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2015 年湖南省湘潭市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂
在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）
1．在数轴上表示﹣2的点与表示3的点之间的距离是（ ）
A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1
2．（3分）（2015•湘潭）下面四个立体图形中，三视图完全相同的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（2015•湘潭）下列计算正确的是（ ）
A． B．3﹣1=﹣3 C．（a4）2=a8 D．a6÷a2=a3
4．（3分）（2015•湘潭）在△ABC中，D、E为边AB、AC的中点，已知△ADE的面积为4，那么
△ABC的面积是（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
5．（3分）（2015•湘潭）下列四个命题中，真命题是（ ）
A．“任意四边形内角和为360°”是不可能事件
B．“湘潭市明天会下雨”是必然事件
C．“预计本题的正确率是95%”表示100位考生中一定有95人做对
D．
抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是
6．（3分）（2015•湘潭）如图，已知直线AB∥CD，且直线EF分别交AB、CD于M、N两点，NH是
∠MND的角平分线．若∠AMN=56°，则∠MNH的度数是（ ）A．28° B．30° C．34° D．56°
7．（3分）（2015•湘潭）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠DAB=60°，则∠BCD的度
数是（ ）
A．60° B．90° C．100° D．120°
8．（3分）（2015•湘潭）如图，观察二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：
①a+b+c＞0，②2a+b＞0，③b2﹣4ac＞0，④ac＞0．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
二、填空题（本题共8个小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）
9．（3分）（2015•湘潭） 的倒数是 ．
10．（3分）（2015•湘潭）计算：23﹣（﹣2）= ．
11．（3分）（2015•湘潭）在今年的湘潭市“党和人民满意的好老师”的评选活动中，截止到5
月底，王老师获得网络点赞共计183000个，用科学记数法表示这个数为 ．12．（3分）（2015•湘潭）高一新生入学军训射击训练中，小张同学的射击成绩（单位：环）为：
5、7、9、10、7，则这组数据的众数是 ．
13．（3分）（2015•湘潭）湘潭盘龙大观园开园啦！其中杜鹃园的门票售价为：成人票每张50
元，儿童票每张30元．如果某日杜鹃园售出门票100张，门票收入共4000元．那么当日售出
成人票 张．
14．（3分）（2015•湘潭）已知菱形ABCD的面积为24cm2，若对角线AC=6cm，则这个菱形的边
长为 cm．
15．（3分）（2015•湘潭）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB=3，则
BE= ．
16．（3分）（2015•湘潭）小华为参加毕业晚会演出，准备制一顶圆锥形彩色纸帽，如图所示，
如果纸帽的底面半径为8cm，母线长为25cm，那么制作这顶纸帽至少需要彩色纸板的面积为
cm2．（结果保留π）
三、解答题（本大题共10个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程
写在答题卡相应位置上，满分72分）
17．（6分）（2015•湘潭）解不等式组： ．
18．（6分）（2015•湘潭）先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中x= +1．19．（6分）（2015•湘潭）“东方之星”客船失事之后，本着“关爱生命，救人第一”的宗旨．
搜救部门紧急派遣直升机到失事地点进行搜救，搜救过程中，假设直升机飞到A处时，发现
前方江面上B处有一漂浮物，从A测得B处的俯角为30°，已知该直升机一直保持在距江面
100米高度飞行搜索，飞行速度为10米每秒，求该直升机沿直线方向朝漂浮物飞行多少秒可
到达漂浮物的正上方？（结果精确到0.1， ≈1.73）
20．（6分）（2015•湘潭）2015年湘潭市中考招生政策发生较大改变，其中之一是：省级示范性
高中批次志愿中，每个考生可填报两所学校（有先后顺序），我市某区域的初三毕业生可填报
的省级示范性高中有A、B、C、D四所．
（1）请列举出该区域学生填报省级示范性高中批次志愿的所有可能结果；
（2）求填报方案中含有A学校的概率．
21．（6分）（2015•湘潭）水利部确定每年的3月22日至28日为“中国水周”（1994年以前
为7月1日至7日），从1991年起，我国还将每年5月的第二周作为城市节约用水宣传周．某
社区为了进一步提高居民珍惜水、保护水和水忧患意识，提倡节约用水，从本社区5000户家庭中随机抽取100户，调查他们家庭每月的平均用水量，并将调查的结果绘制成如下的两幅
不完整的统计图表：
用户月用水量频数分布表
平均用水量（吨） 频数 频率
3～6吨 10 0.1
6～9吨 m 0.2
9～12吨 36 0.36
12～15吨 25 n
15～18吨 9 0.09
请根据上面的统计图表，解答下列问题：
（1）在频数分布表中：m= ，n= ；
（2）根据题中数据补全频数直方图；
（3）如果自来水公司将基本月用水量定为每户每月12吨，不超过基本月用水量的部分享受
基本价格，超出基本月用水量的部分实行加价收费，那么该社区用户中约有多少户家庭能够
全部享受基本价格？
22．（6分）（2015•湘潭）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边
AB上的点E处．
（1）求证：△BDE∽△BAC；
（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．23．（8分）（2015•湘潭）如图，已知一次函数y=x+b与反比例函数y= 的图象交于A、B两点，
其中点A的坐标为（2，3）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）请根据图象直接写出不等式x+b＞ 的解集．
24．（8分）（2015•湘潭）阅读材料：用配方法求最值．
已知x，y为非负实数，
∵x+y﹣2 ≥0∴x+y≥2 ，当且仅当“x=y”时，等号成立．
示例：当x＞0时，求y=x+ +4的最小值．
解： +4=6，当x= ，即x=1时，y的最小值为6．
[来源:Zxxk.Com]
（1）尝试：当x＞0时，求y= 的最小值．
（2）问题解决：随着人们生活水平的快速提高，小轿车已成为越来越多家庭的交通工具，假设
某种小轿车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，n年的保养、维
护费用总和为 万元．问这种小轿车使用多少年报废最合算（即：使用多少年的年平均费
用最少，年平均费用= ）？最少年平均费用为多少万元？
25．（10分）（2015•湘潭）如图，已知AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线MA，P为直线
MA上一动点，以点P为圆心，PA为半径作⊙P，交⊙O于点C，连接PC、OP、BC．
（1）知识探究（如图1）：
①判断直线PC与⊙O的位置关系，请证明你的结论；
②判断直线OP与BC的位置关系，请证明你的结论．
（2）知识运用（如图2）：
当PA＞OA时，直线PC交AB的延长线于点D，若BD=2AB，求tan∠ABC的值．26．（10分）（2015•湘潭）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
交y轴于点C，连接BC，动点P以每秒1个单位长度的速度从A向B运动，动点Q以每秒
个单位长度的速度从B向C运动，P、Q同时出发，连接PQ，当点Q到达C点时，P、Q同时停止
运动，设运动时间为t秒．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，当△BPQ为直角三角形时，求t的值；
（3）如图2，当t＜2时，延长QP交y轴于点M，在抛物线上是否存在一点N，使得PQ的中点
恰为MN的中点？若存在，求出点N的坐标与t的值；若不存在，请说明理由．2015 年湖南省湘潭市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂
在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）
1．在数轴上表示﹣2的点与表示3的点之间的距离是（ ）
A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1
考点：数轴．
.
分析：根据正负数的运算方法，用3减去﹣2，求出在数轴上表示﹣2的点与表示3的点之间
的距离为多少即可．
解答：解：3﹣（﹣2）
=2+3
=5．
所以在数轴上表示﹣2的点与表示3的点之间的距离为5．
故选A
点评：此题主要考查了正负数的运算方法，关键是根据在数轴上表示﹣2的点与表示3的点
之间的距离列出式子．
2．（3分）（2015•湘潭）下面四个立体图形中，三视图完全相同的是（ ）
A． B． C． D．
考点：简单几何体的三视图．
.
分析：根据三视图的概念求解．
解答：解：A、主视图、左试图是矩形，俯视图是圆，故A错误；
B、主视图、左视图、俯视图都是圆，故B正确；
C、主视图、左视图都是三角形，俯视图是圆，故C错误；
D、主视图、俯视图都是矩形，左视图是三角形，故D错误；
故选：B．
点评：本体考查了简单几何体的三视图，从正面看得到的视图是主视图，从左边看得到的视
图是左视图，从上面看得到的视图是俯视图．3．（3分）（2015•湘潭）下列计算正确的是（ ）
A． B．3﹣1=﹣3 C．（a4）2=a8 D．a6÷a2=a3
考点：幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；负整数指数幂；二次根式的加减法．
.
分析：A．不是同类二次根式，不能合并；B．依据负整数指数幂的运算法则计算即可；C．依据
幂的乘方法则计算即可；D．依据同底数幂的除法法则计算即可．
解答：解：A．不是同类二次根式，不能合并，故A错误；
B． ，故B错误；
C．（a4）2=a4×2=a8，故C正确；
D．a6÷a2=a6﹣2=a4，故D错误．
故选：C．
点评：本题主要考查的是数与式的运算，掌握同类二次根式的定义、负整数指数幂、积的乘
方、幂的乘方的运算法则是解题的关键．
4．（3分）（2015•湘潭）在△ABC中，D、E为边AB、AC的中点，已知△ADE的面积为4，那么
△ABC的面积是（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
考点：相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．
.
分析：
由条件可以知道DE是△ABC的中位线，根据中位线的性质就可以求出 ，再根据
相似三角形的性质就可以得出结论．
解答：解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC， ，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，∵△ADE的面积为4，
∴ ，
∴S =16．
△ABC
故选：C．
点评：本题考查中位线的判定及性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时证明
△ADE∽△ABC是解答本题的关键．
5．（3分）（2015•湘潭）下列四个命题中，真命题是（ ）
A．“任意四边形内角和为360°”是不可能事件
B．“湘潭市明天会下雨”是必然事件
C．“预计本题的正确率是95%”表示100位考生中一定有95人做对
D．
抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是
考点：命题与定理．
.
分析：根据四边形内角和和不可能事件的定义对A进行判断；根据必然事件的定义对B进行
判断；根据估计的含义对C进行判断；根据概率的定义对D进行判断．
解答：解：A、“任意四边形内角和为360°”是必然事件，错误；
B、“湘潭市明天会下雨”是随机事件，错误；
C、“预计本题的正确率是95%”表示100位考生中不一定有95人做对，错误；
D、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是 ，正确．
故选D．
点评：本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论
两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如
果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
6．（3分）（2015•湘潭）如图，已知直线AB∥CD，且直线EF分别交AB、CD于M、N两点，NH是
∠MND的角平分线．若∠AMN=56°，则∠MNH的度数是（ ）A．28° B．30° C．34° D．56°
考点：平行线的性质．
.
分析：先根据平行线的性质求出∠MND的度数，再由角平分线的定义即可得出结论．
解答：解：∵直线AB∥CD，∠AMN=56°，
∴∠MND=∠AMN=56°．
∵NH是∠MND的角平分线，
∴∠MNH= ∠MND=28°．
故选A．
点评：本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
7．（3分）（2015•湘潭）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠DAB=60°，则∠BCD的度
数是（ ）
A．60° B．90° C．100° D．120°
考点：圆内接四边形的性质．
.
分析：根据圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，求解．
解答：解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠DAB+∠DCB=180°．
∵∠DAB=60°，
∴∠BCD=180°﹣60°=120°．
故选D．点评：本题考查了圆内接四边形的性质：解答本题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补的
性质．
8．（3分）（2015•湘潭）如图，观察二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：
①a+b+c＞0，②2a+b＞0，③b2﹣4ac＞0，④ac＞0．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
考点：二次函数图象与系数的关系．
.
分析：
令x=1代入可判断①；由对称轴x=﹣ 的范围可判断②；由图象与x轴有两个交点可
判断③；由开口方向及与x轴的交点可分别得出a、c的符号，可判断④．
解答：解：由图象可知当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
故①不正确；
由图象可知0＜﹣ ＜1，
∴ ＞﹣1，
又∵开口向上，
∴a＞0，
∴b＞﹣2a，
∴2a+b＞0，
故②正确；
由图象可知二次函数与x轴有两个交点，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即b2﹣4ac＞0，
故③正确；
由图象可知抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴的下方，∴a＞0，c＜0，
∴ac＜0，
故④不正确；
综上可知正确的为②③，
故选C．
点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的开口方向、对称轴、与x轴的交
点等知识是解题的关键．
二、填空题（本题共8个小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）
9．（3分）（2015•湘潭） 的倒数是 2 ．
考点：倒数．
.
分析：
根据倒数的定义， 的倒数是2．
解答：
解： 的倒数是2，
故答案为：2．
点评：此题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
10．（3分）（2015•湘潭）计算：23﹣（﹣2）= 1 0 ．
考点：有理数的乘方；有理数的减法．
.
分析：根据有理数的混合计算解答即可．
解答：解：23﹣（﹣2）
=8+2
=10．
故答案为：10．
点评：此题考查有理数的乘方，关键是根据有理数的乘方得出23=8，再与2相加．
11．（3分）（2015•湘潭）在今年的湘潭市“党和人民满意的好老师”的评选活动中，截止到5
月底，王老师获得网络点赞共计183000个，用科学记数法表示这个数为 1.83×1 0 5 ．
考点：科学记数法—表示较大的数．
.
[来源:学&科&网]
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：将183000用科学记数法表示为1.83×105．
故答案为1.83×105．
点评：本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（3分）（2015•湘潭）高一新生入学军训射击训练中，小张同学的射击成绩（单位：环）为：
5、7、9、10、7，则这组数据的众数是 7 ．
考点：众数．
.
分析：根据众数的定义即可求解．
解答：解：这组数据的众数是7．
故答案为：7．
点评：本题主要考查了众数的概念．关键是根据众数是一组数据中出现次数最多的数据，注
意众数可以不止一个．
13．（3分）（2015•湘潭）湘潭盘龙大观园开园啦！其中杜鹃园的门票售价为：成人票每张50
元，儿童票每张30元．如果某日杜鹃园售出门票100张，门票收入共4000元．那么当日售出
成人票 5 0 张．
考点：一元一次方程的应用．
.
分析：根据总售出门票100张，共得收入4000元，可以列出方程求解即可．
解答：解：设当日售出成人票x张，儿童票（100﹣x）张，
可得：50x+30（100﹣x）=4000，
解得：x=50．
答：当日售出成人票50张．
故答案为：50．
点评：此题考查一元一次方程的应用，本题解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的
条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
14．（3分）（2015•湘潭）已知菱形ABCD的面积为24cm2，若对角线AC=6cm，则这个菱形的边
长为 5 cm．考点：菱形的性质．
.
分析：根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求出另一条对角线BD的长．然后根据勾股
定理即可求得边长．
解答：
解：菱形ABCD的面积= AC•BD，
∵菱形ABCD的面积是24cm2，其中一条对角线AC长6cm，
∴另一条对角线BD的长=8cm；
边长是： =5cm．
故答案为：5．
点评：本题考查了菱形的性质．菱形被对角线分成4个全等的直角三角形，以及菱形的面积
的计算，理解菱形的性质是关键．
15．（3分）（2015•湘潭）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB=3，则
BE= 3 ．
考点：旋转的性质．
.
分析：根据旋转的性质得出∠BAE=60°，AB=AE，得出△BAE是等边三角形，进而得出BE=3即
可．
解答：解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，
∴∠BAE=60°，AB=AE，
∴△BAE是等边三角形，
∴BE=3．
故答案为：3．
点评：本题考查旋转的性质，关键是根据旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的
大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转
角度．16．（3分）（2015•湘潭）小华为参加毕业晚会演出，准备制一顶圆锥形彩色纸帽，如图所示，
如果纸帽的底面半径为8cm，母线长为25cm，那么制作这顶纸帽至少需要彩色纸板的面积为
200π cm2．（结果保留π）
考点：圆锥的计算．
.
分析：圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
解答：解：底面半径为8cm，
则底面周长=16π，
侧面面积= ×16π×25=200πcm2．
故答案为200π．
点评：本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式，熟练记忆圆锥的侧面
积计算公式是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共10个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程
写在答题卡相应位置上，满分72分）
17．（6分）（2015•湘潭）解不等式组： ．
考点：解一元一次不等式组．
.
分析：先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
解答：
解： ，
由①得，x＞﹣2，
由②得，x＜3．
所以，不等式组的解集为﹣2＜x＜3．
点评：本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等
式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．18．（6分）（2015•湘潭）先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中x= +1．
考点：分式的化简求值．
.
分析：首先将小括号内的部分进行通分、计算，然后将除法转化为乘法，接下来再进行分解、
约分，最后代数求值即可．
解答：
解：原式=
=
=
= ，
将x= +1代入得：原式= = ．
点评：本题主要考查的是分式的化简与计算，掌握分式的通分、约分、分式的减法、分式的乘
法、除法法则是解题的关键．
19．（6分）（2015•湘潭）“东方之星”客船失事之后，本着“关爱生命，救人第一”的宗旨．
搜救部门紧急派遣直升机到失事地点进行搜救，搜救过程中，假设直升机飞到A处时，发现
前方江面上B处有一漂浮物，从A测得B处的俯角为30°，已知该直升机一直保持在距江面
100米高度飞行搜索，飞行速度为10米每秒，求该直升机沿直线方向朝漂浮物飞行多少秒可
到达漂浮物的正上方？（结果精确到0.1， ≈1.73）
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
.
分析：
作AD⊥BD于点D，由题意得：∠ABC=30°，AD=100米，在Rt△ABD中， =tan∠ABC，求
得BD的长后除以速度即可得到时间．
解答：解：作AD⊥BD于点D，由题意得：∠ABC=30°，AD=100米，
在Rt△ABD中， =tan∠ABC，
[来源:学#科#网Z#X#X#K]
∴BD= = =100 米，
∵飞行速度为10米每秒，
∴飞行时间为100 ÷10=10 ≈17.3秒，
∴该直升机沿直线方向朝漂浮物飞行17.3秒可到达漂浮物的正上方．
点评：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是能够从实际问题中整理出直角三角
形，难度不大．
20．（6分）（2015•湘潭）2015年湘潭市中考招生政策发生较大改变，其中之一是：省级示范性
高中批次志愿中，每个考生可填报两所学校（有先后顺序），我市某区域的初三毕业生可填报
的省级示范性高中有A、B、C、D四所．
（1）请列举出该区域学生填报省级示范性高中批次志愿的所有可能结果；
（2）求填报方案中含有A学校的概率．
考点：列表法与树状图法．
.
分析：（1）首先根据题意画出树状图，从而可得到所有可能结果；
（2）根据树状图找出所有含有A的结果，然后再利用概率公式计算即可．
解答：解：（1）该区域学生填报省级示范性高中批次志愿的所有可能结果如下图所示：
（2）根据树状图可知：该区域学生填报省级示范性高中批次志愿的所有可能结果共有
12种，其中含有A的共有6种，
故填报方案中含有A学校的概率= ．点评：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，
那么事件A的概率P（A）= ．
21．（6分）（2015•湘潭）水利部确定每年的3月22日至28日为“中国水周”（1994年以前
为7月1日至7日），从1991年起，我国还将每年5月的第二周作为城市节约用水宣传周．某
社区为了进一步提高居民珍惜水、保护水和水忧患意识，提倡节约用水，从本社区5000户家
庭中随机抽取100户，调查他们家庭每月的平均用水量，并将调查的结果绘制成如下的两幅
不完整的统计图表：
用户月用水量频数分布表
平均用水量（吨） 频数频率
3～6吨 10 0.1
6～9吨 m 0.2
9～12吨 36 0.36
12～15吨 25 n
[来源:学+科+网Z+X+X+K]
15～18吨 9 0.09
请根据上面的统计图表，解答下列问题：
（1）在频数分布表中：m= 2 0 ，n= 0.2 5 ；
（2）根据题中数据补全频数直方图；
（3）如果自来水公司将基本月用水量定为每户每月12吨，不超过基本月用水量的部分享受
基本价格，超出基本月用水量的部分实行加价收费，那么该社区用户中约有多少户家庭能够
全部享受基本价格？
考点：频数（率）分布直方图；频数（率）分布表．
.
分析：（1）根据频率=频数÷数据总数，可得到m÷100=0.2，可求得m=20，然后利用频率=频数÷数据可求得n的值；
（2）根据（1）中的结果画出统计图即可；
（3）求得100户家庭中能够全部享受基本价的频数，然后再乘5即可．
解答：解：（1）m÷100=02，
解得m=20，
n=25÷100=0.25；
故答案为：20；0.25；
（2）补全频数直方图如图：
（3）（10+20+36）×5=330（户）．
答：该社区用户中约有330户家庭能够全部享受基本价格．
点评：本题主要考查的是统计表和统计图的应用，掌握频数、总数、频率之间的关系是解题的
关键．
22．（6分）（2015•湘潭）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边
AB上的点E处．
（1）求证：△BDE∽△ BAC；
（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．
考点：相似三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．
.
分析：（1）根据折叠的性质得出∠C=∠AED=90°，利用∠DEB=∠C，∠B=∠B证明三角形相似即
可；（2）由折叠的性质知CD=DE，AC=AE．根据题意在Rt△BDE中运用勾股定理求DE，进而
得出AD即可．
解答：证明：（1）∵∠C=90°，△ACD沿AD折叠，
∴∠C=∠AED=90°，
∴∠DEB=∠C=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC；
（2）由勾股定理得，AB=10．
由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°．
∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4，
在Rt△BDE中，由勾股定理得，
DE2+BE2=BD2，
即CD2+42=（8﹣CD）2，
解得：CD=3，
在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2+CD2=AD2，
即32+62=AD2，
解得：AD= ．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，关键是根据1、折叠的性质：折叠是一种对称变
换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，
对应边和对应角相等；2、勾股定理求解．
23．（8分）（2015•湘潭）如图，已知一次函数y=x+b与反比例函数y= 的图象交于A、B两点，
其中点A的坐标为（2，3）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）请根据图象直接写出不等式x+b＞ 的解集．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
.
分析：（1）把A的坐标代入一次函数与反比例函数的解析式即可求出解析式；
（2）把一次函数与反比例函数的解析式联立得出方程组，求出方程组的解即可；
（3）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案．
解答：解：（1）把点A的坐标（2，3）代入一次函数的解析式中，可得：3=2+b，解得：b=1，
所以一次函数的解析式为：y=x+1；
把点A的坐标（2，3）代入反比例函数的解析式中，可得：k=6，
所以反比例函数的解析式为：y= ；
（2）把一次函数与反比例函数的解析式联立得出方程组，
可得： ，
解得：x =2，x =﹣3，
1 2
所以点B的坐标为（﹣3，﹣2）；
（3）∵A（2，3），B（﹣3，﹣2），
∴使一次函数值大于反比例函数值的x的范围是：﹣3＜x＜0或x＞2．
点评：本题考查了一次函数与反比例函数的解析式，用待定系数法求出一次函数的解析式，
函数的图形等知识点的应用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，用了数形
结合思想．
24．（8分）（2015•湘潭）阅读材料：用配方法求最值．
已知x，y为非负实数，
∵x+y﹣2 ≥0
∴x+y≥2 ，当且仅当“x=y”时，等号成立．示例：当x＞0时，求y=x+ +4的最小值．
解： +4=6，当x= ，即x=1时，y的最小值为6．
[来源:Zxxk.Com]
（1）尝试：当x＞0时，求y= 的最小值．
（2）问题解决：随着人们生活水平的快速提高，小轿车已成为越来越多家庭的交通工具，假设
某种小轿车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，n年的保养、维
护费用总和为 万元．问这种小轿车使用多少年报废最合算（即：使用多少年的年平均费
用最少，年平均费用= ）？最少年平均费用为多少万元？
考点：配方法的应用．
.
分析：
（1）首先根据y= ，可得y=x+ +1，然后应用配方法，求出当x＞0时，y=
的最小值是多少即可．
（2）首先根据题意，求出年平均费用=（ +0.4n+10）÷n= ，然后应用配方
法，求出这种小轿车使用多少年报废最合算，以及最少年平均费用为多少万元即可．
解答：
解：（1）y= =x+ +1 +1=3，
∴当x= ，即x=1时，y的最小值为3．
（2）年平均费用=（ +0.4n+10）÷n= =2+0.5=2.5，
∴当 ，
即n=10时，最少年平均费用为2.5万元．
点评：此题主要考查了配方法的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确配方法的关键
是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一
半的平方．25．（10分）（2015•湘潭）如图，已知AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线MA，P为直线
MA上一动点，以点P为圆心，PA为半径作⊙P，交⊙O于点C，连接PC、OP、BC．
（1）知识探究（如图1）：
①判断直线PC与⊙O的位置关系，请证明你的结论；
②判断直线OP与BC的位置关系，请证明你的结论．
（2）知识运用（如图2）：
当PA＞OA时，直线PC交AB的延长线于点D，若BD=2AB，求tan∠ABC的值．
考点：圆的综合题．
.
分析：（1）①PC与⊙O相切．易证明△PAO≌△PCO，则∠PAO=∠PCO，由PA是⊙O的切线，可
知∠PAO=∠PCO=90°，即可证明结论；
②OP∥BC．由（1）可知∠POA=∠POC，根据圆周角定理可知∠B=∠POA，根据同位角相
等可证明OP∥BC．
（2）根据OP∥BC，可知 ，由BD=2AB，可知AD=6OA，OD=5OB，所以PD=5PC，设设
PA=PC=R，OA=r，根据勾股定理列方程求出R与r的数量关系，即可在Rt△PAO中求出
tan∠ABC=tan∠POA．
解答：（1）①PC与⊙O相切．
证明：如图1，连接OC，
在△PAO和△PCO中，
，
∴△PAO≌△PCO，
∴∠PAO=∠PCO，
∵PA是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴∠PAO=∠PCO=90°，
∴PC与⊙O相切．②OP∥BC．
证明：∵△PAO≌△PCO，
∴∠POA=∠POC，
∴∠B=∠POA，
∴OP∥BC．
（2）解：如图2，
∵BD=2AB，
∴BD=4OB，AD=6OA，
∴ ，
∵OP∥BC，
∴ ，
∴PD=5PC，
设PA=PC=R，OA=r，
∴AD=6r，PD=5R，
∵PA2+AD2=PD2，
∴R2+（6r）2=（5R）2
解得：R= r，
∵tan∠ABC=tan∠POA= ，
∴tan∠ABC═ = = ．
点评：本题主要考查了圆的有关性质、切线的性质与判定、平行线分线段成比例定理、勾股定
理以及锐角三角函数的综合应用，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助
线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．26．（10分）（2015•湘潭）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
交y轴于点C，连接BC，动点P以每秒1个单位长度的速度从A向B运动，动点Q以每秒
个单位长度的速度从B向C运动，P、Q同时出发，连接PQ，当点Q到达C点时，P、Q同时停止
运动，设运动时间为t秒．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，当△BPQ为直角三角形时，求t的值；
（3）如图2，当t＜2时，延长QP交y轴于点M，在抛物线上是否存在一点N，使得PQ的中点
恰为MN的中点？若存在，求出点N的坐标与t的值；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题．
.
分析：（1）根据二次函数y=x2+bx+c的图象经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，应用待定系数法，求
出二次函数的解析式即可．
（2）首先根据待定系数法，求出BC所在的直线的解析式，再分别求出点P、点Q的坐标
各是多少；然后分两种情况：①当∠QPB=90°时；②当∠PQB=90°时；根据等腰直角三角
形的性质，求出t的值各是多少即可．
（3）首先延长MQ交抛物线于点N，H是PQ的中点，再用待定系数法，求出PQ所在的
直线的解析式，然后PQ的中点恰为MN的中点，判断出是否存在满足题意的点N即
可．
[来源:Zxxk.Com]
解答：解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
∴ ，
解得 ．
∴二次函数的解析式是：y=x2﹣2x﹣3．（2）∵y=x2﹣2x﹣3，
∴点C的坐标是（0，﹣3），
∴BC= =3 ，
设BC所在的直线的解析式是：y=mx+n，
则 ，
解得 ．
∴BC所在的直线的解析式是：y=x﹣3，
∵经过t秒，AP=t，BQ= t，
∴点P的坐标是（t﹣1，0），
设点Q的坐标是（x，y），
∵OB=OC=3，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
则y= ×sin45°= × =t，
∴BP= = × =t，
∴x=3﹣t，
∴点Q的坐标是（3﹣t，t），
①如图1，
，
当∠QPB=90°时，
点P和点Q的横坐标相同，
∵点P的坐标是（t﹣1，0），点Q的坐标是（3﹣t，t），
∴t﹣1=3﹣t，解得t=2，
即当t=2时，△BPQ为直角三角形．
②如图2，
，
当∠PQB=90°时，
∵∠PBQ=45°，
∴BP= ，
∵BP=3﹣（t﹣1）=4﹣t，BQ= ，
∴4﹣t=
即4﹣t=2t，
解得t= ，
即当t= 时，△BPQ为直角三角形．
综上，可得
当△BPQ为直角三角形，t= 或2．
（3）如图3，延长MQ交抛物线于点N，H是PQ的中点，，
设PQ所在的直线的解析式是y=cx+d，
∵点P的坐标是（t﹣1，0），点Q的坐标是（3﹣t，t），
∴ ，
解得 ．
∴PQ所在的直线的解析式是y= x+ ，
∴点M的坐标是（0， ）
∵ ， ，
∴PQ的中点H的坐标是（1， ）
假设PQ的中点恰为MN的中点，
∵1×2﹣0=2， = ，
∴点N的坐标是（2， ），
又∵点N在抛物线上，
∴ =22﹣2×2﹣3=﹣3，
解得t= 或t=﹣ （舍去），∵ ＞ ，
∴当t＜2时，延长QP交y轴于点M，在抛物线上不存在一点N，使得PQ的中点恰为
MN的中点．
点评：（1）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的
应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获
取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了等腰三角形的性质和应用，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌
握，解答此题的关键是要明确：①等腰三角形的两腰相等．②等腰三角形的两个底角相
等．③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
（3）此题还考查了待定系数法求函数解析式的方法，要熟练掌握．
