文档内容
2014 年云南省中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，满分24
分）
1．（3分）|﹣ |=（ ）
A．﹣ B． C．﹣7 D．7
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3x2+2x3=5x6 B．50=0
C．2﹣3= D．（x3）2=x6
3．（3分）不等式组 的解集是（ ）
A．x＞ B．﹣1≤x＜ C．x＜ D．x≥﹣1
4．（3分）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A．圆柱 B．正方体 C．球 D．圆锥
5．（3分）一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（ ）
A．x =1，x =2 B．x =1，x =﹣2
1 2 1 2
C．x =﹣1，x =﹣2 D．x =﹣1，x =2
1 2 1 2
6．（3分）据统计，2013年我国用义务教育经费支持了13940000名农民工随迁子
女在城市里接受义务教育，这个数字用科学记数法可表示为（ ）
A．1.394×107 B．13.94×107 C．1.394×106 D．13.94×105
7．（3分）已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为（ ）
第1页（共29页）A． B．2π C．3π D．12π
8．（3分）学校为了丰富学生课余活动开展了一次“爱我云南，唱我云南”的歌咏
比赛，共有18名同学入围，他们的决赛成绩如下表：
成绩（分） 9.40 9.50 9.60 9.70 9.80 9.90
人数 2 3 5 4 3 1
则入围同学决赛成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．9.70，9.60 B．9.60，9.60 C．9.60，9.70 D．9.65，9.60
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
9．（3分）化简： ﹣ = ．
10．（3分）如图，直线a∥b，直线a，b被直线c所截，∠1=37°，则∠2= ．
11．（3分）写出一个图象经过一，三象限的正比例函数y=kx（k≠0）的解析式（关
系式） ．
12．（3分）抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是 ．
13．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD⊥AC于点D，则∠CBD=
．
14．（3分）观察规律并填空
（1﹣ ）= • = ；
第2页（共29页）（1﹣ ）（1﹣ ）= • • • = =
（1﹣ ）（1﹣ ）（1﹣ ）= • • • • • = • = ；
（1﹣ ）（1﹣ ）（1﹣ ）（1﹣ ）= • • • • • • • = • = ；
…
（1﹣ ）（1﹣ ）（1﹣ ）（1﹣ ）…（1﹣ ）= ．（用含n的代数式表
示，n是正整数，且n≥2）
三、解答题（本大题共9个小题，满分60分）
15．（5分）化简求值： •（ ），其中x= ．
16．（5 分）如图，在△ABC 和△ABD 中，AC 与 BD 相交于点 E，AD=BC，
∠DAB=∠CBA，求证：AC=BD．
第3页（共29页）17．（6分）将油箱注满k升油后，轿车可行驶的总路程S（单位：千米）与平均耗油
量a（单位：升/千米）之间是反比例函数关系S= （k是常数，k≠0）．已知某轿
车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油 0.1升的速度行驶，可行驶700
千米．
（1）求该轿车可行驶的总路程S与平均耗油量a之间的函数解析式（关系式）；
（2）当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶多少千米？
18．（9分）为了解本校九年级学生期末数学考试情况，小亮在九年级随机抽取了
一部分学生的期末数学成绩为样本，分为A（100～90）、B（89～80分）、C（79～
60分）、D（59～0分）四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下统计图，请
你根据统计图解答以下问题：
（1）这次随机抽取的学生共有多少人？
（2）请补全条形统计图；
（3）这个学校九年级共有学生1200人，若分数为80分（含80分）以上为优秀，请
估计这次九年级学生期末数学考试成绩为优秀的学生人数大约有多少？
第4页（共29页）19．（7分）某市“艺术节”期间，小明、小亮都想去观看茶艺表演，但是只有一张
茶艺表演门票，他们决定采用抽卡片的办法确定谁去．规则如下：
将正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片（除数字外其余都相同）洗匀后，背面
朝上放置在桌面上，随机抽出一张记下数字后放回；重新洗匀后背面朝上放置
在桌面上，再随机抽出一张记下数字．如果两个数字之和为奇数，则小明去；
如果两个数字之和为偶数，则小亮去．
（1）请用列表或画树状图的方法表示抽出的两张卡片上的数字之和的所有可能
出现的结果；
（2）你认为这个规则公平吗？请说明理由．
20．（6分）“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，
上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购
花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5
元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元？
第5页（共29页）21．（6分）如图，小明在M处用高1米（DM=1米）的测角仪测得旗杆AB的顶端B
的仰角为30°，再向旗杆方向前进10米到F处，又测得旗杆顶端B的仰角为
60°，请求出旗杆AB的高度（取 ≈1.73，结果保留整数）
22．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，∠C=60°，M、N分别是AD、BC的中点，
BC=2CD．
（1）求证：四边形MNCD是平行四边形；
（2）求证：BD= MN．
第6页（共29页）23．（9分）已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形ABCO是顶点坐标
分别为A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．点D在y轴上，且点D的坐标为（0，﹣5），
点P是直线AC上的一动点．
（1）当点P运动到线段AC的中点时，求直线DP的解析式（关系式）；
（2）当点P沿直线AC移动时，过点D、P的直线与x轴交于点M．问在x轴的正半
轴上是否存在使△DOM与△ABC相似的点M？若存在，请求出点M的坐标；
若不存在，请说明理由；
（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、R（R＞0）为半径长画圆．得到的圆称
为动圆P．若设动圆P的半径长为 ，过点D作动圆P的两条切线与动圆P分
别相切于点E、F．请探求在动圆P中是否存在面积最小的四边形DEPF？若存
在，请求出最小面积S的值；若不存在，请说明理由．
第7页（共29页）2014 年云南省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，满分24
分）
1．（3分）|﹣ |=（ ）
A．﹣ B． C．﹣7 D．7
【考点】15：绝对值．
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【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案．
【解答】解：|﹣ |= ，
故选：B．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3x2+2x3=5x6 B．50=0
C．2﹣3= D．（x3）2=x6
【考点】35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；6E：零指数幂；6F：负整数指数
幂．
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【分析】根据合并同类项，可判断A；
根据非0数的0次幂，可判断B；
根据负整指数幂，可判断C；
根据幂的乘方，可判断D．
【解答】解：A、不是同类项，不能合并，故A错误；
B、非0数的0次幂等于1，故B错误；
C、2 ，故C错误；
D、底数不变指数相乘，故D正确；
第8页（共29页）故选：D．
【点评】本题考查了幂的乘方，幂的乘方底数不变指数相乘是解题关键．
3．（3分）不等式组 的解集是（ ）
A．x＞ B．﹣1≤x＜ C．x＜ D．x≥﹣1
【考点】CB：解一元一次不等式组．
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【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解： ，由①得，x＞ ，由②得，x≥﹣1，
故此不等式组的解集为：x＞ ．
故选：A．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小
大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
4．（3分）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A．圆柱 B．正方体 C．球 D．圆锥
【考点】U3：由三视图判断几何体．
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【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
【解答】解：根据主视图和左视图为三角形判断出是锥体，根据俯视图是圆形和圆
心可判断出这个几何体应该是圆锥，
故选：D．
【点评】主视图和左视图的大致轮廓为三角形的几何体为锥体，俯视图为圆就是
圆锥．
第9页（共29页）5．（3分）一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（ ）
A．x =1，x =2 B．x =1，x =﹣2
1 2 1 2
C．x =﹣1，x =﹣2 D．x =﹣1，x =2
1 2 1 2
【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法．
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【专题】44：因式分解．
【分析】直接利用十字相乘法分解因式，进而得出方程的根
【解答】解：x2﹣x﹣2=0
（x﹣2）（x+1）=0，
解得：x =﹣1，x =2．
1 2
故选：D．
【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式解方程，正确分解因式是解题关键．
6．（3分）据统计，2013年我国用义务教育经费支持了13940000名农民工随迁子
女在城市里接受义务教育，这个数字用科学记数法可表示为（ ）
A．1.394×107 B．13.94×107 C．1.394×106 D．13.94×105
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
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【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点
移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是
负数．
【解答】解：13 940 000=1.394×107，
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
7．（3分）已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为（ ）
A． B．2π C．3π D．12π
【考点】MN：弧长的计算．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据弧长公式l= ，代入相应数值进行计算即可．
第10页（共29页）【解答】解：根据弧长公式：l= =3π，
故选：C．
【点评】此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式l= ．
8．（3分）学校为了丰富学生课余活动开展了一次“爱我云南，唱我云南”的歌咏
比赛，共有18名同学入围，他们的决赛成绩如下表：
成绩（分） 9.40 9.50 9.60 9.70 9.80 9.90
人数 2 3 5 4 3 1
则入围同学决赛成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．9.70，9.60 B．9.60，9.60 C．9.60，9.70 D．9.65，9.60
【考点】W4：中位数；W5：众数．
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【专题】27：图表型．
【分析】根据中位数和众数的概念求解．
【解答】解：∵共有18名同学，
则中位数为第9名和第10名同学成绩的平均分，即中位数为： =9.60，
众数为：9.60．
故选：B．
【点评】本题考查了中位数和众数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做
众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是
奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶
数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
9．（3分）化简： ﹣ = ．
【考点】78：二次根式的加减法．
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【分析】先把各根式化为最简二次根式，再根据二次根式的减法进行计算即可．
【解答】解：原式=2 ﹣
= ．
故答案为： ．
第11页（共29页）【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根
式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系
数相加减，根式不变是解答此题的关键．
10．（3分）如图，直线a∥b，直线a，b被直线c所截，∠1=37°，则∠2= 143 ° ．
【考点】JA：平行线的性质．
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【专题】121：几何图形问题．
【分析】根据对顶角相等可得∠3=∠1，再根据两直线平行，同旁内角互补列式计
算即可得解．
【解答】解：∠3=∠1=37°（对顶角相等），
∵a∥b，
∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣37°=143°．
故答案为：143°．
【点评】本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，熟记性质并准确识图是解
题的关键．
11．（3分）写出一个图象经过一，三象限的正比例函数y=kx（k≠0）的解析式（关
系式） y=2 x ．
【考点】F6：正比例函数的性质．
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【专题】26：开放型．
【分析】根据正比例函数y=kx的图象经过一，三象限，可得k＞0，写一个符合条件
的数即可．
【解答】解：∵正比例函数y=kx的图象经过一，三象限，
∴k＞0，
取k=2可得函数关系式y=2x．
第12页（共29页）故答案为：y=2x．
【点评】此题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数图象的性质：
它是经过原点的一条直线．当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增
大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．
12．（3分）抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是 （ 1 ， 2 ） ．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐
标特点，直接写出顶点坐标．
【解答】解：∵y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）2+2，
∴抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点评】此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，
k），对称轴为x=h，此题还考查了配方法求顶点式．
13．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD⊥AC于点D，则∠CBD=
18° ．
【考点】KH：等腰三角形的性质．
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【专题】121：几何图形问题．
【分析】根据已知可求得两底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得∠DBC
的度数．
【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°．
∵BD⊥AC于点D，
∴∠CBD=90°﹣72°=18°．
第13页（共29页）故答案为：18°．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三
角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般．
14．（3分）观察规律并填空
（1﹣ ）= • = ；
（1﹣ ）（1﹣ ）= • • • = =
（1﹣ ）（1﹣ ）（1﹣ ）= • • • • • = • = ；
（1﹣ ）（1﹣ ）（1﹣ ）（1﹣ ）= • • • • • • • = • = ；
…
（1﹣ ）（1﹣ ）（1﹣ ）（1﹣ ）…（1﹣ ）= ．（用含n的代数式表
示，n是正整数，且n≥2）
【考点】37：规律型：数字的变化类．
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【专题】2A：规律型．
【分析】由前面算式可以看出：算式的左边利用平方差公式因式分解，中间的数字
互为倒数，乘积为1，只剩下两端的（1﹣ ）和（1+ ）相乘得出结果．
【解答】解：（1﹣ ）（1﹣ ）（1﹣ ）（1﹣ ）…（1﹣ ）
= • • • • • • …
= ．
故答案为： ．
【点评】此题考查算式的运算规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，解决问
题．
三、解答题（本大题共9个小题，满分60分）
第14页（共29页）15．（5分）化简求值： •（ ），其中x= ．
【考点】6D：分式的化简求值．
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【专题】11：计算题．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简
结果，将x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式= • =x+1，
当x= 时，原式= ．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（5 分）如图，在△ABC 和△ABD 中，AC 与 BD 相交于点 E，AD=BC，
∠DAB=∠CBA，求证：AC=BD．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质．
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【专题】14：证明题．
【分析】根据“SAS”可证明△ADB≌△BAC，由全等三角形的性质即可证明AC=BD．
【解答】证明：在△ADB和△BAC中，
，
∴△ADB≌△BAC（SAS），
∴AC=BD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三
角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择
恰当的判定条件．
17．（6分）将油箱注满k升油后，轿车可行驶的总路程S（单位：千米）与平均耗油
第15页（共29页）量a（单位：升/千米）之间是反比例函数关系S= （k是常数，k≠0）．已知某轿
车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油 0.1升的速度行驶，可行驶700
千米．
（1）求该轿车可行驶的总路程S与平均耗油量a之间的函数解析式（关系式）；
（2）当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶多少千米？
【考点】GA：反比例函数的应用．
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【专题】12：应用题．
【分析】（1）将a=0.1，S=700代入到函数的关系S= 中即可求得k的值，从而确定
解析式；
（2）将a=0.08代入求得的函数的解析式即可求得S的值．
【解答】解：（1）由题意得：a=0.1，S=700，
代入反比例函数关系S= 中，
解得：k=Sa=70，
所以函数关系式为：S= ；
（2）将a=0.08代入S= 得：S= = =875千米，
故该轿车可以行驶875千米；
【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出反比
例函数模型．
18．（9分）为了解本校九年级学生期末数学考试情况，小亮在九年级随机抽取了
一部分学生的期末数学成绩为样本，分为A（100～90）、B（89～80分）、C（79～
60分）、D（59～0分）四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下统计图，请
你根据统计图解答以下问题：
（1）这次随机抽取的学生共有多少人？
（2）请补全条形统计图；
（3）这个学校九年级共有学生1200人，若分数为80分（含80分）以上为优秀，请
估计这次九年级学生期末数学考试成绩为优秀的学生人数大约有多少？
第16页（共29页）【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．
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【专题】27：图表型．
【分析】（1）抽查人数可由C等所占的比例为50%，根据总数=某等人数÷比例来
计算；
（2）可由总数减去A、C、D的人数求得B等的人数，再补全条形统计图；
（3）用样本估计总体．用总人数1200乘以样本中测试成绩等级在80分（含80
分）以上的学生所占百分比即可．
【解答】解：（1）20÷50%=40（人），
答：这次随机抽取的学生共有40人；
（2）B等级人数：40﹣6﹣20﹣4=10（人）
条形统计图如下：
（3）1200× =480（人），
这次九年级学生期末数学考试成绩为优秀的学生人数大约有480人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同
的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出
每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
19．（7分）某市“艺术节”期间，小明、小亮都想去观看茶艺表演，但是只有一张
茶艺表演门票，他们决定采用抽卡片的办法确定谁去．规则如下：
第17页（共29页）将正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片（除数字外其余都相同）洗匀后，背面
朝上放置在桌面上，随机抽出一张记下数字后放回；重新洗匀后背面朝上放置
在桌面上，再随机抽出一张记下数字．如果两个数字之和为奇数，则小明去；
如果两个数字之和为偶数，则小亮去．
（1）请用列表或画树状图的方法表示抽出的两张卡片上的数字之和的所有可能
出现的结果；
（2）你认为这个规则公平吗？请说明理由．
【考点】X6：列表法与树状图法；X7：游戏公平性．
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【专题】12：应用题；2：创新题型．
【分析】（1）用列表法将所有等可能的结果一一列举出来即可；
（2）求得两人获胜的概率，若相等则公平，否则不公平．
【解答】解：（1）根据题意列表得：
1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
（2）由列表得：共16种情况，其中奇数有8种，偶数有8种，
∴和为偶数和和为奇数的概率均为 ，
∴这个游戏公平．
【点评】本题考查了游戏公平性及列表与列树形图的知识，难度不大，是经常出现
的一个知识点．
20．（6分）“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，
上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购
花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5
元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元？
【考点】B7：分式方程的应用．
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【分析】设第一批盒装花的进价是x元/盒，则第一批进的数量是： ，第二批进
第18页（共29页）的数量是： ，再根据等量关系：第二批进的数量=第一批进的数量×2可得
方程．
【解答】解：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则
2× = ，
解得 x=30
经检验，x=30是原方程的根．
答：第一批盒装花每盒的进价是30元．
【点评】本题考查了分式方程的应用．注意，分式方程需要验根，这是易错的地方．
21．（6分）如图，小明在M处用高1米（DM=1米）的测角仪测得旗杆AB的顶端B
的仰角为30°，再向旗杆方向前进10米到F处，又测得旗杆顶端B的仰角为
60°，请求出旗杆AB的高度（取 ≈1.73，结果保留整数）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【专题】121：几何图形问题．
【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应
利用其公共边构造边角关系，进而可求出答案．
【解答】解：∵∠BDE=30°，∠BCE=60°，
∴∠CBD=60°﹣∠BDE=30°=∠BDE，
∴BC=CD=10米，
在Rt△BCE中，sin60°= ，即 = ，
∴BE=5 ，
AB=BE+AE=5 +1≈10米．
答：旗杆AB的高度大约是10米．
第19页（共29页）【点评】主要考查解直角三角形的应用，本题要求学生借助仰角关系构造直角三
角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
22．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，∠C=60°，M、N分别是AD、BC的中点，
BC=2CD．
（1）求证：四边形MNCD是平行四边形；
（2）求证：BD= MN．
【考点】L7：平行四边形的判定与性质．
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【专题】14：证明题．
【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得AD与BC的关系，根据MD与NC的关
系，可得证明结论；
（2）根据根据等边三角形的判定与性质，可得∠DNC的度数，根据三角形外角的
性质，可得∠DBC的度数，根据正切函数，可得答案．
【解答】证明：（1）∵ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵M、N分别是AD、BC的中点，
∴MD=NC，MD∥NC，
∴MNCD是平行四边形；
（2）如图：连接ND，
∵MNCD是平行四边形，
∴MN=DC．
∵N是BC的中点，
∴BN=CN，
第20页（共29页）∵BC=2CD，∠C=60°，
∴△NCD是等边三角形．
∴ND=NC，∠DNC=60°．
∵∠DNC是△BND的外角，
∴∠NBD+∠NDB=∠DNC，
∵DN=NC=NB，
∴∠DBN=∠BDN= ∠DNC=30°，
∴∠BDC=90°．
∵tan ，
∴DB= DC= MN．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了一组对边平行且相等的四
边形是平行四边形，等边三角形的判定与性质，正切函数．
23．（9分）已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形ABCO是顶点坐标
分别为A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．点D在y轴上，且点D的坐标为（0，﹣5），
点P是直线AC上的一动点．
（1）当点P运动到线段AC的中点时，求直线DP的解析式（关系式）；
（2）当点P沿直线AC移动时，过点D、P的直线与x轴交于点M．问在x轴的正半
轴上是否存在使△DOM与△ABC相似的点M？若存在，请求出点M的坐标；
若不存在，请说明理由；
（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、R（R＞0）为半径长画圆．得到的圆称
为动圆P．若设动圆P的半径长为 ，过点D作动圆P的两条切线与动圆P分
别相切于点E、F．请探求在动圆P中是否存在面积最小的四边形DEPF？若存
在，请求出最小面积S的值；若不存在，请说明理由．
第21页（共29页）【考点】FA：待定系数法求一次函数解析式；J4：垂线段最短；KQ：勾股定理；MG：
切线长定理；MR：圆的综合题；S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】15：综合题；16：压轴题；2C：存在型；32：分类讨论．
【分析】方法一：
（1）只需先求出AC中点P的坐标，然后用待定系数法即可求出直线DP的解析式
（2）由于△DOM与△ABC相似，对应关系不确定，可分两种情况进行讨论，利用三
角形相似求出OM的长，即可求出点M的坐标．
（3）易证S =S ．从而有S =2S = DE．由∠DEP=90°得DE2=DP2﹣
△PED △PFD 四边形DEPF △PED
PE2=DP2﹣ ．根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：当DP⊥AC时，DP最
短，此时DE也最短，对应的四边形DEPF的面积最小．借助于三角形相似，即可
求出DP⊥AC时DP的值，就可求出四边形DEPF面积的最小值．
方法二：
（1）利用中点公式求出P点坐标，并求出直线DP的解析式．
（2）若△DOM∽△ABC时，分类讨论两种情况，求出直线AC的斜率，从而求出M
点坐标．
（3）由于PE与⊙P相切，因此只需求出PE长度及PD的长度表达式，利用面积公
式便可求出四边形DEPF的面积函数，从而求出最小面积S的值．
【解答】方法一：
解：（1）过点P作PH∥OA，交OC于点H，如图1所示．
第22页（共29页）∵PH∥OA，
∴△CHP∽△COA．
∴ = = ．
∵点P是AC中点，
∴CP= CA．
∴HP= OA，CH= CO．
∵A（3，0）、C（0，4），
∴OA=3，OC=4．
∴HP= ，CH=2．
∴OH=2．
∵PH∥OA，∠COA=90°，
∴∠CHP=∠COA=90°．
∴点P的坐标为（ ，2）．
设直线DP的解析式为y=kx+b，
∵D（0，﹣5），P（ ，2）在直线DP上，
∴
∴
∴直线DP的解析式为y= x﹣5．
（2）①若△DOM∽△ABC，图2（1）所示，
∵△DOM∽△ABC，
∴ = ．
第23页（共29页）∵点B坐标为（3，4），点D的坐标为（0，﹣5），
∴BC=3，AB=4，OD=5．
∴ = ．
∴OM= ．
∵点M在x轴的正半轴上，
∴点M的坐标为（ ，0）
②若△DOM∽△CBA，如图2（2）所示，
∵△DOM∽△CBA，
∴ = ．
∵BC=3，AB=4，OD=5，
∴ = ．
∴OM= ．
∵点M在x轴的正半轴上，
∴点M的坐标为（ ，0）．
综上所述：若△DOM与△CBA相似，则点M的坐标为（ ，0）或（ ，0）．
（3）∵OA=3，OC=4，∠AOC=90°，
∴AC=5．
∴PE=PF= AC= ．
∵DE、DF都与⊙P相切，
∴DE=DF，∠DEP=∠DFP=90°．
∴S =S ．
△PED △PFD
∴S =2S
四边形DEPF △PED
第24页（共29页）=2× PE•DE
=PE•DE
= DE．
∵∠DEP=90°，
∴DE2=DP2﹣PE2．
=DP2﹣ ．
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：
当DP⊥AC时，DP最短，
此时DE取到最小值，四边形DEPF的面积最小．
∵DP⊥AC，
∴∠DPC=90°．
∴∠AOC=∠DPC．
∵∠OCA=∠PCD，∠AOC=∠DPC，
∴△AOC∽△DPC．
∴ = ．
∵AO=3，AC=5，DC=4﹣（﹣5）=9，
∴ = ．
∴DP= ．
∴DE2=DP2﹣
=（ ）2﹣
= ．
∴DE= ，
∴S = DE
四边形DEPF
第25页（共29页）= ．
∴四边形DEPF面积的最小值为 ．
方法二：
（1）A（3，0），C（0，4），
∵P为AC的中点，∴P = = ，P = =2，
X Y
∴P（ ，2），
∵D（0，﹣5），
∴直线DP的解析式为y= x﹣5．
（2）若△DOM与△ABC相似，则∠ODM=∠OCA或∠ODM+∠OCA=90°，
①当∠ODM=∠OCA时，则K +K =0，
AC DM
∵A（3，0）、C（0，4），
∴K =﹣ ，K = ，
AC DM
∵D（0，﹣5），
∴l ：y= x﹣5，
DM
当y=0时，x= ，
∴M （ ，0），
1
②当∠ODM+∠OCA=90°时，DM⊥AC，
∴K ×K =﹣1，
DM AC
∵K =﹣ ，∴K = ，
AC DM
∵D（0，﹣5），
∴l ：y= x﹣5，
DM
第26页（共29页）当y=0时，x= ，
∴M （ ，0）．
2
（3）易知lAC：y=﹣ x+4，
∵点P在直线AC上，设P（t，﹣ t+4），
∵D（0，﹣5），
∴DP= = ，
∵PE= AC= ，
∴DE= ，
当t= 时，S四边形DEPF有最小值，
∴S = DE= ．
四边形DEPF
第27页（共29页）【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、用待定系数法求直线的解析式、切
线长定理、勾股定理、垂线段最短等知识，考查了分类讨论的思想．将求DE的
最小值转化为求DP的最小值是解决第3小题的关键．另外，要注意“△DOM
第28页（共29页）与△ABC相似”与“△DOM∽△ABC“之间的区别．
第29页（共29页）
