文档内容
2013年湖南省湘潭市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂
在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）
1．（3分）﹣5的相反数是（ ）
A．5 B． C．﹣5 D．
2．（3分）一组数据1，2，2，3．下列说法正确的是（ ）
A．众数是3 B．中位数是2 C．极差是3 D．平均数是3
3．（3分）如图是由三个小方体叠成的一个立体图形，那么它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B．正五边形 C．等腰梯形 D．直角三角形
5．（3分）一元二次方程x2+x﹣2＝0的解为x 、x ，则x •x ＝（ ）
1 2 1 2
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
6．（3分）下列命题正确的是（ ）
A．三角形的中位线平行且等于第三边 B．对角线相等的四边形是等腰梯形
C．四条边都相等的四边形是菱形 D．相等的角是对顶角
7．（3分）如图，点P（﹣3，2）是反比例函数 （k≠0）的图象上一点，则反比例函数的解析
式（ ）
A． B． C． D．
第1页（共30页）8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件
使∠DAB＝∠EAC，则添加的条件不能为（ ）
A．BD＝CE B．AD＝AE C．DA＝DE D．BE＝CD
二、填空题（本大题共8个小题，请将答案写在答题卡的相应位置上，每小题3分，满分24
分）
9．（3分）计算：|﹣3|＝ ．
10．（3分）如右图，已知：AB∥CD，∠C＝25°，∠E＝30°，则∠A＝ ．
11．（3分）到2012年底，湘潭地区总人口约为3020000人，用科学记数法表示这一数为
．
12．（3分）湖园中学学生志愿服务小组在“三月学雷锋”活动中，购买了一批牛奶到敬老院
慰问老人，如果送给每位老人2盒牛奶，那么剩下16盒；如果送给每位老人3盒牛奶，则
正好送完．设敬老院有x位老人，依题意可列方程为 ．
13．（3分）“五一”假期，科科随父母在韶山旅游时购买了10张韶山风景明信片（除图案外，
形状大小、质地等都相同），其中4张印有主席故居图案，3张印有主席铜像图案，3张印有
滴水洞风景图案，他从中任意抽取1张寄给外地工作的姑姑，则恰好抽中印有主席故居图
案明信片的概率是 ．
14．（3分）函数： 中，自变量x的取值范围是 ．
15．（3分）计算： ＝ ．
16．（3分）如图，根据所示程序计算，若输入x＝ ，则输出结果为 ．
第2页（共30页）三、解答题（本大题共10个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程
写在答题卡相应的位置上，满分72分）
17．（6分）解不等式组． ．
18．（6分）先化简，再求值： ，其中x＝﹣2．
19．（6分）如图，C岛位于我南海A港口北偏东60方向，距A港口60 海里处，我海监船从
A港口出发，自西向东航行至B处时，接上级命令赶赴C岛执行任务，此时C岛在B处北
偏西45°方向上，海监船立刻改变航向以每小时60海里的速度沿BC行进，则从B处到达
C岛需要多少小时？
第3页（共30页）20．（6分）2013年4月20日8时，四川省芦山县发生7.0级地震，某市派出抢险救灾工程队
赶往芦山支援，工程队承担了2400米道路抢修任务，为了让救灾人员和物资尽快运抵灾
区，实际施工速度比原计划每小时多修40米，结果提前2小时完成，求原计划每小时抢修
道路多少米？
21．（6分）6月5日是世界环境日，今年“世界环境日”中国的主题为“同呼吸，共奋斗”，
旨在释放和传递：建设美丽中国，人人共享、人人有责的信息，小文积极学习与宣传，并从
四个方面A：空气污染，B：淡水资源危机，C：土地荒漠化，D：全球变暖，对全校同学进行
了随机抽样调查，了解他们在这四个方面中最关注的问题（每人限选一项）．以下是他收
集数据后，绘制的不完整的统计图表：
关注问题 频数 频率
A 24 0.4
B 12 0.2
C n 0.1
D 18 m
合计 a 1
请你根据图表中提供的信息解答以下问题：
（1）根据图表信息，可得a＝ ；
（2）请你将条形图补充完整；
（3）如果小文所在的学校有1200名学生，那么你根据小文提供的信息估计该校关注“全
球变暖”的学生大约有多少人？
22．（6分）莲城超市以10元/件的价格调进一批商品，根据前期销售情况，每天销售量y（件）
第4页（共30页）与该商品定价x（元）是一次函数关系，如图所示．
（1）求销售量y与定价x之间的函数关系式；
（2）如果超市将该商品的销售价定为13元/件，不考虑其它因素，求超市每天销售这种商
品所获得的利润．
23．（8分）5月12日是母亲节，小明去花店买花送给母亲，挑中了象征温馨、母爱的康乃馨和
象征高贵、尊敬的兰花两种花，已知康乃馨每支5元，兰花每支3元，小明只有30元，希望
购买花的支数不少于7支，其中至少有一支是康乃馨．
（1）小明一共有多少种可能的购买方案？列出所有方案；
（2）如果小明先购买一张2元的祝福卡，再从（1）中任选一种方案购花，求他能实现购买
愿望的概率．
24．（8分）在数学活动课中，小辉将边长为 和3的两个正方形放置在直线l上，如图1，他
连结AD、CF，经测量发现AD＝CF．
第5页（共30页）（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？
说明你的理由；
（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF
的长．
25．（10分）如图，在坐标系xOy中，已知D（﹣5，4），B（﹣3，0），过D点分别作DA、DC垂直
于x轴，y轴，垂足分别为A、C两点，动点P从O点出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速
度向右运动，运动时间为t秒．
第6页（共30页）（1）当t为何值时，PC∥DB；
（2）当t为何值时，PC⊥BC；
（3）以点P为圆心，PO的长为半径的 P随点P的运动而变化，当 P与△BCD的边（或
边所在的直线）相切时，求t的值． ⊙ ⊙
26．（10分）如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，A（1，0），B（0，
2），抛物线y＝ x2+bx﹣2的图象过C点．
（1）求抛物线的解析式；
第7页（共30页）（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等
的两部分？
（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出
P点坐标；若不存在，说明理由．
第8页（共30页）2013 年湖南省湘潭市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂
在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）
1．（3分）﹣5的相反数是（ ）
A．5 B． C．﹣5 D．
【考点】14：相反数．
【专题】11：计算题．
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互
为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
【解答】解：﹣5的相反数是5．
故选：A．
【点评】本题主要考查相反数的概念和意义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，不
能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距
离相等．
2．（3分）一组数据1，2，2，3．下列说法正确的是（ ）
A．众数是3 B．中位数是2 C．极差是3 D．平均数是3
【考点】W1：算术平均数；W4：中位数；W5：众数；W6：极差．
【分析】根据极差、众数、中位数及平均数的定义，结合各选项进行判断即可．
【解答】解：A、众数为2，故本选项错误；
B、中位数是2，故本选项正确；
C、极差为2，故本选项错误；
D、平均数为2，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了极差、中位数、平均数、众数的知识，掌握基本定义即可解答本题，难度
一般．
3．（3分）如图是由三个小方体叠成的一个立体图形，那么它的俯视图是（ ）
第9页（共30页）A． B．
C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看易得两个横向排列的正方形．
故选：B．
【点评】本题考查了三视图的知识，属于基础题，要求同学们掌握俯视图是从物体的上面
看得到的视图．
4．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B．正五边形 C．等腰梯形 D．直角三角形
【考点】R5：中心对称图形．
【分析】根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项正确；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转
180°后能够重合．
5．（3分）一元二次方程x2+x﹣2＝0的解为x 、x ，则x •x ＝（ ）
1 2 1 2
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【考点】AB：根与系数的关系．
【专题】11：计算题．
【分析】直接根据根与系数的关系求解．
【解答】解：根据题意得x •x ＝ ＝﹣2．
1 2
第10页（共30页）故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个解
为x ，x ，则x +x ＝﹣ ，x •x ＝ ．
1 2 1 2 1 2
6．（3分）下列命题正确的是（ ）
A．三角形的中位线平行且等于第三边
B．对角线相等的四边形是等腰梯形
C．四条边都相等的四边形是菱形
D．相等的角是对顶角
【考点】O1：命题与定理．
【分析】利用三角形中位线的性质，等腰梯形、菱形、对顶角的性质分别进行判断，即可得
出答案．
【解答】解：A、三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半，故本选项
错误；
B、正方形，矩形对角线均相等，故本选项错误；
C、四条边都相等的四边形是菱形，故本选项正确；
D、相等的角不一定是对顶角，故本选项错误；
故选：C．
【点评】此题考查了命题与定理，熟练掌握各特殊四边形的判定和性质是解答此类问题的
关键．
7．（3分）如图，点P（﹣3，2）是反比例函数 （k≠0）的图象上一点，则反比例函数的解析
式（ ）
A． B． C． D．
【考点】G7：待定系数法求反比例函数解析式．
【专题】16：压轴题．
第11页（共30页）【分析】把P点坐标代入反比例函数解析式即可算出k的值，进而得到答案．
【解答】解：∵点P（﹣3，2）是反比例函数 （k≠0）的图象上一点，
∴k＝﹣3×2＝﹣6，
∴反比例函数的解析式为y＝ ，
故选：D．
【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握凡是反比例函数图
象经过的点必能满足解析式．
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件
使∠DAB＝∠EAC，则添加的条件不能为（ ）
A．BD＝CE B．AD＝AE C．DA＝DE D．BE＝CD
【考点】KH：等腰三角形的性质．
【专题】16：压轴题．
【分析】根据全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质对各选项分析判断后利用排除
法求解．
【解答】解：A、添加BD＝CE，可以利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，再根据全等
三角形对应角相等得到∠DAB＝∠EAC，故本选项错误；
B、添加AD＝AE，根据等边对等角可得∠ADE＝∠AED，然后利用三角形的一个外角等于
与它不相邻的两个内角的和求出∠DAB＝∠EAC，故本选项错误；
C、添加DA＝DE无法求出∠DAB＝∠EAC，故本选项正确；
D、添加BE＝CD可以利用“边角边”证明△ABE和△ACD全等，再根据全等三角形对应
角相等得到∠DAB＝∠EAC，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的
两个内角的和的性质，全等三角形的判定与性质，小综合题，熟练掌握全等三角形的判定
与性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共8个小题，请将答案写在答题卡的相应位置上，每小题3分，满分24
第12页（共30页）分）
9．（3分）计算：|﹣3|＝ 3 ．
【考点】15：绝对值．
【分析】根据负数的绝对值等于这个数的相反数，即可得出答案．
【解答】解：|﹣3|＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了绝对值的性质，正确记忆绝对值的性质是解决问题的关键．
10．（3分）如右图，已知：AB∥CD，∠C＝25°，∠E＝30°，则∠A＝ 55 ° ．
【考点】JA：平行线的性质．
【专题】11：计算题．
【分析】由AB与CD平行，利用两直线平行得到一对同位角相等，求出∠EFD的度数，而
∠EFD为三角形ECF的外角，利用外角性质即可求出∠EFD的度数，即为∠A的度数．
【解答】解：∵∠EFD为△ECF的外角，
∴∠EFD＝∠C+∠E＝55°，
∵CD∥AB，
∴∠A＝∠EFD＝55°．
故答案为：55°
【点评】此题考查了平行线的性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质是解
本题的关键．
11．（3分）到2012年底，湘潭地区总人口约为3020000人，用科学记数法表示这一数为
3.02×10 6 ．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将3020000用科学记数法表示为3.02×106．
故答案为：3.02×106．
第13页（共30页）【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（3分）湖园中学学生志愿服务小组在“三月学雷锋”活动中，购买了一批牛奶到敬老院
慰问老人，如果送给每位老人2盒牛奶，那么剩下16盒；如果送给每位老人3盒牛奶，则
正好送完．设敬老院有x位老人，依题意可列方程为 2 x +1 6 ＝ 3 x ．
【考点】89：由实际问题抽象出一元一次方程．
【分析】根据“送给每位老人2盒牛奶，那么剩下16盒；如果送给每位老人3盒牛奶，则正
好送完”表示出牛奶的总盒数，进而得出答案．
【解答】解：设敬老院有x位老人，依题意可列方程：
2x+16＝3x，
故答案为：2x+16＝3x．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据已知表示出牛奶的总盒数
是解题关键．
13．（3分）“五一”假期，科科随父母在韶山旅游时购买了10张韶山风景明信片（除图案外，
形状大小、质地等都相同），其中4张印有主席故居图案，3张印有主席铜像图案，3张印有
滴水洞风景图案，他从中任意抽取1张寄给外地工作的姑姑，则恰好抽中印有主席故居图
案明信片的概率是 ．
【考点】X4：概率公式．
【分析】由在韶山旅游时购买了10张韶山风景明信片（除图案外，形状大小、质地等都相
同），其中4张印有主席故居图案，3张印有主席铜像图案，3张印有滴水洞风景图案，直接
利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵在韶山旅游时购买了10张韶山风景明信片（除图案外，形状大小、质地等都
相同），其中4张印有主席故居图案，3张印有主席铜像图案，3张印有滴水洞风景图案，
∴恰好抽中印有主席故居图案明信片的概率是： ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．（3分）函数： 中，自变量x的取值范围是 x ≠﹣ 1 ．
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
第14页（共30页）【专题】11：计算题．
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x+1≠0，解可得答
案．
【解答】解：根据题意可得x+1≠0；
解可得x≠﹣1；
故答案为x≠﹣1．
【点评】求解析法表示的函数的自变量取值范围时：当函数表达式是分式时，要注意考虑
分式的分母不能为0．
15．（3分）计算： ＝ 2 ．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简等考点．针对每个考点分
别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝ × +1
＝1+1
＝2．
故答案为2．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目
的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式
化简等考点的运算．
16．（3分）如图，根据所示程序计算，若输入x＝ ，则输出结果为 2 ．
【考点】2B：估算无理数的大小；E5：函数值．
第15页（共30页）【专题】16：压轴题；27：图表型．
【分析】根据 ＞1选择左边的函数关系式进行计算即可得解．
【解答】解：∵x＝ ＞1，
∴y＝ 2﹣1＝3﹣1＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了函数值的计算，比较简单，准确选择函数关系式是解题的关键．
三、解答题（本大题共10个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程
写在答题卡相应的位置上，满分72分）
17．（6分）解不等式组． ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”找出公共解集即
可．
【解答】解： ，
由 得：x≥2，
由①得：x≤4，
不②等式组的解集为：2≤x≤4．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是掌握解集的规律：同大取大；同
小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
18．（6分）先化简，再求值： ，其中x＝﹣2．
【考点】6D：分式的化简求值．
【专题】11：计算题．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x＝2代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝ ÷
＝ ×
＝ ，
当x＝﹣2时，原式＝﹣ ＝﹣1．
第16页（共30页）【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
19．（6分）如图，C岛位于我南海A港口北偏东60方向，距A港口60 海里处，我海监船从
A港口出发，自西向东航行至B处时，接上级命令赶赴C岛执行任务，此时C岛在B处北
偏西45°方向上，海监船立刻改变航向以每小时60海里的速度沿BC行进，则从B处到达
C岛需要多少小时？
【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【分析】分别在Rt△ACD与Rt△BCD中，利用三角函数的性质，即可求得BC的长，继而
求得答案．
【解答】解：∵在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，
∴CD＝ ×60 ＝30 海里，
∵在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，
∴BC＝30 × ＝60海里，
60÷60＝1（小时）．
答：从B处到达C岛需要1小时．
【点评】此题考查了方向角问题．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解
直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．
20．（6分）2013年4月20日8时，四川省芦山县发生7.0级地震，某市派出抢险救灾工程队
赶往芦山支援，工程队承担了2400米道路抢修任务，为了让救灾人员和物资尽快运抵灾
区，实际施工速度比原计划每小时多修40米，结果提前2小时完成，求原计划每小时抢修
道路多少米？
【考点】B7：分式方程的应用．
【分析】首先设原计划每小时抢修道路x米，则实际施工速度为每小时抢修道路（x+40）米，
根据题意可得等量关系：原计划修2400米道路所用时间﹣实际修2400米道路所用时间
＝2小时，根据等量关系，列出方程即可．
【解答】解：设原计划每小时抢修道路x米，由题意得：
第17页（共30页）﹣ ＝2，
解得：x ＝200，x ＝﹣240，
1 2
经检验：x ＝200，x ＝﹣240，都是原分式方程的解，
1 2
x＝﹣240不合题意，舍去，
答：原计划每小时抢修道路200米．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，
列出方程，注意解出分式方程后要进行检验．
21．（6分）6月5日是世界环境日，今年“世界环境日”中国的主题为“同呼吸，共奋斗”，
旨在释放和传递：建设美丽中国，人人共享、人人有责的信息，小文积极学习与宣传，并从
四个方面A：空气污染，B：淡水资源危机，C：土地荒漠化，D：全球变暖，对全校同学进行
了随机抽样调查，了解他们在这四个方面中最关注的问题（每人限选一项）．以下是他收
集数据后，绘制的不完整的统计图表：
关注问题 频数 频率
A 24 0.4
B 12 0.2
C n 0.1
D 18 m
合计 a 1
请你根据图表中提供的信息解答以下问题：
（1）根据图表信息，可得a＝ 6 0 ；
（2）请你将条形图补充完整；
（3）如果小文所在的学校有1200名学生，那么你根据小文提供的信息估计该校关注“全
球变暖”的学生大约有多少人？
【考点】V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；VC：条形统计图．
【分析】（1）根据空气污染的频数除以对应的频率即可求出a的值；
（2）由a的值，减去其它频数求出n的值，补全条形统计图即可；
第18页（共30页）（3）求出表格中m的值，乘以1200即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：24÷0.4＝60，即a＝60；
故答案为：60；
（2）根据题意得：n＝60﹣（24+12+18）＝6，
补全条形统计图，如图所示；
（3）由表格得：m＝0.3，
根据题意得：该校关注“全球变暖”的学生大约有1200×0.3＝360（人）．
【点评】此题考查了条形统计图，频数（率）分布表，以及用样本估计总体，弄清题意是解本
题的关键．
22．（6分）莲城超市以10元/件的价格调进一批商品，根据前期销售情况，每天销售量y（件）
与该商品定价x（元）是一次函数关系，如图所示．
（1）求销售量y与定价x之间的函数关系式；
（2）如果超市将该商品的销售价定为13元/件，不考虑其它因素，求超市每天销售这种商
品所获得的利润．
【考点】FH：一次函数的应用．
【分析】（1）由图象可知y与x是一次函数关系，又由函数图象过点（11，10）和（15，2），则
用待定系数法即可求得y与x的函数关系式；
（2）根据（1）求出的函数关系式，再求出每件该商品的利润，即可求得求超市每天销售这
种商品所获得的利润．
【解答】解：（1）设y＝kx+b（k≠0），由图象可知，
，
第19页（共30页）解得 ，
故销售量y与定价x之间的函数关系式是：y＝﹣2x+32；
（2）超市每天销售这种商品所获得的利润是：
W＝（﹣2x+32）（13﹣10）＝﹣6x+96，
当x＝13（元）时，超市每天销售这种商品所获得的利润是：
W＝﹣6×13+96＝18（元）．
【点评】此题考查了一次函数的应用问题，此题综合性较强，难度一般，解题的关键是理解
题意，根据题意求得函数解析式，注意待定系数法的应用，注意数形结合思想的应用．
23．（8分）5月12日是母亲节，小明去花店买花送给母亲，挑中了象征温馨、母爱的康乃馨和
象征高贵、尊敬的兰花两种花，已知康乃馨每支5元，兰花每支3元，小明只有30元，希望
购买花的支数不少于7支，其中至少有一支是康乃馨．
（1）小明一共有多少种可能的购买方案？列出所有方案；
（2）如果小明先购买一张2元的祝福卡，再从（1）中任选一种方案购花，求他能实现购买
愿望的概率．
【考点】CE：一元一次不等式组的应用．
【分析】（1）设购买康乃馨x支，购买兰花y支，根据条件建立不等式组，运用分类讨论思
想求出其解即可．
（2）当小明先购买一张2元的祝福卡，小明购花的钱就只有28元了，求出能够购花的方案，
就可以求出实现愿望的概率．
【解答】解：（1）设购买康乃馨x支，购买兰花y支，由题意，得
，
∵x、y为正整数，
当x＝1时，y＝6，7，8符合题意，
当x＝2时，y＝5，6符合题意，
当x＝3时，y＝4，5符合题意，
当x＝4时，y＝3符合题意，
当x＝5时，y＝1舍去，
当x＝6时，y＝0舍去．
第20页（共30页）共有8种购买方案，
方案1：购买康乃馨1支，购买兰花6支；
方案2：购买康乃馨1支，购买兰花7支；
方案3：购买康乃馨1支，购买兰花8支；
方案4：购买康乃馨2支，购买兰花5支；
方案5：购买康乃馨2支，购买兰花6支；
方案6：购买康乃馨3支，购买兰花4支；
方案7：购买康乃馨3支，购买兰花5支；
方案8：购买康乃馨4支，购买兰花3支；
（2）由题意，得，
，
购花的方案有：
方案1：购买康乃馨1支，购买兰花6支；
方案2：购买康乃馨1支，购买兰花7支；
方案3：购买康乃馨2支，购买兰花5支；
方案4：购买康乃馨2支，购买兰花6支；
方案5：购买康乃馨3支，购买兰花4支；
∴小明实现购买方案的愿望有5种，而总共有8中购买方案，
∴小明能实现购买愿望的概率为P＝ ．
【点评】本题考查了列不等式组及运用分类讨论思想解答方案设计的运用，概率在实际问
题中的运用，解答时根据不等式组及分类讨论思想求出购买方案是关键．
24．（8分）在数学活动课中，小辉将边长为 和3的两个正方形放置在直线l上，如图1，他
连结AD、CF，经测量发现AD＝CF．
（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？
说明你的理由；
（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF
的长．
第21页（共30页）【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质．
【分析】（1）根据正方形的性质可得AO＝CO，OD＝OF，∠AOC＝∠DOF＝90°，然后求出
∠AOD＝∠COF，再利用“边角边”证明△AOD和△COF全等，根据全等三角形对应边
相等即可得证；
（2）与（1）同理求出CF＝AD，连接DF交OE于G，根据正方形的对角线互相垂直平分可
得DF⊥OE，DG＝OG＝ OE，再求出AG，然后利用勾股定理列式计算即可求出AD．
【解答】解：（1）AD＝CF．
理由如下：在正方形ABCO和正方形ODEF中，AO＝CO，OD＝OF，∠AOC＝∠DOF＝
90°，
∴∠AOC+∠COD＝∠DOF+∠COD，
即∠AOD＝∠COF，
在△AOD和△COF中， ，
∴△AOD≌△COF（SAS），
∴AD＝CF；
（2）与（1）同理求出CF＝AD，
如图，连接DF交OE于G，则DF⊥OE，DG＝OG＝ OE，
∵正方形ODEF的边长为 ，
∴OE＝ OD＝ × ＝2，
∴DG＝OG＝ OE＝ ×2＝1，
∴AG＝AO+OG＝3+1＝4，
第22页（共30页）在Rt△ADG中，AD＝ ＝ ＝ ，
∴CF＝AD＝ ．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟练掌握
正方形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分是解题的关键，
（2）作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
25．（10分）如图，在坐标系xOy中，已知D（﹣5，4），B（﹣3，0），过D点分别作DA、DC垂直
于x轴，y轴，垂足分别为A、C两点，动点P从O点出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速
度向右运动，运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，PC∥DB；
（2）当t为何值时，PC⊥BC；
（3）以点P为圆心，PO的长为半径的 P随点P的运动而变化，当 P与△BCD的边（或
边所在的直线）相切时，求t的值． ⊙ ⊙
【考点】SO：相似形综合题．
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）过D点分别作DA、DC垂直于x轴，y轴，垂足分别为A、C两点，求出DC＝5，
OC＝4，OB＝3，根据四边形DBPC是平行四边形求出DC＝BP＝5，求出OP＝2即可；
（2）证△PCO∽△CBO，得出 ＝ ，求出OP＝ 即可；
（3）设 P的半径是R，分为三种情况： 当 P与直线DC相切时，过P作PM⊥DC交
DC延长⊙线于M，求出PM、OP的长即可①； ⊙
第23页（共30页）当 P与BC相切时，根据△COB∽△PBM得出 ＝ ，求出R＝12即可； 当 P
② ⊙ ③ ⊙
与DB相切时，证△ADB∽△MPB得出 ＝ ，求出R即可．
【解答】解：（1）∵D（﹣5，4），B（﹣3，0），过D点分别作DA、DC垂直于x轴，y轴，垂足分
别为A、C两点，
∴DC＝5，OC＝4，OB＝3，
∵DC⊥y轴，x轴⊥y轴，
∴DC∥BP，
∵PC∥DB，
∴四边形DBPC是平行四边形，
∴DC＝BP＝5，
∴OP＝5﹣3＝2，
2÷1＝2，
即当t为2秒时，PC∥BD；
（2）∵PC⊥BC，x轴⊥y轴，
∴∠COP＝∠COB＝∠BCP＝90∴，
∴∠PCO+∠BCO＝90°，∠CPO+∠PCO＝90°，
∴∠CPO＝∠BCO，
∴△PCO∽△CBO，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴OP＝ ，
第24页（共30页）÷1＝ ，
即当t为 秒时，PC⊥BC；
（3）设 P的半径是R，
分为三种⊙情况： 当 P与直线DC相切时，
如图1，过P作P①M⊥⊙DC交DC延长线于M，
则PM＝OC＝4＝OP，
4÷1＝4，
即t＝4；
如图2，当 P与BC相切时，
② ⊙
∵∠BOC＝90°，BO＝3，OC＝4，由勾股定理得：BC＝5，
第25页（共30页）∵∠PMB＝∠COB＝90°，∠CBO＝∠PBM，
∴△COB∽△PMB，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
R＝12，
12÷1＝12，
即t＝12秒；
根据勾股定理得：BD＝ ＝2 ，
③
如图3，当 P与DB相切时，
⊙
∵∠PMB＝∠DAB＝90°，∠ABD＝∠PBM，
∴△ADB∽△MPB，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
R＝6 +12；
（6 +12）÷1＝6 +12，
即t＝（6 +12）秒．
第26页（共30页）【点评】本题考查了勾股定理，切线的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要
考查学生的计算和推理能力．
26．（10分）如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，A（1，0），B（0，
2），抛物线y＝ x2+bx﹣2的图象过C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等
的两部分？
（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出
P点坐标；若不存在，说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】16：压轴题．
【分析】如解答图所示：
（1）首先构造全等三角形△AOB≌△CDA，求出点C的坐标；然后利用点C的坐标求出抛
物线的解析式；
（2）首先求出直线BC与AC的解析式，设直线l与BC、AC交于点E、F，则可求出EF的表
达式；根据S△CEF ＝ S△ABC ，列出方程求出直线l的解析式；
（3）首先作出 ▱PACB，然后证明点P在抛物线上即可．
【解答】解：（1）如答图1所示，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD+∠ACD＝90°．
∵∠OBA+∠OAB＝90°，∠OAB+∠CAD＝90°，
∴∠OAB＝∠ACD，∠OBA＝∠CAD．
∵在△AOB与△CDA中，
第27页（共30页）∴△AOB≌△CDA（ASA）．
∴CD＝OA＝1，AD＝OB＝2，
∴OD＝OA+AD＝3，
∴C（3，1）．
∵点C（3，1）在抛物线y＝ x2+bx﹣2上，
∴1＝ ×9+3b﹣2，解得：b＝﹣ ．
∴抛物线的解析式为：y＝ x2﹣ x﹣2．
（2）在Rt△AOB中，OA＝1，OB＝2，由勾股定理得：AB＝ ．
∴S△ABC ＝ AB2＝ ．
设直线BC的解析式为y＝kx+b，∵B（0，2），C（3，1），
∴ ，
解得k＝﹣ ，b＝2，
∴y＝﹣ x+2．
同理求得直线AC的解析式为：y＝ x﹣ ．
如答图1所示，
第28页（共30页）设直线l与BC、AC分别交于点E、F，则EF＝（﹣ x+2）﹣（ x﹣ ）＝ ﹣ x．
△CEF中，EF边上的高h＝OD﹣x＝3﹣x．
由题意得：S△CEF ＝ S△ABC ，
即： EF•h＝ S△ABC ，
∴ （ ﹣ x）•（3﹣x）＝ × ，
整理得：（3﹣x）2＝3，
解得x＝3﹣ 或x＝3+ （不合题意，舍去），
∴当直线l解析式为x＝3﹣ 时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分．
（3）存在．
如答图2所示，
过点C作CG⊥y轴于点G，则CG＝OD＝3，OG＝1，BG＝OB﹣OG＝1．
过点A作AP∥BC交y轴于点W，
∵四边形ACBP是平行四边形，
∴AP＝BC，连接BP，则四边形PACB为平行四边形．
过点P作PH⊥x轴于点H，
∵BC∥AP，
∴∠CBO＝∠AWO，
∵PH∥WO，
∴∠APH＝∠AWO，
第29页（共30页）∴∠CBG＝∠APH，
在△PAH和△BCG中，
∴△PAH≌△BCG（AAS），
∴PH＝BG＝1，AH＝CG＝3，
∴OH＝AH﹣OA＝2，
∴P（﹣2，1）．
抛物线解析式为：y＝ x2﹣ x﹣2，当x＝﹣2时，y＝1，即点P在抛物线上．
∴存在符合条件的点P，点P的坐标为（﹣2，1）．
【点评】本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性
质、待定系数法、全等三角形、平行四边形、等腰直角三角形等知识点．试题难度不大，但
需要仔细分析，认真计算．
第30页（共30页）
