文档内容
2014 年云南省昆明市中考数学试卷
一、单项选择题（每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是正确的）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. 2 D.
2. 左下图是由 3 个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是
（ ）
A． B． C． D．
3. 已知 、 是一元二次方程 的两个根，则 等于（ ）
A. B. C. 1 D. 4
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的
度数是（ ）
A. 85° B. 80° C. 75° D. 70°
6. 某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水
果产量的年平均增长率.设该果园水果产量的年平均增长率为 ，则根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判
定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A. AB∥CD，AD∥BC B. OA=OC，OB=OD
C. AD=BC，AB∥CD D. AB=CD，AD=BC
8. 左下图是反比例函数 的图像，则一次函数
的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，满分18分）
9. 据报道，2014年4月昆明库塘蓄水量为58500万立方米，将58500万立方米
用科学计数法表示为 万立方米.
10. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AC=10cm，点 D 为 AC 的中点，则
BD= cm.11. 甲、乙两人进行射击测试，每人 10次射击成绩的平均数都是8.5环，方差
分别是： ， ，则射击成绩较稳定的是 （填“甲”或
“乙”）.
12. 如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，3），将线段OA向左平移
2个单位长度，得到线段O′A′，则点A的对应点A′的坐标为 .
13. 要使分式 有意义，则 的取值范围是 .
14. 如图，将边长为 6cm 的正方形 ABCD 折叠，使点 D 落在 AB 边的中点 E
处，折痕为 FH，点 C 落在 Q 处，EQ 与 BC 交于点 G，则△EBG 的周长是
cm.
三、解答题（共9题，满分58分）
15.（本小题5分）计算： .16.（本小题5分）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AB=CD，
AE∥CF，且AE=CF. 求证：∠E=∠F.
17.（本小题5分）先化简，再求值： ，其中 .
18.（本小题6分）某校计划开设4门选修课：音乐、绘画、体育、舞蹈.学校采
取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其
中一门），对调查结果进行统计后，绘制了如下不完整的两个统计图：
人数
40
40
30 绘画
20 舞蹈
20
音乐
10 体育 20%
10
音乐 绘画 体育 舞蹈 科目
根据以上统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）此次调查抽取的学生人数为a = 人，其中选择“绘画”的学生人
数占抽样人数的百分比为b = ；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校有2000名学生，请估计全校选择“绘画”的学生大约有多少人？19.（本小题6分）九年级某班同学在毕业晚会中进行抽奖活动.在一个不透明
的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号1、2、3.随机摸出一个小球
记下标号后放回摇匀，再从中随机摸出一个小球记下标号.
（1）请用列表或画树形图的方法（只选其中一种），表示两次摸出小球上的
标号的所有结果；
（2）规定当两次摸出的小球标号相同时中奖，求中奖的概率.
20.（本小题6分）如图，在数学实践课中，小明为了测量学校旗杆 CD的高
度，在地面 A 处放置高度为 1.5 米的测角仪 AB，测得旗杆顶端 D 的仰角为
32°，AC为22米，求旗杆CD的高度.（结果精确到0.1米.参考数据：sin32°=
0.53，cos32°= 0.85，tan32°= 0.62）
D
32°
B
A C
第20题图
21.（本小题8分）某校运动会需购买A、B两种奖品.若购买A种奖品3件和B
种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元.（1）求A、B两种奖品单价各是多少元？
（2）学校计划购买A、B两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且A
种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍.设购买A种奖品m件，购买费用为
W元，写出W（元）与m（件）之间的函数关系式，求出自变量m的取值范
围，并确定最少费用W的值.
22.（本小题8分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上的一点，连
接BD，使∠A=2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D.
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若∠A=60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积.（结果保留根号和π）
A
D
1
B C
O E
第22题图
[
来源:学+科+网Z+X+X+K]23.（本小题9分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与x轴交于点A（ ，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，
同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度向C点运动.其中一个
点到达终点时，另一个点也停止运动.当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ
的面积最大，最多面积是多少？
（3）当△PBQ 的面积最大时，在 BC 下方的抛物线上存在点 K，使
，求K点坐标.2014 年云南省昆明市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）（2014•昆明） 的相反数是（ ）
A. B. C. 2 D.
考 相反数．
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点：
专 计算题．
题：
分 根据相反数的概念解答即可．
析：
解
答：
解： 的相反数是 ，添加一个负号即可．
故选：B．
点 本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一
评： 个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．（3分）（2014•昆明）如图是由3个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的主视
图是（ ）A． B． C． D．
考 简单组合体的三视图．
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点：
分 根据三视图的定义求解．
析：
解 解：从正面看，上面一层最左边有1个正方形，
答： 下边一层有2个正方形．
故选：B．
点 本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
评：
3．（3分）（2014•昆明）已知x ，x 是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，则x •x
1 2 1 2
等于（ ）
A． ﹣4 B． ﹣1 C． 1 D． 4
考 根与系数的关系．
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点：
专 计算题．
题：
分 直接根据根与系数的关系求解．
析：
解 解：根据韦达定理得x •x =1．
1 2
答： 故选：C．
点 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为
评：
x ，x ，则x +x =﹣ ，x •x = ．
1 2 1 2 1 2
4．（3分）（2014•昆明）下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
考 完全平方公式；实数的运算；幂的乘方与积的乘方．
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点：
专 计算题．
题：
分 A、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断；
析： B、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可作出判断；
C、原式不能合并，错误；
D、原式利用立方根定义化简得到结果，即可做出判断．
解 解：A、原式=a6，错误；
答： B、原式=a2﹣2ab+b2，错误；
C、原式不能合并，错误；
D、原式=﹣3，正确，
故选：D
点 此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，以及平方差公式，熟评： 练掌握公式是解本题的关键．
5．（3分）（2014•昆明）如图，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，
则∠BDC的度数是（ ）
A． 85° B． 80° C． 75° D． 70°
考 三角形的外角性质．
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点：
专 计算题．
题：
分
析：
利用角平分线的性质可得∠ABD= ∠ABC= ×70°=35°，再根据三角形外角的性
质可得∠BDC=∠A+∠ABD=50°+35°=85°．
解 解：∵BD平分∠ABC，∠ABC=70°，
答：
∴∠ABD= ∠ABC= ×70°=35°，
∵∠A=50°，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=50°+35°=85°，
故选：A．
点 此题主要考查了角平分线的定义和三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个
评： 外角等于和它不相邻的两个内角的和．
6．（3分）（2014•昆明）某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，
求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意
可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
考 由实际问题抽象出一元二次方程．
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点：
专 增长率问题．
题：
分 2013年的产量=2011年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．
析：
解 解：2012年的产量为100（1+x），
答： 2013年的产量为100（1+x）（1+x）=100（1+x）2，
即所列的方程为100（1+x）2=144，
故选：D．点 考查列一元二次方程；得到2013年产量的等量关系是解决本题的关键．
评：
7．（3分）（2014•昆明）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列
条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A． AB∥CD，AD∥BC B． OA=OC，OB=OD
C． AD=BC，AB∥CD D． AB=CD，AD=BC
考 平行四边形的判定．
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点：
专 证明题．
题：
分 根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
析：
解 解：A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平
答： 行四边形，故此选项不合题意；
B、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边
形，故此选项不合题意；
C、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四
边形，故此选项不合题意；
故选：C．
点 此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边
评： 形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对
边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行
四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
8．（3分）（2014•昆明）如图是反比例函数y= （k为常数，k≠0）的图象，则一次函数
y=kx﹣k的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
考 反比例函数的性质；一次函数的图象．
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专 数形结合．
题：
分
析：
根据反比例函数y= 的图象所在的象限确定k＞0．然后根据k＞0确定一次函数
y=kx﹣k的图象的单调性及与y轴的交点的大体位置，从而确定该一次函数图象
所经过的象限．
解
答：
解：根据图示知，反比例函数y= 的图象位于第一、三象限，
∴k＞0，
∴一次函数y=kx﹣k的图象与y轴的交点在y轴的负半轴，且该一次函数在定义
域内是增函数，
∴一次函数y=kx﹣k的图象经过第一、三、四象限；
故选：B．
点
评：
本题考查了反比例函数、一次函数的图象．反比例函数y= 的图象是双曲线，当
k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别
位于第二、四象限．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
9．（3分）（2014•昆明）据报道，2014年4月昆明库塘蓄水量为58500万立方米，将
58500万立方米用科学记数法表示为 5.85×1 0 4 万立方米．
考 科学记数法—表示较大的数．
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点：
分 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值
析： 是易错点，由于58500有5位，所以可以确定n=5﹣1=4．
解 解：58 500=5.85×104．
答： 故答案为：5.85×104．
点 此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
评：
10．（3分）（2014•昆明）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=10cm，点D为AC
的中点，则BD= 5 cm．
考 直角三角形斜边上的中线．
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点：
分
析：
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BD= AC．
解 解：∵∠ABC=90°，点D为AC的中点，
答：
∴BD= AC= ×10=5cm．
故答案为：5．点 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的
评： 关键．
11．（3分）（2014•昆明）甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是
8.5环，方差分别是：S甲 2=2，S乙 2=1.5，则射击成绩较稳定的是 乙 （填“甲”或“乙
“）．
考 方差．
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点：
分 直接根据方差的意义求解．
析：
解 解：∵S甲 2=2，S乙 2=1.5，
答： ∴S甲 2＞S乙 2，
∴乙的射击成绩较稳定．
故答案为：乙．
点 本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做
评：
这组数据的方差．方差通常用s2来表示，计算公式是：s2= [（x ﹣x¯）2+（x
1 2
﹣x¯）2+…+（x ﹣x¯）2]；方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越
n
大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程
度越小，稳定性越好．
12．（3分）（2014•昆明）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，3），将线段
OA向左平移2个单位长度，得到线段O′A′，则点A的对应点A′的坐标为 （﹣ 1 ， 3 ）
．
考 坐标与图形变化-平移．
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点：
专 几何图形问题．
题：
分 根据点向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）进行计算即可．
析：
解 解：∵点A坐标为（1，3），
答： ∴线段OA向左平移2个单位长度，点A的对应点A′的坐标为（1﹣2，3），
即（﹣1，3），
故答案为：（﹣1，3）．
点 此题主要考查了坐标与图形的变化﹣﹣平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移
评： 减；纵坐标，上移加，下移减．13．（3分）（2014•昆明）要使分式 有意义，则x的取值范围是 x≠1 0 ．
考 分式有意义的条件．
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点：
分 根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．
析：
解 解：由题意得，x﹣10≠0，
答： 解得x≠10．
故答案为：x≠10．
点 本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
评： （1）分式无意义⇔分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
14．（3分）（2014•昆明）如图，将边长为6的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的
中点E处，折痕为FH，点C落在点Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是 1 2
cm．
考 翻折变换（折叠问题）．
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点：
专 几何图形问题．
题：
分 根据翻折的性质可得DF=EF，设EF=x，表示出AF，然后利用勾股定理列方程求
析： 出x，从而得到AF、EF的长，再求出△AEF和△BGE相似，根据相似三角形对
应边成比例列式求出BG、EG，然后根据三角形周长的定义列式计算即可得解．
解 解：由翻折的性质得，DF=EF，
答： 设EF=x，则AF=6﹣x，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE= ×6=3，
在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，
即32+（6﹣x）2=x2，
解得x= ，
∴AF=6﹣ = ，
∵∠FEG=∠D=90°，
∴∠AEF+∠BEG=90°，
∵∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠BEG，
又∵∠A=∠B=90°，
∴△AEF∽△BGE，∴ = = ，
即 = = ，
解得BG=4，EG=5，
∴△EBG的周长=3+4+5=12．
故答案为：12．
点 本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟记性质并
评： 求出△AEF的各边的长，然后利用相似三角形的性质求出△EBG的各边的长是
解题的关键，也是本题的难点．
三、解答题（共9小题，满分58分，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明）
15．（5分）（2014•昆明）计算：| |+（π﹣3）0+（ ）﹣1﹣2cos45°．
考 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
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点：
专 计算题．
题：
分 本题涉及零指数幂、负整指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值化简四个考点．
析： 针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解 解：原式= +1+2﹣
答：
=3．
点 本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目
评： 的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根
式、绝对值等考点的运算．
16．（5分）（2014•昆明）已知：如图，点A、B、C在同一直线上，AB=CD，AE∥CF，
且AE=CF．求证：∠E=∠F．
考 全等三角形的判定与性质．
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点：
专 证明题．
题：
分 首先根据AE∥CF可得∠A=∠FCD，再加上条件AB=CD，AE=CF可利用SAS定
析： 理判定△ABE≌△CDF，根据全等三角形的性质可得∠E=∠F．
解 证明：∵AE∥CF，
答： ∴∠A=∠FCD，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），∴∠E=∠F．
点 此题主要考查了三角形全等的判定和性质，关键是正确找出证明三角形全等的条
评： 件．
17．（5分）（2014•昆明）先化简，再求值：（1+ ）• ，其中a=3．
考 分式的化简求值．
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点：
专 计算题．
题：
分 原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果，将
析： a的值代入计算即可求出值．
解
答：
解：原式= • = ，
当a=3时，原式= ．
点 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
评：
18．（6分）（2014•昆明）某校计划开设4门选修课：音乐、绘画、体育、舞蹈，学校采
取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门），
对调查结果进行统计后，绘制了如下不完整的两个统计图．
根据以上统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）此次调查抽取的学生人数为a= 10 0 人，其中选择“绘画”的学生人数占抽样人数
的百分比为b= 40% ；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校有2000名学生，请估计全校选择“绘画”的学生大约有多少人？
考 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
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点：
专 图表型．
题：
分 （1）用音乐的人数除以所占的百分比计算即可求出a，再用绘画的人数除以总人析： 数求出b；
（2）求出体育的人数，然后补全统计图即可；
（3）用总人数乘以“绘画”所占的百分比计算即可得解．
解 解：（1）a=20÷20%=100人，
答：
b= ×100%=40%；
故答案为：100；40%；
（2）体育的人数：100﹣20﹣40﹣10=30人，
补全统计图如图所示；
（3）选择“绘画”的学生共有2000×40%=800（人）．
答：估计全校选择“绘画”的学生大约有800人．
点 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计
评： 图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的
数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
19．（6分）（2014•昆明）九年级某班同学在毕业晚会中进行抽奖活动，在一个不透明的
口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．随机摸出一个小球记下标号
后放回摇匀，再从中随机摸出一个小球记下标号．
（1）请用列表或画树形图的方法（只选其中一样），表示两次摸出小球上的标号的所有
结果；
（2）规定当两次摸出的小球标号相同时中奖，求中奖的概率．
考 列表法与树状图法．
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点：
专 计算题；分类讨论．
题：
分 （1）列表得出所有等可能的情况数即可；
析： （2）找出两次摸出小球标号相同的情况数，即可求出中奖的概率．
解 解：（1）列表得：
答： 1 2 3
1 （1，1） （2，1） （3，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3）
所有等可能的情况数有9种；（2）可能出现的结果共9种，它们出现的可能性相同，
两次摸出小球标号相同的情况共3种，分别为（1，1）；（2，2）；（3，3），
则P= = ．
点 此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数
评： 之比．
20．（6分）（2014•昆明）如图，在教学实践课中，小明为了测量学校旗杆CD的高度，
在地面A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°，AC=22米，求
旗杆CD的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，
tan32°≈0.62）
考 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
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点：
专 几何图形问题．
题：
分 根据题意得AC=22米，AB=1.5米，过点B做BE⊥CD，交CD于点E，利用
析： ∠DBE=32°，得到DE=BEtan32°后再加上CE即可求得CD的高度．
解 解：由题意得AC=22米，AB=1.5米，
答： 过点B做BE⊥CD，交CD于点E，
∵∠DBE=32°，
∴DE=BEtan32°≈22×0.62=13.64米，
∴CD=DE+CE=DE+AB=13.64+1.5≈15.1米．
答：旗杆CD的高度约15.1米．
点 此题主要考查了仰角问题的应用，要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结
评： 合图形利用三角函数解直角三角形．
21．（8分）（2014•昆明）某校运动会需购买A，B两种奖品，若购买A种奖品3件和B
种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元．
（1）求A、B两种奖品的单价各是多少元？（2）学校计划购买A、B两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且A种奖品的数
量不大于B种奖品数量的3倍，设购买A种奖品m件，购买费用为W元，写出W（元）
与m（件）之间的函数关系式．求出自变量m的取值范围，并确定最少费用W的值．
考 一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用．
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点：
专 应用题．
题：
分 （1）设A奖品的单价是x元，B奖品的单价是y元，根据条件建立方程组求出
析： 其解即可；
（2）根据总费用=两种奖品的费用之和表示出W与m的关系式，并有条件建立
不等式组求出x的取值范围，由一次函数的性质就可以求出结论．
解 解（1）设A奖品的单价是x元，B奖品的单价是y元，由题意，得
答：
， 解得： ．
答：A奖品的单价是10元，B奖品的单价是15元；
（2）由题意，得
W=10m+15（100﹣m）=﹣5m+1500
∴ ，
解得：70≤m≤75．
∵m是整数，
∴m=70，71，72，73，74，75．
∵W=﹣5m+1500，
∴k=﹣5＜0，
∴W随m的增大而减小，
∴m=75时，W最小=1125．
∴应买A种奖品75件，B种奖品25件，才能使总费用最少为1125元．
点 本题考查了一次函数的性质的运用，二元一次方程组的运用，一元一次不等式组
评： 的运用，解答时求一次函数的解析式是关键．
22．（8分）（2014•昆明）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上的一点，连接
BD，使∠A=2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若∠A=60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）
考 切线的判定；扇形面积的计算．
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点：专 几何综合题．
题：
分 （1）由OD=OB得∠1=∠ODB，则根据三角形外角性质得
析： ∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1，而∠A=2∠1，所以∠DOC=∠A，由于∠A+∠C=90°，
所以∠DOC+∠C=90°，则可根据切线的判定定理得到AC是⊙O的切线；
（2）解：由∠A=60°得到∠C=30°，∠DOC=60°，根据含30度的直角三角形三
边的关系得CD= OD=2 ，然后利用阴影部分的面积=S
△COD
﹣S扇形DOE
和扇形的面积公式求解．
解 （1）证明：∵OD=OB，
答： ∴∠1=∠ODB，
∴∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1，
而∠A=2∠1，
∴∠DOC=∠A，
∵∠A+∠C=90°，
∴∠DOC+∠C=90°，
∴OD⊥DC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠A=60°，
∴∠C=30°，∠DOC=60°，
在Rt△DOC中，OD=2，
∴CD= OD=2 ，
∴阴影部分的面积=S
△COD
﹣S扇形DOE
= ×2×2 ﹣
=2 ﹣ ．
点 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切
评： 线．也考查了扇形面积的计算．
23．（9分）（2014•昆明）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x
轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q
从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点
时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面
积是多少？
（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S ：S =5：2，
△CBK △PBQ
求K点坐标．考 二次函数综合题．
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点：
专 代数几何综合题；压轴题．
题：
分 （1）把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b的解析式，
析： 通过解方程组求得它们的值；
（2）设运动时间为t秒．利用三角形的面积公式列出S 与t的函数关系式
△PBQ
S =﹣ （t﹣1）2+ ．利用二次函数的图象性质进行解答；
△PBQ
（3）利用待定系数法求得直线BC的解析式为y= x﹣3．由二次函数图象上点
的坐标特征可设点K的坐标为（m， m2﹣ m﹣3）．
如图2，过点K作KE∥y轴，交BC于点 E．结合已知条件和（2）中的结果求得
S = ．则根据图形得到：S =S +S = EK•m+ •EK•（4﹣m），把
△CBK △CBK △CEK △BEK
相关线段的长度代入推知：﹣ m2+3m= ．易求得K （1，﹣ ），K （3，﹣
1 2
）．
解 解：（1）把点A（﹣2，0）、B（4，0）分别代入y=ax2+bx﹣3（a≠0），得
答：
，
解得 ，
所以该抛物线的解析式为：y= x2﹣ x﹣3；
（2）设运动时间为t秒，则AP=3t，BQ=t．
∴PB=6﹣3t．
由题意得，点C的坐标为（0，﹣3）．
在Rt△BOC中，BC= =5．
如图1，过点Q作QH⊥AB于点H．
∴QH∥CO，
∴△BHQ∽△BOC，
∴ = ，即 = ，∴HQ= t．
∴S = PB•HQ= （6﹣3t）• t=﹣ t2+ t=﹣ （t﹣1）2+ ．
△PBQ
当△PBQ存在时，0＜t＜2
∴当t=1时，
S △PBQ最大= ．
答：运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是 ；
（3）设直线BC的解析式为y=kx+c（k≠0）．
把B（4，0），C（0，﹣3）代入，得
， 解得 ，
∴直线BC的解析式为y= x﹣3．
∵点K在抛物线上．
∴设点K的坐标为（m， m2﹣ m﹣3）．
如图2，过点K作KE∥y轴，交BC于点E．则点E的坐标为（m， m﹣3）．
∴EK= m﹣3﹣（ m2﹣ m﹣3）=﹣ m2+ m．
当△PBQ的面积最大时，∵S ：S =5：2，S = ．
△CBK △PBQ △PBQ
∴S = ．
△CBK
S =S +S = EK•m+ •EK•（4﹣m）
△CBK △CEK △BEK
= ×4•EK
=2（﹣ m2+ m）
=﹣ m2+3m．
即：﹣ m2+3m= ．
解得 m =1，m =3．
1 2
∴K （1，﹣ ），K （3，﹣ ）．
1 2点 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析
评： 式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量
的取值范围．
