文档内容
2015 年云南省中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，满分24
分）
1．（3分）﹣2的相反数是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
2．（3分）不等式2x﹣6＞0的解集是（ ）
A．x＞1 B．x＜﹣3 C．x＞3 D．x＜3
3．（3分）若一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是正方形，则这个几何体是（
）
A．正方体 B．圆锥 C．圆柱 D．球
4．（3分）2011年国家启动实施农村义务教育学生营养改善计划，截至2014年4
月，我省开展营养改善试点中小学达17580所，17580这个数用科学记数法可
表示为（ ）
A．17.58×103 B．175.8×104 C．1.758×105 D．1.758×104
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a5=a10 B．（π﹣3.14）0=0
C． ﹣2 = D．（a+b）2=a2+b2
6．（3分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．4x2﹣5x+2=0 B．x2﹣6x+9=0 C．5x2﹣4x﹣1=0 D．3x2﹣4x+1=0
7．（3分）为加快新农村试点示范建设，我省开展了“美丽乡村”的评选活动，下
表是我省六个州（市）推荐候选的“美丽乡村”个数统计结果：
州（市） A B C D E F
推荐数（个） 36 27 31 56 48 54
在上表统计的数据中，平均数和中位数分别为（ ）
A．42，43.5 B．42，42 C．31，42 D．36，54
8．（3分）若扇形面积为3π，圆心角为60°，则该扇形的半径为（ ）
A．3 B．9 C．2 D．3
第1页（共23页）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
9．（3分）分解因式：3x2﹣12= ．
10．（3分）函数y= 的自变量x的取值范围是 ．
11．（3分）如图，直线l ∥l ，并且被直线l ，l 所截，则∠α= ．
1 2 3 4
12．（3分）一台电视机原价是2500元，现按原价的8折出售，则购买a台这样的
电视机需要 元．
13．（3分）如图，点A，B，C是⊙O上的点，OA=AB，则∠C的度数为 ．
14．（3分）如图，在△ABC中，BC=1，点P ，M 分别是AB，AC边的中点，点P ，M
1 1 2 2
分别是AP ，AM 的中点，点P ，M 分别是AP ，AM 的中点，按这样的规律下去，
1 1 3 3 2 2
P M 的长为 （n为正整数）．
n n
三、解答题（本大题共9小题，满分58分）
15．（5分）化简求值：[ ﹣ ]• ，其中x= +1．
第2页（共23页）16．（5 分）如图，∠B=∠D，请添加一个条件（不得添加辅助线），使得
△ABC≌△ADC，并说明理由．
17．（7分）为有效开展阳光体育活动，云洱中学利用课外活动时间进行班级篮球
比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．已知九年级
一班在8场比赛中得到13分，问九年级一班胜、负场数分别是多少？
18．（5分）已知A，B两地相距200千米，一辆汽车以每小时60千米的速度从A地
匀速驶往B地，到达B地后不再行驶，设汽车行驶的时间为x小时，汽车与B
地的距离为y千米．
（1）求y与x的函数关系，并写出自变量x的取值范围；
（2）当汽车行驶了2小时时，求汽车距B地有多少千米？
第3页（共23页）19．（6分）为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建一座桥，建
桥过程中需测量河的宽度（即两平行河岸AB与MN之间的距离）．在测量时，
选定河对岸MN上的点C处为桥的一端，在河岸点A处，测得∠CAB=30°，沿河
岸AB前行30米后到达B处，在B处测得∠CBA=60°，请你根据以上测量数据
求出河的宽度．（参考数据： ≈1.41， ≈1.73，结果保留整数）
20．（7分）现有一个六面分别标有数字1，2，3，4，5，6且质地均匀的正方形骰子，
另有三张正面分别标有数字1，2，3的卡片（卡片除数字外，其他都相同），先
由小明投骰子一次，记下骰子向上一面出现的数字，然后由小王从三张背面朝
上放置在桌面上的卡片中随机抽取一张，记下卡片上的数字．
（1）请用列表或画树形图（树状图）的方法，求出骰子向上一面出现的数字与卡片
上的数字之积为6的概率；
（2）小明和小王做游戏，约定游戏规则如下：若骰子向上一面出现的数字与卡片
上的数字之积大于7，则小明赢；若骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字
之积小于7，则小王赢，问小明和小王谁赢的可能性更大？请说明理由．
第4页（共23页）21．（7分）2015年某省为加快建设综合交通体系，对铁路、公路、机场三个重大项
目加大了建设资金的投入．
（1）机场建设项目中所有6个机场投入的建设资金金额统计如图1，已知机场E
投入的建设资金金额是机场C，D所投入建设资金金额之和的三分之二，求机
场E投入的建设资金金额是多少亿元？并补全条形统计图；
（2）将铁路、公路机场三项建设所投入的资金金额绘制成了如图2扇形统计图以
及统计表，根据扇形统计图及统计表中信息，求得a= ，b= ，c
，d ，m ．（请直接填写计算结果）
铁路 公路 机场 铁路、公路、机场三项投入建设资金总金
额（亿元）
投入资金（亿 300 a b m
元）
所占百分比 c 34% 6%
所占圆心角 216° d 21.6°
第5页（共23页）22．（7分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分别是AB，CD的中点，P是
AD上的点，且∠PNB=3∠CBN．
（1）求证：∠PNM=2∠CBN；
（2）求线段AP的长．
23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于
A，B两点，与y轴相交于点C，直线y=kx+n（k≠0）经过B，C两点，已知A（1，
0），C（0，3），且BC=5．
（1）分别求直线BC和抛物线的解析式（关系式）；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直
角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第6页（共23页）2015 年云南省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，满分24
分）
1．（3分）﹣2的相反数是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
【考点】14：相反数．
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【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
【解答】解：﹣2的相反数是：﹣（﹣2）=2，
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上
“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是
0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
2．（3分）不等式2x﹣6＞0的解集是（ ）
A．x＞1 B．x＜﹣3 C．x＞3 D．x＜3
【考点】C6：解一元一次不等式．
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【分析】利用不等式的基本性质：移项，系数化1来解答．
【解答】解：移项得，2x＞6，
两边同时除以2得，x＞3．
故选：C．
【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意
移项要改变符号这一点而出错．
解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或
整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号
的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
3．（3分）若一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是正方形，则这个几何体是（
）
第7页（共23页）A．正方体 B．圆锥 C．圆柱 D．球
【考点】U3：由三视图判断几何体．
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【分析】找到从正面、左面和上面看得到的图形是正方形的几何体即可．
【解答】解：∵主视图和左视图都是正方形，
∴此几何体为柱体，
∵俯视图是一个正方形，
∴此几何体为正方体．
故选：A．
【点评】此题考查三视图，关键是根据：三视图里有两个相同可确定该几何体是柱
体，锥体还是球体，由另一个视图确定其具体形状．
4．（3分）2011年国家启动实施农村义务教育学生营养改善计划，截至2014年4
月，我省开展营养改善试点中小学达17580所，17580这个数用科学记数法可
表示为（ ）
A．17.58×103 B．175.8×104 C．1.758×105 D．1.758×104
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
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【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点
移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是
负数．
【解答】解：将17580用科学记数法表示为1.758×104．
故选：D．
【点评】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a5=a10 B．（π﹣3.14）0=0
C． ﹣2 = D．（a+b）2=a2+b2
【考点】46：同底数幂的乘法；4C：完全平方公式；6E：零指数幂；78：二次根式的加
减法．
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【分析】根据同底数幂的乘法、零指数幂、二次根式的加减和完全平方公式计算判
断即可．
第8页（共23页）【解答】解：A、a2•a5=a7，错误；
B、（π﹣3.14）0=1，错误；
C、 ，正确；
D、（a+b）2=a2+2ab+b2，错误；
故选：C．
【点评】此题考查同底数幂的乘法、零指数幂、二次根式的加减和完全平方公式，
关键是根据法则进行计算．
6．（3分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．4x2﹣5x+2=0 B．x2﹣6x+9=0 C．5x2﹣4x﹣1=0 D．3x2﹣4x+1=0
【考点】AA：根的判别式．
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【分析】分别计算出每个方程的判别式即可判断．
【解答】解：A、∵△=25﹣4×2×4=﹣7＜0，∴方程没有实数根，故本选项正确；
B、∵△=36﹣4×1×4=0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项错误；
C、∵△=16﹣4×5×（﹣1）=36＞0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项错误；
D、∵△=16﹣4×1×3=4＞0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0 方程有两个相等的实数根；
⇔
（3）△＜0 方程没有实数根．
⇔
7．（3分）为加快新农村试点示范建设，我省开展了“美丽乡村”的评选活动，下
⇔
表是我省六个州（市）推荐候选的“美丽乡村”个数统计结果：
州（市） A B C D E F
推荐数（个） 36 27 31 56 48 54
在上表统计的数据中，平均数和中位数分别为（ ）
A．42，43.5 B．42，42 C．31，42 D．36，54
【考点】W2：加权平均数；W4：中位数．
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【分析】根据平均数的公式求得上表统计的数据中的平均数，将其按从小到大的
顺序排列中间的那个是中位数．
第9页（共23页）【解答】解：P= （36+27+31+56+48+54）=42，
把这几个数据按从小到大顺序排列为：27，31，36，48，54，56，
中位数W= （36+48）=42．
故选：B．
【点评】本题考查了平均数和中位数的知识，属于基础题，解答本题的关键是熟练
掌握平均数和中位数的定义．
8．（3分）若扇形面积为3π，圆心角为60°，则该扇形的半径为（ ）
A．3 B．9 C．2 D．3
【考点】MO：扇形面积的计算．
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【分析】已知了扇形的圆心角和面积，可直接根据扇形的面积公式求半径长．
【解答】解：扇形的面积= =3π．
解得：r=3 ．
故选：D．
【点评】本题主要考查了扇形的面积公式= ．熟练将公式变形是解题关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
9．（3分）分解因式：3x2﹣12= 3 （ x﹣2 ）（ x + 2 ） ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
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【分析】原式提取3，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式=3（x2﹣4）
=3（x+2）（x﹣2）．
故答案为：3（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查因式分解．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括
平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差
就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果
没有两数乘积的2倍还不能分解．解答这类题时一些学生往往因分解因式的
步骤、方法掌握不熟练，对一些乘法公式的特点记不准确而误选其它选项．要
第10页（共23页）求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以提取公因式
的要先提取公因式．
10．（3分）函数y= 的自变量x的取值范围是 x ≥ 7 ．
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
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【分析】函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数．
【解答】解：根据题意得：x﹣7≥0，
解得x≥7，
故答案为x≥7．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个
方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
11．（3分）如图，直线l ∥l ，并且被直线l ，l 所截，则∠α= 64 ° ．
1 2 3 4
【考点】JA：平行线的性质．
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【分析】首先根据三角形外角的性质，求出∠1的度数是多少；然后根据直线
l ∥l ，可得∠α=∠1，据此求出∠α的度数是多少即可．
1 2
【解答】解：如图1， ，
∵∠1+56°=120°，
∴∠1=120°﹣56°=64°，
第11页（共23页）又∵直线l ∥l ，
1 2
∴∠α=∠1=64°．
故答案为：64°．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
（1）定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平
行，同位角相等．（2）定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简
单说成：两直线平行，同旁内角互补．（3）定理3：两条平行线被第三条直线所
截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
12．（3分）一台电视机原价是2500元，现按原价的8折出售，则购买a台这样的
电视机需要 2000 a 元．
【考点】32：列代数式．
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【分析】现在以8折出售，就是现价占原价的80%，把原价看作单位“1”，根据一
个数乘百分数的意义，用乘法解答．
【解答】解：2500a×80%=2000a（元）．
故答案为2000a元．
【点评】本题考查了列代数式，解题的关键是理解打折问题在实际问题中的应用．
13．（3分）如图，点A，B，C是⊙O上的点，OA=AB，则∠C的度数为 30 ° ．
【考点】KM：等边三角形的判定与性质；M5：圆周角定理．
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【分析】由OA=AB，OA=OB，可得△OAB是等边三角形，即可得∠AOB=60°，又由在
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即
可求得∠C的度数．
【解答】解：∵OA=AB，OA=OB，
∴OA=OB=AB，
即△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
第12页（共23页）∴∠C= ∠AOB=30°．
故答案为30°．
【点评】此题考查了圆周角定理与等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意
掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的
一半定理的应用．
14．（3分）如图，在△ABC中，BC=1，点P ，M 分别是AB，AC边的中点，点P ，M
1 1 2 2
分别是AP ，AM 的中点，点P ，M 分别是AP ，AM 的中点，按这样的规律下去，
1 1 3 3 2 2
P M 的长为 （n为正整数）．
n n
【考点】KX：三角形中位线定理．
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【专题】16：压轴题；2A：规律型．
【分析】根据中位线的定理得出规律解答即可．
【解答】解：在△ABC中，BC=1，点P ，M 分别是AB，AC边的中点，点P ，M 分别是
1 1 2 2
AP ，AM 的中点，点P ，M 分别是AP ，AM 的中点，
1 1 3 3 2 2
可得：P M = ，P M = ，故P M = ，
1 1 2 2 n n
故答案为：
【点评】此题考查三角形中位线定理，关键是根据中位线得出规律进行解答．
三、解答题（本大题共9小题，满分58分）
15．（5分）化简求值：[ ﹣ ]• ，其中x= +1．
【考点】6D：分式的化简求值．
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【分析】首先将中括号内的部分进行通分，然后按照同分母分式的减法法则进行
计算，再按照分式的乘法法则计算、化简，最后再代数求值即可．
第13页（共23页）【解答】解：原式=
=
= ，
将x= +1代入得：原式= = ．
【点评】本题主要考查的是分式的化简以及二次根式的运算，掌握分式的通分、加
减、乘除等运算法则是解题的关键．
16．（5 分）如图，∠B=∠D，请添加一个条件（不得添加辅助线），使得
△ABC≌△ADC，并说明理由．
【考点】KB：全等三角形的判定．
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【专题】26：开放型．
【分析】已知这两个三角形的一个边与一个角相等，所以再添加一个对应角相等
即可．
【解答】解：添加∠BAC=∠DAC．理由如下：
在△ABC与△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（AAS）．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：
SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的
第14页（共23页）参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
17．（7分）为有效开展阳光体育活动，云洱中学利用课外活动时间进行班级篮球
比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．已知九年级
一班在8场比赛中得到13分，问九年级一班胜、负场数分别是多少？
【考点】8A：一元一次方程的应用．
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【分析】设胜了x场，那么负了（8﹣x）场，根据得分为13分可列方程求解．
【解答】解：设胜了x场，那么负了（8﹣x）场，根据题意得：
2x+1•（8﹣x）=13，
x=5，
8﹣5=3．
答：九年级一班胜、负场数分别是5和3．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，还考查了学生的理解题意能力，关键设
出胜的场数，以总分数做为等量关系列方程求解．
18．（5分）已知A，B两地相距200千米，一辆汽车以每小时60千米的速度从A地
匀速驶往B地，到达B地后不再行驶，设汽车行驶的时间为x小时，汽车与B
地的距离为y千米．
（1）求y与x的函数关系，并写出自变量x的取值范围；
（2）当汽车行驶了2小时时，求汽车距B地有多少千米？
【考点】FH：一次函数的应用．
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【分析】（1）根据剩余的路程=两地的距离﹣行驶的距离即可得到y与x的函数关
系式，然后再求得汽车行驶200千米所需要的时间即可求得x的取值范围．
（2）将x=2代入函数关系式，求得y值即可．
【解答】解：（1）y=200﹣60x（0≤x≤ ）；
（2）将x=2代入函数关系式得：y=200﹣60×2=80千米．
答：汽车距离B地80千米．
【点评】本题主要考查的是列函数关系式，读懂题意，明确剩余的路程=两地的距
离﹣行驶的距离是解答本题的关键．
19．（6分）为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建一座桥，建
桥过程中需测量河的宽度（即两平行河岸AB与MN之间的距离）．在测量时，
第15页（共23页）选定河对岸MN上的点C处为桥的一端，在河岸点A处，测得∠CAB=30°，沿河
岸AB前行30米后到达B处，在B处测得∠CBA=60°，请你根据以上测量数据
求出河的宽度．（参考数据： ≈1.41， ≈1.73，结果保留整数）
【考点】T8：解直角三角形的应用．
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【分析】如图，过点C作CD⊥AB于点D，通过解直角△ACD和直角△BCD来求CD
的长度．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
设CD=x．
∵在直角△ACD中，∠CAD=30°，
∴AD= = x．
同理，在直角△BCD中，BD= = x．
又∵AB=30米，
∴AD+BD=30米，即 x+ x=30．
解得x=13．
答：河的宽度的13米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用．关键把实际问题转化为数学问题加以
计算．
20．（7分）现有一个六面分别标有数字1，2，3，4，5，6且质地均匀的正方形骰子，
另有三张正面分别标有数字1，2，3的卡片（卡片除数字外，其他都相同），先
由小明投骰子一次，记下骰子向上一面出现的数字，然后由小王从三张背面朝
第16页（共23页）上放置在桌面上的卡片中随机抽取一张，记下卡片上的数字．
（1）请用列表或画树形图（树状图）的方法，求出骰子向上一面出现的数字与卡片
上的数字之积为6的概率；
（2）小明和小王做游戏，约定游戏规则如下：若骰子向上一面出现的数字与卡片
上的数字之积大于7，则小明赢；若骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字
之积小于7，则小王赢，问小明和小王谁赢的可能性更大？请说明理由．
【考点】X6：列表法与树状图法；X7：游戏公平性．
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【分析】（1）列举出所有情况，看向上一面出现的数字与卡片上的数字之积为6
的情况数占总情况数的多少即可．
（2）概率问题中的公平性问题，解题的关键是计算出各种情况的概率，然后比较
即可．
【解答】解：（1）如图所示：
共18种情况，数字之积为6的情况数有3种，P = = ．
（数字之积为6）
（2）由上表可知，该游戏所有可能的结果共18种，其中骰子向上一面出现的数字
与卡片上的数字之积大于7的有7种，骰子向上一面出现的数字与卡片上的数
字之积小于7的有11种，所以小明赢的概率= ，小王赢的概率= ，故小王
赢的可能性更大．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者
取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情
况数与总情况数之比．
21．（7分）2015年某省为加快建设综合交通体系，对铁路、公路、机场三个重大项
目加大了建设资金的投入．
第17页（共23页）（1）机场建设项目中所有6个机场投入的建设资金金额统计如图1，已知机场E
投入的建设资金金额是机场C，D所投入建设资金金额之和的三分之二，求机
场E投入的建设资金金额是多少亿元？并补全条形统计图；
（2）将铁路、公路机场三项建设所投入的资金金额绘制成了如图2扇形统计图以
及统计表，根据扇形统计图及统计表中信息，求得a= 170 ，b= 30 ，c
60% ，d 122.4 ° ，m =500 ．（请直接填写计算结果）
铁路 公路 机场 铁路、公路、机场三项投入建设资金总金
额（亿元）
投入资金（亿 300 a b m
元）
所占百分比 c 34% 6%
所占圆心角 216° d 21.6°
【考点】VA：统计表；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．
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【分析】（1）由机场E投入的建设资金金额是机场C，D所投入建设资金金额之和
的三分之二，即可得到结果；
（2）根据扇形统计图及统计表中提供的信息，列式计算即可得到结果．
【解答】解：（1）（2+4）× =4，答：机场E投入的建设资金金额是4亿元，
如图所示：
（2）c=1﹣34%﹣6%=60%，300÷（1﹣34%﹣6%）=500（亿）
a=500×34%=170（亿），
b=500×6%=30（亿），
d=360°﹣216°﹣21.6°=122.4°，
第18页（共23页）m=300+170+30=500（亿）．
故答案为：170，30，60%，122.4°，500．
【点评】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图的应用，根据图象得出正确的
信息是解题关键．
22．（7分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分别是AB，CD的中点，P是
AD上的点，且∠PNB=3∠CBN．
（1）求证：∠PNM=2∠CBN；
（2）求线段AP的长．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KF：角平分线的性质；LB：矩形的性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】（1）由MN∥BC，易得∠CBN=∠MNB，由已知∠PNB=3∠CBN，根据角的和
差不难得出结论；
（2）连接 AN，根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，由（1）知
∠ PNM=2∠ CBN=2∠ PAN ， 由 AD∥ MN ， 可 知 ∠ PAN=∠ ANM ， 所 以
∠PAN=∠PNA，根据等角对等边得到AP=PN，再用勾股定理列方程求出AP．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，CD的中点，
∴MN∥BC，
∴∠CBN=∠MNB，
第19页（共23页）∵∠PNB=3∠CBN，
∴∠PNM=2∠CBN；
（2）连接AN，
根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，
∵MN∥AD，
∴∠PAN=∠ANM，
由（1）知∠PNM=2∠CBN，
∴∠PAN=∠PNA，
∴AP=PN，
∵AB=CD=4，M，N分别为AB，CD的中点，
∴DN=2，
设AP=x，则PD=6﹣x，
在Rt△PDN中
PD2+DN2=PN2，
∴（6﹣x）2+22=x2，
解得：x=
所以AP= ．
【点评】本题主要考查了矩形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、
勾股定理的综合运用，难度不大，根据角的倍差关系得到∠PAN=∠PNA，发现
AP=PN是解决问题的关键．
23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于
A，B两点，与y轴相交于点C，直线y=kx+n（k≠0）经过B，C两点，已知A（1，
0），C（0，3），且BC=5．
（1）分别求直线BC和抛物线的解析式（关系式）；
第20页（共23页）（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直
角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【专题】16：压轴题．
【分析】（1）由C的坐标确定出OC的长，在直角三角形BOC中，利用勾股定理求
出OB的长，确定出点B坐标，把B与C坐标代入直线解析式求出k与n的值，
确定出直线BC解析式，把A与B坐标代入抛物线解析式求出a的值，确定出抛
物线解析式即可；
（2）在抛物线的对称轴上不存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角
三角形，如图所示，分两种情况考虑：当PC⊥CB时，△PBC为直角三角形；当
P′B⊥BC时，△BCP′为直角三角形，分别求出P的坐标即可．
【解答】解：（1）∵C（0，3），即OC=3，BC=5，
∴在Rt△BOC中，根据勾股定理得：OB= =4，即B（4，0），
把B与C坐标代入y=kx+n中，得： ，
解得：k=﹣ ，n=3，
∴直线BC解析式为y=﹣ x+3；
由A（1，0），B（4，0），设抛物线解析式为y=a（x﹣1）（x﹣4）=ax2﹣5ax+4a，
把C（0，3）代入得：a= ，
第21页（共23页）则抛物线解析式为y= x2﹣ x+3；
（2）存在．
如图所示，分两种情况考虑：
∵抛物线解析式为y= x2﹣ x+3，
∴其对称轴x=﹣ =﹣ = ．
当P C⊥CB时，△P BC为直角三角形，
1 1
∵直线BC的斜率为﹣ ，
∴直线P C斜率为 ，
1
∴直线P C解析式为y﹣3= x，即y= x+3，
1
与抛物线对称轴方程联立得 ，
解得： ，
此时P（ ， ）；
当P B⊥BC时，△BCP 为直角三角形，
2 2
同理得到直线P B的斜率为 ，
2
∴直线P B方程为y= （x﹣4）= x﹣ ，
2
与抛物线对称轴方程联立得： ，
第22页（共23页）解得： ，
此时P （ ，﹣2）．
2
综上所示，P （ ， ）或P （ ，﹣2）．
1 2
当点P为直角顶点时，设P（ ，y），
∵B（4，0），C（0，3），
∴BC=5，
∴BC2=PC2+PB2，即25=（ ）2+（y﹣3）2+（ ﹣4）2+y2，解得y= ，
∴P （ ， ），P （ ， ）．
3 4
综上所述，P（ ， ），P（ ，﹣2），P（ ， ），P（ ， ）．
1 2 3 4
【点评】此题考查的是二次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系
数法确定函数解析式，二次函数的性质，以及两直线垂直时斜率的关系，熟练
掌握待定系数法是解本题的关键．
第23页（共23页）
