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2014 年湖南省益阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1．（4分）（2014•益阳）四个实数﹣2，0，﹣ ，1中，最大的实数是（ ）
A．﹣2 B．0 C．﹣ D．1
2．（4分）（2014•益阳）下列式子化简后的结果为x6的是（ ）
A．x3+x3 B．x3•x3 C．（x3）3 D．x12÷x2
3．（4分）（2014•益阳）小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题6个，数学题5个，
综合题9个，她从中随机抽取1个，抽中数学题的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）（2014•益阳）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）（2014•益阳）一元二次方程x2﹣2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是（ ）
A．m＞1 B．m=1 C．m＜1 D．m≤1
6．（4分）（2014•益阳）正比例函数y=6x的图象与反比例函数y= 的图象的交点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第一、三象限
7．（4分）（2014•益阳）如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一
个条件使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能是（ ）
A．AE=CF B．BE=FD C．BF=DE D．∠1=∠2
8．（4分）（2014•益阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为
（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（ ）A．1 B．1或5 C．3 D．5
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线
上）
9．（4分）（2014•益阳）若x2﹣9=（x﹣3）（x+a），则a= ．
10．（4分）（2014•益阳）分式方程 = 的解为 ．
11．（4分）（2014•益阳）小斌所在的课外活动小组在大课间活动中练习立定跳远，成绩如下
（单位：米）：1.96，2.16，2.04，2.20，1.98，2.22，2.32，则这组数据的中位数是 米．
12．（4分）（2014•益阳）小明放学后步行回家，他离家的路程s（米）与步行时间（t 分钟）的函
数图象如图所示，则他步行回家的平均速度是 米/分钟．
13．（4分）（2014•益阳）如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合
得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是 ．
三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
14．（6分）（2014•益阳）计算：|﹣3|+30﹣ ．15．（6分）（2014•益阳）如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B=80°．求∠C的度数．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
16．（8分）（2014•益阳）先化简，再求值：（ +2）（x﹣2）+（x﹣1）2，其中x= ．
17．（8分）（2014•益阳）某校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外读书活动．“放飞
梦想”读书小组协助老师随机抽取本校的部分学生，调查他们最喜爱的图书类别（图书分为
文学类、艺体类、科普类、其他等四类），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你
结合图中的信息解答下列问题：
（1）求被调查的学生人数；
（2）补全条形统计图；
（3）已知该校有1200名学生，估计全校最喜爱文学类图书的学生有多少人？18．（8分）（2014•益阳）“中国﹣益阳”网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康
富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量
A、B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BAD=76.1°，
∠BCA=68.2°，CD=82米．求AB的长（精确到0.1米）．
参考数据：
sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；
sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19．（10分）（2014•益阳）某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的
电风扇，下表是近两周的销售情况：
销售数量
销售时段 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 3台 5台 1800元
第二周 4台 10台 3100元
（进价、售价均保持不变，利润=销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的
电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给
出相应的采购方案；若不能，请说明理由．20．（10分）（2014•益阳）如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x﹣
2）2+k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P．
（1）求a，k的值；
（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；
（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此
正方形的边长．
六、解答题（本题满分12分）
21．（12分）（2014•益阳）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，
BC=4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP=x．
（1）求AD的长；
（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相
似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；
（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S 、S ，若S=S +S ，求S的最小值．
1 2 1 22014 年湖南省益阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1．（4分）（2014•益阳）四个实数﹣2，0，﹣ ，1中，最大的实数是（ ）
A．﹣2 B．0 C．﹣ D．1
考点： 实数大小比较．
菁
分析： 根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数，比较即可．
解答： 解：∵﹣2＜﹣ ＜0＜1，
∴四个实数中，最大的实数是1．
故选D．
点评： 本题考查了实数大小比较，关键要熟记：正实数都大于0，负实数
都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而
小．
2．（4分）（2014•益阳）下列式子化简后的结果为x6的是（ ）
A．x3+x3 B．x3•x3 C．（x3）3 D．x12÷x2
考点： 同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的
乘方．
分析： 根据同底数幂的运算法则进行计算即可．
解答： 解：A、原式=2x3，故本选项错误；
B、原式=x6，故本选项错误；
C、原式=x9，故本选项错误；
D、原式=x12﹣2=x10，故本选项错误．
故选B．
点评： 本题考查的是同底数幂的除法，熟知同底数幂的除法及乘方法
则、合并同类项的法则、幂的乘方与积的乘方法则是解答此题的
关键．
3．（4分）（2014•益阳）小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题6个，数学题5个，
综合题9个，她从中随机抽取1个，抽中数学题的概率是（ ）
A． B． C． D．
考点： 概率公式．
分析： 由小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题6个，数学
题5个，综合题9个，直接利用概率公式求解即可求得答案．
解答： 解：∵小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题6个，数
学题5个，综合题9个，
∴她从中随机抽取1个，抽中数学题的概率是： = ．
故选C．
点评： 此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数
与总情况数之比．
4．（4分）（2014•益阳）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A． B． C． D．
考点： 中心对称图形；轴对称图形．
分析： 根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即
是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
解答： 解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中
心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心
对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，
也是轴对称图形，故此选项正确；
D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称
图形，不是轴对称图形，故此选项错误．
故选C．
点评： 此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图
形形状是解决问题的关键．
5．（4分）（2014•益阳）一元二次方程x2﹣2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是（ ）
A．m＞1 B．m=1 C．m＜1 D．m≤1
考点： 根的判别式．
分析： 根据根的判别式，令△≥0，建立关于m的不等式，解答即可．
解答： 解：∵方程x2﹣2x+m=0总有实数根，
∴△≥0，
即4﹣4m≥0，
∴﹣4m≥﹣4，
∴m≤1．
故选D．
点评： 本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关
系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0 方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
⇔
⇔
6．（4分）（2014•益阳）正比例函数y=6x的图象与反比例函数y= 的图象的交点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第一、三象限
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
专题： 计算题．
分析：
根据反比例函数与一次函数的交点问题解方程组 即可得
到两函数的交点坐标，然后根据交点坐标进行判断．
解答：
解：解方程组 得 或 ，所以正比例函数y=6x的图象与反比例函数y= 的图象的交点坐
标为（1，6），（﹣1，﹣6）．
故选D．
点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一
次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．
7．（4分）（2014•益阳）如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一
个条件使△ABE≌△CDF，则添加的条件 是（ ）
A．AE=CF B．BE=FD C．BF=DE D．∠1=∠2
考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定．
分析： 利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别分得出即可．
解答： 解：A、当AE=CF无法得出△ABE≌△CDF，故此选项符合题意；
B、当BE=FD，
∵平行四边形ABCD中，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；
C、当BF=ED，
∴BE=DF，
∵平行四边形ABCD中，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；
D、当∠1=∠2，
∵平行四边形ABCD中，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），故此选项错误；
故选：A．点评： 此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知
识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
8．（4分）（2014•益阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为
（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1 B．1或5 C．3 D．5
考点： 直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．
分析： 平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可．
解答： 解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；
当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．
故选B．
点评： 本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线
相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线
上）
9．（4分）（2014•益阳）若x2﹣9=（x﹣3）（x+a），则a= 3 ．
考点： 因式分解-运用公式法
分析： 直接利用平方差公式进行分解得出即可．
解答： 解：∵x2﹣9=（x+3）（x﹣3）=（x﹣3）（x+a），
∴a=3．
故答案为：3．
点评： 此题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关
键．
10．（4分）（2014•益阳）分式方程 = 的解为 x= ﹣ 9 ．
考点： 解分式方程．
专题： 计算题．
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的
值，经检验即可得到分式方程的解．
解答： 解：去分母得：4x=3x﹣9，
解得：x=﹣9，
经检验x=﹣9是分式方程的解．
故答案为：x=﹣9．点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思
想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要
验根．
11．（4分）（2014•益阳）小斌所在的课外活动小组在大课间活动中练习立定跳远，成绩如下
（单位：米）：1.96，2.16，2.04，2.20，1.98，2.22，2.32，则这组数据的中位数是 2.1 6 米．
考点： 中位数．
分析： 根据中位数的概念求解．
解答： 解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：1.96，1.98，2.04，2.16，2.20，2.22，
2.32，
则中位数为：2.16．
故答案为：2.16．
点评： 本题考查了中位数的知识：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排
列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如
果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位
数．
12．（4分）（2014•益阳）小明放学后步行回家，他离家的路程s（米）与步行时间（t 分钟）的函
数图象如图所示，则他步行回家的平均速度是 8 0 米/分钟．
考点： 函数的图象
分析： 他步行回家的平均速度=总路程÷总时间，据此解答即可．
解答： 解：由图知，他离家的路程为1600米，步行时间为20分钟，
则他步行回家的平均速度是：1600÷20=80（米/分钟），
故答案为：80．
点评： 本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的
意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
13．（4分）（2014•益阳）如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合
得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是 6 0 ° ．
考点： 旋转的性质；等边三角形的性质
分析： 根据等边三角形的性质以及旋转的性质得出旋转角，进而得出∠EAF的度
数．解答： 解：∵将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得
△ACD，BC的中点E的对应点为F，
∴旋转角为60°，E，F是对应点，
则∠EAF的度数为：60°．
故答案为：60°．
点评： 此题主要考查了等边三角形的性质以及旋转的性质，得出旋转角的度数是
解题关键．
三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
14．（6分）（2014•益阳）计算：|﹣3|+30﹣ ．
考点： 实数的运算；零指数幂
专题： 计算题．
分析： 原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用零指数幂法则计算，
最后一项利用立方根定义化简，计算即可得到结果．
解答： 解：原式=3+1﹣3=1．
点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．（6分）（2014•益阳）如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B=80°．求∠C的度数．
考点： 平行线的性质
分析： 根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BAF，再根据角平分线的定义求出
∠CAF，然后根据两直线平行，内错角相等解答．
解答： 解：∵EF∥BC，
∴∠BAF=180°﹣∠B=100°，
∵AC平分∠BAF，
∴∠CAF= ∠BAF=50°，
∵EF∥BC，
∴∠C=∠CAF=50°．
点评： 本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是解题
的关键．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
16．（8分）（2014•益阳）先化简，再求值：（ +2）（x﹣2）+（x﹣1）2，其中x= ．
考点： 分式的化简求值
专题： 计算题．
分析： 原式第一项利用乘法分配律计算，第二项利用完全平方公式展开，去括号合
并得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
解答： 解：原式=1+2x﹣4+x2﹣2x+1=x2﹣2，
当x= 时，原式=3﹣2=1．点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．（8分）（2014•益阳）某校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外读书活动．“放飞
梦想”读书小组协助老师随机抽取本校的部分学生，调查他们最喜爱的图书类别（图书分为
文学类、艺体类、科普类、其他等四类），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你
结合图中的信息解答下列问题：
（1）求被调查的学生人数；
（2）补全条形统计图；
（3）已知该校有1200名学生，估计全校最喜爱文学类图书的学生有多少人？
考点： 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
分析： （1）利用科普类的人数以及所占百分比，即可求出被调查的学生人数；
（2）利用（1）中所求得出喜欢艺体类的学生数进而画出图形即可；
（3）首先求出样本中喜爱文学类图书所占百分比，进而估计全校最喜爱文
学类图书的学生数．
解答： 解：（1）被调查的学生人数为：12÷20%=60（人）；
（2）喜欢艺体类的学生数为：60﹣24﹣12﹣16=8（人），
如图所示：
；
（3）全校最喜爱文学类图书的学生约有：1200× =480（人）．
点评： 此题主要考查了条形统计图的应用以及扇形统计图应用、利用样本估计总
体等知识，利用图形得出正确信息求出样本容量是解题关键．
18．（8分）（2014•益阳）“中国﹣益阳”网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康
富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BAD=76.1°，
∠BCA=68.2°，CD=82米．求AB的长（精确到0.1米）．
参考数据：
sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；
sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5．
考点： 解直角三角形的应用
分析： 设AD=x米，则AC=（x+82）米．在Rt△ABC中，根据三角函数得到
AB=2.5（x+82），在Rt△ABD中，根据三角函数得到AB=4x，依此得到关
于x的方程，进一步即可求解．
解答： 解：设AD=x米，则AC=（x+82）米．
在Rt△ABC中，tan∠BCA= ，
∴AB=AC•tan∠BCA=2.5（x+82）．
在Rt△ABD中，tan∠BDA= ，
∴AB=AD•tan∠BDA=4x．
∴2.5（x+82）=4x，
解得x= ．
∴AB=4x=4× ≈546.7．
答：AB的长约为546.7米．
点评： 此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关
键是用数学知识解决实际问题．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19．（10分）（2014•益阳）某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的
电风扇，下表是近两周的销售情况：
销售数量
销售时段 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 3台 5台 1800元
第二周 4台 10台 3100元
（进价、售价均保持不变，利润=销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的
电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给
出相应的采购方案；若不能，请说明理由．考点： 二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用；一元一次不等式的应用．
菁
分析： （1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号
5台B型号的电扇收入1800元，4台A型号10台B型号的电扇收入3100
元，列方程组求解；
（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台，根据
金额不多余5400元，列不等式求解；
（3）设利润为1400元，列方程求出a的值为20，不符合（2）的条件，可知不
能实现目标．
解答： 解：（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，
依题意得： ，
解得： ，
答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元；
（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台．
依题意得：200a+170（30﹣a）≤5400，
解得：a≤10．
答：超市最多采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元；
（3）依题意有：（250﹣200）a+（210﹣170）（30﹣a）=1400，
解得：a=20，
∵a＞10，
∴在（2）的条件下超市不能实现利润1400元的目标．
点评： 本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是
读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等
式求解．
20．（10分）（2014•益阳）如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x﹣
2）2+k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P．
（1）求a，k的值；
（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；
（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此
正方形的边长．
考点： 二次函数综合题
分析： （1）先求出直线y=﹣3x+3与x轴交点A，与y轴交点B的坐标，再将A、B两点
坐标代入y=a（x﹣2）2+k，得到关于a，k的二元一次方程组，解方程组即可求
解；（2）设Q点的坐标为（2，m），对称轴x=2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直
线x=2于点E．在Rt△AQF与Rt△BQE中，用勾股定理分别表示出
AQ2=AF2+QF2=1+m2，BQ2=BE2+EQ2=4+（3﹣m）2，由AQ=BQ，得到方程
1+m2=4+（3﹣m）2，解方程求出m=2，即可求得Q点的坐标；
（3）当点N在对称轴上时，由NC与AC不垂直，得出AC为正方形的对角线，
根据抛物线的对称性及正方形的性质，得到M点与顶点P（2，﹣1）重合，N点
为点P关于x轴的对称点，此时，MF=NF=AF=CF=1，且AC⊥MN，则四边形
AMCN为正方形，在Rt△AFN中根据勾股定理即可求出正方形的边长．
解答： 解：（1）∵直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A（1，0），B（0，3）．
又∵抛物线抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A（1，0），B（0，3），
∴ ，解得 ，
故a，k的值分别为1，﹣1；
（2）设Q点的坐标为（2，m），对称轴x=2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直
线x=2于点E．
在Rt△AQF中，AQ2=AF2+QF2=1+m2，
在Rt△BQE中，BQ2=BE2+EQ2=4+（3﹣m）2，
∵AQ=BQ，
∴1+m2=4+（3﹣m）2，
∴m=2，
∴Q点的坐标为（2，2）；
（3）当点N在对称轴上时，NC与AC不垂直，所以AC应为正方形的对角线．
又∵对称轴x=2是AC的中垂线，
∴M点与顶点P（2，﹣1）重合，N点为点P关于x轴的对称点，其坐标为（2，
1）．
此时，MF=NF=AF=CF=1，且AC⊥MN，
∴四边形AMCN为正方形．
在Rt△AFN中，AN= = ，即正方形的边长为 ．点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二元一次方程组的解法，
等腰三角形的性质，勾股定理，二次函数的性质，正方形的判定与性质，综合性
较强，难度适中．
六、解答题（本题满分12分）
21．（12分）（2014•益阳）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，
BC=4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP=x．
（1）求AD的长；
（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相
似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；
（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S 、S ，若S=S +S ，求S的最小值．
1 2 1 2
考点： 相似形综合题．
分析： （1）过点C作CE⊥AB于E，根据CE=BC•sin∠B求出CE，再根据
AD=CE即可求出AD；
（2）若以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似，则
△PCB必有一个角是直角．分两种情况讨论：①当∠PCB=90°时，求出
AP，再根据在Rt△ADP中∠DPA=60°，得出∠DPA=∠B，从而得到
△ADP∽△CPB，②当∠CPB=90°时，求出AP=3，根据 ≠ 且 ≠
，得出△PCB与△ADP不相似．
（3）先求出S =x• ，再分两种情况讨论：①当2＜x＜10时，作BC
1
的垂直平分线交BC于H，交AB于G；作PB的垂直平分线交PB于N，
交GH于M，连结BM，在Rt△GBH中求出BG、BN、GN，在Rt△GMN
中，求出MN= （ x﹣1），在Rt△BMN中，求出BM2= x2﹣ x+ ，
最后根据S =x•BM2代入计算即可．②当0＜x≤2时，S =x（ x2﹣ x+
1 2
），最后根据S=S +S = x（x﹣ ）2+ x即可得出S的最小值．
1 2
解答： 解：（1）过点C作CE⊥AB于E，在Rt△BCE中，
∵∠B=60°，BC=4，
∴CE=BC•sin∠B=4× =2 ，
∴AD=CE=2 ．
（2）存在．若以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相
似，
则△PCB必有一个角是直角．
①当∠PCB=90°时，在Rt△PCB中，BC=4，∠B=60°，PB=8，
∴AP=AB﹣PB=2．
又由（1）知AD=2 ，在Rt△ADP中，tan∠DPA= = = ，
∴∠DPA=60°，
∴∠DPA=∠CPB，
∴△ADP∽△CPB，
∴存在△ADP与△CPB相似，此时x=2．
②∵当∠CPB=90°时，在Rt△PCB中，∠B=60°，BC=4，
∴PB=2，PC=2 ，
∴AP=3．
则 ≠ 且 ≠ ，此时△PCB与△ADP不相似．
（3）如图，因为Rt△ADP外接圆的直径为斜边PD，则S =x•（ ）2=x•
1
，
①当2＜x＜10时，作BC的垂直平分线交BC于H，交AB于G；
作PB的垂直平分线交PB于N，交GH于M，连结BM．则BM为△PCB
外接圆的半径．
在Rt△GBH中，BH= BC=2，∠MGB=30°，
∴BG=4，
∵BN= PB= （10﹣x）=5﹣ x，
∴GN=BG﹣BN= x﹣1．
在Rt△GMN中，∴MN=GN•tan∠MGN= （ x﹣1）．在Rt△BMN中，BM2=MN2+BN2= x2﹣ x+ ，
∴S =x•BM2=x（ x2﹣ x+ ）．
1
②∵当0＜x≤2时，S =x（ x2﹣ x+ ）也成立，
2
∴S=S +S =x• +x（ x2﹣ x+ ）= x（x﹣ ）2+ x．
1 2
∴当x= 时，S=S +S 取得最小值 x．
1 2
点评： 此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的性质与判定、二次
函数的最值、勾股定理，关键是根据题意画出图形构造相似三角形，注意
分类讨论．
