的性质得出BD=CE，再利用全等
三角形的判定和性质解答．
四、解答题（共4小题，满分40分）
21．（10分）（2015•重庆）计算：
（1）y（2x﹣y）+（x+y）2；（2）（y﹣1﹣ ）÷ ．
考点：分式的混合运算；整式的混合运算．
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专题：计算题．
分析：（1）原式利用单项式乘以多项式，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变
形，约分即可得到结果．
解答：解：（1）原式=2xy﹣y2+x2+2xy+y2
=4xy+x2；
（2）原式= •
= ．
点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（10分）（2015•重庆）为贯彻政府报告中“全民创新，万众创业”的精神，某镇对辖区内
所有的小微企业按年利润w（万元）的多少分为以下四个类型：A类（w＜10），B类（10≤w＜
20），C类（20≤w＜30），D类（w≥30），该镇政府对辖区内所有小微企业的相关信息进行统计
后，绘制成以下条形统计图和扇形统计图，请你结合图中信息解答下列问题：
（1）该镇本次统计的小微企业总个数是 2 5 ，扇形统计图中B类所对应扇形圆心角的度数
为 7 2 度，请补全条形统计图；
（2）为了进一步解决小微企业在发展中的问题，该镇政府准备召开一次座谈会，每个企业派
一名代表参会．计划从D类企业的4个参会代表中随机抽取2个发言，D类企业的4个参会
代表中有2个来自高新区，另2个来自开发区．请用列表或画树状图的方法求出所抽取的2
个发言代表都来自高新区的概率．
考点：列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．
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分析：（1）由题意可得该镇本次统计的小微企业总个数是：4÷16%=25（个）；扇形统计图中B
类所对应扇形圆心角的度数为： ×360°=72°；又由A类小微企业个数为：25﹣5﹣14
﹣4=2（个）；即可补全条形统计图；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所抽取的2个
发言代表都来自高新区的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解答：解：（1）该镇本次统计的小微企业总个数是：4÷16%=25（个）；扇形统计图中B类所对应扇形圆心角的度数为： ×360°=72°；
故答案为：25，72；
A类小微企业个数为：25﹣5﹣14﹣4=2（个）；
补全统计图：
（2）分别用A，B表示2个来自高新区的，用C，D表示2个来自开发区的．
画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，所抽取的2个发言代表都来自高新区的有2种情况，
∴所抽取的2个发言代表都来自高新区的概率为： = ．
点评：此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点
为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．（10分）（2015•重庆）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串
数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和
谐数”．例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到
最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此12321是一个“和谐数”，再加22，545，
3883，345543，…，都是“和谐数”．
（1）请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？
并说明理由；
（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字x（1≤x≤4，x为自然数），十
位上的数字为y，求y与x的函数关系式．
考点：因式分解的应用；规律型：数字的变化类．
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分析：（1）根据“和谐数”的定义（把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出
的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同）写出四个“和谐数”，
设任意四位“和谐数”形式为： ，根据和谐数的定义得到a=d，b=c，则 =
= =91a+10b为正整数，易证得任意四位
“和谐数”都可以被11整除；（2）设能被11整除的三位“和谐数”为： ，则 = =
=9x+y+ 为正整数．故y=2x（1≤x≤4，x为自然数）．
解答：解：（1）四位“和谐数”：1221，1331，1111，6666…（答案不唯一）
任意一个四位“和谐数”都能被11整除，理由如下：
设任意四位“和谐数”形式为： ，则满足：
最高位到个位排列：d，c，b，a
个位到最高位排列：a，b，c，d．
由题意，可得两组数据相同，则：a=d，b=c，
则 = = =91a+10b为正整数．
∴四位“和谐数”能被11整数，
又∵a，b，c，d为任意自然数，
∴任意四位“和谐数”都可以被11整除；
（2）设能被11整除的三位“和谐数”为： ，则满足：
个位到最高位排列：x，y，z．
最高位到个位排列：z，y，x．
由题意，两组数据相同，则：x=z，
故 = =101x+10y，
故 = = =9x+y+ 为正整数．
故y=2x（1≤x≤4，x为自然数）．
点评：本题考查了因式分解的应用．解题的关键是弄清楚“和谐数”的定义，从而写出符合
题意的数．
24．（10分）（2015•重庆）某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中AB∥CD，大
坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M，N．观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船M
的俯角α为31°，渔船N的俯角β为45°．已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为E，
且PE长为30米．
（1）求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；
（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i=1：0.25，为提高大坝防洪能力，请施工
队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH，加固后背水坡DH的
坡度i=1：1.75，施工队施工10天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效
率提高到原来的2倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土
石方多少立方米？
（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52）
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；分式方程的应用；解直角三角形的应用-坡度坡
角问题．
菁优网版权所有分析：（1）在直角△PEN，利用三角函数即可求得ME的长，根据MN=EM﹣EN求解；
（2）过点D作DN⊥AH于点N，利用三角函数求得AN和AH的长，进而求得△ADH
的面积，得到需要填筑的土石方数，再根据结果比原计划提前20天完成，列方程求解．
解答：
解：（1）在直角△PEN中，EN=PE=30m，ME= =50（m），
则MN=EM﹣EN=20（m）．
答：两渔船M、N之间的距离是20米；
（2）过点D作DQ⊥AH于点Q．
由题意得：tan∠DAB=4，tanH= ，
在直角△DAQ中，AQ= = =6（m），
在直角△DHQ中，HQ= = =42（m）．
故AH=HQ﹣AQ=42﹣6=36（m）．
S = AH•DQ=432（m2）．
△ADH
故需要填筑的土石方是V=SL=432×100=43200（m3）．
设原计划平均每天填筑xm3，则原计划 天完成，则增加机械设备后，现在平均每
天填筑2xm3．
根据题意，得：10x+（ ）•2x=43200，
解得：x=864．
经检验x=864是原方程的解．
答：施工队原计划平均每天填筑土石方864立方米．
点评：本题考查了仰角的定义以及坡度，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角
形．
五、解答题（共2小题，满分24分）
25．（12分）（2015•重庆）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，点E是∠BAC角平
分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是
BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF．
（1）如图1，若点H是AC的中点，AC=2 ，求AB，BD的长；
（2）如图1，求证：HF=EF；
（3）如图2，连接CF，CE．猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，说明理由．考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形中位线定理．
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分析：（1）根据直角三角形的性质和三角函数即可得到结果；
（2）如图1，连接AF，证出△DAE≌△ADH，△DHF≌△AEF，即可得到结果；
（3）如图2，取AB的中点M，连接CM，FM，在R t△ADE中，AD=2AE，根据三角形的
中位线的性质得到AD=2FM，于是得到FM=AE，由∠CAE=
∠CAB=30°∠CMF=∠AMF﹣AMC=30°，证得△ACE≌△MCF，问题即可得证．
解答：解：（1）∵∠ACB=90°，∠BAC=60°，
∴∠ABC=30°，
∴AB=2AC=2×2 =4 ，
∵AD⊥AB，∠CAB=60°，
∴∠DAC=30°，
∵AH= AC= ，
∴AD= =2，
∴BD= =2 ；
（2）如图1，连接AF，
∵AE是∠BAC角平分线，
∴∠HAE=30°，
∴∠ADE=∠DAH=30°，
在△DAE与△ADH中，
，
∴△DAE≌△ADH，
∴DH=AE，
∵点F是BD的中点，
∴DF=AF，
∵∠EAF=∠EAB﹣∠FAB=30°﹣∠FAB
∠FDH=∠FDA﹣∠HDA=∠FDA﹣60°=（90°﹣∠FBA）﹣60°=30°﹣∠FBA，
∴∠EAF=∠FDH，
在△DHF与△AEF中，
，
∴△DHF≌△AEF，
∴HF=EF；
（3）如图2，取AB的中点M，连接CM，FM，
在R t△ADE中，AD=2AE，∵DF=BF，AM=BM，
∴AD=2FM，
∴FM=AE，
∵∠ABC=30°，
∴AC=CM= AB=AM，
∵∠CAE= ∠CAB=30°∠CMF=∠AMF﹣∠AMC=30°，
在△ACE与△MCF中，
，
∴△ACE≌△MCF，
∴CE=CF，∠ACE=∠MCF，
∵∠ACM=60°，
∴∠ECF=60°，
∴△CEF是等边三角形．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定，正确的
作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
26．（12分）（2015•重庆）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣ x2+ x+3 交x轴
于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点W，顶点为C，抛物线的对称轴与x轴的交点
为D．
（1）求直线BC的解析式；
（2）点E（m，0），F（m+2，0）为x轴上两点，其中2＜m＜4，EE′，FF′分别垂直于x轴，交抛物
线于点E′，F′，交BC于点M，N，当ME′+NF′的值最大时，在y轴上找一点R，使|RF′﹣RE′|的
值最大，请求出R点的坐标及|RF′﹣RE′|的最大值；
（3）如图2，已知x轴上一点P（ ，0），现以P为顶点，2 为边长在x轴上方作等边三角形
QPG，使GP⊥x轴，现将△QPG沿PA方向以每秒1个单位长度的速度平移，当点P到达点A
时停止，记平移后的△QPG为△Q′P′G′．设△Q′P′G′与△ADC的重叠部分面积为s．当Q′到x
轴的距离与点Q′到直线AW的距离相等时，求s的值．考点：二次函数综合题．
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分析：（1）求出抛物线与x轴的交点坐标和顶点坐标，用待定系数法求解析式即可；
（2）先求出E′、F′的坐标表示，然后求出E′M、F′N，用二次函数的顶点坐标求出当m=3
时，ME′+NF′的值最大，得到E′、F′的坐标，再求出E′F′的解析式，当点R在直线E′F′与
y轴的交点时，|RF′﹣RE′|的最大值，从而求出R点的坐标及|RF′﹣RE′|的最大值；
（3）分类讨论Q点在∠CAB的角平分线或外角平分线上时，运用三角形相似求出相应
线段，在求出△Q′P′G′与△ADC的重叠部分面积为S．
解答：
解：（1）令y=0，则﹣ x2+ x+3 =0，
解方程得：x=6或x=﹣2，
∴A（﹣2，0），B（6，0），
又y=﹣ x2+ x+3 =﹣ （x﹣2）2+4 ，
又顶点C（2，4 ），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，代入B、C两点坐标得：
，
解得： ，
∴y=﹣ x+6 ；
（2）如图1，
∵点E（m，0），F（m+2，0），
∴E′（m，﹣ m2+ m+3 ），F′（m+2，﹣ m2+4 ），
∴E′M=﹣ m2+ m+3 ﹣（﹣ m+6 ）=﹣ m2+2 m﹣3 ，
F′N=﹣ m2+4 ﹣（﹣ m+4 ）=﹣ m2+ m，
∴E′M+F′N=﹣ m2+2 m﹣3 +（﹣ m2+ m）=﹣ m2+3 m﹣3 ，
当m=﹣ =3时，E′M+F′N的值最大，
∴此时，E′（3， ）F′（5， ），∴直线E′F′的解析式为：y=﹣ x+ ，
∴R（0， ），
根据勾股定理可得：RF′=10，RE′=6，
∴|RF′﹣RE′|的值最大值是4；
（3）由题意得，Q点在∠CAB的角平分线或外角平分线上，
①如图2，当Q点在∠CAB的角平分线上时，
Q′M=Q′N= ，AW= ，
∵△RMQ′∽△WOA，
∴
∴RQ′= ，
∴RN= + ，
∵△ARN∽△AWO，
∵
∴AN= ，
∴DN=AD﹣AN=4﹣ = ，
∴S= ；
②如图3，当Q点在∠CAB的外角平分线上时，
∵△Q′RN∽△WAO，
∴RQ′= ，
∴RM= ﹣ ，
∵△RAM∽△WOA，
∴AM= ，
在RtQ′MP′中，MP′= Q′M=3，
∴AP′=MP′﹣AM=3﹣ = ，
在Rt△AP′S中，P′S= AP′= × ，
∴S= ．点评：本题主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，三角形的三边关系，三角
形相似的判定与性质以及数形结合和分类讨论思想的综合运用，此题牵扯知识面广，
综合性强，难度较大．
