文档内容
2016 年云南省昆明市中考数学试卷
一、填空题：每小题3分，共18分
1．﹣4的相反数为 ．
2．昆明市2016年参加初中学业水平考试的人数约有67300人，将数据67300用科学记数法
表示为 ．
3．计算： ﹣ = ．
4．如图，AB∥CE，BF交CE于点D，DE=DF，∠F=20°，则∠B的度数为 ．
5．如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB=6，BC=8，则四边形EFGH的面积是
．
6．如图，反比例函数y= （k≠0）的图象经过A，B两点，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B
作BD⊥x轴，垂足为D，连接AO，连接BO交AC于点E，若OC=CD，四边形BDCE的面积为
2，则k的值为 ．
二、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）7．下面所给几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
8．某学习小组9名学生参加“数学竞赛”，他们的得分情况如表：
人数（人） 1 3 4 1
分数（分） 80 85 90 95
那么这9名学生所得分数的众数和中位数分别是（ ）
A．90，90 B．90，85 C．90，87.5 D．85，85
9．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
10．不等式组 的解集为（ ）
A．x≤2 B．x＜4 C．2≤x＜4 D．x≥2
11．下列运算正确的是（ ）
A．（a﹣3）2=a2﹣9 B．a2•a4=a8 C． =±3 D． =﹣2
12．如图，AB为⊙O的直径，AB=6，AB⊥弦CD，垂足为G，EF切⊙O于点B，∠A=30°，连接
AD、OC、BC，下列结论不正确的是（ ）
A．EF∥CD B．△COB是等边三角形
C．CG=DG D． 的长为 π
13．八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，
其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车
学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（ ）A． ﹣ =20 B． ﹣ =20 C． ﹣ = D． ﹣ =
14．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC
分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列结论：
①EG=DF；②∠AEH+∠ADH=180°；③△EHF≌△DHC；④若 = ，则3S =13S ，其
△EDH △DHC
中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
三、综合题：共9题，满分70分
15．计算：20160﹣|﹣ |+ +2sin45°．
16．如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB
求证：AE=CE．17．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）
（1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A B C ；
1 1 1
（2）请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A B C ；
2 2 2
（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．
18．某中学为了了解九年级学生体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，
测试结果分为A，B，C，D四个等级，并依据测试成绩绘制了如下两幅尚不完整的统计图；
（1）这次抽样调查的样本容量是 ，并补全条形图；
（2）D等级学生人数占被调查人数的百分比为 ，在扇形统计图中C等级所对应
的圆心角为 °；
（3）该校九年级学生有1500人，请你估计其中A等级的学生人数．19．甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有3个分别标有数字1，2，3的小球，乙口袋中装有
2个分别标有数字4，5的小球，它们的形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出一个小球
记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字．
（1）请用列表或树状图的方法（只选其中一种），表示出两次所得数字可能出现的所有结果；
（2）求出两个数字之和能被3整除的概率．
20．如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测
得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线
上），已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1m）（参考数据：
≈1.414， ≈1.732）21．（列方程（组）及不等式解应用题）
春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元；
购进甲商品3件和乙商品2件共需230元．
（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售，为满足市场需求，需购进甲、
乙两种商品共100件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的
进货方案，并确定最大利润．
22．如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=90°，四边形EBOC是平行四边形，EB交⊙O于点D，连
接CD并延长交AB的延长线于点F．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若∠F=30°，EB=4，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）23．如图1，对称轴为直线x= 的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与x轴的另一交
点为A
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；
（3）如图2，若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形
且△MQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2016 年云南省昆明市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：每小题3分，共18分
1．﹣4的相反数为 4 ．
【考点】相反数．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0即可求解．
【解答】解：﹣4的相反数是4．
故答案为：4．
2．昆明市2016年参加初中学业水平考试的人数约有67300人，将数据67300用科学记数法
表示为 6.73×1 0 4 ．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错
点，由于67300有5位，所以可以确定n=5﹣1=4．
【解答】解：67300=6.73×104，
故答案为：6.73×104．
3．计算： ﹣ = ．
【考点】分式的加减法．
【分析】同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；再分解因式
约分计算即可求解．
【解答】解： ﹣
=
== ．
故答案为： ．
4．如图，AB∥CE，BF交CE于点D，DE=DF，∠F=20°，则∠B的度数为 40 ° ．
【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．
【分析】由等腰三角形的性质证得E=∠F=20°，由三角形的外角定理证得
∠CDF=∠E+∠F=40°，再由平行线的性质即可求得结论．
【解答】解：∵DE=DF，∠F=20°，
∴∠E=∠F=20°，
∴∠CDF=∠E+∠F=40°，
∵AB∥CE，
∴∠B=∠CDF=40°，
故答案为：40°．
5．如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB=6，BC=8，则四边形EFGH的面积是
24 ．
【考点】中点四边形；矩形的性质．
【分析】先根据E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点得出AH=DH=BF=CF，
AE=BE=DG=CG，故可得出△AEH≌△DGH≌△CGF≌△BEF，根据S =S ﹣4S
四边形EFGH 正方形 △AEH
即可得出结论．【解答】解：∵E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB=6，BC=8，
∴AH=DH=BF=CF=8，AE=BE=DG=CG=3．
在△AEH与△DGH中，
∵ ，
∴△AEH≌△DGH（SAS）．
同理可得△AEH≌△DGH≌△CGF≌△BEF，
∴S =S ﹣4S =6×8﹣4× ×3×4=48﹣24=24．
四边形EFGH 正方形 △AEH
故答案为：24．
6．如图，反比例函数y= （k≠0）的图象经过A，B两点，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B
作BD⊥x轴，垂足为D，连接AO，连接BO交AC于点E，若OC=CD，四边形BDCE的面积为
2，则k的值为 ﹣ ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；平行线分线段成比例．
【分析】先设点B坐标为（a，b），根据平行线分线段成比例定理，求得梯形BDCE的上下底边
长与高，再根据四边形BDCE的面积求得ab的值，最后计算k的值．
【解答】解：设点B坐标为（a，b），则DO=﹣a，BD=b
∵AC⊥x轴，BD⊥x轴
∴BD∥AC∵OC=CD
∴CE= BD= b，CD= DO= a
∵四边形BDCE的面积为2
∴ （BD+CE）×CD=2，即 （b+ b）×（﹣ a）=2
∴ab=﹣
将B（a，b）代入反比例函数y= （k≠0），得
k=ab=﹣
故答案为：﹣
二、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）
7．下面所给几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．【考点】简单几何体的三视图．
【分析】直接利用俯视图的观察角度从上往下观察得出答案．
【解答】解：由几何体可得：圆锥的俯视图是圆，且有圆心．
故选：B．
8．某学习小组9名学生参加“数学竞赛”，他们的得分情况如表：
人数（人） 1 3 4 1
分数（分） 80 85 90 95
那么这9名学生所得分数的众数和中位数分别是（ ）
A．90，90 B．90，85 C．90，87.5 D．85，85
【考点】众数；中位数．
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均
数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，可得答案．
【解答】解：在这一组数据中90是出现次数最多的，故众数是90；
排序后处于中间位置的那个数是90，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是90；
故选：A．
9．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【考点】根的判别式．
【分析】将方程的系数代入根的判别式中，得出△=0，由此即可得知该方程有两个相等的实数
根．
【解答】解：在方程x2﹣4x+4=0中，
△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，
∴该方程有两个相等的实数根．
故选B．
10．不等式组 的解集为（ ）
A．x≤2 B．x＜4 C．2≤x＜4 D．x≥2【考点】解一元一次不等式组．
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集即可．
【解答】解：解不等式x﹣3＜1，得：x＜4，
解不等式3x+2≤4x，得：x≥2，
∴不等式组的解集为：2≤x＜4，
故选：C．
11．下列运算正确的是（ ）
A．（a﹣3）2=a2﹣9 B．a2•a4=a8C． =±3 D． =﹣2
【考点】同底数幂的乘法；算术平方根；立方根；完全平方公式．
【分析】利用同底数幂的乘法、算术平方根的求法、立方根的求法及完全平方公式分别计算后
即可确定正确的选项．
【解答】解：A、（a﹣3）2=a2﹣6a+9，故错误；
B、a2•a4=a6，故错误；
C、 =3，故错误；
D、 =﹣2，故正确，
故选D．
12．如图，AB为⊙O的直径，AB=6，AB⊥弦CD，垂足为G，EF切⊙O于点B，∠A=30°，连接
AD、OC、BC，下列结论不正确的是（ ）
A．EF∥CD B．△COB是等边三角形
C．CG=DG D． 的长为 π
【考点】弧长的计算；切线的性质．【分析】根据切线的性质定理和垂径定理判断A；根据等边三角形的判定定理判断B；根据垂
径定理判断C；利用弧长公式计算出 的长判断D．
【解答】解：∵AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点B，
∴AB⊥EF，又AB⊥CD，
∴EF∥CD，A正确；
∵AB⊥弦CD，
∴ = ，
∴∠COB=2∠A=60°，又OC=OD，
∴△COB是等边三角形，B正确；
∵AB⊥弦CD，
∴CG=DG，C正确；
的长为： =π，D错误，
故选：D．
13．八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，
其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车
学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（ ）
A． ﹣ =20 B． ﹣ =20 C． ﹣ = D． ﹣ =
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【分析】根据八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20
分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个
选项是正确的．
【解答】解：由题意可得，
﹣ = ，
故选C．14．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC
分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列结论：
①EG=DF；②∠AEH+∠ADH=180°；③△EHF≌△ DHC；④若 = ，则3S =13S ，其
△EDH △DHC
中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】①根据题意可知∠ACD=45°，则GF=FC，则EG=EF﹣GF=CD﹣FC=DF；
②由SAS证明△EHF≌△DHC，得到∠HEF=∠HDC，从而
∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=180°；
③同②证明△EHF≌△DHC即可；
④若 = ，则AE=2BE，可以证明△EGH≌△DFH，则∠EHG=∠DHF且EH=DH，则
∠DHE=90°，△EHD为等腰直角三角形，过H点作HM垂直于CD于M点，设HM=x，则
DM=5x，DH= x，CD=6x，则S = ×HM×CD=3x2，S = ×DH2=13x2．
△DHC △EDH
【解答】解：①∵四边形ABCD为正方形，EF∥AD，
∴EF=AD=CD，∠ACD=45°，∠GFC=90°，
∴△CFG为等腰直角三角形，
∴GF=FC，
∵EG=EF﹣GF，DF=CD﹣FC，
∴EG=DF，故①正确；
②∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，∴FH=CH，∠GFH= ∠GFC=45°=∠HCD，
在△EHF和△DHC中， ，
∴△EHF≌△DHC（SAS），
∴∠HEF=∠HDC，
∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，故②正确；
③∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，
∴FH=CH，∠GFH= ∠GFC=45°=∠HCD，
在△EHF和△DHC中， ，
∴△EHF≌△DHC（SAS），故③正确；
④∵ = ，
∴AE=2BE，
∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，
∴FH=GH，∠FHG=90°，
∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD，
在△EGH和△DFH中， ，
∴△EGH≌△DFH（SAS），
∴∠EHG=∠DHF，EH=DH，∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°，
∴△EHD为等腰直角三角形，
过H点作HM垂直于CD于M点，如图所示：
设HM=x，则DM=5x，DH= x，CD=6x，则S = ×HM×CD=3x2，S = ×DH2=13x2，
△DHC △EDH
∴3S =13S ，故④正确；
△EDH △DHC
故选：D．
三、综合题：共9题，满分70分
15．计算：20160﹣|﹣ |+ +2sin45°．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】分别根据零次幂、实数的绝对值、负指数幂及特殊角的三角函数值进行计算即可．
【解答】解：
20160﹣|﹣ |+ +2sin45°
=1﹣ +（3﹣1）﹣1+2×
=1﹣ +3+
=4．
16．如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB
求证：AE=CE．【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】根据平行线的性质得出∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，再根据全等三角形的判定定理
AAS得出△ADE≌△CFE，即可得出答案．
【解答】证明：∵FC∥AB，
∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AE=CE．
17．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）
（1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A B C ；
1 1 1
（2）请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A B C ；
2 2 2
（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．
【考点】作图-旋转变换；轴对称-最短路线问题；作图-平移变换．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可；（2））找出点A、B、C关于原点O的对称点的位置，然后顺次连接即可；
（3）找出A的对称点A′，连接BA′，与x轴交点即为P．
【解答】解：（1）如图1所示：
（2）如图2所示：
（3）找出A的对称点A′（﹣3，﹣4），
连接BA′，与x轴交点即为P；
如图3所示：点P坐标为（2，0）．18．某中学为了了解九年级学生体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，
测试结果分为A，B，C，D四个等级，并依据测试成绩绘制了如下两幅尚不完整的统计图；
（1）这次抽样调查的样本容量是 5 0 ，并补全条形图；
（2）D等级学生人数占被调查人数的百分比为 8% ，在扇形统计图中C等级所对应的圆
心角为 28. 8 °；
（3）该校九年级学生有1500人，请你估计其中A等级的学生人数．
【考点】条形统计图；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）由A等级的人数和其所占的百分比即可求出抽样调查的样本容量；求出B等级
的人数即可全条形图；
（2）用B等级的人数除以总人数即可得到其占被调查人数的百分比；求出C等级所占的百分
比，即可求出C等级所对应的圆心角；
（3）由扇形统计图可知A等级所占的百分比，进而可求出九年级学生其中A等级的学生人数．
【解答】解：
（1）由条形统计图和扇形统计图可知总人数=16÷32%=50人，所以B等级的人数=50﹣16﹣
10﹣4=20人，
故答案为：50；
补全条形图如图所示：
（2）D等级学生人数占被调查人数的百分比= ×100%=8%；
在扇形统计图中C等级所对应的圆心角=8%×360°=28.8°，
故答案为：8%，28.8；
（3）该校九年级学生有1500人，估计其中A等级的学生人数=1500×32%=480人．
19．甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有3个分别标有数字1，2，3的小球，乙口袋中装有
2个分别标有数字4，5的小球，它们的形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出一个小球
记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字．
（1）请用列表或树状图的方法（只选其中一种），表示出两次所得数字可能出现的所有结果；
（2）求出两个数字之和能被3整除的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【分析】先根据题意画树状图，再根据所得结果计算两个数字之和能被3整除的概率．
【解答】解：（1）树状图如下：（2）∵共6种情况，两个数字之和能被3整除的情况数有2种，
∴两个数字之和能被3整除的概率为 ，
即P（两个数字之和能被3整除）= ．
20．如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测
得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线
上），已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1m）（参考数据：
≈1.414， ≈1.732）
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．通过解直角△AFD得到
DF的长度；通过解直角△DCE得到CE的长度，则BC=BE﹣CE．
【解答】解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．
则DE=BF=CH=10m，
在直角△ADF中，∵AF=80m﹣10m=70m，∠ADF=45°，∴DF=AF=70m．
在直角△CDE中，∵DE=10m，∠DCE=30°，
∴CE= = =10 （m），
∴BC=BE﹣CE=70﹣10 ≈70﹣17.32≈52.7（m）．
答：障碍物B，C两点间的距离约为52.7m．
21．（列方程（组）及不等式解应用题）
春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元；
购进甲商品3件和乙商品2件共需230元．
（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售，为满足市场需求，需购进甲、
乙两种商品共100件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的
进货方案，并确定最大利润．
【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】（1）设甲种商品每件的进价为x元，乙种商品每件的进价为y元，根据“购进甲商品
2件和乙商品3件共需270元；购进甲商品3件和乙商品2件共需230元”可列出关于x、y
的二元一次方程组，解方程组即可得出两种商品的单价；
（2）设该商场购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，根据“甲种商品的数量不少于乙种商
品数量的4倍”可列出关于m的一元一次不等式，解不等式可得出m的取值范围，再设卖完
A、B两种商品商场的利润为w，根据“总利润=甲商品单个利润×数量+乙商品单个利润×数
量”即可得出w关于m的一次函数关系上，根据一次函数的性质结合m的取值范围即可解
决最值问题．【解答】解：（1）设甲种商品每件的进价为x元，乙种商品每件的进价为y元，
依题意得： ，解得： ，
答：甲种商品每件的进价为30元，乙种商品每件的进价为70元．
（2）设该商场购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，
由已知得：m≥4，
解得：m≥80．
设卖完A、B两种商品商场的利润为w，
则w=（40﹣30）m+（90﹣70）=﹣10m+2000，
∴当m=80时，w取最大值，最大利润为1200元．
故该商场获利最大的进货方案为甲商品购进80件、乙商品购进20件，最大利润为1200元．
22．如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=90°，四边形EBOC是平行四边形，EB交⊙O于点D，连
接CD并延长交AB的延长线于点F．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若∠F=30°，EB=4，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）
【考点】切线的判定；平行四边形的性质；扇形面积的计算．
【分析】（1）欲证明CF是⊙O的切线，只要证明∠CDO=90°，只要证明△COD≌△COA即可．
（2）根据条件首先证明△OBD是等边三角形，∠FDB=∠EDC=∠ECD=30°，推出
DE=EC=BO=BD=OA由此根据S =2•S ﹣S 即可解决问题．
阴 △AOC 扇形OAD
【解答】（1）证明：如图连接OD．
∵四边形OBEC是平行四边形，
∴OC∥BE，
∴∠AOC=∠OBE，∠COD=∠ODB，
∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，
∴∠DOC=∠AOC，
在△COD和△COA中，
，
∴△COD≌△COA，
∴∠CAO=∠CDO=90°，
∴CF⊥OD，
∴CF是⊙O的切线．
（2）解：∵∠F=30°，∠ODF=90°，
∴∠DOF=∠AOC=∠COD=60°，
∵OD=OB，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠DBO=60°，
∵∠DBO=∠F+∠FDB，
∴∠FDB=∠EDC=30°，
∵EC∥OB，
∴∠E=180°﹣∠OBD=120°，
∴∠ECD=180°﹣∠E﹣∠EDC=30°，
∴EC=ED=BO=DB，
∵EB=4，
∴OB=OD═OA=2，
在RT△AOC中，∵∠OAC=90°，OA=2，∠AOC=60°，
∴AC=OA•tan60°=2 ，
∴S =2•S ﹣S =2× ×2×2 ﹣ =2 ﹣ ．
阴 △AOC 扇形OAD23．如图1，对称轴为直线x= 的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与x轴的另一交
点为A
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；
（3）如图2，若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形
且△MQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）由对称轴的对称性得出点A的坐标，由待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）作辅助线把四边形COBP分成梯形和直角三角形，表示出面积S，化简后是一个关于S的
二次函数，求最值即可；
（3）画出符合条件的Q点，只有一种，①利用平行相似得对应高的比和对应边的比相等列比
例式；②在直角△OCQ和直角△CQM利用勾股定理列方程；两方程式组成方程组求解并取
舍．
【解答】解：（1）由对称性得：A（﹣1，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2），把C（0，4）代入：4=﹣2a，
a=﹣2，
∴y=﹣2（x+1）（x﹣2），
∴抛物线的解析式为：y=﹣2x2+2x+4；
（2）如图1，设点P（m，﹣2m2+2m+4），过P作PD⊥x轴，垂足为D，
∴S=S +S = m（﹣2m2+2m+4+4）+ （﹣2m2+2m+4）（2﹣m），
梯形 △PDB
S=﹣2m2+4m+4=﹣2（m﹣1）2+6，
∵﹣2＜0，
∴S有最大值，则S =6；
大
（3）如图2，存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形，
理由是：
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
把B（2，0）、C（0，4）代入得： ，
解得： ，
∴直线BC的解析式为：y=﹣2x+4，
设M（a，﹣2a+4），
过A作AE⊥BC，垂足为E，
则AE的解析式为：y= x+ ，
则直线BC与直线AE的交点E（1.4，1.2），
设Q（﹣x，0）（x＞0），
∵AE∥QM，
∴△ABE∽△QBM，
∴ ①，
由勾股定理得：x2+42=2×[a2+（﹣2a+4﹣4）2 ②，
]由①②得：a =4（舍），a = ，
1 2
当a= 时，x= ，
∴Q（﹣ ，0）．
2016年7月12日
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