文档内容
2014 年山西省中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2014•山西）计算﹣2+3的结果是（ ）
A． 1 B． ﹣1 C． ﹣5 D． ﹣6
2．（3分）（2014•山西）如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1=110°，则
∠2等于（ ）
A． 65° B． 70° C． 75° D． 80°
3．（3分）（2014•山西）下列运算正确的是（ ）
A． 3a2+5a2=8a4 B． a6•a2=a12 C． （a+b）2=a2+b2 D． （a2+1）0=1
4．（3分）（2014•山西）如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给
出的“弦图”，它解决的数学问题是（ ）
A． 黄金分割 B． 垂径定理 C． 勾股定理 D． 正弦定理
5．（3分）（2014•山西）如图是由三个小正方体叠成的一个几何体，它的左视图是
（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（2014•山西）我们学习了一次函数、二次函数和反比例函数，回顾学习
过程，都是按照列表、描点、连线得到函数的图象，然后根据函数的图象研究函数
的性质，这种研究方法主要体现的数学思想是（ ）A． 演绎 B． 数形结合 C． 抽象 D． 公理化
7．（3分）（2014•山西）在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下
列说法正确的是（ ）
A． 频率就是概率
B． 频率与试验次数无关
C． 概率是随机的，与频率无关
D． 随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
8．（3分）（2014•山西）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，
∠OBA=50°，则∠C的度数为（ ）
A． 30° B． 40° C． 50° D． 80°
9．（3分）（2014•山西）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm
（1μm=0.000001m）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们含有大量的有毒、有害
物质，对人体健康和大气环境质量有很大危害．2.5μm用科学记数法可表示为（
）
A． 2.5×10﹣5m B． 0.25×10﹣7m C． 2.5×10﹣6m D．25×10﹣5m
10．（3分）（2014•山西）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，
直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD
的变长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（ ）
A． a2 B． a2 C． a2 D． a2二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）（2014•山西）计算：3a2b3•2a2b= ．
12．（3分）（2014•山西）化简 + 的结果是 ．
13．（3分）（2014•山西）如图，已知一次函数y=kx﹣4的图象与x轴、y轴分别交
于A、B两点，与反比例函数y= 在第一象限内的图象交于点C，且A为BC的中
点，则k= ．
14．（3分）（2014•山西）甲、乙、丙三位同学打乒乓球，想通过“手心手背”游戏
来决定其中哪两个人先打，规则如下：三个人同时各用一只手随机出示手心或手
背，若只有两个人手势相同（都是手心或都是手背），则这两人先打，若三人手势
相同，则重新决定．那么通过一次“手心手背”游戏能决定甲打乒乓球的概率是
．
15．（3分）（2014•山西）一走廊拐角的横截面积如图，已知AB⊥BC，AB∥DE，
BC∥FG，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m， 的圆心为O，半径为1m，且
∠EOF=90°，DE、FG分别与⊙O相切于E、F两点．若水平放置的木棒MN的两个
端点M、N分别在AB和BC上，且MN与⊙O相切于点P，P是 的中点，则木棒
MN的长度为 m．16．（3分）（2014•山西）如图，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，AD是BC边上
的中线，∠ACE= ∠BAC，CE交AB于点E，交AD于点F．若BC=2，则EF的长
为 ．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（10分）（2014•山西）（1）计算：（﹣2）2•sin60°﹣（ ）﹣1× ；
（2）分解因式：（x﹣1）（x﹣3）+1．
18．（6分）（2014•山西）解不等式组并求出它的正整数解： ．19．（6分）（2014•山西）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
几何中，平行四边形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形都是特殊的四边形，大家对
于它们的性质都非常熟悉，生活中还有一种特殊的四边形﹣﹣筝形．所谓筝形，
它的形状与我们生活中风筝的骨架相似．
定义：两组邻边分别相等的四边形，称之为筝形，如图，四边形ABCD是筝形，其
中AB=AD，CB=CD
判定：①两组邻边分别相等的四边形是筝形
②有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形
显然，菱形是特殊的筝形，就一般筝形而言，它与菱形有许多相同点和不同点
如果只研究一般的筝形（不包括菱形），请根据以上材料完成下列任务：
（1）请说出筝形和菱形的相同点和不同点各两条；
（2）请仿照图1的画法，在图2所示的8×8网格中重新设计一个由四个全等的筝
形和四个全等的菱形组成的新图案，具体要求如下：
①顶点都在格点上；
②所涉及的图案既是轴对称图形又是中心对称图形；
③将新图案中的四个筝形都图上阴影（建议用一系列平行斜线表示阴影）．20．（10分）（2014•山西）某公司招聘人才，对应聘者分别进行阅读能力、思维能
力和表达能力三项测试，其中甲、乙两人的成绩如下表（单位：分）：
项目 阅读 思维 表达
人员
甲 93 86 73
乙 95 81 79
（1）若根据三项测试的平均成绩在甲、乙两人中录用一人，那么谁将能被录用？
（2）根据实际需要，公司将阅读、思维和表达能力三项测试得分按3：5：2的比确
定每人的最后成绩，若按此成绩在甲、乙两人中录用一人，谁将被录用？
（3）公司按照（2）中的成绩计算方法，将每位应聘者的最后成绩绘制成如图所示
的频数分布直方图（每组分数段均包含左端数值，不包含右端数值，如最右边一
组分数x为：85≤x＜90），并决定由高分到低分录用8名员工，甲、乙两人能否被
录用？请说明理由，并求出本次招聘人才的录用率．21．（7分）（2014•山西）如图，点A、B、C表示某旅游景区三个缆车站的位置，线
段AB、BC表示连接缆车站的钢缆，已知A、B、C三点在同一铅直平面内，它们的
海拔高度AA′，BB′，CC′分别为110米、310米、710米，钢缆AB的坡度i =1：2，钢
1
缆BC的坡度i =1：1，景区因改造缆车线路，需要从A到C直线架设一条钢缆，那
2
么钢缆AC的长度是多少米？（注：坡度：是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）
22．（9分）（2014•山西）某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施
工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天
完成了该项绿化工程．
（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？
（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两
块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相
等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？
23．（11分）（2014•山西）课程学习：正方形折纸中的数学．动手操作：如图1，四边形ABCD是一张正方形纸片，先将正方形ABCD对折，使
BC与AD重合，折痕为EF，把这个正方形展平，然后沿直线CG折叠，使B点落
在EF上，对应点为B′．
数学思考：（1）求∠CB′F的度数；（2）如图2，在图1的基础上，连接AB′，试判断
∠B′AE与∠GCB′的大小关系，并说明理由；
解决问题：
（3）如图3，按以下步骤进行操作：
第一步：先将正方形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为EF，把这个正方形展
平，然后继续对折，使AB与DC重合，折痕为MN，再把这个正方形展平，设EF
和MN相交于点O；
第二步：沿直线CG折叠，使B点落在EF上，对应点为B′，再沿直线AH折叠，使
D点落在EF上，对应点为D′；
第三步：设CG、AH分别与MN相交于点P、Q，连接B′P、PD′、D′Q、QB′，试判断
四边形B′PD′Q的形状，并证明你的结论．24．（13分）（2014•山西）综合与探究：如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形
OABC是平行四边形，A、C两点的坐标分别为（4，0），（﹣2，3），抛物线W经过
O、A、C三点，D是抛物线W的顶点．
（1）求抛物线W的解析式及顶点D的坐标；
（2）将抛物线W和 ▱OABC一起先向右平移4个单位后，再向下平移m（0＜m＜
3）个单位，得到抛物线W′和 ▱O′A′B′C′，在向下平移的过程中，设 ▱O′A′B′C′与
▱OABC的重叠部分的面积为S，试探究：当m为何值时S有最大值，并求出S的
最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取最大值时，设此时抛物线W′的顶点为F，若点M是x
轴上的动点，点N时抛物线W′上的动点，试判断是否存在这样的点M和点N，使
得以D、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐
标；若不存在，请说明理由．
2014 年山西省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2014•山西）计算﹣2+3的结果是（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣5 D．﹣6
【考点】有理数的加法．菁优网版权所有
【分析】根据异号两数相加的法则进行计算即可．【解答】解：因为﹣2，3异号，且|﹣2|＜|3|，所以﹣2+3=1．
故选A．
【点评】本题主要考查了异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值
减去较小的绝对值．
2．（3分）（2014•山西）如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1=110°，则
∠2等于（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
【考点】平行线的性质．菁优网版权所有
【分析】根据“两直线平行，同旁内角互补”和“对顶角相等”来求∠2的度数．
【解答】解：如图，∵AB∥CD，∠1=110°，
∴∠1+∠3=180°，即100+∠3=180°，
∴∠3=70°，
∴∠2=∠3=70°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质．
总结：平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同
位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，
同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内
错角相等．
3．（3分）（2014•山西）下列运算正确的是（ ）
A．3a2+5a2=8a4 B．a6•a2=a12 C．（a+b）2=a2+b2 D．（a2+1）0=1
【考点】完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；零指数幂．菁优网版权
【专题】计算题．
【分析】A、原式合并同类项得到结果，即可做出判断；
B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；
C、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断；
D、原式利用零指数幂法则计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、原式=8a2，故选项错误；
B、原式=a8，故选项错误；
C、原式=a2+b2+2ab，故选项错误；
D、原式=1，故选项正确．
故选D．
【点评】此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，以及零指数幂，
熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
4．（3分）（2014•山西）如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给
出的“弦图”，它解决的数学问题是（ ）
A．黄金分割 B．垂径定理 C．勾股定理 D．正弦定理
【考点】勾股定理的证明．菁优网版权所有
【分析】“弦图”，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决了勾股定理的证
明．【解答】解：“弦图”，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾
股定理．
故选C．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理证明的方法最常用的思路是利用
面积证明．
5．（3分）（2014•山西）如图是由三个小正方体叠成的一个几何体，它的左视图是
（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．菁优网版权所有
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看第一层一个正方形，第二层一个正方形，
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
6．（3分）（2014•山西）我们学习了一次函数、二次函数和反比例函数，回顾学习
过程，都是按照列表、描点、连线得到函数的图象，然后根据函数的图象研究函数
的性质，这种研究方法主要体现的数学思想是（ ）
A．演绎 B．数形结合 C．抽象 D．公理化
【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质．菁优网版权所
【专题】数形结合．
【分析】从函数解析式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质正是数形结
合的数学思想的体现．
【解答】解：学习了一次函数、二次函数和反比例函数，都是按照列表、描点、连线
得到函数的图象，然后根据函数的图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现
了数形结合的数学思想．
故选B．【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是
（﹣ ， ），对称轴直线x=﹣ ，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有
如下性质：当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣ 时，y随x
的增大而减小；x＞﹣ 时，y随x的增大而增大；x=﹣ ，时，y取得最小值
，即顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开
口向下，x＜﹣ 时，y随x的增大而增大；x＞﹣ 时，y随x的增大而减小；x=﹣
时，y取得最大值 ，即顶点是抛物线的最高点．
7．（3分）（2014•山西）在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下
列说法正确的是（ ）
A． 频率就是概率
B． 频率与试验次数无关
C． 概率是随机的，与频率无关
D． 随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
【考点】利用频率估计概率．菁优网版权所有
【分析】根据大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这
个常数估计这个事件发生的概率解答．
【解答】解：∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这
个常数估计这个事件发生的概率，
∴A、B、C错误，D正确．
故选D．【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，大量重复试验事件发生的频率逐
渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率．
8．（3分）（2014•山西）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，
∠OBA=50°，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．80°
【考点】圆周角定理．菁优网版权所有
【分析】根据三角形的内角和定理求得∠AOB的度数，再进一步根据圆周角定理
求解．
【解答】解：∵OA=OB，∠OBA=50°，
∴∠OAB=∠OBA=50°，
∴∠AOB=180°﹣50°×2=80°，
∴∠C= ∠AOB=40°．
故选：B．
【点评】此题综合运用了三角形的内角和定理以及圆周角定理．一条弧所对的圆
周角等于它所对的圆心角的一半．
9．（3分）（2014•山西）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm
（1μm=0.000001m）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们含有大量的有毒、有害
物质，对人体健康和大气环境质量有很大危害．2.5μm用科学记数法可表示为（
）
A．2.5×10﹣5mB．0.25×10﹣7m C．2.5×10﹣6m D．25×10﹣5m
【考点】科学记数法—表示较小的数．菁优网版权所有【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与
较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个
不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：2.5μm×0.000001m=2.5×10﹣6m；
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜
10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
10．（3分）（2014•山西）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，
直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD
的变长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（ ）
A． a2 B． a2 C．a 2 D． a2
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有
【分析】作EM⊥BC于点M，EQ⊥CD于点Q，△EPM≌△EQN，利用四边形EMCN
的面积等于正方形MCQE的面积求解．
【解答】解：作EM⊥BC于点M，EQ⊥CD于点Q，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，又∵∠EPM=∠EQN=90°，
∴∠PEQ=90°，
∴∠PEM+∠MEQ=90°，
∵三角形FEG是直角三角形，
∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°，
∴∠PEM=∠NEQ，
∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC=∠EQC=90°，
∴EP=EN，四边形MCQE是正方形，
在△EPM和△EQN中，
，
∴△EPM≌△EQN（ASA）
∴S =S ，
△EQN △EPM
∴四边形EMCN的面积等于正方形MCQE的面积，
∵正方形ABCD的边长为a，
∴AC= a，
∵EC=2AE，
∴EC= a，
∴EP=PC= a，
∴正方形MCQE的面积= a× a= a2，
∴四边形EMCN的面积= a2，
故选：D．
【点评】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键
是作出辅助线，证出△EPM≌△EQN．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）（2014•山西）计算：3a2b3•2a2b= 6 a 4 b 4 ．【考点】单项式乘单项式．菁优网版权所有
【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相
加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．
【解答】解：3a2b3•2a2b
=（3×2）×（a2•a2）（b3•b）
=6a4b4．
故答案为：6a4b4．
【点评】此题考查了单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．（3分）（2014•山西）化简 + 的结果是 ．
【考点】分式的加减法．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式= + = = ．
故答案为：
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13．（3分）（2014•山西）如图，已知一次函数y=kx﹣4的图象与x轴、y轴分别交
于A、B两点，与反比例函数y= 在第一象限内的图象交于点C，且A为BC的中
点，则k= 4 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】计算题．【分析】先确定B点坐标，根据A为BC的中点，则点C和点B关于点A中心对称，
所以C点的纵坐标为4，再利用反比例函数图象上点的坐标特征可确定C点坐标
然后把C点坐标代入y=kx﹣4即可得到k的值．
【解答】解：把y=0代入y=kx﹣4得y=﹣4，则B点坐标为（0，﹣4），
∵A为BC的中点，
∴C点的纵坐标为4，
把y=4代入y= 得x=2，
∴C点坐标为（2，4），
把C（2，4）代入y=kx﹣4得2k﹣4=4，解得k=4．
故答案为4．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数
图象的交点坐标满足两函数解析式．
14．（3分）（2014•山西）甲、乙、丙三位同学打乒乓球，想通过“手心手背”游戏
来决定其中哪两个人先打，规则如下：三个人同时各用一只手随机出示手心或手
背，若只有两个人手势相同（都是手心或都是手背），则这两人先打，若三人手势
相同，则重新决定．那么通过一次“手心手背”游戏能决定甲打乒乓球的概率是
．
【考点】列表法与树状图法．菁优网版权所有
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与通过
一次“手心手背”游戏能决定甲打乒乓球的情况，再利用概率公式即可求得答案
【解答】解：分别用A，B表示手心，手背．
画树状图得：∵共有8种等可能的结果，通过一次“手心手背”游戏能决定甲打乒乓球的有4
种情况，
∴通过一次“手心手背”游戏能决定甲打乒乓球的概率是： = ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以
不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法
适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况
数之比．
15．（3分）（2014•山西）一走廊拐角的横截面积如图，已知AB⊥BC，AB∥DE，
BC∥FG，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m， 的圆心为O，半径为1m，且
∠EOF=90°，DE、FG分别与⊙O相切于E、F两点．若水平放置的木棒MN的两个
端点M、N分别在AB和BC上，且MN与⊙O相切于点P，P是 的中点，则木棒
MN的长度为 （ 4 ﹣2 ） m．
【考点】切线的性质．菁优网版权所有
【专题】应用题．
【分析】连接OB，延长OF，OE分别交BC于H，交AB于G，证得四边形BGOH
是正方形，然后证得OB经过点P，根据勾股定理切点OB的长，因为半径OP=1，
所以BP=2 ﹣1，然后求得△BPM≌△BPN得出P是MN的中点，最后根据直角
三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得．
【解答】解：连接OB，延长OF，OE分别交BC于H，交AB于G，∵DE、FG分别与⊙O相切于E、F两点，
∴OE⊥ED，OF⊥FG，
∵AB∥DE，BC∥FG，
∴OG⊥AB，OH⊥BC，
∵∠EOF=90°，
∴四边形BGOH是矩形，
∵两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m，⊙O半径为1m，
∴OG=OH=2，
∴矩形BGOH是正方形，
∴∠BOG=∠BOH=45°，
∵P是 的中点，
∴OB经过P点，
在正方形BGOH中，边长=2，
∴OB=2 ，
∵OP=1，
∴BP=2 ﹣1，
∵p是MN与⊙O的切点，
∴OB⊥MN，
∵OB是正方形BGOH的对角线，
∴∠OBG=∠OBH=45°，
在△BPM与△BPN中
∴△BPM≌△BPN（ASA）
∴MP=NP，∴MN=2BP，
∵BP=2 ﹣1，
∴MN=2（2 ﹣1）=4 ﹣2，
【点评】本题考查了圆的切线的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和
性质以及勾股定理的应用，O、P、B三点共线是本题的关键．
16．（3分）（2014•山西）如图，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，AD是BC边上
的中线，∠ACE= ∠BAC，CE交AB于点E，交AD于点F．若BC=2，则EF的长
为 ﹣ 1 ．
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．
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【分析】过F点作FG∥BC．根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得
AF=CF，在Rt△CDF中，根据三角函数可得AF=CF=2，DF= ，根据平行线分线
段成比例可得比例式GF：BD=AF：AD，求得GF=4﹣2 ，再根据平行线分线段
成比例可得比例式EF：EC=GF：BC，依此即可得到EF= ﹣1．
【解答】解：过F点作FG∥BC．
∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴BD=CD= BC=1，∠BAD=∠CAD= ∠BAC=15°，AD⊥BC，
∵∠ACE= ∠BAC，
∴∠CAD=∠ACE=15°，
∴AF=CF，∵∠ACD=（180°﹣30°）÷2=75°，
∴∠DCE=75°﹣15°=60°，
在Rt△CDF中，AF=CF= =2，DF=CD•tan60°= ，
∵FG∥BC，
∴GF：BD=AF：AD，即GF：1=2：（2+ ），
解得GF=4﹣2 ，
∴EF：EC=GF：BC，即EF：（EF+2）=（4﹣2 ）：2，
解得EF= ﹣1．
故答案为： ﹣1．
【点评】综合考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理可得，三角函数，平行
线分线段成比例，以及方程思想，本题的难点是作出辅助线，寻找解题的途径．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（10分）（2014•山西）（1）计算：（﹣2）2•sin60°﹣（ ）﹣1× ；
（2）分解因式：（x﹣1）（x﹣3）+1．
【考点】实数的运算；因式分解-运用公式法；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
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【分析】（1）本题涉及零指数幂、乘方、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个
考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；
（2）根据整式的乘法，可得多项式，根据因式分解的方法，可得答案．
【解答】解：（1）原式=2 ﹣2×
=﹣2 ；（2）原式=x2﹣4x+3+1
=（x﹣2）2．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此
类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、
二次根式、绝对值等考点的运算．
18．（6分）（2014•山西）解不等式组并求出它的正整数解： ．
【考点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．菁优网版权所有
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不
等式组的解集．
【解答】解：解①得：x＞﹣ ，
解②得：x≤2，
则不等式组的解集是：﹣ ＜x≤2．
则正整数解是：1，2
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判
断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两
数之间．
19．（6分）（2014•山西）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
几何中，平行四边形、矩形、菱形、正方形和等腰
梯形都是特殊的四边形，大家对于它们的性质都
非常熟悉，生活中还有一种特殊的四边形﹣﹣筝
形．所谓筝形，它的形状与我们生活中风筝的骨
架相似．
定义：两组邻边分别相等的四边形，称之为筝形，
如图，四边形ABCD是筝形，其中AB=AD，
CB=CD
判定：①两组邻边分别相等的四边形是筝形②有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边
形是筝形
显然，菱形是特殊的筝形，就一般筝形而言，它与
菱形有许多相同点和不同点
如果只研究一般的筝形（不包括菱形），请根据以上材料完成下列任务：
如果只研究一般的筝形（不包括菱形），请根据以上材料完成下列任务：
（1）请说出筝形和菱形的相同点和不同点各两条；
（2）请仿照图1的画法，在图2所示的8×8网格中重新设计一个由四个全等的筝
形和四个全等的菱形组成的新图案，具体要求如下：
①顶点都在格点上；
②所涉及的图案既是轴对称图形又是中心对称图形；
③将新图案中的四个筝形都图上阴影（建议用一系列平行斜线表示阴影）．
【考点】利用旋转设计图案；菱形的性质；利用轴对称设计图案．菁优网版权所有
【分析】（1）利用菱形的性质以及结合图形得出筝形的性质分别得出异同点即可；
（2）利用轴对称图形和中心对称图形的定义结合题意得出答案．
【解答】解：（1）相同点：①两组邻边分别相等；②有一组对角相等；③一条对角线
垂直平分另一条对角线；
④一条对角线平分一组对角；⑤都是轴对称图形；⑥面积等于对角线乘积的一半
不同点：①菱形的对角线互相平分，筝形的对角线不互相平分；
②菱形的四边都相等，筝形只有两组邻边分别相等；
③菱形的两组对边分别平行，筝形的对边不平行；
④菱形的两组对角分别相等，筝形只有一组对角相等；
⑤菱形的邻角互补，筝形的邻角不互补；
⑥菱形的既是轴对称图形又是中心对称图形，筝形是轴对称图形不是中心对称图
形；（2）如图所示：
．
【点评】此题主要考查了利用旋转设计图案，借助网格得出符合题意的图形是解
题关键．
20．（10分）（2014•山西）某公司招聘人才，对应聘者分别进行阅读能力、思维能
力和表达能力三项测试，其中甲、乙两人的成绩如下表（单位：分）：
项目 阅读 思维 表达
人员
甲 93 86 73
乙 95 81 79
（1）若根据三项测试的平均成绩在甲、乙两人中录用一人，那么谁将能被录用？
（2）根据实际需要，公司将阅读、思维和表达能力三项测试得分按3：5：2的比确
定每人的最后成绩，若按此成绩在甲、乙两人中录用一人，谁将被录用？
（3）公司按照（2）中的成绩计算方法，将每位应聘者的最后成绩绘制成如图所示
的频数分布直方图（每组分数段均包含左端数值，不包含右端数值，如最右边一
组分数x为：85≤x＜90），并决定由高分到低分录用8名员工，甲、乙两人能否被
录用？请说明理由，并求出本次招聘人才的录用率．【考点】频数（率）分布直方图；算术平均数；加权平均数．菁优网版权所有
【分析】（1）根据平均数的计算公式分别进行计算即可；
（2）根据加权平均数的计算公式分别进行解答即可；[来源:学科网ZXXK]
（3）由直方图知成绩最高一组分数段85≤x＜90中有7人，公司招聘8人，再根据
x =85.5分，得出甲在该组，甲一定能被录用，在80≤x＜85这一组内有10人，仅
甲
有1人能被录用，而x =84.8分，在这一段内不一定是最高分，得出乙不一定能
乙
被录用；最后根据频率= 进行计算，即可求出本次招聘人才的录用率．
【解答】解：（1）∵甲的平均成绩是：x = =84（分），
甲
乙的平均成绩为：x = =85（分），
乙
∴x ＞x ，
乙 甲
∴乙将被录用；
[来源:学科网]
（2）根据题意得：
x = =85.5（分），
甲
x = =84.8（分）；
乙
∴x ＞x ，
甲 乙
∴甲将被录用；
（3）甲一定被录用，而乙不一定能被录用，理由如下：由直方图知成绩最高一组分数段85≤x＜90中有7人，公司招聘8人，又因为x
甲
=85.5分，显然甲在该组，所以甲一定能被录用；
在80≤x＜85这一组内有10人，仅有1人能被录用，而x =84.8分，在这一段内不
乙
一定是最高分，所以乙不一定能被录用；
由直方图知，应聘人数共有50人，录用人数为8人，
所以本次招聘人才的录用率为 =16%．
【点评】此题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用
统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解
决问题．
21．（7分）（2014•山西）如图，点A、B、C表示某旅游景区三个缆车站的位置，线
段AB、BC表示连接缆车站的钢缆，已知A、B、C三点在同一铅直平面内，它们的
海拔高度AA′，BB′，CC′分别为110米、310米、710米，钢缆AB的坡度i =1：2，钢
1
缆BC的坡度i =1：1，景区因改造缆车线路，需要从A到C直线架设一条钢缆，那
2
么钢缆AC的长度是多少米？（注：坡度：是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．菁优网版权所有
【专题】应用题．
【分析】过点A作AE⊥CC'于点E，交BB'于点F，过点B作BD⊥CC'于点D，分别
求出AE、CE，利用勾股定理求解AC即可．
【解答】解：过点A作AE⊥CC'于点E，交BB'于点F，过点B作BD⊥CC'于点D，
则△AFB、△BDC、△AEC都是直角三角形，四边形AA'B'F，BB'C'D和BFED都
是矩形，
∴BF=BB'﹣B'F=BB'﹣AA'=310﹣110=200，
CD=CC'﹣C'D=CC'﹣BB'=710﹣310=400，∵i =1：2，i =1：1，
1 2
∴AF=2BF=400，BD=CD=400，
又∵EF=BD=400，DE=BF=200，
∴AE=AF+EF=800，CE=CD+DE=600，
∴在Rt△AEC中，AC= = =1000（米）．
答：钢缆AC的长度是1000米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解坡度坡角的定
义，及勾股定理的表达式，难度一般．
22．（9分）（2014•山西）某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施
工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天
完成了该项绿化工程．
（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？
（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两
块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相
等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？
【考点】一元二次方程的应用；分式方程的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）利用原工作时间﹣现工作时间=4这一等量关系列出分式方程求解即
可；
（2）根据矩形的面积和为56平方米列出一元二次方程求解即可．【解答】解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米2，
根据题意得： ﹣ =4
解得：x=2000，
经检验，x=2000是原方程的解，
答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；
（2）设人行道的宽度为x米，根据题意得，
（20﹣3x）（8﹣2x）=56
解得：x=2或x= （不合题意，舍去）．
答：人行道的宽为2米．
【点评】本题考查了分式方程及一元二次方程的应用，解分式方程时一定要检验．
23．（11分）（2014•山西）课程学习：正方形折纸中的数学．[来源:学*科*网]
动手操作：如图1，四边形ABCD是一张正方形纸片，先将正方形ABCD对折，使
BC与AD重合，折痕为EF，把这个正方形展平，然后沿直线CG折叠，使B点落
在EF上，对应点为B′．
数学思考：（1）求∠CB′F的度数；（2）如图2，在图1的基础上，连接AB′，试判断
∠B′AE与∠GCB′的大小关系，并说明理由；
解决问题：
（3）如图3，按以下步骤进行操作：
第一步：先将正方形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为EF，把这个正方形展
平，然后继续对折，使AB与DC重合，折痕为MN，再把这个正方形展平，设EF
和MN相交于点O；
第二步：沿直线CG折叠，使B点落在EF上，对应点为B′，再沿直线AH折叠，使
D点落在EF上，对应点为D′；
第三步：设CG、AH分别与MN相交于点P、Q，连接B′P、PD′、D′Q、QB′，试判断
四边形B′PD′Q的形状，并证明你的结论．【考点】四边形综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）由对折得出CB=CB′，在RT△B′FC中，sin∠CB′F= = ，得出
∠CB′F=30°，
（2）连接BB′交CG于点K，由对折可知，∠B′AE=∠B′BE，由
∠B′BE+∠KBC=90°，∠KBC+∠GCB=90°，得到∠B′BE=∠GCB，又由折叠知
∠GCB=∠GCB′得∠B′AE=∠GCB′，
（3）连接AB′利用三角形全等及对称性得出EB′=NP=FD′=MQ，由两次对折可得，
OE=ON=OF=OM，OB′=OP=0D′=OQ，四边形B′PD′Q为矩形，由对折知，
MN⊥EF，于点O，PQ⊥B′D′于点0，得到四边形B′PD′Q为正方形，
【解答】解：（1）如图1，由对折可知，∠EFC=90°，CF= CD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=CB，
∴CF= BC，
∵CB′=CB，
∴CF= CB′
∴在RT△B′FC中，sin∠CB′F= = ，
∴∠CB′F=30°，（2）如图2，连接BB′交CG于点K，由对折可知，EF垂直平分AB，
∴B′A=B′B，
∠B′AE=∠B′BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∴∠B′BE+∠KBC=90°，
由折叠知，∠BKC=90°，
∴∠KBC+∠GCB=90°，
∴∠B′BE=∠GCB，
又由折叠知，∠GCB=∠GCB′，
∴∠B′AE=∠GCB′，
（3）四边形B′PD′Q为正方形，
证明：如图3，连接AB′
由（2）可知∠B′AE=∠GCB′，由折叠可知，∠GCB′=∠PCN，
∴∠B′AE=∠PCN，
由对折知∠AEB=∠CNP=90°，AE= AB，CN= BC，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，[来源:Z&xx&k.Com]∴AE=CN，
在△AEB′和△CNP
∴△AEB′≌△CNP
∴EB′=NP，
同理可得，FD′=MQ，
由对称性可知，EB′=FD′，
∴EB′=NP=FD′=MQ，
由两次对折可得，OE=ON=OF=OM，
∴OB′=OP=0D′=OQ，
∴四边形B′PD′Q为矩形，
由对折知，MN⊥EF，于点O，
∴PQ⊥B′D′于点0，
∴四边形B′PD′Q为正方形，
【点评】本题主要考查了四边形的综合题，解决本题的关键是找准对折后的相等
角，相等边．
24．（13分）（2014•山西）综合与探究：如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形
OABC是平行四边形，A、C两点的坐标分别为（4，0），（﹣2，3），抛物线W经过
O、A、C三点，D是抛物线W的顶点．
（1）求抛物线W的解析式及顶点D的坐标；
（2）将抛物线W和 ▱OABC一起先向右平移4个单位后，再向下平移m（0＜m＜
3）个单位，得到抛物线W′和 ▱O′A′B′C′，在向下平移的过程中，设 ▱O′A′B′C′与
▱OABC的重叠部分的面积为S，试探究：当m为何值时S有最大值，并求出S的
最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取最大值时，设此时抛物线W′的顶点为F，若点M是x
轴上的动点，点N时抛物线W′上的动点，试判断是否存在这样的点M和点N，使
得以D、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐
标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而求出顶点D的坐标；
（2）由平移性质，可知重叠部分为一平行四边形．如答图2，作辅助线，利用相似
比例式求出平行四边形的边长和高，从而求得其面积的表达式；然后利用二次函
数的性质求出最值；
（3）本问涉及两个动点，解题关键是利用平行四边形的判定与性质，区分点N在
x轴上方、下方两种情况，分类讨论，避免漏解．设M（t，0），利用全等三角形求出
点N的坐标，代入抛物线W′的解析式求出t的值，从而求得点M的坐标．
【解答】解：（1）设抛物线W的解析式为y=ax2+bx+c，
∵抛物线W经过O（0，0）、A（4，0）、C（﹣2，3）三点，
∴ ，解得：
∴抛物线W的解析式为y= x2﹣x．
∵y= x2﹣x= （x﹣2）2﹣1，∴顶点D的坐标为（2，﹣1）．
（2）由 ▱OABC得，CB∥OA，CB=OA=4．
又∵C点坐标为（﹣2，3），
∴B点的坐标为（2，3）．
如答图2，过点B作BE⊥x轴于点E，由平移可知，点C′在BE上，且BC′=m．∴BE=3，OE=2，∴EA=OA﹣OE=2．
∵C′B′∥x轴，
∴△BC′G∽△BEA，
∴ ，即 ，
∴C′G= m．
由平移知， ▱O′A′B′C′与 ▱OABC的重叠部分四边形C′HAG是平行四边形．
∴S=C′G•C′E= m（3﹣m）=﹣ （x﹣ ）2+ ，
∴当m= 时，S有最大值为 ．
（3）答：存在．
在（2）的条件下，抛物线W向右平移4个单位，再向下平移 个单位，得到抛物线
W′，
∵D（2，﹣1），∴F（6，﹣ ）；
∴抛物线W′的解析式为：y= （x﹣6）2﹣ ．
设M（t，0），
以D、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
①若点N在x轴下方，如答题3所示：过点D作DP∥y轴，过点F作FP⊥DP于点P，
∵D（2，﹣1），F（6，﹣ ），∴DP= ，FP=4；
过点N作DQ⊥x轴于点Q，
由四边形FDMN为平行四边形，易证△DFP≌△NMQ，
∴MQ=FP=4，NQ=DP= ，
∴N（4+t，﹣ ），
将点N坐标代入抛物线W′的解析式y= （x﹣6）2﹣ ，得：（t﹣2）2﹣ =﹣ ，[来
源:Zxxk.Com]
解得：t=0或t=4，
∴点M的坐标为（0，0）或（4，0）；
②若点N在x轴上方，（请自行作图）
与①同理，得N（4﹣t， ）
将点N坐标代入抛物线W′的解析式y= （x﹣6）2﹣ ，得： （t﹣10）2﹣ = ，
解得：t=6或t=14，
∴点M的坐标为（6，0）或（14，0）．
综上所述，存在这样的点M和点N，点M的坐标分别为（0，0），（4，0），（6，0），
（14，0）．
【点评】本题是二次函数压轴题，难度较大．第（1）问考查了待定系数法及二次函
数的性质；第（2）问考查了平移变换、平行四边形、相似三角形、二次函数最值等知识点，解题关键是确定重叠部分是一个平行四边形；第（3）问考查了平行四边
形、全等三角形、抛物线上点的坐标特征等知识点，解题关键是平行四边形的判
定条件．
