文档内容
2015 年云南省曲靖市中考数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．﹣2的倒数是（ ）
A．﹣ B．﹣2 C． D．2
2．如图是一个六角螺栓，它的主视图和俯视图都正确的是（ ）[来
源:Zxxk.Com]
A． B．
C． D
3．（3分）（2015•曲靖）下列运算正确的是（ ）
A．4a2﹣2a2=2 B．a7÷a3=a4 C．5a2•a4=5a8 D．（a2b3）2=a4b5
4．（3分）（2015•曲靖）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（
）
A． B．
C． D．5．（3分）（2015•曲靖）某企业为了解员工给灾区“爱心捐款”的情况，随机抽取
部分员工的捐款金额整理绘制成如图所示的直方图，根据图中信息，下列结论正
确的是（ ）
A．样本中位数是200元
B． 样本容量是20
C． 该企业员工捐款金额的极差是450元
D．该企业员工最大捐款金额是500元
6．（3分）（2015•曲靖）方程 =﹣1的解是（ ）
A．x=2 B．x=1 C．x=0 D．无实数解
7．（3分）（2015•曲靖）如图，双曲线y= 与直线y=﹣ x交于A、B两点，且A（﹣
2，m），则点B的坐标是（ ）
A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（ ，﹣1） D．（﹣1， ）
8．（3分）（2015•曲靖）如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形
ODEF，连接AF，则∠OFA的度数是（ ）A．15° B．20° C．25° D．30°
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）（2015•曲靖）2015年云南省约有272000名学生参加高考，272000用科
学记数法表示为2.72×10n，则n= ．
10．（3分）（2015•曲靖）若平行四边形中两个内角的度数比为1：2，则其中较大的
内角是 度．
11．（3分）（2015•曲靖）若△ADE∽△ACB，且 = ，DE=10，则BC= ．
12．（3分）（2015•曲靖）如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点
E，连接AC，BD，若AC=2，则cosD= ．
13．（3分）（2015•曲靖）一个不透明的盒子里装有除颜色外无其他差别的白珠子
6颗和黑珠子若干颗，每次随机摸出一颗珠子，放回摇匀后再摸，通过多次试验发
现摸到白珠子的频率稳定在0.3左右，则盒子中黑珠子可能有 颗．
14．（3分）（2015•曲靖）一元二次方程x2﹣5x+c=0有两个不相等的实数根且两根
之积为正数，若c是整数，则c= ．（只需填一个）．
15．（3分）（2015•曲靖）用火柴棒按下图所示的方式摆大小不同的“H”：依此规律，摆出第9个“H”需用火柴棒 根．
16．（3分）（2015•曲靖）如图，在Rt△ABC中，∠C=30°，以直角顶点A为圆心，
AB长为半径画弧交BC于点D，过D作DE⊥AC于点E．若DE=a，则△ABC的周
长用含a的代数式表示为 ．
三、解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（2015•曲靖）计算：（﹣1）2015﹣（ ）﹣2+（2﹣ ）0﹣|﹣2|．
18．（8分）（2015•曲靖）先化简，再求值： ÷（1﹣ ），其中a= ﹣2．
19．（8分）（2015•曲靖）水龙头关闭不严会造成滴水，容器内盛水时w（L）与滴水
时间t（h）的关系用可以显示水量的容器做如图1的试验，并根据试验数据绘制
出如图2的函数图象，结合图象解答下列问题．
（1）容器内原有水多少升？
（2）求w与t之间的函数关系式，并计算在这种滴水状态下一天的滴水量是多少
升？20．（9分）（2015•曲靖）某商场投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，
矿泉水的成本价和销售价如表所示：
类别/单价 成本价 销售价（元/箱）
甲 24 36
乙 33 48
（1）该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
（2）全部售完500箱矿泉水，该商场共获得利润多少元？
[来源:Zxxk.Com]
21．（9分）（2015•曲靖）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且
BE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OBEC是矩形；
（2）若菱形ABCD的周长是4 ，tanα= ，求四边形OBEC的面积．22．（10分）（2015•曲靖）某中学需在短跑、跳远、乒乓球、跳高四类体育项目中各
选一名同学参加中学生运动会，根据平时成绩，把各项目进入复选的人员情况绘
制成不完整的统计图、表如下：
复选人员扇形统计图：
复选人员统计表：
项目/人数/性别 男 女
短跑 1 2
跳远 a 6
乒乓球 2 1
跳高 3 b
（1）求a、b的值；
（2）求扇形统计图中跳远项目对应圆心角的度数；
（3）用列表法或画树状图的方法求在短跑和乒乓球项目中选出的两位同学都为
男生的概率．23．（10分）（2015•曲靖）如图，过∠AOB平分线上一点C作CD∥OB交OA于点
D，E是线段OC的中点，请过点E画直线分别交射线CD、OB于点M、N，探究线
段OD、ON、DM之间的数量关系，并证明你的结论．
24．（12分）（2015•曲靖）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l⊥y轴于点B（0，
﹣2），A为OB的中点，以A为顶点的抛物线y=ax2+c与x轴交于C、D两点，且
CD=4，点P为抛物线上的一个动点，以P为圆心，PO为半径画圆．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若⊙P与y轴的另一交点为E，且OE=2，求点P的坐标；
（3）判断直线l与⊙P的位置关系，并说明理由．2015 年云南省曲靖市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．﹣2的倒数是（ ）
A．﹣ B．﹣2 C． D．2
【考点】倒数．.
【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．
【解答】解：有理数﹣2的倒数是﹣ ．
故选：A．
【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
2．如图是一个六角螺栓，它的主视图和俯视图都正确的是（ ）[来
源:Zxxk.Com]
A． B．
C． D
【考点】简单组合体的三视图．.
【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，从上边看得到的图形是俯视图，可得
答案．【解答】解：从正面看第一层中间是较长的矩形，两边是比较短的矩形，第二层是
比较宽的矩形，
从上面看外边是一个正六边形，里面是一个圆形，
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图，从上边
看得到的图形是俯视图．
3．（3分）（2015•曲靖）下列运算正确的是（ ）
A．4a2﹣2a2=2 B．a7÷a3=a4 C．5a2•a4=5a8 D．（a2b3）2=a4b5
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式．.
【分析】根据同类项、同底数幂的除法、单项式的乘法和积的乘方计算即可．
【解答】解：A、4a2﹣2a2=2a2，错误；
B、a7÷a3=a4，正确；
C、5a2•a4=5a6，错误；
D、（a2b3）2=a4b6，错误；
故选B．
【点评】此题考查同类项、同底数幂的除法、单项式的乘法和积的乘方，关键是根
据法则进行计算判断．
4．（3分）（2015•曲靖）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（
）
A． B．
C． D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．.
【分析】先解不等式组中的每一个不等式，再把不等式的解集表示在数轴上即可．
【解答】解： ，解得： ．
故不等式组无解．
故选：D．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式组的解集在数轴上表示
的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），
在表示解集时“≥，≤”要用实心圆点表示；“＜，＞”要用空心圆点表示．
5．（3分）（2015•曲靖）某企业为了解员工给灾区“爱心捐款”的情况，随机抽取
部分员工的捐款金额整理绘制成如图所示的直方图，根据图中信息，下列结论正
确的是（ ）
A．样本中位数是200元
B． 样本容量是20
C． 该企业员工捐款金额的极差是450元
D．该企业员工最大捐款金额是500元
【考点】频数（率）分布直方图；总体、个体、样本、样本容量；中位数；极差．.
【分析】利用总体、个体、样本、样本容量，中位数、极差等知识分别判断后即可确
定正确的选项．
【解答】解：A、共2+8+5+4+1=20人，中位数为10和11的平均数，故中位数为175
元，错误；
B、共20人，故样本容量为20，正确；
C、极差为500﹣50=450元，正确；
D、该企业员工最大捐款金额是500元，正确．
故选：B．【点评】本题考查的是频数分布直方图、平均数、样本容量、和极差的知识，掌握题
目的概念并从频数分布直方图获取正确的信息是解题的关键．
6．（3分）（2015•曲靖）方程 =﹣1的解是（ ）
A．x=2 B．x=1 C．x=0 D．无实数解
【考点】解分式方程．.
【分析】根据分式方程的解法，去分母转化为整式方程，求出解后检验即可．
【解答】解：去分母，方程两边都乘以（x﹣1）得，
﹣1+x=﹣（x﹣1）
解这个方程得：x=1，
检验：当x=1时，x﹣1=0，所以x=1不是原方程的解，
所以原方程无解．
故选：D．
【点评】本题主要考查了分式方程的解法，注意解分式方程一定要检验．
7．（3分）（2015•曲靖）如图，双曲线y= 与直线y=﹣ x交于A、B两点，且A（﹣
2，m），则点B的坐标是（ ）
A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（ ，﹣1） D．（﹣1， ）
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．.
【分析】根据自变量的值，可得相应的函数值，根据待定系数法，可得反比例函数
的解析式，根据解方程组，可得答案．
【解答】解：当x=﹣2时，y=﹣ ×（﹣2）=1，即A（﹣2，1）．将A点坐标代入y= ，得k=﹣2×1=﹣2，
反比例函数的解析式为y= ，
联立双曲线、直线，得 ，
解得 ， ，
B（2，﹣1）．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求双曲
线函数的解析式，又利用解方程组求图象的交点．
8．（3分）（2015•曲靖）如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形
ODEF，连接AF，则∠OFA的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【考点】旋转的性质．.
【分析】先根据正方形的性质和旋转的性质得到∠AOF的度数，OA=OF，再根据
等腰三角形的性质即可求得∠OFA的度数．
【解答】解：∵正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，
∴∠AOF=90°+40°=130°，OA=OF，
∴∠OFA=（180°﹣130°）÷2=25°．
故选：C．【点评】考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中
心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．同时考查了正方形的
性质和等腰三角形的性质．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）（2015•曲靖）2015年云南省约有272000名学生参加高考，272000用科
学记数法表示为2.72×10n，则n= 5 ．
【考点】科学记数法—表示较大的数．.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n
的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的
位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将272000用科学记数法表示为2.72×105．
∴n=5．
故答案为5．
【点评】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式
其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10．（3分）（2015•曲靖）若平行四边形中两个内角的度数比为1：2，则其中较大的
内角是 12 0 度．
【考点】平行四边形的性质．.
【分析】根据平行四边形的性质得出AB∥CD，推出∠B+∠C=180°，根据∠B：
∠C=1：2，求出∠C即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠B：∠C=1：2，
∴∠C= ×180°=120°，
故答案为：120．【点评】本题考查了平行线的性质和平行四边形的性质的应用，能熟练地运用性
质进行计算是解此题的关键，题目比较典型，难度不大．
11．（3分）（2015•曲靖）若△ADE∽△ACB，且 = ，DE=10，则BC= 1 5 ．
【考点】相似三角形的性质．.
【分析】根据△ADE∽△ACB，得到 = ，代入已知数据计算即可．
【解答】解：∵△ADE∽△ACB，
∴ = ，又 = ，DE=10，
∴BC=15．
故答案为：15．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等并
找准对应边是解题的关键．
12．（3分）（2015•曲靖）如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点
E，连接AC，BD，若AC=2，则cosD= ．【考点】圆周角定理；解直角三角形．.
【分析】连接BC，根据同弧所对的圆周角相等得到∠D=∠A，在直角三角形ABC
中，根据余弦的定义即可得到结果．
【解答】解：连接BC，
∴∠D=∠A，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
∵AB=3×2=6，AC=2，
∴cosD=cosA= = = ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，连接BC构造直角三角形是解题
的关键．
13．（3分）（2015•曲靖）一个不透明的盒子里装有除颜色外无其他差别的白珠子
6颗和黑珠子若干颗，每次随机摸出一颗珠子，放回摇匀后再摸，通过多次试验发
现摸到白珠子的频率稳定在0.3左右，则盒子中黑珠子可能有 1 4 颗．
【考点】利用频率估计概率．.
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附
近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【解答】解：由题意可得， ，
解得n=14．
故估计盒子中黑珠子大约有14个．
故答案为：14．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率
可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．14．（3分）（2015•曲靖）一元二次方程x2﹣5x+c=0有两个不相等的实数根且两根
之积为正数，若c是整数，则c= 4 ．（只需填一个）．
【考点】根的判别式；根与系数的关系．.
【分析】根据判别式的意义得到△=（﹣5）2﹣4c＞0，解不等式得c＜ ，进一步根
据根与系数的关系得到x +x =5，x x =c＞0，然后在此范围内找出最大整数即可．
1 2 1 2
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣5x+c=0有两个不相等的实数根，
∴△=（﹣5）2﹣4c＞0，解得c＜ ，
∵x +x =5，x x =c＞0，c是整数，
1 2 1 2
∴c=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当
△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜
0，方程没有实数根．
15．（3分）（2015•曲靖）用火柴棒按下图所示的方式摆大小不同的“H”：
依此规律，摆出第9个“H”需用火柴棒 2 9 根．
【考点】规律型：图形的变化类．.
【分析】根据已知图形得出数字变化规律，进而求出答案．
【解答】解：如图所示：第1个图形有3+2=5根火柴棒，
第2个图形有3×2+2=8根火柴棒，
第3个图形有3×3+2=11根火柴棒，
故第n个图形有3n+2根火柴棒，
则第9个“H”需用火柴棒：3×9+2=29（根）．
故答案为：29．【点评】此题主要考查了图形变化类，根据题意得出火柴棒的变化规律是解题关
键．
16．（3分）（2015•曲靖）如图，在Rt△ABC中，∠C=30°，以直角顶点A为圆心，
AB长为半径画弧交BC于点D，过D作DE⊥AC于点E．若DE=a，则△ABC的周
长用含a的代数式表示为 （ 6+ 2 ） a ．
【考点】含30度角的直角三角形；等边三角形的判定与性质；勾股定理．.
【分析】先根据∠C=30°，∠BAC=90°，DE⊥AC可知BC=2AB，CD=2DE，再由
AB=AD可知点D是斜边BC的中点，由此可用a表示出AB的长，根据勾股定理
可得出AC的长，由此可得出结论．
【解答】解：∵∠C=30°，∠BAC=90°，DE⊥AC，
∴BC=2AB，CD=2DE=2a．
∵AB=AD，
∴点D是斜边BC的中点，
∴BC=2CD=4a，AB= BC=2a，
∴AC= = =2 a，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=2a+4a+2 a=（6+2 ）a．
故答案为：（6+2 ）a．
【点评】本题考查的是含30°的直角三角形，熟知在直角三角形中，30°角所对的直
角边等于斜边的一半是解答此题的关键．
三、解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（2015•曲靖）计算：（﹣1）2015﹣（ ）﹣2+（2﹣ ）0﹣|﹣2|．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．.
【分析】根据零指数幂、乘方、负整数指数幂、绝对值四个考点．针对每个考点分别
进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式=﹣1﹣9+1﹣2
=﹣11．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此
类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的
运算．
18．（8分）（2015•曲靖）先化简，再求值： ÷（1﹣ ），其中a= ﹣2．
【考点】分式的化简求值．.
【分析】先通分，然后进行四则运算，最后将a= ﹣2代入计算即可．
【解答】解：原式= ×
= ，
当a= ﹣2时，
原式= = = ．
【点评】本题考查了分式的化简求值，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代
值计算．
19．（8分）（2015•曲靖）水龙头关闭不严会造成滴水，容器内盛水时w（L）与滴水
时间t（h）的关系用可以显示水量的容器做如图1的试验，并根据试验数据绘制
出如图2的函数图象，结合图象解答下列问题．
（1）容器内原有水多少升？
（2）求w与t之间的函数关系式，并计算在这种滴水状态下一天的滴水量是多少
升？【考点】一次函数的应用．.
【分析】（1）根据图象可知，t=0时，w=0.3，即容器内原有水0.3升；[来源:学科网]
（2）设w与t之间的函数关系式为w=kt+b，将（0，0.3），（1.5，0.9）代入，利用待定
系数法求出w与t之间的函数关系式；再将t=24代入，计算即可求解．
【解答】解：（1）根据图象可知，t=0时，w=0.3，即容器内原有水0.3升；
（2）设w与t之间的函数关系式为w=kt+b，
将（0，0.3），（1.5，0.9）代入，
得 ，
解得 ，
故w与t之间的函数关系式为w=0.4t+0.3；
当t=24时，w=0.4×24+0.3=9.9（升），
即在这种滴水状态下一天的滴水量是9.9升．
【点评】此题考查了一次函数的应用，关键是利用待定系数法正确求出一次函数
的解析式．
20．（9分）（2015•曲靖）某商场投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，
矿泉水的成本价和销售价如表所示：
类别/单价 成本价 销售价（元/箱）
甲 24 36
乙 33 48
（1）该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
（2）全部售完500箱矿泉水，该商场共获得利润多少元？【考点】二元一次方程组的应用．.
【分析】（1）设商场购进甲种矿泉水x箱，购进乙种矿泉水y箱，根据投入13800
元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，列出方程组解答即可；
（2）总利润=甲的利润+乙的利润．
【解答】解：（1）设商场购进甲种矿泉水x箱，购进乙种矿泉水y箱，由题意得
，
解得： ．
答：商场购进甲种矿泉水350箱，购进乙种矿泉水150箱．
（2）350×（33﹣24）+150×（48﹣36）
=3150+1800
=4950（元）．
答：该商场共获得利润4950元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的实际应用．解题关键是要读懂题目的意思，
根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
[来源:Zxxk.Com]
21．（9分）（2015•曲靖）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且
BE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OBEC是矩形；
（2）若菱形ABCD的周长是4 ，tanα= ，求四边形OBEC的面积．
【考点】菱形的性质；矩形的判定；解直角三角形．.【分析】（1）利用菱形的对角线互相垂直结合平行线的性质得出
∠BOC=∠OCE=∠OBE=90°，进而求出即可；
（2）利用菱形的性质结合勾股定理得出CO，BO的长，进而求出四边形OBEC的
面积．
【解答】（1）证明：∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴AC⊥BD，
∵BE∥AC，CE∥BD，
∴∠BOC=∠OCE=∠OBE=90°，
∴四边形OBEC是矩形；
（2）解：∵菱形ABCD的周长是4 ，
∴AB=BC=AD=DC= ，
∵tanα= ，[来源:学科网ZXXK]
∴设CO=x，则BO=2x，
∴x2+（2x）2=（ ）2，
解得：x= ，
∴四边形OBEC的面积为： ×2 =4．
【点评】此题主要考查了菱形的性质和判定以及勾股定理等知识，熟练利用菱形
的性质是解题关键．
22．（10分）（2015•曲靖）某中学需在短跑、跳远、乒乓球、跳高四类体育项目中各
选一名同学参加中学生运动会，根据平时成绩，把各项目进入复选的人员情况绘
制成不完整的统计图、表如下：
复选人员扇形统计图：
复选人员统计表：
项目/人数/性别 男 女
短跑 1 2
跳远 a 6
乒乓球 2 1
跳高 3 b（1）求a、b的值；
（2）求扇形统计图中跳远项目对应圆心角的度数；
（3）用列表法或画树状图的方法求在短跑和乒乓球项目中选出的两位同学都为
男生的概率．
【考点】列表法与树状图法；统计表；扇形统计图．.
【分析】（1）根据短跑人数为1+2=3人占总人数的12%求得总人数，进一步求得
跳远和和跳高的总人数，最后求得a、b的数值即可；
（2）用跳远所占总人数的百分比乘360°即可得出；
（3）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【解答】解：（1）总人数：
（1+2）÷12%
=3÷12%
=25（人），
a=25×（1﹣36%﹣12%﹣12%）﹣6
=10﹣6
=4，
b=25×36%﹣3
=9﹣3
=6．
（2）360°×（1﹣36%﹣12%﹣12%）=144°．
（3）根据题意画出树状图如下：
一共有9种情况，恰好是两位男生的情况有2种，P（两位男生）= ．
【点评】本题考查的是统计表和扇形统计图的综合运用，读懂统计图表，从中得到
必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23．（10分）（2015•曲靖）如图，过∠AOB平分线上一点C作CD∥OB交OA于点
D，E是线段OC的中点，请过点E画直线分别交射线CD、OB于点M、N，探究线
段OD、ON、DM之间的数量关系，并证明你的结论．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质．.
【分析】首先根据OC是∠AOB的平分线，CD∥OB，判断出∠DOC=∠DC0，所以
OD=CD=DM+CM；然后根据E是线段OC的中点，CD∥OB，推得CM=ON，即可
判断出OD=DM+ON，据此解答即可．
【解答】解：线段OD、ON、DM之间的数量关系是：OD=DM+ON．
证明：∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠DOC=∠C0B，
又∵CD∥OB，
∴∠DCO=∠C0B，
∴∠DOC=∠DC0，
∴OD=CD=DM+CM，
∵E是线段OC的中点，
∴CE=OE，
∵CD∥OB，
∴ ，
∴CM=ON，又∵OD=DM+CM，
∴OD=DM+ON．
【点评】（1）此题主要考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键
是要明确：①定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两
直线平行，同位角相等．②定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．
简单说成：两直线平行，同旁内角互补．③定理3：两条平行线被第三条直线所截，
内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
（2）此题还考查了等腰三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关
键是要明确：①等腰三角形的两腰相等．②等腰三角形的两个底角相等．③等腰
三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
24．（12分）（2015•曲靖）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l⊥y轴于点B（0，
﹣2），A为OB的中点，以A为顶点的抛物线y=ax2+c与x轴交于C、D两点，且
CD=4，点P为抛物线上的一个动点，以P为圆心，PO为半径画圆．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若⊙P与y轴的另一交点为E，且OE=2，求点P的坐标；
（3）判断直线l与⊙P的位置关系，并说明理由．
【考点】二次函数综合题．.
【分析】（1）根据题意可知A（0，﹣1），C（﹣2，0），D（2，0），从而可求得抛物线的
解析式；
（2）根据OE=2可知点E的坐标为（0，2）或（0，﹣2），从而可确定出点P的纵坐标
为1或﹣1；（3）设点P的坐标为（m， ），然后求得圆P的半径OP和点P到直线l的距
离，根据d=r，可知直线和圆相切．
【解答】解：（1）∵点A为OB的中点，
∴点A的坐标为（0，﹣1）．
∵CD=4，由抛物线的对称性可知：点C（﹣2，0），D（2，0），
将点A（0，﹣1），C（﹣2，0），D（2，0）代入抛物线的解析式得： ，
解得： ，
∴抛物线得解析式为y= ．
（2）如下图：过点P 作P F⊥OE．
1 1
∵OE=2，
∴点E的坐标为（0，2）．
∵P F⊥OE．
1
∴EF=OF．
∴点P 的纵坐标为1．
1
同理点P 的纵坐标为1．
2
将y=1代入抛物线的解析式得：x = ，x =2 ．
1 2
∴点P （﹣2 ，1），P （﹣2 ，1）．
1 2
如下图：当点E与点B重合时，点P 与点A重合，
3
∴点P 的坐标为（0，﹣1）．
3
综上所述点P的坐标为（﹣2 ，1）或（2 ，1）或（0，﹣1）．
（3）设点P的坐标为（m， ），
∴圆的半径OP= = ，
点P到直线l的距离= ﹣（﹣2）= +1．
∴d=r．
∴直线l与圆P相切．
【点评】本题主要考查的是二次函数与圆的综合应用，根据题意确定出点E的坐
标，然后再得出点P的纵坐标是解题的关键．
