文档内容
2014 年湖南省湘潭市中考数学试卷
一、选择题
1．（3分）（2014•湘潭）下列各数中是无理数的是（ ）
A． B．﹣2 C．0 D．
2．（3分）（2014•湘潭）下列计算正确的是（ ）
A．a+a2=a3 B．2﹣1= C．2a•3a=6a D．2+ =2
3．（3分）（2014•湘潭）如图，AB是池塘两端，设计一方法测量AB的距离，取点C，连接AC、
BC，再取它们的中点D、E，测得DE=15米，则AB=（ ）米．
A．7.5 B．15 C．22.5 D．30
4．（3分）（2014•湘潭）分式方程 的解为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（3分）（2014•湘潭）如图，所给三视图的几何体是（ ）
A．球 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱锥
6．（3分）（2014•湘潭）式子 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x≤1
7．（3分）（2014•湘潭）以下四个命题正确的是（ ）
A．任意三点可以确定一个圆
B．菱形对角线相等
C．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
D．平行四边形的四条边相等8．（3分）（2014•湘潭）如图，A、B两点在双曲线y=上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已
知S阴影=1，则S
1
+S
2
=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
9．（3分）（2014•湘潭）﹣3的相反数是 ．
10．（3分）（2014•湘潭）分解因式：ax﹣a= ．
11．（3分）（2014•湘潭）未测试两种电子表的走时误差，做了如下统计
平均数 方差
甲 0.4 0.026
乙 0.4 0.137
则这两种电子表走时稳定的是 ．
12．（3分）（2014•湘潭）计算：（ ）2﹣|﹣2|= ．
13．（3分）（2014•湘潭）如图，直线a、b被直线c所截，若满足 ，则a、b平行．
14．（3分）（2014•湘潭）如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO=5，PA切⊙O于A
点，则PA= ．15．（3分）（2014•湘潭）七、八年级学生分别到雷锋、毛泽东纪念馆参观，共589人，到毛泽东
纪念馆的人数是到雷锋纪念馆人数的2倍多56人．设到雷锋纪念馆的人数为x人，可列方程
为 ．
16．（3分）（2014•湘潭）如图，按此规律，第6行最后一个数字是 ，第 行最后
一个数是2014．
三、综合解答题
17．（2014•湘潭）在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上，
（1）B点关于y轴的对称点坐标为 ；
（2）将△AOB向左平移3个单位长度得到△A O B ，请画出△A O B ；
1 1 1 1 1 1
（3）在（2）的条件下，A 的坐标为 ．
1
18．（2014•湘潭）先化简，在求值：（ + ）÷ ，其中x=2．19．（2014•湘潭）如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道．为了加快施工进度，想在小山
的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过C点作直线
AB的垂线L，过点B作一直线（在山的旁边经过），与L相交于D点，经测量∠ABD=135°，
BD=800米，求直线L上距离D点多远的C处开挖？（ ≈1.414，精确到1米）
20．（2014•湘潭）如图，将矩形ABCD沿BD对折，点A落在E处，BE与CD相交于F，若
AD=3，BD=6．
（1）求证：△EDF≌△CBF；
（2）求∠EBC．
21．（2014•湘潭）某企业新增了一个化工项目，为了节约资源，保护环境，该企业决定购买A、
B两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表：
A型 B型
价格（万元/台） 12 10
月污水处理能力（吨/月） 200 160
经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低于1380吨．（1）该企业有几种购买方案？
（2）哪种方案更省钱，说明理由．
22．（2014•湘潭）有两个构造完全相同（除所标数字外）的转盘A、B，游戏规定，转动两个转
盘各一次，指向大的数字获胜．现由你和小明各选择一个转盘游戏，你会选择哪一个，为什么？
23．（2014•湘潭）从全校1200名学生中随机选取一部分学生进行调查，调查情况：A、上网时
间≤1小时；B、1小时＜上网时间≤4小时；C、4小时＜上网时间≤7小时；D、上网时间＞7
小时．统计结果制成了如图统计图：
（1）参加调查的学生有 人；
（2）请将条形统计图补全；
（3）请估计全校上网不超过7小时的学生人数．
24．（2014•湘潭）已知两直线L ：y=k x+b ，L ：y=k x+b ，若L ⊥L ，则有k •k =﹣1．
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2
（1）应用：已知y=2x+1与y=kx﹣1垂直，求k；
（2）直线经过A（2，3），且与y= x+3垂直，求解析式．25．（2014•湘潭）△ABC为等边三角形，边长为a，DF⊥AB，EF⊥AC，
（1）求证：△BDF∽△CEF；
（2）若a=4，设BF=m，四边形ADFE面积为S，求出S与m之间的函数关系，并探究当m为何
值时S取最大值；
（3）已知A、D、F、E四点共圆，已知tan∠EDF= ，求此圆直径．
26．（2014•湘潭）已知二次函数y=﹣x2+bx+c的对称轴为x=2，且经过原点，直线AC解析式
为y=kx+4，
（1）求二次函数解析式；
（2）若 =，求k；
（3）若以BC为直径的圆经过原点，求k．2014 年湖南省湘潭市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）（2014•湘潭）下列各数中是无理数的是（ ）
A． B．﹣2 C．0 D．
考点：无理数．
分析：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理
数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是
无理数．由此即可判定选择项．
解答：解：A、正确；
B、是整数，是有理数，选项错误；
C、是整数，是有理数，选项错误；
D、是分数，是有理数，选项错误．
故选A．
点评：此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不
尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．（3分）（2014•湘潭）下列计算正确的是（ ）
A．a+a2=a3 B．2﹣1= C．2a•3a=6a D．2+ =2
考点：单项式乘单项式；实数的运算；合并同类项；负整数指数幂．
专题：计算题．
分析：A、原式不能合并，错误；
B、原式利用负指数幂法则计算得到结果，即可做出判断；
C、原式利用单项式乘以单项式法则计算得到结果，即可做出判断；
D、原式不能合并，错误．
解答：解：A、原式不能合并，故选项错误；
B、原式=，故选项正确；
C、原式=6a2，故选项错误；
D、原式不能合并，故选项错误．
故选B．
点评：此题考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（3分）（2014•湘潭）如图，AB是池塘两端，设计一方法测量AB的距离，取点C，连接AC、
BC，再取它们的中点D、E，测得DE=15米，则AB=（ ）米．
A．7.5 B．15 C．22.5 D．30考点：三角形中位线定理
专题：应用题．
分析：根据三角形的中位线得出AB=2DE，代入即可求出答案．
解答：解：∵D、E分别是AC、BC的中点，DE=15米，
∴AB=2DE=30米，
故选D．
点评：本题考查了三角形的中位线的应用，注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第
三边的一半．
4．（3分）（2014•湘潭）分式方程 的解为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点：解分式方程．
专题：计算题．
分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分
式方程的解．
解答：解：去分母得：5x=3x+6，
移项合并得：2x=6，
解得：x=3，
经检验x=3是分式方程的解．
故选C．
点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整
式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
5．（3分）（2014•湘潭）如图，所给三视图的几何体是（ ）
A．球 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱锥
考点：由三视图判断几何体
分析：由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
解答：解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几
何体为圆锥．
故选C．
点评：本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是了解主视图和左视图的大致轮
廓为长方形的几何体为锥体．
6．（3分）（2014•湘潭）式子 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x≤1
考点：二次根式有意义的条件．
专题：计算题．
分析：根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式x﹣1≥0，通过解该不等式即可求得x的
取值范围．
解答：解：根据题意，得x﹣1≥0，解得，x≥1．
故选C．
点评：此题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性质：二次根式
中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
7．（3分）（2014•湘潭）以下四个命题正确的是（ ）
A．任意三点可以确定一个圆
B．菱形对角线相等
C．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
D．平行四边形的四条边相等
考点：命题与定理
分析：利用确定圆的条件、菱形的性质、直角三角形的性质及平行四边形的性质分别对每个
选项判断后即可确定答案．
解答：解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误；
B、菱形的对角线垂直但不一定相等，故错误；
C、正确；
D、平行四边形的四条边不一定相等．
故选C．
点评：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、菱形的性质、直角三
角形的性质及平行四边形的性质，难度一般．
8．（3分）（2014•湘潭）如图，A、B两点在双曲线y=上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已
知S阴影=1，则S
1
+S
2
=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
考点：反比例函数系数k的几何意义．
分析：欲求S +S ，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段求出与坐标轴所形成的矩形的
1 2
面积即可，而矩形面积为双曲线y=的系数k，由此即可求出S +S ．
1 2
解答：解：∵点A、B是双曲线y=上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，
则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，
∴S +S =4+4﹣1×2=6．
1 2
故选D．
点评：本题主要考查了反比例函数的图象和性质及任一点坐标的意义，有一定的难度．
二、填空题
9．（3分）（2014•湘潭）﹣3的相反数是 3 ．
考点：相反数．
分析：一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．
解答：解：﹣（﹣3）=3，
故﹣3的相反数是3．
故答案为：3．点评：本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．一个正
数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．学生易把相反数的意
义与倒数的意义混淆．
10．（3分）（2014•湘潭）分解因式：ax﹣a= a （ x ﹣ 1 ） ．
考点：因式分解-提公因式法．
分析：提公因式法的直接应用．观察原式ax﹣a，找到公因式a，提出即可得出答案．
解答：解：ax﹣a=a（x﹣1）．
点评：考查了对一个多项式因式分解的能力．一般地，因式分解有两种方法，提公因式法，公
式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法．要求灵活运用各种方法进行因式分
解．该题是直接提公因式法的运用．
11．（3分）（2014•湘潭）未测试两种电子表的走时误差，做了如下统计
平均数 方差
甲 0.4 0.026
乙 0.4 0.137
则这两种电子表走时稳定的是 甲 ．
考点：方差；算术平均数．
分析：根据方差的意义判断，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之
也成立，找出方差较小的即可．
解答：解：∵甲的方差是0.026，乙的方差是0.137，
0.026＜0.137，
∴这两种电子表走时稳定的是甲；
故答案为：甲．
点评：本题考查方差的意义．它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也
成立．
12．（3分）（2014•湘潭）计算：（ ）2﹣|﹣2|= 1 ．
考点：实数的运算．
专题：计算题．
分析：原式第一项利用平方根定义化简，第二项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到
结果．
解答：解：原式=3﹣2
=1．
故答案为：1．
点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13．（3分）（2014•湘潭）如图，直线a、b被直线c所截，若满足 ∠ 1= ∠ 2 ，则a、b平行．
考点：平行线的判定．
专题：开放型．
分析：根据同位角相等两直线平行可得∠1=∠2时，a∥b．解答：解：∵∠1=∠2，
∴a∥b（同位角相等两直线平行），
故答案为：∠1=∠2．
点评：此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等两直线平行．
14．（3分）（2014•湘潭）如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO=5，PA切⊙O于A
点，则PA= 4 ．
考点：切线的性质；勾股定理．
专题：计算题．
分析：先根据切线的性质得到OA⊥PA，然后利用勾股定理计算PA的长．
解答：解：∵PA切⊙O于A点，
∴OA⊥PA，
在Rt△OPA中，OP=5，OA=3，
∴PA= =4．
故答案为4．
点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理．
15．（3分）（2014•湘潭）七、八年级学生分别到雷锋、毛泽东纪念馆参观，共589人，到毛泽东
纪念馆的人数是到雷锋纪念馆人数的2倍多56人．设到雷锋纪念馆的人数为x人，可列方程
为 2x+56=58 9 ﹣ x ．
考点：由实际问题抽象出一元一次方程．
分析：设到雷锋纪念馆的人数为x人，则到毛泽东纪念馆的人数为（589﹣x）人，根据到毛泽
东纪念馆的人数是到雷锋纪念馆人数的2倍多56人．列方程即可．
解答：解：设到雷锋纪念馆的人数为x人，则到毛泽东纪念馆的人数为（589﹣x）人，
由题意得，2x+56=589﹣x．
故答案为：2x+56=589﹣x．
点评：本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知
数，列出方程．
16．（3分）（2014•湘潭）如图，按此规律，第6行最后一个数字是 1 6 ，第 67 2 行最后一
个数是2014．考点：规律型：数字的变化类．
分析：每一行的最后一个数字构成等差数列1，4，7，10…，易得第n行的最后一个数字为1+3
（n﹣1）=3n﹣2，由此求得第6行最后一个数字，建立方程求得最后一个数是2014在哪
一行．
解答：解：每一行的最后一个数字构成等差数列1，4，7，10…，
第n行的最后一个数字为1+3（n﹣1）=3n﹣2，
∴第6行最后一个数字是3×6﹣2=16；
3n﹣2=2014
解得n=672．
因此第6行最后一个数字是16，第672行最后一个数是2014．
故答案为：16，672．
点评：此题考查数字的排列规律，找出数字之间的联系，得出运算规律解决问题．
三、综合解答题
17．（2014•湘潭）在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上，
（1）B点关于y轴的对称点坐标为 （﹣ 3 ， 2 ） ；
（2）将△AOB向左平移3个单位长度得到△A O B ，请画出△A O B ；
1 1 1 1 1 1
（3）在（2）的条件下，A 的坐标为 （﹣ 2 ， 3 ） ．
1
考点：作图-平移变换；关于x轴、y轴对称的点的坐标．
专题：作图题．
分析：（1）根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等解答；
（2）根据网格结构找出点A、O、B向左平移后的对应点A 、O 、B 的位置，然后顺次连
1 1 1
接即可；
（3）根据平面直角坐标系写出坐标即可．
解答：解：（1）B点关于y轴的对称点坐标为（﹣3，2）；
（2）△A O B 如图所示；
1 1 1
（3）A 的坐标为（﹣2，3）．
1
故答案为：（1）（﹣3，2）；（3）（﹣2，3）．点评：本题考查了利用平移变换作图，关于y轴对称点的坐标，熟练掌握网格结构准确找出
对应点的位置是解题的关键．
18．（2014•湘潭）先化简，在求值：（ + ）÷ ，其中x=2．
考 分式的化简求值．
点：
专 计算题．
题：
分 原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
析：
解
答： 解：原式=[ + • = • =
]
，
当x=2时，原式= = ．
点 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
评：
19．（2014•湘潭）如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道．为了加快施工进度，想在小山
的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过C点作直线
AB的垂线L，过点B作一直线（在山的旁边经过），与L相交于D点，经测量∠ABD=135°，
BD=800米，求直线L上距离D点多远的C处开挖？（ ≈1.414，精确到1米）考点：勾股定理的应用．
分析：首先证明△BCD是等腰直角三角形，再根据勾股定理可得CD2+BC2=BD2，然后再代
入BD=800米进行计算即可．
解答：解：∵CD⊥AC，
∴∠ACD=90°，
∵∠ABD=135°，
∴∠DBC=45°，
∴∠D=45°，
∴CB=CD，
在Rt△DCB中：CD2+BC2=BD2，
2CD2=8002，
CD=400 ≈566（米），
答：直线L上距离D点566米的C处开挖．
点评：此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的
结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出
准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
20．（2014•湘潭）如图，将矩形ABCD沿BD对折，点A落在E处，BE与CD相交于F，若
AD=3，BD=6．
（1）求证：△EDF≌△CBF；
（2）求∠EBC．
考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；矩形的性质
分析：（1）首先根据矩形的性质和折叠的性质可得DE=BC，∠E=∠C=90°，对顶角
∠DFE=∠BFC，利用AAS可判定△DEF≌△BCF；
（2）在Rt△ABD中，根据AD=3，BD=6，可得出∠ABD=30°，然后利用折叠的性质可得
∠DBE=30°，继而可求得∠EBC的度数．
解答：（1）证明：由折叠的性质可得：DE=BC，∠E=∠C=90°，
在△DEF和△BCF中，
，
∴△DEF≌△BCF（AAS）；
（2）解：在Rt△ABD中，
∵AD=3，BD=6，
∴∠ABD=30°，
由折叠的性质可得；∠DBE=∠ABD=30°，
∴∠EBC=90°﹣30°﹣30°=30°．
点评：本题考查了折叠的性质、矩形的性质，以及全等三角形的判定与性质，正确证明三角形
全等是关键．21．（2014•湘潭）某企业新增了一个化工项目，为了节约资源，保护环境，该企业决定购买A、
B两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表：
A型 B型
价格（万元/台） 12 10
月污水处理能力（吨/月） 200 160
经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低于1380吨．
（1）该企业有几种购买方案？
（2）哪种方案更省钱，说明理由．
考点：一元一次不等式组的应用
分析：（1）设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型号（8﹣x）台，根据企业最多支出89
万元购买设备，要求月处理污水能力不低于1380吨，列出不等式组，然后找出最合适
的方案即可．
（2）计算出每一方案的花费，通过比较即可得到答案．
解答：解：设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型号（8﹣x）台，
根据题意，得
，
解这个不等式组，得：2.5≤x≤4.5．
∵x是整数，
∴x=3或x=4．
当x=3时，8﹣x=5；
当x=4时，8﹣x=4．
答：有2种购买方案：第一种是购买3台A型污水处理设备，5台B型污水处理设备；
第二种是购买4台A型污水处理设备，4台B型污水处理设备；
（2）当x=3时，购买资金为12×1+10×5=62（万元），
当x=4时，购买资金为12×4+10×4=88（万元）．
因为88＞62，
所以为了节约资金，应购污水处理设备A型号3台，B型号5台．
答：购买3台A型污水处理设备，5台B型污水处理设备更省钱．
点评：本题考查了一元一次不等式组的应用，本题是“方案设计”问题，一般可把它转化为
求不等式组的整数解问题，通过表格获取相关信息，在实际问题中抽象出不等式组是
解决这类问题的关键．
22．（2014•湘潭）有两个构造完全相同（除所标数字外）的转盘A、B，游戏规定，转动两个转
盘各一次，指向大的数字获胜．现由你和小明各选择一个转盘游戏，你会选择哪一个，为什么？
考点：列表法与树状图法．
分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与A大于B的有5种
情况，A小于B的有4种情况，再利用概率公式即可求得答案．
解答：解：选择A转盘．
画树状图得：∵共有9种等可能的结果，A大于B的有5种情况，A小于B的有4种情况，
∴P（A大于B）=，P（A小于B）=，
∴选择A转盘．
点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏
的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以
上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．（2014•湘潭）从全校1200名学生中随机选取一部分学生进行调查，调查情况：A、上网时
间≤1小时；B、1小时＜上网时间≤4小时；C、4小时＜上网时间≤7小时；D、上网时间＞7
小时．统计结果制成了如图统计图：
（1）参加调查的学生有 20 0 人；
（2）请将条形统计图补全；
（3）请估计全校上网不超过7小时的学生人数．
考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图
分析：（1）用A的人数除以所占的百分比求出总人数；
（2）用总人数减去A、B、D的人数，再画出即可；
（3）用总人数乘以全校上网不超过7小时的学生人数所占的百分比即可．
解答：
解：（1）参加调查的学生有20÷ =200（人）；
故答案为：200；
（2）C的人数是：200﹣20﹣80﹣40=60（人），补图如下：
（3）根据题意得：
1200× =960（人），
答：全校上网不超过7小时的学生人数是960人．
点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中
得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24．（2014•湘潭）已知两直线L ：y=k x+b ，L ：y=k x+b ，若L ⊥L ，则有k •k =﹣1．
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2
（1）应用：已知y=2x+1与y=kx﹣1垂直，求k；
（2）直线经过A（2，3），且与y= x+3垂直，求解析式．
考点：两条直线相交或平行问题
分析：（1）根据L ⊥L ，则k •k =﹣1，可得出k的值即可；
1 2 1 2
（2）根据直线互相垂直，则k •k =﹣1，可得出过点A直线的k等于3，得出所求的解析
1 2
式即可．
解答：解：（1）∵L ⊥L ，则k •k =﹣1，
1 2 1 2
∴2k=﹣1，
∴k=﹣；
（2）∵过点A直线与y= x+3垂直，
∴设过点A直线的直线解析式为y=3x+b，
把A（2，3）代入得，b=﹣3，
∴解析式为y=3x﹣3．
点评：本题考查了两直线相交或平行问题，是基础题，当两直线垂直时，两个k值的乘积为﹣
1．
25．（2014•湘潭）△ABC为等边三角形，边长为a，DF⊥AB，EF⊥AC，
（1）求证：△BDF∽△CEF；
（2）若a=4，设BF=m，四边形ADFE面积为S，求出S与m之间的函数关系，并探究当m为何
值时S取最大值；
（3）已知A、D、F、E四点共圆，已知tan∠EDF= ，求此圆直径．
考点：相似形综合题；二次函数的最值；等边三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形
专题：综合题；探究型．
分析：（1）只需找到两组对应角相等即可．
（2）四边形ADFE面积S可以看成△ADF与△AEF的面积之和，借助三角函数用m表示
出AD、DF、AE、EF的长，进而可以用含m的代数式表示S，然后通过配方，转化为二次函
数的最值问题，就可以解决问题．
（3）易知AF就是圆的直径，利用圆周角定理将∠EDF转化为∠EAF．在△AFC中，知道
tan∠EAF、∠C、AC，通过解直角三角形就可求出AF长．
解答：解：（1）∵DF⊥AB，EF⊥AC，
∴∠BDF=∠CEF=90°．
∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°．
∵∠BDF=∠CEF，∠B=∠C，
∴△BDF∽△CEF．
（2）∵∠BDF=90°，∠B=60°，
∴sin60°= = ，cos60°= =．
∵BF=m，
∴DF= m，BD=．
∵AB=4，
∴AD=4﹣．
∴S△ADF =AD•DF
=×（4﹣）× m
=﹣ m2+ m．
同理：S△AEF =AE•EF
=×（4﹣ ）× （4﹣m）
=﹣ m2+2 ．
∴S=S△ADF +S△AEF
=﹣ m2+ m+2
=﹣ （m2﹣4m﹣8）
=﹣ （m﹣2）2+3 ．其中0＜m＜4．
∵﹣ ＜0，0＜2＜4，
∴当m=2时，S取最大值，最大值为3 ．
∴S与m之间的函数关系为：
S═﹣ （m﹣2）2+3 （其中0＜m＜4）．
当m=2时，S取到最大值，最大值为3 ．
（3）如图2，
∵A、D、F、E四点共圆，
∴∠EDF=∠EAF．
∵∠ADF=∠AEF=90°，
∴AF是此圆的直径．
∵tan∠EDF= ，
∴tan∠EAF= ．
∴ = ．
∵∠C=60°，
∴ =tan60°= ．设EC=x，则EF= x，EA=2x．
∵AC=a，
∴2x+x=a．
∴x=．
∴EF= ，AE= ．
∵∠AEF=90°，
∴AF= = ．
∴此圆直径长为 ．
点评：本题考查了相似三角形的判定、二次函数的最值、三角函数、解直角三角形、圆周角定理、
等边三角形的性质等知识，综合性强．利用圆周角定理将条件中的圆周角转化到合适的位
置是解决最后一小题的关键．
26．（2014•湘潭）已知二次函数y=﹣x2+bx+c的对称轴为x=2，且经过原点，直线AC解析式
为y=kx+4，
（1）求二次函数解析式；
（2）若 =，求k；
（3）若以BC为直径的圆经过原点，求k．考点：二次函数综合题．
分析：
（1）由对称轴为x=﹣ ，且函数过（0，0），则可推出b，c，进而得函数解析式．
（2） =，且两三角形为同高不同底的三角形，易得 =，考虑计算方便可作B，C
对x轴的垂线，进而有B，C横坐标的比为 =．由B，C为直线与二次函数的交点，则
联立可求得B，C坐标．由上述倍数关系，则k易得．
（3）以BC为直径的圆经过原点，即∠BOC=90°，一般考虑表示边长，再用勾股定理构
造方程求解k．可是这个思路计算量异常复杂，基本不考虑，再考虑（2）的思路，发现
B，C横纵坐标恰好可表示出EB，EO，OF，OC．而由∠BOC=90°，易证
△EBO∽△FOC，即EB•FC=EO•FO．有此构造方程发现k值大多可约去，进而可得k
值．
解答：解：（1）∵二次函数y=﹣x2+bx+c的对称轴为x=2，且经过原点，
∴﹣ =2，0=0+0+c，
∴b=4，c=0，
∴y=﹣x2+4x．
（2）如图1，连接OB，OC，过点A作AE⊥y轴于E，过点B作BF⊥y轴于F，
∵ =，
∴ =，
∴ =，
∵EB∥FC，
∴ = =．
∵y=kx+4交y=﹣x2+4x于B，C，
∴kx+4=﹣x2+4x，即x2+（k﹣4）x+4=0，∴△=（k﹣4）2﹣4•4=k2﹣8k，
∴x= ，或x= ，
∵x ＜x ，
B C
∴EB=x = ，FC=x = ，
B C
∴4• = ，
解得 k=9（交点不在y轴右边，不符题意，舍去）或k=﹣1．
∴k=﹣1．
（3）∵∠BOC=90°，
∴∠EOB+∠FOC=90°，
∵∠EOB+∠EBO=90°，
∴∠EBO=∠FOC，
∵∠BEO=∠OFC=90°，
∴△EBO∽△FOC，
∴ ，
∴EB•FC=EO•FO．
∵x = ，x = ，且B、C过y=kx+4，
B C
∴y =k• +4，y =k• +4，
B C
∴EO=y =k• +4，OF=﹣y =﹣k• ﹣4，
B C
∴ • =（k• +4）•
（﹣k• ﹣4），
整理得 16k=﹣20，
∴k=﹣．
点评：本题考查了函数图象交点的性质、相似三角形性质、一元二次方程及圆的基本知识．题
目特殊，貌似思路不难，但若思路不对，计算异常复杂，题目所折射出来的思想，考生
应好好理解掌握．
