文档内容
2014 年吉林省中考数学试卷
一、选择题（共6小题，每小题2分，满分12分）
1．（2分）在1，﹣2，4， 这四个数中，比0小的数是（ ）
A．﹣2 B．1 C． D．4
2．（2分）用4个完全相同的小正方体组成如图所示的立方体图形，它的俯视图是
（ ）
A． B． C． D．
3．（2分）如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=65°，则∠2的度
数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
4．（2分）如图，四边形ABCD，AEFG都是正方形，点E，G分别在AB，AD上，连接
FC，过点E作EH∥FC交BC于点H．若AB=4，AE=1，则BH的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．3
第1页（共39页）5．（2分）如图，△ABC中，∠C=45°，点D在AB上，点E在BC上．若AD=DB=DE，
AE=1，则AC的长为（ ）
A． B．2 C． D．
6．（2分）小军家距学校5千米，原来他骑自行车上学，学校为保障学生安全，新
购进校车接送学生，若校车速度是他骑车速度的2倍，现在小军乘校车上学可
以从家晚10分钟出发，结果与原来到校时间相同．设小军骑车的速度为 x千
米/小时，则所列方程正确的为（ ）
A． + = B． ﹣ = C． +10= D． ﹣10=
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
7．（3分）据统计，截止到2013年末，某省初中在校学生共有645000人，将数据
645000用科学记数法表示为 ．
8．（3分）不等式组 的解集是 ．
9．（3分）若a＜ ＜b，且a，b为连续正整数，则b2﹣a2= ．
10．（3分）某校举办“成语听写大赛”，15名学生进入决赛，他们所得分数互不
相同，比赛共设8个获奖名额，某学生知道自己的分数后，要判断自己能否获
奖，他应该关注的统计量是 （填“平均数”或“中位数”）
11．（3分）如图，矩形ABCD的面积为 （用含x的代数式表示）．
12．（3分）如图，直线y=2x+4与x，y轴分别交于A，B两点，以OB为边在y轴右侧
第2页（共39页）作等边三角形OBC，将点C向左平移，使其对应点C′恰好落在直线AB上，则点
C′的坐标为 ．
13．（3分）如图，OB是⊙O的半径，弦AB=OB，直径CD⊥AB．若点P是线段OD上
的动点，连接PA，则∠PAB的度数可以是 （写出一个即可）
14．（3分）如图，将半径为3的圆形纸片，按下列顺序折叠．若 和 都经过圆心
O，则阴影部分的面积是 （结果保留π）
三、解答题（共4小题，满分20分）
15．（5分）先化简，再求值：x（x+3）﹣（x+1）2，其中x= +1．
16．（5分）为促进教育均能发展，A市实行“阳光分班”，某校七年级一班共有新
生45人，其中男生比女生多3人，求该班男生、女生各有多少人．
第3页（共39页）17．（5分）如图（图略），从一副扑克牌中选取红桃10，方块10，梅花5，黑桃8四
张扑克牌，洗匀后正面朝下放在桌子上，甲先从中任意抽取一张后，乙再从剩
余的三张扑克牌中任意抽取一张，用画树形图或列表的方法，求甲乙两人抽取
的扑克牌的点数都是10的概率．
18．（5分）如图，△ABC和△DAE中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD，连接BD，CE，
求证：△ABD≌△AEC．
第4页（共39页）四、解答题
19．（7分）图①是电子屏幕的局部示意图，4×4网格的每个小正方形边长均为1，
每个小正方形顶点叫做格点，点A，B，C，D在格点上，光点P从AD的中点出发
按图②的程序移动
（1）请在图①中用圆规画出光点P经过的路径；
（2）在图①中，所画图形是 图形（填“轴对称”或“中心对称”），所画图
形的周长是 （结果保留π）．
20．（7分）某校组织了主题为“让勤俭节约成为时尚”的电子小组作品征集活动，
现从中随机抽取部分作品，按A，B，C，D四个等级进行评价，并根据结果绘制
了如下两幅不完整的统计图．
（1）求抽取了多少份作品；
（2）此次抽取的作品中等级为B的作品有 ，并补全条形统计图；
（3）若该校共征集到800份作品，请估计等级为A的作品约有多少份．
第5页（共39页）21．（7分）某校九年级四个数学活动小组参加测量操场旗杆高度的综合实践活动，
如图是四个小组在不同位置测量后绘制的示意图，用测角仪测得旗杆顶端 A
的仰角记为α，CD为测角仪的高，测角仪CD的底部C处与旗杆的底部B处之
间的距离记为CB，四个小组测量和计算数据如下表所示：
数据 CD的长（m） BC的长（m） 仰角α AB的长（m）
组别
第一组 1.59 13.2 32° 9.8
第二组 1.58 13.4 31° 9.6
第三组 1.57 14.1 30° 9.7
第四组 1.56 15.2 28°
（1）利用第四组学生测量的数据，求旗杆AB的高度（精确到0.1m）；
（2）四组学生测量旗杆高度的平均值约为 m（精确到0.1m）．
（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）
第6页（共39页）22．（7分）甲，乙两辆汽车分别从A，B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，乙
车出发2h后休息，与甲车相遇后，继续行驶．设甲、乙两车与B地的路程分别
为y （km），y （km），甲车行驶的时间为x（h），y ，y 与x之间的函数图象如
甲 乙 甲 乙
图所示，结合图象解答下列问题：
（1）乙车休息了 h；
（2）求乙车与甲车相遇后y 与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
乙
（3）当两车相距40km时，直接写出x的值．
五、解答题
23．（8分）如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB
于点D，延长AO交⊙O于点E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，解答下列问
题：
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若BC=3，CD=4，求平行四边形OABC的面积．
第7页（共39页）24．（8分）如图①，直角三角形AOB中，∠AOB=90°，AB平行于x轴，OA=2OB，
AB=5，反比例函数 （x＞0）的图象经过点A．
（1）直接写出反比例函数的解析式；
（2）如图②，P（x，y）在（1）中的反比例函数图象上，其中1＜x＜8，连接OP，过点
O 作OQ⊥OP，且OP=2OQ，连接PQ．设点Q坐标为（m，n），其中m＜0，n＞0，
求n与m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若Q坐标为（m，1），求△POQ的面积．
第8页（共39页）六、解答题
25．（10分）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=6cm，BD=8cm，
动点P，Q分别从点B，D同时出发，运动速度均为1cm/s，点P沿B→C→D运动
到点D停止，点Q沿D→O→B运动，到点O停止1s后继续运动，到点B停止，
连接AP，AQ，PQ．设△APQ的面积为y（cm2）（这里规定：线段是面积0的几何
图形），点P的运动时间为x（s）．
（1）填空：AB= cm，AB与CD之间的距离为 cm；
（2）当4≤x≤10时，求y与x之间的函数解析式；
（3）直接写出在整个运动过程中，使PQ与菱形ABCD一边平行的所有x的值．
第9页（共39页）26．（10分）如图①，直线l：y=mx+n（m＜0，n＞0）与x，y轴分别相交于A，B两点，
将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的
关联抛物线，而l叫做P的关联直线．
（1）若l：y=﹣2x+2，则P表示的函数解析式为 ；若P：y=﹣x2﹣3x+4，则l表
示的函数解析式为 ．
（2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；
（3）如图②，若l：y=﹣2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的
对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，
求点Q的坐标；
（4）如图③，若l：y=mx﹣4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，
连接OM．若OM= ，直接写出l，P表示的函数解析式．
第10页（共39页）2014 年吉林省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共6小题，每小题2分，满分12分）
1．（2分）在1，﹣2，4， 这四个数中，比0小的数是（ ）
A．﹣2 B．1 C． D．4
【考点】2A：实数大小比较．
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【专题】1：常规题型．
【分析】根据有理数比较大小的法则：负数都小于0即可选出答案．
【解答】解：﹣2、1、4、 这四个数中比0小的数是﹣2，
故选：A．
【点评】此题主要考查了有理数的比较大小，关键是熟练掌握有理数大小比较的
法则：
①正数都大于0；
②负数都小于0；
③正数大于一切负数；
④两个负数，绝对值大的其值反而小．
2．（2分）用4个完全相同的小正方体组成如图所示的立方体图形，它的俯视图是
（ ）
A． B． C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．
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第11页（共39页）【专题】1：常规题型．
【分析】俯视图是从物体上面观看得到的图形，结合图形即可得出答案．
【解答】解：从上面看可得到一个有2个小正方形组成的长方形．
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，属于基
础题．
3．（2分）如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=65°，则∠2的度
数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【考点】JA：平行线的性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据AB∥CD可得∠3=∠1=65°，然后根据∠2=180°﹣∠3﹣90°求解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠3=∠1=65°，
∴∠2=180°﹣∠3﹣90°=180°﹣65°﹣90°=25°．
故选：D．
【点评】本题重点考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等，是一道较为简
单的题目．
4．（2分）如图，四边形ABCD，AEFG都是正方形，点E，G分别在AB，AD上，连接
FC，过点E作EH∥FC交BC于点H．若AB=4，AE=1，则BH的长为（ ）
第12页（共39页）A．1 B．2 C．3 D．3
【考点】KW：等腰直角三角形；LE：正方形的性质．
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【专题】121：几何图形问题．
【分析】求出BE的长，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形求出四边
形EFCH平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得EF=CH，再根据正方形的
性质可得AB=BC，AE=EF，然后求出BH=BE即可得解．
【解答】解：∵AB=4，AE=1，
∴BE=AB﹣AE=4﹣1=3，
∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，
∴AD∥EF∥BC，
又∵EH∥FC，
∴四边形EFCH平行四边形，
∴EF=CH，
∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，
∴AB=BC，AE=EF，
∴AB﹣AE=BC﹣CH，
∴BE=BH=3．
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，熟记性质并求出四
边形EFCH平行四边形是解题的关键，也是本题的难点．
5．（2分）如图，△ABC中，∠C=45°，点D在AB上，点E在BC上．若AD=DB=DE，
AE=1，则AC的长为（ ）
第13页（共39页）A． B．2 C． D．
【考点】KJ：等腰三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形．
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【专题】121：几何图形问题．
【分析】利用AD=DB=DE，求出∠AEC=90°，在直角等腰三角形中求出AC的长．
【解答】解：∵AD=DE，
∴∠DAE=∠DEA，
∵DB=DE，
∴∠B=∠DEB，
∴∠AEB=∠DEA+∠DEB= ×180°=90°，
∴∠AEC=90°，
∵∠C=45°，AE=1，
∴AC= ．
故选：D．
【点评】本题主要考查等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是利用角的关
系求出∠AEC是直角．
6．（2分）小军家距学校5千米，原来他骑自行车上学，学校为保障学生安全，新
购进校车接送学生，若校车速度是他骑车速度的2倍，现在小军乘校车上学可
以从家晚10分钟出发，结果与原来到校时间相同．设小军骑车的速度为 x千
米/小时，则所列方程正确的为（ ）
A． + = B． ﹣ = C． +10= D． ﹣10=
【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．
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【专题】127：行程问题；16：压轴题．
【分析】设小军骑车的速度为x千米/小时，则小车速度是2x千米/小时，根据“小
军乘小车上学可以从家晚10分钟出发”列出方程解决问题．
第14页（共39页）【解答】解：设小军骑车的速度为x千米/小时，则小车速度是2x千米/小时，由题
意得，
﹣ = ．
故选：B．
【点评】此题考查列分式方程解应用题，找出题中蕴含的等量关系是解决问题的
关键．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
7．（3分）据统计，截止到2013年末，某省初中在校学生共有645000人，将数据
645000用科学记数法表示为 6.45 × 1 0 5 ．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
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【专题】1：常规题型．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
定n的值是易错点，由于645000有6位，所以可以确定n=6﹣1=5．
【解答】解：645 000=6.45×105．
故答案为：6.45×105．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
8．（3分）不等式组 的解集是 x ＞ 3 ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
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【专题】11：计算题．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不
等式组的解集．
【解答】解： ，
解①得：x＞﹣2，
解②得：x＞3，
则不等式组的解集是：x＞3．
故答案为：x＞3．
第15页（共39页）【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判
断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于
两数之间．
9．（3分）若a＜ ＜b，且a，b为连续正整数，则b2﹣a2= 7 ．
【考点】2B：估算无理数的大小．
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【专题】11：计算题．
【分析】因为32＜13＜42，所以3＜ ＜4，求得a、b的数值，进一步求得问题的
答案即可．
【解答】解：∵32＜13＜42，
∴3＜ ＜4，
即a=3，b=4，
∴b2﹣a2=7．
故答案为：7．
【点评】此题考查无理数的估算，利用平方估算出根号下的数值的取值，进一步得
出无理数的取值范围，是解决这一类问题的常用方法．
10．（3分）某校举办“成语听写大赛”，15名学生进入决赛，他们所得分数互不
相同，比赛共设8个获奖名额，某学生知道自己的分数后，要判断自己能否获
奖，他应该关注的统计量是 中位数 （填“平均数”或“中位数”）
【考点】WA：统计量的选择．
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【专题】1：常规题型．
【分析】由于比赛设置了8个获奖名额，共有15名选手参加，故应根据中位数的
意义分析．
【解答】解：因为8位获奖者的分数肯定是15名参赛选手中最高的，
而且15个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有8个数，
故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了．
故答案为：中位数．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意
义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性
因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
11．（3分）如图，矩形ABCD的面积为 x 2 + 5 x + 6 （用含x的代数式表示）．
第16页（共39页）【考点】4B：多项式乘多项式．
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【专题】11：计算题．
【分析】表示出矩形的长与宽，得出面积即可．
【解答】解：根据题意得：（x+3）（x+2）=x2+5x+6，
故答案为：x2+5x+6．
【点评】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．（3分）如图，直线y=2x+4与x，y轴分别交于A，B两点，以OB为边在y轴右侧
作等边三角形OBC，将点C向左平移，使其对应点C′恰好落在直线AB上，则点
C′的坐标为 （﹣ 1 ， 2 ） ．
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；KK：等边三角形的性质；Q3：坐标与图
形变化﹣平移．
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【专题】31：数形结合．
【分析】先求出直线y=2x+4与y轴交点B的坐标为（0，4），再由C在线段OB的垂
直平分线上，得出C点纵坐标为2，将y=2代入y=2x+4，求得x=﹣1，即可得到
C′的坐标为（﹣1，2）．
【解答】解：∵直线y=2x+4与y轴交于B点，
∴x=0时，
得y=4，
∴B（0，4）．
∵以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，
∴C在线段OB的垂直平分线上，
第17页（共39页）∴C点纵坐标为2．
将y=2代入y=2x+4，得2=2x+4，
解得x=﹣1．
故答案为：（﹣1，2）．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，坐标与图
形变化﹣平移，得出C点纵坐标为2是解题的关键．
13．（3分）如图，OB是⊙O的半径，弦AB=OB，直径CD⊥AB．若点P是线段OD上
的动点，连接PA，则∠PAB的度数可以是 70 ° （写出一个即可）
【考点】KH：等腰三角形的性质；M2：垂径定理；M5：圆周角定理．
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【专题】26：开放型．
【 分 析 】 当 P 点 与 D 点 重 合 是 ∠ DAB=75° ， 与 O 重 合 则 OAB=60° ，
∠OAB≤∠PAB≤∠DAB，所以∠PAB的度数可以是60°﹣﹣75°之间的任意数．
【解答】解：连接DA，OA，则△OAB是等边三角形，
∴∠OAB=∠AOB=60°，
∵DC是直径，DC⊥AB，
∴∠AOC= ∠AOB=30°，
∴∠ADC=15°，
∴∠DAB=75°，
∵，∠OAB≤∠PAB≤∠DAB，
∴∠PAB的度数可以是60°﹣75°之间的任意数．
故答案为：70°
【点评】本题考查了垂径定理，等边三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性
质．
14．（3分）如图，将半径为3的圆形纸片，按下列顺序折叠．若 和 都经过圆心
O，则阴影部分的面积是 3π （结果保留π）
第18页（共39页）【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．
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【专题】16：压轴题；28：操作型．
【分析】作 OD⊥AB 于点 D，连接 AO，BO，CO，求出∠OAD=30°，得到
∠AOB=2∠AOD=120°，进而求得∠AOC=120°，再利用阴影部分的面积=S
扇形AOC
求解．
【解答】解；如图，作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，延长OD交⊙O于F，
由翻折性质可知，OD=FD= OF，∵OA=OF，
∴OD= AO，
∴∠OAD=30°，
∴∠AOB=2∠AOD=120°，
同理∠BOC=120°，
∴∠AOC=120°，
∴阴影部分的面积=S = =3π．
扇形AOC
故答案为：3π．
【点评】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是确定∠AOC=120°．
三、解答题（共4小题，满分20分）
15．（5分）先化简，再求值：x（x+3）﹣（x+1）2，其中x= +1．
【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．
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第19页（共39页）【专题】11：计算题．
【分析】先利用整式的乘法和完全平方公式计算，再进一步合并化简，最后代入求
得数值即可．
【解答】解：原式=x2+3x﹣x2﹣2x﹣1
=x﹣1，
当x= +1时，
原式= +1﹣1= ．
【点评】此题考查整式的混合运算与化简求值，注意先利用公式计算化简，再进一
步代入求得数值即可．
16．（5分）为促进教育均能发展，A市实行“阳光分班”，某校七年级一班共有新
生45人，其中男生比女生多3人，求该班男生、女生各有多少人．
【考点】8A：一元一次方程的应用．
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【专题】12：应用题．
【分析】设女生x人，则男生为（x+3）人．再利用总人数为45人，即可得出等式求
出即可．
【解答】解：设女生x人，则男生为（x+3）人．
依题意得 x+x+3=45，
解得，x=21，
男生为：x+3=24．
答：该班男生、女生分别是24人、21人．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据已知得出表示出男女生人数
是解题关键．
17．（5分）如图（图略），从一副扑克牌中选取红桃10，方块10，梅花5，黑桃8四
张扑克牌，洗匀后正面朝下放在桌子上，甲先从中任意抽取一张后，乙再从剩
余的三张扑克牌中任意抽取一张，用画树形图或列表的方法，求甲乙两人抽取
的扑克牌的点数都是10的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法．
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【专题】1：常规题型．
【分析】列出树状图后利用概率公式求解即可．
【解答】解：列树状图为：
第20页（共39页）∵共12种情况，其中两个都是10的情况共有2种，
∴P（点数都是10）= = ．
【点评】本题考查了列表法语树状图的知识，解题的关键是根据题意列出树状图，
这也是解决本题的难点．
18．（5分）如图，△ABC和△DAE中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD，连接BD，CE，
求证：△ABD≌△AEC．
【考点】KB：全等三角形的判定．
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【专题】14：证明题．
【分析】根据∠BAC=∠DAE，可得∠BAD=∠CAE，再根据全等的条件可得出结论．
【解答】证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC﹣∠BAE=∠DAE﹣∠BAE，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△AEC中，
，
∴△ABD≌△AEC（SAS）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，判断三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，
AAS，以及判断两个直角三角形全等的方法HL．
四、解答题
第21页（共39页）19．（7分）图①是电子屏幕的局部示意图，4×4网格的每个小正方形边长均为1，
每个小正方形顶点叫做格点，点A，B，C，D在格点上，光点P从AD的中点出发
按图②的程序移动
（1）请在图①中用圆规画出光点P经过的路径；
（2）在图①中，所画图形是 轴对称 图形（填“轴对称”或“中心对称”），所
画图形的周长是 4π （结果保留π）．
【考点】R8：作图﹣旋转变换．
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【专题】13：作图题．
【分析】（1）根据旋转度数和方向分别作出弧即可；
（2）根据图形的轴对称性解答；求出四次旋转的度数之和，然后根据弧长公式列
式计算即可得解．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）所画图形是轴对称图形；
旋转的度数之和为270°+90°×2+270°=720°，
所画图形的周长= =4π．
故答案为：4π．
【点评】本题考查利用旋转变换作图，弧长的计算，熟练掌握旋转的性质以及弧长
公式是解题的关键．
第22页（共39页）20．（7分）某校组织了主题为“让勤俭节约成为时尚”的电子小组作品征集活动，
现从中随机抽取部分作品，按A，B，C，D四个等级进行评价，并根据结果绘制
了如下两幅不完整的统计图．
（1）求抽取了多少份作品；
（2）此次抽取的作品中等级为B的作品有 4 8 ，并补全条形统计图；
（3）若该校共征集到800份作品，请估计等级为A的作品约有多少份．
【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．
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【专题】11：计算题．
【分析】（1）根据C的人数除以占的百分比，得到抽取作品的总份数；
（2）由总份数减去其他份数，求出B的份数，补全条形统计图即可；
（3）求出A占的百分比，乘以800即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：30÷25%=120（份），
则抽取了120份作品；
（2）等级B的人数为120﹣（36+30+6）=48（份），
补全统计图，如图所示：
故答案为：48；
第23页（共39页）（3）根据题意得：800× =240（份），
则估计等级为A的作品约有240份．
【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是
解本题的关键．
21．（7分）某校九年级四个数学活动小组参加测量操场旗杆高度的综合实践活动，
如图是四个小组在不同位置测量后绘制的示意图，用测角仪测得旗杆顶端 A
的仰角记为α，CD为测角仪的高，测角仪CD的底部C处与旗杆的底部B处之
间的距离记为CB，四个小组测量和计算数据如下表所示：
数 CD的长（m） BC的长（m） 仰角α AB的长（m）
据
组别
第一组 1.59 13.2 32° 9.8
第二组 1.58 13.4 31° 9.6
第三组 1.57 14.1 30° 9.7
第四组 1.56 15.2 28°
（1）利用第四组学生测量的数据，求旗杆AB的高度（精确到0.1m）；
（2）四组学生测量旗杆高度的平均值约为 9. 6 m（精确到0.1m）．
（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【专题】121：几何图形问题．
【分析】（1）首先在直角三角形ADE中利用∠α和BE的长求得线段AE的长，然后
与线段BE相加即可求得旗杆的高度；
（2）利用算术平均数求得旗杆的平均值即可．
【解答】解：（1）∵由已知得：在Rt△ADE中，∠α=28°，DE=BC=15.2米，
第24页（共39页）∴AE=DE×tanα=15.2×tan28°≈8.04米，
∴AB=AE+EB=1.56+8.04≈9.6米，
答：旗杆的高约为9.6米；
（2）四组学生测量旗杆高度的平均值为（9.8+9.6+9.7+9.6）÷4≈9.7米．
【点评】本题考查了解直角三角形的知识，了解仰角及俯角的定义是解答本题的
关键，难度不大．
22．（7分）甲，乙两辆汽车分别从A，B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，乙
车出发2h后休息，与甲车相遇后，继续行驶．设甲、乙两车与B地的路程分别
为y （km），y （km），甲车行驶的时间为x（h），y ，y 与x之间的函数图象如
甲 乙 甲 乙
图所示，结合图象解答下列问题：
（1）乙车休息了 0. 5 h；
（2）求乙车与甲车相遇后y 与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
乙
（3）当两车相距40km时，直接写出x的值．
【考点】FH：一次函数的应用．
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【专题】31：数形结合；41：待定系数法．
【分析】（1）根据待定系数法，可得y 的解析式，根据函数值为200千米时，可得
甲
相应自变量的值，根据自变量的差，可得答案；
（2）根据待定系数法，可得y 的函数解析式；
乙
（3）分类讨论，0≤x≤2.5，y 减y 等于40千米，2.5≤x≤5时，y 减y 等于40
甲 乙 乙 甲
千米，可得答案．
【解答】解：（1）设甲车行驶的函数解析式为y =kx+b，（k是不为0的常数）
甲
y =kx+b图象过点（0，400），（5，0），
甲
得 ，
第25页（共39页）解得 ，
甲车行驶的函数解析式为y =﹣80x+400，
甲
当y=200时，x=2.5（h），
2.5﹣2=0.5（h），
故答案为：0.5；
（2）设乙车与甲车相遇后y 与x的函数解析式y =kx+b，
乙 乙
y =kx+b图象过点（2.5，200），（5，400），
乙
得 ，
解得 ，
乙车与甲车相遇后y 与x的函数解析式y =80x（2.5≤x≤5）；
乙 乙
（3）设乙车与甲车相遇前y 与x的函数解析式y =kx，图象过点（2，200），
乙 乙
解得k=100，
∴乙车与甲车相遇前y 与x的函数解析式y =100x，
乙 乙
0≤x≤2.5，y 减y 等于40千米，
甲 乙
即400﹣80x﹣100x=40，解得 x=2；
2.5≤x≤5时，y 减y 等于40千米，
乙 甲
即2.5≤x≤5时，80x﹣（﹣80x+400）=40，解得x= ，
综上所述：x=2或x= ．
【点评】本题考查了一次函数的应用，待定系数法是求函数解析式的关键．
五、解答题
23．（8分）如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB
于点D，延长AO交⊙O于点E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，解答下列问
题：
（1）求证：CD是⊙O的切线；
第26页（共39页）（2）若BC=3，CD=4，求平行四边形OABC的面积．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质；ME：切线的判定与
性质．
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【专题】14：证明题．
【分析】（1）连接OD，求出∠EOC=∠DOC，根据SAS推出△EOC≌△DOC，推出
∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）根据全等三角形的性质求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=3，根据
平行四边形的面积公式求出即可．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠A，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OC∥AB，
∴∠EOC=∠A，∠COD=∠ODA，
∴∠EOC=∠DOC，
在△EOC和△DOC中
∴△EOC≌△DOC（SAS），
∴∠ODC=∠OEC=90°，
即OD⊥DC，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵△EOC≌△DOC，
∴CE=CD=4，
第27页（共39页）∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA=BC=3，
∴平行四边形OABC的面积S=OA×CE=3×4=12．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，切线的判定，平行四边形的性质的
应用，解此题的关键是推出△EOC≌△DOC．
24．（8分）如图①，直角三角形AOB中，∠AOB=90°，AB平行于x轴，OA=2OB，
AB=5，反比例函数 （x＞0）的图象经过点A．
（1）直接写出反比例函数的解析式；
（2）如图②，P（x，y）在（1）中的反比例函数图象上，其中1＜x＜8，连接OP，过点
O 作OQ⊥OP，且OP=2OQ，连接PQ．设点Q坐标为（m，n），其中m＜0，n＞0，
求n与m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若Q坐标为（m，1），求△POQ的面积．
【考点】GB：反比例函数综合题．
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【专题】15：综合题．
【分析】（1）如图①，在Rt△OAB中利用勾股定理计算出OB= ，OA=2 ，由于
AB平行于x轴，则OC⊥AB，则可利用面积法计算出OC=2，在Rt△AOC中，根据
勾股定理可计算出AC=4，得到A点坐标为（4，2），然后利用待定系数法确定反
第28页（共39页）比例函数解析式为y= ；
（2）分别过 P、Q 做 x 轴垂线，垂足分别为 H、D，如图②，先证明
Rt△POH∽Rt△OQD，根据相似的性质得 = = ，由于OP=2OQ，PH=y，
OH=x，OD=﹣m，QD=n，则 = =2，即有x=2n，y=﹣2m，而x、y满足y= ，则
2n•（﹣2m）=8，即mn=﹣2，当1＜x＜8时，1＜y＜8，所以1＜﹣2m＜8，解得﹣
4＜m＜﹣ ；
（3）由于n=1时，m=﹣2，即Q点坐标为（﹣2，1），利用两点的距离公式计算出
OQ= ，则OP=2OQ=2 ，然后根据三角形面积公式求解．
【解答】解：（1）如图①，∵∠AOB=90°，
∴OA2+OB2=AB2，
∵OA=2OB，AB=5，
∴4OB2+OB2=25，解得OB= ，
∴OA=2 ，
∵AB平行于x轴，
∴OC⊥AB，
∴ OC•AB= OB•OA，即OC= =2，
在Rt△AOC中，AC= =4，
∴A点坐标为（4，2），
设过A点的反比例函数解析式为y= ，
∴k=4×2=8，
∴反比例函数解析式为y= ；
（2）分别过P、Q作x轴垂线，垂足分别为H、D，如图②，
第29页（共39页）∵OQ⊥OP，
∴∠POH+∠QOD=90°，
∵∠POH+∠OPH=90°，
∴∠QOD=∠OPH，
∴Rt△POH∽Rt△OQD，
∴ = = ，
∵P（x，y）在（1）中的反比例函数图象上，其中1＜x＜8，Q点坐标为（m，n），其中
m＜0，n＞0，OP=2OQ，
∴PH=y，OH=x，OD=﹣m，QD=n，
∴ = =2，解得x=2n，y=﹣2m，
∵y= ，
∴2n•（﹣2m）=8，
∴n= （﹣4＜m＜﹣ ）；
（3）∵n=1时，m=﹣2，即Q点坐标为（﹣2，1），
∴OQ= = ，
∴OP=2OQ=2 ，
∴S = × ×2 =5．
△POQ
【点评】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征
第30页（共39页）和待定系数法求反比例函数解析式；理解坐标与图形的性质；会利用相似比和
勾股定理进行几何计算．
六、解答题
25．（10分）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=6cm，BD=8cm，
动点P，Q分别从点B，D同时出发，运动速度均为1cm/s，点P沿B→C→D运动
到点D停止，点Q沿D→O→B运动，到点O停止1s后继续运动，到点B停止，
连接AP，AQ，PQ．设△APQ的面积为y（cm2）（这里规定：线段是面积0的几何
图形），点P的运动时间为x（s）．
（1）填空：AB= 5 cm，AB与CD之间的距离为 cm；
（2）当4≤x≤10时，求y与x之间的函数解析式；
（3）直接写出在整个运动过程中，使PQ与菱形ABCD一边平行的所有x的值．
【考点】KQ：勾股定理；L8：菱形的性质；LO：四边形综合题；S5：相似图形．
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【专题】152：几何综合题；16：压轴题；32：分类讨论．
【分析】（1）根据勾股定理即可求得AB，根据面积公式求得AB与CD之间的距离．
（2）当4≤x≤10时，运动过程分为三个阶段，需要分类讨论，避免漏解：
①当4≤x≤5时，如答图1﹣1所示，此时点Q与点O重合，点P在线段BC上；
②当5＜x≤9时，如答图1﹣2所示，此时点Q在线段OB上，点P在线段CD上；
③当9＜x≤10时，如答图1﹣3所示，此时点Q与点B重合，点P在线段CD上．
（3）有两种情形，需要分类讨论，分别计算：
①若PQ∥CD，如答图2﹣1所示；
②若PQ∥BC，如答图2﹣2所示．
【解答】解：（1）∵菱形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，
第31页（共39页）∴AC⊥BD，
∴AB= = =5，
设AB与CD间的距离为h，
∴△ABC的面积S= AB•h，
又∵△ABC的面积S= S = × AC•BD= ×6×8=12，
菱形ABCD
∴ AB•h=12，
∴h= = ．
（2）设∠CBD=∠CDB=θ，则易得：sinθ= ，cosθ= ．
①当4≤x≤5时，如答图1﹣1所示，此时点Q与点O重合，点P在线段BC上．
∵PB=x，
∴PC=BC﹣PB=5﹣x．
过点P作PH⊥AC于点H，则PH=PC•cosθ= （5﹣x）．
∴y=S = QA•PH= ×3× （5﹣x）=﹣ x+6；
△APQ
②当5＜x≤9时，如答图1﹣2所示，此时点Q在线段OB上，点P在线段CD上．
PC=x﹣5，PD=CD﹣PC=5﹣（x﹣5）=10﹣x．
过点P作PH⊥BD于点H，则PH=PD•sinθ= （10﹣x）．
∴y=S =S ﹣S ﹣S ﹣S
△APQ 菱形ABCD △ABQ 四边形BCPQ △APD
=S ﹣S ﹣（S ﹣S ）﹣S
菱形ABCD △ABQ △BCD △PQD △APD
= AC•BD﹣ BQ•OA﹣（ BD•OC﹣ QD•PH）﹣ PD×h
= ×6×8﹣ （9﹣x）×3﹣[ ×8×3﹣ （x﹣1）• （10﹣x）]﹣ （10﹣x）×
=﹣ x2+ x﹣ ；
第32页（共39页）③当9＜x≤10时，如答图1﹣3所示，此时点Q与点B重合，点P在线段CD上．
y=S = AB×h= ×5× =12．
△APQ
综上所述，当4≤x≤10时，y与x之间的函数解析式为：
y= ．
（3）有两种情况：
①若PQ∥CD，如答图2﹣1所示．
此时BP=QD=x，则BQ=8﹣x．
∵PQ∥CD，
∴ ，
即 ，
∴x= ；
②若PQ∥BC，如答图2﹣2所示．
此时PD=10﹣x，QD=x﹣1．
∵PQ∥BC，
∴ ，
即 ，
第33页（共39页）∴x= ．
综上所述，满足条件的x的值为 或 ．
【点评】本题是运动型综合题，考查了菱形的性质、勾股定理、图形面积、相似等多
个知识点，重点考查了分类讨论的数学思想．本题第（2）（3）问均需分类讨论，
这是解题的难点；另外，试题计算量较大，注意认真计算．
26．（10分）如图①，直线l：y=mx+n（m＜0，n＞0）与x，y轴分别相交于A，B两点，
将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的
关联抛物线，而l叫做P的关联直线．
（1）若l：y=﹣2x+2，则P表示的函数解析式为 y=﹣ x 2 ﹣ x + 2 ；若P：y=﹣x2﹣
3x+4，则l表示的函数解析式为 y=﹣4 x + 4 ．
（2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；
（3）如图②，若l：y=﹣2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的
对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，
求点Q的坐标；
（4）如图③，若l：y=mx﹣4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，
连接OM．若OM= ，直接写出l，P表示的函数解析式．
第34页（共39页）【考点】FH：一次函数的应用；HF：二次函数综合题；KQ：勾股定理；KW：等腰直角
三角形；L5：平行四边形的性质；R8：作图﹣旋转变换．
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【专题】16：压轴题；23：新定义．
【分析】（1）若l：y=﹣2x+2，求出点A、B、D的坐标，利用待定系数法求出P表示的
函数解析式；若P：y=﹣x2﹣3x+4，求出点D、A、B的坐标，再利用待定系数法求
出l表示的函数解析式；
（2）根据对称轴的定义解答即可；
（3）以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，则有
FQ∥CE，且FQ=CE．以此为基础，列方程求出点Q的坐标．注意：点Q的坐标有
两个，如答图1所示，不要漏解；
（4）如答图2所示，作辅助线，构造等腰直角三角形OGH，求出OG的长度，进而
由AB=2OG求出AB的长度，再利用勾股定理求出y=mx﹣4m中m的值，最后
分别求出l，P表示的函数解析式．
【解答】解：（1）若l：y=﹣2x+2，则A（1，0），B（0，2）．
∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，
∴D（﹣2，0）．
设P表示的函数解析式为：y=ax2+bx+c，将点A、B、D坐标代入得：
，
解得 ，
第35页（共39页）∴P表示的函数解析式为：y=﹣x2﹣x+2；
若P：y=﹣x2﹣3x+4=﹣（x+4）（x﹣1），
则D（﹣4，0），A（1，0）．
∴B（0，4）．
设l表示的函数解析式为：y=kx+b，将点A、B坐标代入得：
，解得 ，
∴l表示的函数解析式为：y=﹣4x+4．
（2）直线l：y=mx+n（m＜0，n＞0），
令y=0，即mx+n=0，得x=﹣ ；
令x=0，得y=n．
∴A（﹣ ，0）、B（0，n），
∴D（﹣n，0）．
设抛物线对称轴与x轴的交点为N（x，0），
∵DN=AN，
∴﹣ ﹣x=x﹣（﹣n），
∴2x=﹣n﹣ ，
∴P的对称轴为x=﹣ ．
（3）若l：y=﹣2x+4，则A（2，0）、B（0，4），
∴C（0，2）、D（﹣4，0）．
可求得直线CD的解析式为：y= x+2．
由（2）可知，P的对称轴为x=﹣1．
∵以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形，
∴FQ∥CE，且FQ=CE．
第36页（共39页）设直线FQ的解析式为：y= x+b．
∵点E、点C的横坐标相差1，
∴点F、点Q的横坐标也是相差1．
则|x ﹣（﹣1）|=|x +1|=1，
F F
解得x =0或x =﹣2．
F F
∵点F在直线l：y=﹣2x+4上，
l
∴点F坐标为（0，4）或（﹣2，8）．
若F（0，4），则直线FQ的解析式为：y= x+4，
当x=﹣1时，y= ，
∴Q （﹣1， ）；
1
若F（﹣2，8），则直线FQ的解析式为：y= x+9，
当x=﹣1时，y= ，
∴Q （﹣1， ）．
2
∴满足条件的点Q有2个，如答图1所示，点Q坐标为Q（﹣1， ）、Q（﹣1，
1 2
）．
（4）如答图2所示，连接OG、OH．
∵点G、H为斜边中点，
∴OG= AB，OH= CD．
由旋转性质可知，AB=CD，OG⊥OH，
∴△OGH为等腰直角三角形．
∵点M为GH中点，
∴△OMG为等腰直角三角形，
∴OG= OM= • =2 ，
第37页（共39页）∴AB=2OG=4 ．
∵l：y=mx﹣4m，
∴A（4，0），B（0，﹣4m）．
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA2+OB2=AB2，
即：42+（﹣4m）2=（4 ）2，
解得：m=﹣2或m=2，
∵点B在y轴正半轴，
∴m=2舍去，∴m=﹣2．
∴l表示的函数解析式为：y=﹣2x+8；
∴B（0，8），D（﹣8，0）．
又A（4，0），
利用待定系数法求得P：y=﹣ x2﹣x+8．
【点评】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、一次函数、
待定系数法、旋转变换、平行四边形、等腰直角三角形、勾股定理等多个知识点
第38页（共39页）综合性较强，有一定的难度．题干中定义了“关联抛物线”与“关联直线”的
新概念，理解这两个概念是正确解题的前提．
第39页（共39页）
