文档内容
2015年云南省昆明市中考数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）（2015•昆明）﹣5的绝对值是（ ）
A． 5 B． ﹣5 C． D． ±5
2．（3分）（2015•昆明）某校组织了“讲文明、守秩序、迎南博”知识竞赛活动，从中抽取了7名同学的参赛成
绩如下（单位：分）：80，90，70，100，60，80，80．则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A． 90，80 B． 70，80 C． 80，80 D． 100，80
3．（3分）（2015•昆明）由5个完全相同的正方体组成的立体图形如图所示，则它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（2015•昆明）如图，在△ABC中，∠B=40°，过点C作CD∥AB，∠ACD=65°，则∠ACB的度数为（
）
A． 60° B． 65° C． 70° D． 75°
5．（3分）（2015•昆明）下列运算正确的是（ ）
A． =﹣3 B． a2•a4=a6 C． （2a2）3=2a6 D． （a+2）2=a2+4
6．（3分）（2015•昆明）不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）（2015•昆明）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列结论：①AC⊥BD；
②OA=OB；③∠ADB=∠CDB；④△ABC是等边三角形，其中一定成立的是（ ）
A． ①② B． ③④ C． ②③ D． ①③
第1页（共16页）8．（3分）（2015•昆明）如图，直线y=﹣x+3与y轴交于点A，与反比例函数y= （k≠0）的图象交于点C，过点
C作CB⊥x轴于点B，AO=3BO，则反比例函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
y= y=﹣ y= y=﹣
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
9．（3分）（2015•昆明）若二次根式 有意义，则x的取值范围是 ．
10．（3分）（2015•昆明）据统计，截止2014年12月28日，中国高铁运营总里程超过16000千米，稳居世界高
铁里程榜首，将16000千米用科学记数法表示为 千米．
11．（3分）（2015•昆明）如图，在△ABC中，AB=8，点D、E分别是BC、CA的中点，连接DE，则DE=
．
12．（3分）（2015•昆明）计算： ﹣ = ．
13．（3分）（2015•昆明）关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，则m的值为
．
14．（3分）（2015•昆明）如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=4 ，在BE上截取BG=2，
以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为 ．
三、解答题（共9小题，满分58分）
15．（5分）（2015•昆明）计算： +（﹣1）2015+（6﹣π）0﹣（﹣ ）﹣2．
第2页（共16页）16．（5分）（2015•昆明）如图，点B、E、C、F在同一条直线上，∠A=∠D，∠B=∠DEF，BE=CF．求证：AC=DF．
17．（6分）（2015•昆明）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△AB C ，并写出点A 的坐标；
1 1 1 1
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△ABC ；
2 2
（3）求出（2）中C点旋转到C 点所经过的路径长（记过保留根号和π）．
2
18．（6分）（2015•昆明）2015年4月25日，尼泊尔发生了里氏8.1级地震，某中学组织了献爱心捐款活动，该
校教学兴趣小组对本校学生献爱心捐款额做了一次随机抽样调查，并绘制了不完整的频数分布表和频数分
布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．如图所示：
捐款额（元） 频数 百分比
5≤x＜0 5 10%
10≤x＜15 a 20%
15≤x＜20 15 30%
20≤x＜25 14 b
25≤x＜30 6 12%
总计 100%
（1）填空：a= ，b= ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）该校共有1600名学生，估计这次活动中爱心捐款额不低于20元的学生有多少人？
第3页（共16页）19．（6分）（2015•昆明）小云玩抽卡片和旋转盘游戏，有两张正面分别标有数字1，2的不透明卡片，背面完全
相同；转盘被平均分成3个相等的扇形，并分别标有数字﹣1，3，4（如图所示），小云把卡片背面朝上洗匀后
从中随机抽出一张，记下卡片上的数字；然后转动转盘，转盘停止后，记下指针所在区域的数字（若指针在分
格线上，则重转一次，直到指针指向某一区域为止）．
（1）请用列表或树状图的方法（只选其中一种），表示出两次所得数字可能出现的所有结果；
（2）求出两个数字之积为负数的概率．
20．（6分）（2015•昆明）如图，两幢建筑物AB和CD，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=15cm，CD=20cm，AB和CD之
间有一景观池，小南在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°，在C点测得E点的俯角为45°（点B、E、D在
同一直线上），求两幢建筑物之间的距离BD（结果精确到0.1m）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，
tan42°≈0.90）
21．（7分）（2015•昆明）某部队将在指定山区进行军事演习，为了使道路便于部队重型车辆通过，部队工兵连
接到抢修一段长3600米道路的任务，按原计划完成总任务的 后，为了让道路尽快投入使用，工兵连将工作
效率提高了50%，一共用了10小时完成任务．
（1）按原计划完成总任务的 时，已抢修道路 米；
（2）求原计划每小时抢修道路多少米？
第4页（共16页）22．（8分）（2015•昆明）如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足
为F，B为直径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．
（1）求证：直线FG是⊙O的切线；
（2）若CD=10，EB=5，求⊙O的直径．
23．（9分）（2015•昆明）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+ x+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在
点B的右侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x= ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）M为第一象限内的抛物线上的一个点，过点M作MG⊥x轴于点G，交AC于点H，当线段CM=CH时，求
点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，将线段MG绕点G顺时针旋转一个角α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，设线段MG与抛
物线交于点N，在线段GA上是否存在点P，使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求
出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
第5页（共16页）2015年云南省昆明市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）
考点：绝对值．菁优网版权所有
分析：根据绝对值的含义和求法，可得﹣5的绝对值是：|﹣5|=5，据此解答即可．
解答：解：﹣5的绝对值是：|﹣5|=5．
故选：A．
点评：此题主要考查了绝对值的含义和求法的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①互为相反数
的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等
于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．
2．（3分）
考点：众数；中位数．菁优网版权所有
分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众
数是一组数据中出现次数最多的数据，可得答案．
解答：解：在这一组数据中80是出现次数最多的，故众数是80；
排序后处于中间位置的那个数是80，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是80；
故选：C．
点评：本题为统计题，考查极差、众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排
列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握
得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
3．（3分）
考点：简单组合体的三视图．菁优网版权所有
分析：几何体的俯视图有3列，每行小正方形数目分别为1，3，且第一行的一个在第二行的最左边，由此得
出答案即可．
解答：
解：它的俯视图是 ．
故选：C．
点评：此题考查了三视图的作图，注意掌握看所得到的图形的形状、数量与位置．
4．（3分）
考点：平行线的性质．菁优网版权所有
分析：首先根据CD∥AB，可得∠A=∠ACD=65°；然后在△ABC中，根据三角形的内角和定理，求出∠ACB
的度数为多少即可．
解答：解：∵CD∥AB，
∴∠A=∠ACD=65°，
∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B
=180°﹣65°﹣40°
=75°
即∠ACB的度数为75°．
故选：D．
点评：（1）此题主要考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）定理1：两条
平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．（2）定理2：两条平行线
被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．（3）定理3：两条平行线被
第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
（2）此题还考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是
180°．
5．（3分）
第6页（共16页）考点：幂的乘方与积的乘方；算术平方根；同底数幂的乘法；完全平方公式．菁优网版权所有
分析：根据同底数幂的乘法的性质，积的乘方的性质，二次根式的性质，完全平分公式，对各选项分析判断
后利用排除法求解．
解答：解：A、 =3，故错误：
B、正确；
C、（2a2）3=8a6，故正确；
D、（a+2）2=a2+4a+4，故错误；
故选：B．
点评：本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．
6.（3分）
考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．菁优网版权所有
分析：解不等式组，求出不等式组的解集，即可解答．
解答：
解：不等式组 的解集为：﹣3＜x≤1，
故选：A．
点评：本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，
≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的
个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆
点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
7.（3分）
考点：菱形的性质．菁优网版权所有
分析：根据菱形的性质即可直接作出判断．
解答：解：根据菱形的对角线互相垂直平分可得：①正确；②错误；
根据菱形的对角线平分一组内角可得③正确．
④错误．
故选D．
点评：本题考查了菱形的性质，正确记忆性质的基本内容是关键．
8．（3分）
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
分析：先求出点A的坐标，然后表示出AO、BO的长度，根据AO=3BO，求出点C的横坐标，代入直线解析
式求出纵坐标，用待定系数法求出反比例函数解析式．
解答：解：∵直线y=﹣x+3与y轴交于点A，
∴A（0，3），即OA=3，
∵AO=3BO，
∴OB=1，
∴点C的横坐标为﹣1，
∵点C在直线y=﹣x+3上，
∴点C（﹣1，4），
∴反比例函数的解析式为：y=﹣ ．
故选：B．
点评：本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意确定点C的横坐标并求出纵坐标是解题
的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
9．（3分）
考点：二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
第7页（共16页）分析：根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围．
解答：解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0，
∴x≥1．
故答案为：x≥1．
点评：此题考查了二次根式有意义的条件，只要保证被开方数为非负数即可．
10．（3分）
考点：科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a
时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原
数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：将16000用科学记数法表示为：1.6×104．
故答案为：1.6×104．
点评：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整
数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
11．（3分）
考点：三角形中位线定理．菁优网版权所有
分析：
根据三角形的中位线等于第三边的一半即可得出DE= AB=4．
解答：解：∵在△ABC中，点D、E分别是BC、CA的中点，AB=8，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE= AB= ×8=4．
故答案为4．
点评：本题考查了三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的
关键．
12．（3分）
考点：分式的加减法．菁优网版权所有
分析：根据同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，求解即可．
解答：
解：原式=
=
= ．
故答案为： ．
点评：本题考查了分式的加减法，解答本题的关键是掌握同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分
母不变，把分子相加减．
13．（3分）
考点：根的判别式．菁优网版权所有
分析：根据题意可知△=0，即42﹣4×2×（m﹣1）=0，解得m=3，
解答：解：∵方程有两个相等的实数根，
∴△=0，
即42﹣4×2×（m﹣1）=0，
解得m=3，
故答案为：3．
点评：本题考查了根的判别式，解题的关键是注意△=0 方程有两个相等的实数根．
14．（3分）
⇔
第8页（共16页）考点：等边三角形的判定与性质；三角形的重心；三角形中位线定理．菁优网版权所有
分析：根据等边三角形的性质，可得AD的长，∠ABG=∠HBD=30°，根据等边三角形的判定，可得△MEH的
形状，根据直角三角形的判定，可得△FIN的形状，根据面积的和差，可得答案．
解答：解：如图所示：
，
由△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=4 ，得
AD=BE= BC=6，∠ABG=∠HBD=30°．
由直角三角的性质，得∠BHD=90°﹣∠HBD=60°．
由对顶角相等，得∠MHE=∠BHD=60°
由BG=2，得EG=BE﹣BG=6﹣2=4．
由GE为边作等边三角形GEF，得
FG=EG=4，∠EGF=∠GEF=60°，
MHE是等边三角形；
S = AC•BE= AC×EH×3
△ABC
△
EH= BE= ×6=2．
由三角形外角的性质，得∠BIF=∠FGE﹣∠IBG=60°﹣30°=30°，
由∠IBG=∠BIG=30°，得IG=BG=2，
由线段的和差，得IF=FG﹣IG=4﹣2=2，
由对顶角相等，得∠FIN=∠BIG=30°，
由∠FIN+∠F=90°，得∠FNI=90°，
由锐角三角函数，得FN=1，IN= ．
S =S ﹣S ﹣S
五边形NIGHM EFG EMH FIN
= ×42﹣ △×22﹣ △× ×1=△ ，
故答案为： ．
点评：本题考查了等边三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，直角三角形的判定，利用图
形的割补法是求面积的关键．
三、解答题（共9小题，满分58分）
15．（5分）
考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用乘方的意义计算，第三项利用零指数幂法则计算，
最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．
解答：解：原式=3﹣1+1﹣4
=﹣1．
点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
第9页（共16页）16．（5分）
考点：全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题：证明题．
分析：根据BE=CF，求出BC=EF，根据AAS推出△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质推出即可．
解答：证明：∵BF=EC（已知），
∴BF+FC=EC+CF，
即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴AC=DF（全等三角形对应边相等）．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出△ABC≌△DEF，注意：全等三角形
的对应边相等．
17．（6分）
考点：作图-旋转变换；弧长的计算；作图-轴对称变换．菁优网版权所有
分析：（1）利用关于x轴对称点的横坐标相等，纵坐标化为相反数可先找出点A、B 、C 的坐标，然后画出图
1 1 1
形即可；
（2）利用旋转的性质可确定出点A、C 的坐标；
2 2
（3）利用弧长公式进行计算即可．
解答：解：（1）根据关于x轴对称点的坐标特点可知：A（2，﹣4），B （1，﹣1），C （4，﹣3），
1 1 1
如图下图：连接A、B 、C 即可得到△AB C ．
1 1 1 1 1 1
（2）如图：
第10页（共16页）（3）由两点间的距离公式可知：BC= ，
∴点C旋转到C 点的路径长= ．
2
点评：本题主要考查的是图形的对称、图形的旋转以及扇形的弧长公式，掌握相关性质是解题的关键．
18．（6分）
考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表．菁优网版权所有
专题：数形结合．
分析：（1）先利用第一组的频数与频率计算出样本容量，再利用样本容量乘以20%即可得到a的值，用14除
以样本容量得到b的值；
（2）第二组的频数为10，则可补全频数统计图；
（3）根据样本可得爱心捐款额不低于20元的百分比为28%+12%=40%，然后用总人数乘以40%即可
估计出爱心捐款额不低于20元的学生数．
解答：解：（1）5÷10%=50，
a=50×20=10；b= ×%=28%；
（2）如图，
（3）1600×（28%+12%）=640（人）．
答：估计这次活动中爱心捐款额不低于20元的学生有640人．
点评：本题考查了频数（率）分布直方图：频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直
方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．频数分布表列出的是在各个不同区
间内数据的个数．也考查了样本估计总体．
19．（6分）
考点：列表法与树状图法．菁优网版权所有
分析：（1）首先根据题意列出图表，然后由图表求得所有可能的结果；
（2）由（1）列出的图表可得出所有出现的结果，再根据概率公式即可求出答案．
解答：解：（1）列表如下：
﹣1 3 4
第11页（共16页）11，﹣1 1，3 1，4
22，﹣1 2，3 2，4
（2）∵两数之积为负数的情况共有2种可能：（1，﹣1），（2，﹣1），
∴P（两数之积为负数）= = ．
点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20．（6分）
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．菁优网版权所有
分析：在RT ABE中，根据正切函数可求得BE，在RT DEC中，根据等腰直角三角形的性质求得ED，然后
根据BD=BE+ED求解即可．
△ △
解答：解：由题意得：∠AEB=42°，∠DEC=45°，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴在RT ABE中，∠ABE=90°，AB=15，∠AEB=42°，
∵tan∠AEB= ，
△
∴BE= ≈15÷0.90= ，
在RT DEC中，∠CDE=90°，∠DEC=∠DCE=45°，CD=20，
∴ED=CD=20，
△
∴BD=BE+ED= +20≈36（m）．
答：两幢建筑物之间的距离BD约为36.7m．
点评：本题考查了解直角三角形的应用，要求学生借助俯角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数
解直角三角形．
21．（7分）
考点：分式方程的应用．菁优网版权所有
分析：
（1）按原计划完成总任务的 时，列式计算即可；
（2）设原计划每天修道路x米．根据原计划工作效率用的时间+实际工作效率用的时间=10等量关系
列出方程．
解答：
解：（1）按原计划完成总任务的 时，已抢修道路3600× =1200米，
故答案为：1200米；
（2）设原计划每小时抢修道路x米，
根据题意得： ，
解得：x=280，
经检验：x=280是原方程的解．
答：原计划每小时抢修道路280米．
点评：本题考查了分式方程的应用．分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题应用的等量关
系为：工作时间=工作总量÷工效．
22．（8分）
考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
分析：（1）连接OE，证明FG是⊙O的切线，只要证明∠OEF=90°即可；
（2）设OA=OE=x，则OB=10﹣x，在Rt OBE中，∠OBE=90°，BE=5，由勾股定理得：OB2+BE2=OE2，
即（10﹣x）2+52=x2，求出x的值，即可解答．
△
解答：解：（1）如图1，连接OE，
第12页（共16页）∵OA=OE，
∴∠EAO=∠AEO，
∵AE平分∠FAH，
∴∠EAO=∠FAE，
∴∠FAE=∠AEO，
∴AF∥OE，
∴∠AFE+∠OEF=180°，
∵AF⊥GF，
∴∠AFE=∠OEF=90°，
∴OE⊥GF，
∵点E在圆上，OE是半径，
∴GF是⊙O的切线．
（2）∵四边形ABCD是矩形，CD=10，
∴AB=CD=10，∠ABE=90°，
设OA=OE=x，则OB=10﹣x，
在Rt OBE中，∠OBE=90°，BE=5，
由勾股定理得：OB2+BE2=OE2，
△
∴（10﹣x）2+52=x2，
∴ ，
，
∴⊙O的直径为 ．
点评：本题考查的是切线的判定，解决本题的关键是要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心
和这点（即为半径），再证垂直即可．
23．（9分）
考点：二次函数综合题．菁优网版权所有
专题：综合题．
分析：（1）首先利用对称轴公式求出a的值，然后把点A的坐标与a的值代入抛物线的解析式，求出c的值，
即可确定出抛物线的解析式．
（2）首先根据抛物线的解析式确定出点C的坐标，再根据待定系数法，确定出直线AC解析式为y=﹣
x+2；然后设点M的坐标为（m，﹣ m2+ m+2），H（m，﹣ m+2），求出MH的值是多少，再根据
CM=CH，OC=GE=2，可得MH=2EH，据此求出m的值是多少，再把m的值代入抛物线的解析式，求
出y的值，即可确定点M的坐标．
（3）首先判断出△ABC为直角三角形，然后分两种情况：①当 = 时；②当 = 时；根
据相似三角形的性质，判断出是否存在点P，使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似即可．
第13页（共16页）解答：
解：（1）∵x=﹣ = ，b= ，
∴a=﹣ ，
把A（4，0），a=﹣ 代入y=ax2+ x+c，
可得（ ）×42+ ×4+c=0，
解得c=2，
则抛物线解析式为y=﹣ x2+ x+2．
（2）如图1，连接CM，过C点作CE⊥MH于点E，
，
∵y=﹣ x2+ x+2，
∴当x=0时，y=2，
∴C点的坐标是（0，2），
设直线AC解析式为y=kx+b（k≠0），
把A（4，0）、C（0，2）代入y=kx+b，
可得 ，
解得： ，
∴直线AC解析式为y=﹣ x+2，
∵点M在抛物线上，点H在AC上，MG⊥x轴，
∴设点M的坐标为（m，﹣ m2+ m+2），H（m，﹣ m+2），
∴MH=﹣ m2+ m+2﹣（﹣ m+2）=﹣ m2+2m，
∵CM=CH，OC=GE=2，
∴MH=2EH=2×[2﹣（﹣ m+2）]=m，
又∵MH=﹣ m2+2m，
∴﹣ m2+2m=m，
即m（m﹣2）=0，
第14页（共16页）解得m=2或m=0（不符合题意，舍去），
∴m=2，
当m=2时，
y=﹣ ×22+ ×2+2=3，
∴点M的坐标为（2，3）．
（3）存在点P，使以P，N，G为顶点的三角形与△ABC相似，理由为：
∵抛物线与x轴交于A、B两点，A（4，0），A、B两点关于直线x= 成轴对称，
∴B（﹣1，0），
∵AC= =2 ，BC= = ，AB=5，
∴AC2+BC2= + =25，AB2=52=25，
∵AC2+BC2=AB2=25，
∴△ABC为直角三角形，
∴∠ACB=90°，
线段MG绕G点旋转过程中，与抛物线交于点N，当NP⊥x轴时，∠NPG=90°，
设P点坐标为（n，0），
则N点坐标为（n，﹣ n2+ n+2），
①如图2，
当 = 时，
∵∠NPG=∠ACB=90°，
1 1
∴△NPG∽△ACB，
1 1
∴ = ，
解得：n=3，n=﹣4（不符合题意，舍去），
1 2
当n=3时，
1
y=﹣ ×32+ ×3+2=2，
∴P的坐标为（3，2）．
②当 = 时，
∵∠NPG=∠BCA=90°，
2 2
∴△NPG∽△BCA，
2 2
第15页（共16页）∴ ，
解得：n=1 ，n=1﹣ （不符合题意，舍去），
1 2
当n=1 时，
1
y=﹣ ×（1+ ）2+ ×（1 ）+2= ，
∴P的坐标为（1 ， ）．
又∵点P在线段GA上，
∴点P的纵坐标是0，
∴不存在点P，使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似．
点评：（1）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数
形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能
力．
（2）此题还考查了待定系数法求函数解析式的方法，要熟练掌握．
（3）此题还考查了相似三角形的性质和应用，以及直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．
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