文档内容
2017 年辽宁省锦州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1．（2分）﹣ 的绝对值是（ ）
A． B．﹣ C． D．
2．（2分）联合国宽带委员会2016年9月15日发布了《2016年宽带状况》报告，
报告显示，中国以7.21亿网民人数成为全球第一大互联网市场，7.21亿用科学记
数法表示为（ ）
A．7.21×107B．7.21×108C．7.21×109D．721×106
3．（2分）如图，一个由相同小正方体堆积而成的几何体，该几何体的主视图是（
）
A． B． C． D．
4．（2分）关于x的一元二次方程x2+4kx﹣1=0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
5．（2分）一小区大门的栏杆如图所示，当栏杆抬起时，BA垂直于地面AE，CD平
行于地面AE，则∠ABC+∠BCD的度数为（ ）
A．180° B．270° C．300° D．360°
6．（2分）在某校开展的“书香校园”读书活动中，学校为了解八年级学生的读书
情况，随机调查了八年级50名学生每学期每人读书的册数，绘制统计表如下：
第1页（共36页）册数 0 1 2 3 4
人数 4 12 16 17 1
则这50个样本数据的众数和中位数分别是（ ）
A．17，16 B．3，2.5C．2，3 D．3，2
7．（2分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，
BA与CD的延长线交于点F，∠DCE=80°，∠F=25°，则∠E的度数为（ ）
A．55° B．50° C．45° D．40°
8．（2分）如图，矩形OABC中，A（1，0），C（0，2），双曲线y= （0＜k＜2）的图象分
别交AB，CB于点E，F，连接OE，OF，EF，S =2S ，则k值为（ ）
△OEF △BEF
A． B．1C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）分解因式：2x3﹣2xy2= ．
10．（3分）计算： ﹣6 +tan60°= ．
11．（3分）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的球共有20个，除颜色外，
形状、大小、质地等完全相同，小明通过大量摸球试验后发现摸到红色、黑色球的
频率分别稳定在10%和30%，则口袋中白色球的个数很可能是 个．
第2页（共36页）12．（3分）如图，E为 ▱ABCD的边AB延长线上的一点，且BE：AB=2：3，连接DE交
BC于点F，则CF：AD= ．
13．（3分）已知A，B两地相距10千米，上午9：00甲骑电动车从A地出发到B地，
9：10乙开车从B地出发到A地，甲、乙两人距A地的距离y（千米）与甲所用的时
间x（分）之间的关系如图所示，则乙到达A地的时间为 ．
14．（3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（
，1），下列结论：①abc＞0；②a=b；③a=4c﹣4；④方程ax2+bx+c=1有两个相等
的实数根，其中正确的结论是 ．（只填序号即可）．
15．（3分）如图，正方形ABCD中，AB=2，E是CD中点，将正方形ABCD沿AM折叠，
使点B的对应点F落在AE上，延长MF交CD于点N，则DN的长为 ．
16．（3分）如图，Rt△OA A 在平面直角坐标系内，∠OA A =90°，∠A OA =30°，以
0 1 0 1 0 1
第3页（共36页）OA 为直角边向外作Rt△OA A ，使∠OA A =90°，∠A OA =30°，以OA 为直角边向
1 1 2 1 2 1 2 2
外作 Rt△OA A ，使∠OA A =90°，∠A OA =30°，按此方法进行下去，得到
2 3 2 3 2 3
Rt△OA A ，Rt△OA A ，…，Rt△OA A ，若点A（1，0），则点A 的横坐标为
3 4 4 5 2016 2017 0 2017
．
三、解答题（本大题共2小题，共14分）
17．（6分）先化简，再求值：（x﹣ ）÷ ，其中x=2 ．
18．（8分）今年市委市政府积极推进创建“全国文明城市”工作，市创城办公室
为了调查初中学生对“社会主义核心价值观”内容的了解程度（程度分为：“A
﹣十分熟悉”，“B﹣了解较多”，“C﹣了解较少”，“D﹣不知道”），对我市一
所中学的学生进行了随机抽样调查，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图如
图，根据信息解答下列问题：
（1）本次抽样调查了多少名学生；
（2）补全条形统计图和扇形统计图；
（3）求扇形统计图中“D﹣不知道”所在的扇形圆心角的度数；
（4）若该中学共有2400名学生，请你估计这所中学的所有学生中，对“社会主义
核心价值观”内容的了解程度为“十分熟悉”和“了解较多”的学生共有多少
名？
第4页（共36页）四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
19．（8分）传统节日“端午节”的早晨，小文妈妈为小文准备了四个粽子作早点：
一个枣馅粽，一个肉馅粽，两个花生馅粽，四个粽子除内部馅料不同外，其它一切
均相同．
（1）小文吃前两个粽子刚好都是花生馅粽的概率为 ；
（2）若妈妈在早点中给小文再增加一个花生馅的粽子，则小文吃前两个粽子都是
花生馅粽的可能性是否会增大？请说明理由．
20．（8分）某电子超市销售甲、乙两种型号的蓝牙音箱，每台进价分别为240元，
140元，下表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
甲种型号 乙种型号
第一周 3台 7台 2160元
第二周 5台 14台 4020元
（1）求甲、乙两种型号蓝牙音箱的销售单价；
（2）若超市准备用不多于6000元的资金再采购这两种型号的蓝牙音箱共30台，
求甲种型号的蓝牙音箱最多能采购多少台．
第5页（共36页）五、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
21．（8分）超速行驶是一种十分危险的违法驾驶行为，在一条笔直的高速公路
MN上，小型车限速为每小时120千米，设置在公路旁的超速监测点C，现测得一
辆小型车在监测点C的南偏西30°方向的A处，7秒后，测得其在监测点C的南偏
东45°方向的B处，已知BC=200米，B在A的北偏东75°方向，请问：这辆车超速了
吗？通过计算说明理由．（参考数据： ≈1.41， ≈1.73）
22．（8分）已知：四边形OABC是菱形，以O为圆心作⊙O，与BC相切于点D，交
OA于E，交OC于F，连接OD，DF．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）连接EF交OD于点G，若∠C=45°，求证：GF2=DG•OE．
第6页（共36页）六、解答题（本大题共1小题，共10分）
23．（10分）为解决消费者停车难的问题，某商场新建一小型轿车停车场，经测算，
此停车场每天需固定支出的费用（包括设施维修费、管理人员工资等）为600元，
为制定合理的收费标准，该商场对每天轿车停放辆次（每辆轿车每停放一次简称
为“辆次”）与每辆轿车的收费情况进行调查，发现每辆次轿车的停车费定价不
超过10元时，每天来此停放的轿车都为300辆次；若每辆次轿车的停车费定价超
过10元，则每超过1元，每天来此停放的轿车就减少12辆次，设每辆次轿车的停
车费x元（为便于结算，停车费x只取整数），此停车场的日净收入为y元（日净收
入=每天共收停车费﹣每天固定的支出）回答下列问题：
（1）①当x≤10时，y与x的关系式为： ；
②当x＞10时，y与x的关系式为： ；
（2）停车场能否实现3000元的日净收入？如能实现，求出每辆次轿车的停车费
定价，如不能实现，请说明理由；
（3）该商场要求此停车场既要吸引顾客，使每天轿车停放的辆次较多，又要有最
大的日净收入，按此要求，每辆次轿车的停车费定价应定为多少元？此时最大日
净收入是多少元？
第7页（共36页）七、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．（12分）已知：△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BE，CD，点F，G，H分别
为DE，BE，CD中点．
（1）当△ADE绕点A旋转时，如图1，则△FGH的形状为 ，说明理由；
（2）在△ADE旋转的过程中，当B，D，E三点共线时，如图2，若AB=3，AD=2，求线
段FH的长；
（3）在△ADE旋转的过程中，若AB=a，AD=b（a＞b＞0），则△FGH的周长是否存在
最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．
第8页（共36页）25．（12分）如图，抛物线y=x2+bx+c经过B（﹣1，0），D（﹣2，5）两点，与x轴另一
交点为A，点H是线段AB上一动点，过点H的直线PQ⊥x轴，分别交直线AD、抛
物线于点Q，P．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使∠APB=90°，若存在，求出点P的横坐标，若不存在，说明理
由；
（3）连接BQ，一动点M从点B出发，沿线段BQ以每秒1个单位的速度运动到Q，
再沿线段QD以每秒 个单位的速度运动到D后停止，当点Q的坐标是多少时，
点M在整个运动过程中用时t最少？
2017 年辽宁省锦州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
第9页（共36页）一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1．（2分）﹣ 的绝对值是（ ）
A． B．﹣ C． D．
【考点】28：实数的性质．
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【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案．
【解答】解：﹣ 的绝对值是 ，
故选：C．
【点评】此题主要考查了实数的性质，关键是掌握绝对值的性质．
2．（2分）联合国宽带委员会2016年9月15日发布了《2016年宽带状况》报告，
报告显示，中国以7.21亿网民人数成为全球第一大互联网市场，7.21亿用科学记
数法表示为（ ）
A．7.21×107B．7.21×108C．7.21×109D．721×106
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
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【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移
动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负
数．
【解答】解：将7.21亿用科学记数法表示为：7.21×108．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2分）如图，一个由相同小正方体堆积而成的几何体，该几何体的主视图是（
）
第10页（共36页）A． B． C． D．
【考点】U1：简单几何体的三视图．
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【分析】从正面观察几何体看一看可观察到几个面，并依据各之间的位置关系进
行判断即可．
【解答】解：该几何体的主视图为：
故选D．
【点评】本题主要考查的是几何体的三视图，熟练掌握三视图的概念是解题的关
键．
4．（2分）关于x的一元二次方程x2+4kx﹣1=0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【考点】AA：根的判别式．
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【分析】根据方程的系数结合根的判别式，找出△=16k2+4＞0，由此即可得出方程
x2+4kx﹣1=0有两个不相等的实数根．
【解答】解：在方程x2+4kx﹣1=0，△=（4k）2﹣4×1×（﹣1）=16k2+4．
∵16k2+4＞0，
∴方程x2+4kx﹣1=0有两个不相等的实数根．
故选A．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数
根”是解题的关键．
5．（2分）一小区大门的栏杆如图所示，当栏杆抬起时，BA垂直于地面AE，CD平
行于地面AE，则∠ABC+∠BCD的度数为（ ）
第11页（共36页）A．180° B．270° C．300° D．360°
【考点】JA：平行线的性质．
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【分析】根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：过B作BM∥AE，则CD∥BM∥AE．
∴∠BCD+∠1=180°；
又∵AB⊥AE，
∴AB⊥BM．
∴∠ABM=90°．
∴∠ABC+∠BCD=90°+180°=270°．
故选B．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
6．（2分）在某校开展的“书香校园”读书活动中，学校为了解八年级学生的读书
情况，随机调查了八年级50名学生每学期每人读书的册数，绘制统计表如下：
册数 0 1 2 3 4
人数 4 12 16 17 1
则这50个样本数据的众数和中位数分别是（ ）
A．17，16 B．3，2.5C．2，3 D．3，2
【考点】W5：众数；W4：中位数．
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【分析】根据众数和中位数的定义解答．
【解答】解：3本出现17次，出现次数最多，众数为3；
按照从小到大排列，第25和26个数据为2本，中位数为2；
故选D．
第12页（共36页）【点评】本题考查了众数和中位数，熟悉它们的定义是解题的关键．
7．（2分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，
BA与CD的延长线交于点F，∠DCE=80°，∠F=25°，则∠E的度数为（ ）
A．55° B．50° C．45° D．40°
【考点】M6：圆内接四边形的性质；M5：圆周角定理．
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【分析】根据三角形的外角的性质求出∠B，根据圆内接四边形的性质和三角形内
角和定理计算即可．
【解答】解：∠B=∠DCE﹣∠F=55°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠EDC=∠B=55°，
∴∠E=180°﹣∠DCE﹣∠EDC=45°，
故选：C．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质和三角形内角和定理，掌握圆内接四
边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．
8．（2分）如图，矩形OABC中，A（1，0），C（0，2），双曲线y= （0＜k＜2）的图象分
别交AB，CB于点E，F，连接OE，OF，EF，S =2S ，则k值为（ ）
△OEF △BEF
第13页（共36页）A． B．1C． D．
【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义．
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【分析】设E点坐标为（1，m），则F点坐标为（ ，2），根据三角形面积公式得到
S = （1﹣ ）（2﹣m），根据反比例函数k的几何意义得到S =S = m，由
△BEF △OFC △OAE
于S =S ﹣S ﹣S ﹣S ，列方程即可得到结论．
△OEF 矩形ABCO △OCF △OEA △BEF
【解答】解：∵四边形OABC是矩形，BA⊥OA，A（1，0），
∴设E点坐标为（1，m），则F点坐标为（ ，2），
则S = （1﹣ ）（2﹣m），S =S = m，
△BEF △OFC △OAE
∴S =S ﹣S ﹣S ﹣S =2﹣ m﹣ m﹣ （1﹣ ）（2﹣m），
△OEF 矩形ABCO △OCF △OEA △BEF
∵S =2S ，
△OEF △BEF
∴2﹣ m﹣ m﹣ （1﹣ ）（2﹣m）=2• （1﹣ ）（2﹣m），
整理得 （m﹣2）2+m﹣2=0，解得m =2（舍去），m = ，
1 2
∴E点坐标为（1， ）；
∴k= ，
故选A．
第14页（共36页）【点评】本题考查了反比例函数k的几何意义和矩形的性质；会利用面积的和差计
算不规则图形的面积．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）分解因式：2x3﹣2xy2= 2 x （ x + y ）（ x﹣ y ） ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
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【专题】11 ：计算题；44 ：因式分解．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式=2x（x2﹣y2）=2x（x+y）（x﹣y），
故答案为：2x（x+y）（x﹣y）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法
是解本题的关键．
10．（3分）计算： ﹣6 +tan60°= 2 ．
【考点】2C：实数的运算；T5：特殊角的三角函数值．
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【专题】17 ：推理填空题．
【分析】首先计算开方、乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解： ﹣6 +tan60°
=3 ﹣6× +
=3 ﹣2 +
=2
故答案为：2 ．
第15页（共36页）【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在
进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算
乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺
序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
11．（3分）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的球共有20个，除颜色外，
形状、大小、质地等完全相同，小明通过大量摸球试验后发现摸到红色、黑色球的
频率分别稳定在10%和30%，则口袋中白色球的个数很可能是 1 2 个．
【考点】X8：利用频率估计概率．
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【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附
近，可以从比例关系入手，先求得白球的频率，再乘以总球数求解．
【解答】解：白色球的个数是：20×（1﹣10%﹣30%）=20×60%=12（个）；
故答案为：12．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是要计算出口袋中
白色球所占的比例，再计算其个数．
12．（3分）如图，E为 ▱ABCD的边AB延长线上的一点，且BE：AB=2：3，连接DE交
BC于点F，则CF：AD= 3 ： 5 ．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质．
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【分析】先证明△CDF∽△BEF，所以 ，由平行四边形的性质可知，
，从而可知 = ．
【解答】解：由题意可知：CD∥AE，CD=AB
∴△CDF∽△BEF
∴
第16页（共36页）∵
∴ ，
∴ ，
∵AD=BC，
∴ = ，
故答案为：3：5
【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，
本题属于中等题型．
13．（3分）已知A，B两地相距10千米，上午9：00甲骑电动车从A地出发到B地，
9：10乙开车从B地出发到A地，甲、乙两人距A地的距离y（千米）与甲所用的时
间x（分）之间的关系如图所示，则乙到达A地的时间为 9 ： 2 0 ．
【考点】E6：函数的图象．
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【分析】根据甲30分走完全程10千米，求出甲的速度，再由图中两图象的交点可
知，两人在走了5千米时相遇，从而可求出甲此时用了15，则乙用了（15﹣10）分
钟，所以乙的速度为：5÷5，求出乙走完全程需要时间，此时的时间应加上乙先前
迟出发的10分，即可求出答案．
【解答】解：因为甲30分走完全程10千米，所以甲的速度是 千米/分，
由图中看出两人在走了5千米时相遇，那么甲此时用了15分钟，则乙用了（15﹣
10）分钟，
所以乙的速度为：5÷5=1千米/分，所以乙走完全程需要时间为：10÷1=10分，此
时的时间应加上乙先前迟出发的10分，现在的时间为9点20．
第17页（共36页）故答案为9：20．
【点评】本题主要考查了函数图象的应用．做题过程中应根据实际情况和具体数
据进行分析．本题应注意乙用的时间和具体时间之间的关联．
14．（3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（
，1），下列结论：①abc＞0；②a=b；③a=4c﹣4；④方程ax2+bx+c=1有两个相等
的实数根，其中正确的结论是 ③④ ．（只填序号即可）．
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；HA：抛物线与x轴的交点．
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【分析】①根据抛物线的开口方向、对称轴位置和抛物线与y轴的交点坐标即可确
定；
②根据抛物线的对称轴即可判定；
③根据抛物线的顶点坐标及b=﹣a即可判定；
④根据抛物线的最大值为1及二次函数与一元二次方程的关系即可判定．
【解答】解：①∵根据图示知，抛物线开口方向向下，
∴a＜0．
由对称轴在y轴的右侧知b＞0，
∵抛物线与y轴正半轴相交，
∴c＞0，
∴abc＜0．故①错误；
②∵抛物线的对称轴直线x=﹣ = ，
∴a=﹣b．
故②错误；
第18页（共36页）③∵该抛物线的顶点坐标为（ ，1），
∴1= ，
∴b2﹣4ac=﹣4a．
∵b=﹣a，
∴a2﹣4ac=﹣4a，
∵a≠0，等式两边除以a，
得a﹣4c=﹣4，即a=4c﹣4．
故③正确；
④∵二次函数y=ax2+bx+c的最大值为1，即ax2+bx+c≤1，
∴方程ax2+bx+c=1有两个相等的实数根．
故④正确．
综上所述，正确的结论有③④．
故答案为：③④．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的系
数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个
数确定．
15．（3分）如图，正方形ABCD中，AB=2，E是CD中点，将正方形ABCD沿AM折叠，
使点B的对应点F落在AE上，延长MF交CD于点N，则DN的长为 2 ﹣4 ．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LE：正方形的性质．
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【分析】根据正方形的性质得到AD=CD=2，∠D=∠B=90°，根据勾股定理得到AE=
第19页（共36页）= ，根据折叠的性质得到AF=AB=2，∠AFN=∠B=90°，根据相似三角
形的性质得到NE=5﹣2 ，于是得到结论．
【解答】解：∵在正方形ABCD中，AB=2，
∴AD=CD=2，∠D=∠B=90°，
∵E是CD中点，
∴DE=1，
∴AE= = ，
∵将正方形ABCD沿AM折叠，使点B的对应点F落在AE上，
∴AF=AB=2，∠AFN=∠B=90°，
∴EF= ﹣2，∠NFE=90°，
∴∠D=∠NFE，
∵∠AED=∠NEF，
∴△ADE∽△NFE，
∴ ，即 = ，
∴NE=5﹣2 ，
∴DN=DE﹣NE=2 ﹣4，
故答案为：2 ﹣4．
【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，相似三角形的判定和性质，正方形的性
质，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．
16．（3分）如图，Rt△OA A 在平面直角坐标系内，∠OA A =90°，∠A OA =30°，以
0 1 0 1 0 1
OA 为直角边向外作Rt△OA A ，使∠OA A =90°，∠A OA =30°，以OA 为直角边向
1 1 2 1 2 1 2 2
外作 Rt△OA A ，使∠OA A =90°，∠A OA =30°，按此方法进行下去，得到
2 3 2 3 2 3
第20页（共36页）Rt△OA A ，Rt△OA A ，…，Rt△OA A ，若点A（1，0），则点A 的横坐标为
3 4 4 5 2016 2017 0 2017
（ ） 201 6 ．
【考点】D2：规律型：点的坐标．
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【分析】由含30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出OA 、OA ，得出规律，即
1 2
可得出结果．
【解答】解：∵∠OA A =90°，OA = ，∠A OA =30°，
0 1 1 2 1
同理：OA =（ ）2，…，OA =（ ）n，
2 n
∴OA 的长度为 （ ）2017；
2017
∵2017×30°÷360=168…1，
∴OA 与OA 重合，
2017 1
∴点A 的横坐标为（ ）2017÷ =（ ）2016．
2017
故答案为：（ ）2016．
【点评】本题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握勾股定理，
通过计算得出规律是解决问题的关键．
第21页（共36页）三、解答题（本大题共2小题，共14分）
17．（6分）先化简，再求值：（x﹣ ）÷ ，其中x=2 ．
【考点】6D：分式的化简求值．
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【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后
的式子即可解答本题．
【解答】解：（x﹣ ）÷
=
=
=x2﹣1，
当x=2 时，原式= ．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
18．（8分）今年市委市政府积极推进创建“全国文明城市”工作，市创城办公室
为了调查初中学生对“社会主义核心价值观”内容的了解程度（程度分为：“A
﹣十分熟悉”，“B﹣了解较多”，“C﹣了解较少”，“D﹣不知道”），对我市一
所中学的学生进行了随机抽样调查，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图如
图，根据信息解答下列问题：
（1）本次抽样调查了多少名学生；
（2）补全条形统计图和扇形统计图；
（3）求扇形统计图中“D﹣不知道”所在的扇形圆心角的度数；
（4）若该中学共有2400名学生，请你估计这所中学的所有学生中，对“社会主义
核心价值观”内容的了解程度为“十分熟悉”和“了解较多”的学生共有多少
名？
第22页（共36页）【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图．
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【分析】（1）根据百分比= ，计算即可；
（2）求出B组人数，C、D的百分比即可．
（3）根据圆心角=360°×百分比计算即可；
（4）利用样本估计总体的思想思考问题即可；
【解答】解：（1）本次抽样调查了36÷30%=120（名）；
（2）B有120×45%=54（名），C占 ×100%=20%，D占 ×100%=5%，
（3）D所在的扇形圆心角的度数为360×5%=18°．
（4）2400×（45%+30%）=1800（名），
所以估计这所中学的所有学生中，对“社会主义核心价值观”内容的了解程度为
“十分熟悉”和“了解较多”的学生共有1800名．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、不要估计总体的思想，解题的关键是
熟练掌握基本概念，所以中考常考题型．
第23页（共36页）四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
19．（8分）传统节日“端午节”的早晨，小文妈妈为小文准备了四个粽子作早点：
一个枣馅粽，一个肉馅粽，两个花生馅粽，四个粽子除内部馅料不同外，其它一切
均相同．
（1）小文吃前两个粽子刚好都是花生馅粽的概率为 ；
（2）若妈妈在早点中给小文再增加一个花生馅的粽子，则小文吃前两个粽子都是
花生馅粽的可能性是否会增大？请说明理由．
【考点】X6：列表法与树状图法．
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【分析】（1）首先分别用A，B，C表示一个枣馅粽，一个肉馅粽，两个花生馅粽，然
后根据题意画树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小文都是花生馅的情
况，然后利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小文吃前
两个都是花生的情况，再利用概率公式即可求得给小文再增加一个花生馅的粽子
比较大小即可．
【解答】解：（1）分别用A，B，C表示一个枣馅粽，一个肉馅粽，两个花生馅粽，
画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，小文吃前两个粽子刚好都是花生馅的有2种情况，
∴小文吃前两个粽子刚好都是花生馅粽的概率： = ，
故答案为： ；
（2）会增大，
理由：分别用A，B，C表示一个枣馅粽，一个肉馅粽，三个花生馅粽，画树状图得：
第24页（共36页）∵共有20种等可能的结果，两个都是花生的有6种情况，
∴都是花生的概率为： = ＞ ；
∴给小文再增加一个花生馅的粽子，则小文吃前两个粽子都是花生馅粽的可能性
会增大．
【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况
数与总情况数之比．
20．（8分）某电子超市销售甲、乙两种型号的蓝牙音箱，每台进价分别为240元，
140元，下表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
甲种型号 乙种型号
第一周 3台 7台 2160元
第二周 5台 14台 4020元
（1）求甲、乙两种型号蓝牙音箱的销售单价；
（2）若超市准备用不多于6000元的资金再采购这两种型号的蓝牙音箱共30台，
求甲种型号的蓝牙音箱最多能采购多少台．
【考点】C9：一元一次不等式的应用；9A：二元一次方程组的应用．
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【分析】（1）设甲种型号蓝牙音箱的销售价为x元，乙种型号蓝牙音箱的销售单价
为y元，由题意得等量关系：①3台甲的销售价+7台乙的销售价=2160元，②5台
甲的销售价+14台乙的销售价=4020元，根据等量关系列出方程组，再解即可．
（2）设甲种型号的蓝牙音箱采购a台，由题意得不等关系：甲型的总进价+乙型的
总进价≤6000元，根据不等关系，列出不等式，再解即可．
【解答】解：（1）设甲种型号蓝牙音箱的销售价为x元，乙种型号蓝牙音箱的销售
单价为y元，依题意有
，
第25页（共36页）解得 ．
故甲种型号蓝牙音箱的销售价为300元，乙种型号蓝牙音箱的销售单价为180元
（2）设甲种型号的蓝牙音箱采购a台，依题意有
240a+140（30﹣a）≤6000，
解得a≤18．
故甲种型号的蓝牙音箱最多能采购18台．
【点评】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键
是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式
求解．
五、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
21．（8分）超速行驶是一种十分危险的违法驾驶行为，在一条笔直的高速公路
MN上，小型车限速为每小时120千米，设置在公路旁的超速监测点C，现测得一
辆小型车在监测点C的南偏西30°方向的A处，7秒后，测得其在监测点C的南偏
东45°方向的B处，已知BC=200米，B在A的北偏东75°方向，请问：这辆车超速了
吗？通过计算说明理由．（参考数据： ≈1.41， ≈1.73）
【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题；KU：勾股定理的应用．
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【分析】直接构造直角三角形，再利用特殊角的三角函数关系得出AB的长，进而
求出汽车的速度，进而得出答案．
【解答】解：这辆汽车没有超速，
理由：过点D作DF⊥CB于点F，过点D作DE⊥AC于点E，
由题意可得：∠ACD=30°，∠DCB=45°，∠CDB=75°，则∠DAE=45°，∠CDF=45°，
第26页（共36页）∠FDB=30°，
设BF=x，则DF=CF= x，
∵BC=200m，
∴ x+x=200，
解得：x=100（ ﹣1），
故BF=100（ ﹣1）m，
则BD=200（ ﹣1）m，
DC= DF= × ×100（ ﹣1）=（300 ﹣100 ）m，
故DE=（150 ﹣50 ）m，
则AD= （150 ﹣50 ）=（300﹣100 ）m，
故AB=AD+BD=300﹣100 +200（ ﹣1）=100（ +1）≈173（m），
∴ ≈24.7（m/s），
∵每小时120千米= ≈33.3（m/s），
∵24.7＜33.3，
∴这辆车没有超速．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确构造直角三角形是解题关键．
22．（8分）已知：四边形OABC是菱形，以O为圆心作⊙O，与BC相切于点D，交
OA于E，交OC于F，连接OD，DF．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）连接EF交OD于点G，若∠C=45°，求证：GF2=DG•OE．
第27页（共36页）【考点】S9：相似三角形的判定与性质；L8：菱形的性质；ME：切线的判定与性质．
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【分析】（1）过O作OH⊥AB，由菱形的性质可求得OH=OD，由切线的性质可知
OD为圆O的半径，可得OH为圆O的半径，可证得结论；
（2）由条件可证明△DGF∽△DFO，再利用相似三角形的性质可证得结论．
【解答】证明：
（1）如图，过O作OH⊥AB，
∵四边形OABC为菱形，
∴AB=BC，
∵BC为⊙O的切线，
∴OD⊥BC，且OD为⊙O的半径，
∴AB•OH=BC•OD，
∴OH=OD，
∴AB为⊙O的切线；
（2）由（1）可知OD⊥CB，
∴AO⊥DO，
∴∠AOD=90°，
∴∠DFO= ∠AOD=45°，
∵∠C=45°，且∠ODC=90°，
∴∠DOF=45°，
第28页（共36页）在△OGF中，∠DGF为△OGF的外角，
∴∠DGF=∠DOF+∠GFO=45°+∠GFO，
∵∠DFO=∠DFG+∠GFO=45°+∠GFO，
∴∠DGF=∠DFO，且∠GDF=∠FDO，
∴△DGF∽△DFO，
∴ = ，即DF•GF=DG•OF，
∵OF=OD=OE，
∴DF=GF，
∴GF2=DG•OE．
【点评】本题主要考查切线的判定和性质及相似三角形的判定，掌握切线的判定
方法和相似三角形的判定方法是解题的关键，注意等积法的应用．
六、解答题（本大题共1小题，共10分）
23．（10分）为解决消费者停车难的问题，某商场新建一小型轿车停车场，经测算，
此停车场每天需固定支出的费用（包括设施维修费、管理人员工资等）为600元，
为制定合理的收费标准，该商场对每天轿车停放辆次（每辆轿车每停放一次简称
为“辆次”）与每辆轿车的收费情况进行调查，发现每辆次轿车的停车费定价不
超过10元时，每天来此停放的轿车都为300辆次；若每辆次轿车的停车费定价超
过10元，则每超过1元，每天来此停放的轿车就减少12辆次，设每辆次轿车的停
车费x元（为便于结算，停车费x只取整数），此停车场的日净收入为y元（日净收
入=每天共收停车费﹣每天固定的支出）回答下列问题：
（1）①当x≤10时，y与x的关系式为： y=300x﹣600 ；
②当x＞10时，y与x的关系式为： y=﹣12 x 2 + 420x﹣600 ；
（2）停车场能否实现3000元的日净收入？如能实现，求出每辆次轿车的停车费
定价，如不能实现，请说明理由；
（3）该商场要求此停车场既要吸引顾客，使每天轿车停放的辆次较多，又要有最
大的日净收入，按此要求，每辆次轿车的停车费定价应定为多少元？此时最大日
净收入是多少元？
【考点】HE：二次函数的应用；AD：一元二次方程的应用．
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第29页（共36页）【分析】（1）①根据“总利润=每辆次停车费用×辆次﹣总成本”列出函数解析
式；
②根据“总利润=每辆次停车费用×辆次﹣总成本”可得函数解析式；
（2）根据停车场有3000元的日净收入，列出方程求解即可；
（3）根据（1）中函数解析式利用一次函数和二次函数性质求解可得．本题中要按
照每辆次小车的停车费的变化，来分别讨论停车场的日净收入和每辆次小车的停
车费之间的等量关系．然后根据不同的条件来判断出符合“使每天小车停放的辆
次较多，又要有较大的日净收入”的取值．
【解答】解：（1）①由题意得：y=300x﹣600；
②由题意得：y=[300﹣12（x﹣10）]x﹣600，
即y=﹣12x2+420x﹣600；
（2）依题意有：﹣12x2+420x﹣600=3000，
解得x =15，x =20．
1 2
故停车场能实现3000元的日净收入，每辆次轿车的停车费定价是15元或20元；
（3）当x≤10时，停车300辆次，最大日净收入y=300×10﹣600=2400（元）
当x＞10时，
y=﹣12x2+420x﹣600
=﹣12（x2﹣35x）﹣600
=﹣12（x﹣17.5）2+3075
∴当x=17.5时，y有最大值．但x只能取整数，
∴x取17或18．
显然，x 取 17 时，小车停放辆次较多，此时最大日净收入为 y=﹣
12×0.25+3075=3072（元）．
由上可得，每辆次轿车的停车费定价应定为17元，此时最大日净收入是3072元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出函数关
系式，再根据函数关系式解答是解题的关键．本要注意不同的条件下，函数的不
同的变化，要根据题目给出的条件分别进行讨论．
七、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．（12分）已知：△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BE，CD，点F，G，H分别
第30页（共36页）为DE，BE，CD中点．
（1）当△ADE绕点A旋转时，如图1，则△FGH的形状为 等边三角形 ，说明理
由；
（2）在△ADE旋转的过程中，当B，D，E三点共线时，如图2，若AB=3，AD=2，求线
段FH的长；
（3）在△ADE旋转的过程中，若AB=a，AD=b（a＞b＞0），则△FGH的周长是否存在
最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．
【考点】RB：几何变换综合题．
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【分析】（1）结论：△FGH是等边三角形．理由如下：根据三角形中位线定理证明
FG=FH，再想办法证明∠GFH=60°即可解决问题；
（2）如图2中，连接AF、EC．在Rt△AFE和Rt△AFB中，解直角三角形即可；
（3）首先证明△GFH的周长=3GF= BD，求出BD的最大值和最小值即可解决问题；
【解答】解：（1）结论：△FGH是等边三角形．理由如下：
如图1中，连接BD、CE，延长BD交CE于M，设BM交FH于点O．
∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
第31页（共36页）∴△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，∠ADB=∠AEC，
∵EG=GB，EF=FD，
∴FG= BD，GF∥BD，
∵DF=EF，DH=HC，
∴FH= EC，FH∥EC，
∴FG=FH，
∵∠ADB+∠ADM=180°，∴∠AEC+∠ADM=180°，
∴∠DMC+∠DAE=180°，
∴∠DME=120°，
∴∠BMC=60°
∴∠GFH=∠BOH=∠BMC=60°，
∴△GHF是等边三角形，
故答案为等边三角形．
（2）如图2中，连接AF、EC．
易知AF⊥DE，在Rt△AEF中，AE=2，EF=DF=1，
∴AF= = ，
在Rt△ABF中，BF= = ，
∴BD=CE=BF﹣DF= ﹣1，
∴FH= EC= ．
第32页（共36页）（3）（3）存在．理由如下．
由（1）可知，△GFH是等边三角形，GF= BD，
∴△GFH的周长=3GF= BD，
在△ABD中，AB=a，AD=b，
∴BD的最小值为a﹣b，最大值为a+b，
∴△FGH的周长最大值为 （a+b），最小值为 （a﹣b）．
【点评】本题考查等边三角形的性质．全等三角形的判定和性质、解直角三角形、
三角形的三边关系、三角形的中位线的宽等知识，解题的关键是学会添加常用辅
助线，正确寻找全等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题
属于中考压轴题．
25．（12分）如图，抛物线y=x2+bx+c经过B（﹣1，0），D（﹣2，5）两点，与x轴另一
交点为A，点H是线段AB上一动点，过点H的直线PQ⊥x轴，分别交直线AD、抛
物线于点Q，P．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使∠APB=90°，若存在，求出点P的横坐标，若不存在，说明理
由；
（3）连接BQ，一动点M从点B出发，沿线段BQ以每秒1个单位的速度运动到Q，
再沿线段QD以每秒 个单位的速度运动到D后停止，当点Q的坐标是多少时，
点M在整个运动过程中用时t最少？
第33页（共36页）【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）把B（﹣1，0），D（﹣2，5）代入y=x2+bx+c，得出关于b、c的二元一次方
程组，即可求出抛物线的解析式；
（2）根据抛物线解析式求出OA，设P（m，m2﹣2m﹣3），则﹣1≤m≤3，PH=﹣（m2
﹣2m﹣3），BH=1+m，AH=3﹣m，证明△AHP∽△PHB，得出PH2=BH•AH，由此得出
方程[﹣（m2﹣2m﹣3）]2=（1+m）（3﹣m），解方程即可；
（3）由题意，动点M运动的路径为折线BQ+QD，运动时间：t=BQ+ DQ，如备用
图，作辅助线，将BQ+ DQ转化为BQ+QG；再由垂线段最短，得到垂线段BH与
直线AD的交点即为所求的Q点．
【解答】解：（1）把B（﹣1，0），D（﹣2，5）代入y=x2+bx+c，
得 ，解得 ，
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3；
（2）存在点P，使∠APB=90°．
当y=0时，即x2﹣2x﹣3=0，解得：x =﹣1，x =3，
1 2
∴OB=1，OA=3．
设P（m，m2﹣2m﹣3），则﹣1≤m≤3，PH=﹣（m2﹣2m﹣3），BH=1+m，AH=3﹣m，
∵∠APB=90°，PH⊥AB，
∴∠PAH=∠BPH=90°﹣∠APH，∠AHP=∠PHB，
第34页（共36页）∴△AHP∽△PHB，
∴ = ，
∴PH2=BH•AH，
∴[﹣（m2﹣2m﹣3）]2=（1+m）（3﹣m），
解得m =1+ ，m =1﹣ ，
1 2
∴点P的横坐标为：1+ 或1﹣ ；
（3）如图，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN=5，ON=2，AN=3+2=5，
∴tan∠DAB= = =1，
∴∠DAB=45°．
过点D作DK∥x轴，则∠KDQ=∠DAB=45°，DQ= QG．
由题意，动点M运动的路径为折线BQ+QD，运动时间：t=BQ+ DQ，
∴t=BQ+QG，即运动的时间值等于折线BQ+QG的长度值．
由垂线段最短可知，折线BQ+QG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．
过点B作BH⊥DK于点H，则t =BH，BH与直线AD的交点，即为所求之Q点．
最小
∵A（3，0），D（﹣2，5），
∴直线AD的解析式为：y=﹣x+3，
∵B点横坐标为﹣1，
∴y=1+3=4，
∴Q（﹣1，4）．
第35页（共36页）【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求抛物线与直线的解析
式，相似三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，函数图象上点的坐标特征等
知识．利用数形结合与方程思想是解题的关键．
第36页（共36页）
