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2017 年湖南省永州市中考数学试卷
一、选择题（每小题4分，共10小题，合计40分）
1．（4分）﹣8的绝对值是（ ）
1 1
A．8 B．﹣8 C． D．﹣
8 8
2．（4分）x=1是关于x的方程2x﹣a=0的解，则a的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
3．（4分）江永女书诞生于宋朝，是世界上唯一一种女性文字，主要书写在精
制布面、扇面、布帕等物品上，是一种独特而神奇的文化现象．下列四个文字
依次为某女书传人书写的“女书文化”四个字，基本是轴对称图形的是
（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）下列运算正确的是（ ）
1
A．a•a2=a2 B．（ab）2=ab C．3﹣1= D．√5+√5=√10
3
5．（4分）下面是某一天永州市11个旅游景区最高气温（单位：℃）的统计
表：
景区 潇水 东山 浯溪 舜皇 阳明 鬼崽 九嶷 上甘 涔天 湘江 南武
湖 景区 碑林 山 山 岭 山 棠 河 源 当
气温 31 30 31 25 28 27 26 28 28 25 29
则下列说法正确的是（ ）
A．该组数据的方差为0B．该组数据的平均数为25
C．该组数据的中位数为27 D．该组数据的众数为28
6．（4分）湖南省第二次文物普查时，省考古研究所在冷水滩钱家州征集到一
个宋代“青釉瓜棱形瓷执壶”的主视图，该壶为盛酒器，瓷质，侈口，喇叭形
长颈，长立把，则该“青釉瓜棱形瓷执壶”的主视图是（ ）
第1页（共27页）A． B． C． D．
7．（4分）小红不小心把家里的一块圆形玻璃打碎了，需要配制一块同样大小
的玻璃镜，工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点 A，B，C，
给出三角形ABC，则这块玻璃镜的圆心是（ ）
A．AB，AC边上的中线的交点
B．AB，AC边上的垂直平分线的交点
C．AB，AC边上的高所在直线的交点
D．∠BAC与∠ABC的角平分线的交点
8．（4分）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B，AD=1，
AC=2，△ADC的面积为1，则△BCD的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
k
9．（4分）在同一平面直角坐标系中，函数y=x+k与y= （k为常数，k≠0）的
x
图象大致是（ ）
第2页（共27页）A． B．
C． D．
10．（4分）已知从n个人中，选出m个人按照一定的顺序排成一行，所有不
同的站位方法有 n×（n﹣1）×…×（n﹣m+1）种．现某校九年级甲、乙、
丙、丁4名同学和1位老师共5人在毕业前合影留念（站成一行）．若老师站
在中间，则不同的站位方法有（ ）
A．6种B．20种 C．24种 D．120种
二、填空题：（每小题4分，共8小题，合计32分）
11．（4分）2017年端午小长假的第一天，永州市共接待旅客约275 000人次，
请将275 000用科学记数法表示为 ．
{&2x-1≤0
12．（4分）满足不等式组 的整数解是 ．
&x+1＞0
13．（4分）某水果店搞促销活动，对某种水果打8折出售，若用60元钱买这
种水果，可以比打折前多买3斤．设该种水果打折前的单价为x元，根据题意
可列方程为 ．
14．（4分）把分别写有数字1，2，3，4，5的5张同样的小卡片放进不透明的
盒子里，搅拌均匀后随机取出一张小卡片，则取出的卡片上的数字大于3的概
率是 ．
k
15．（4分）如图，已知反比例函数y= （k为常数，k≠0）的图象经过点A，
x
过A点作AB⊥x轴，垂足为B．若△AOB的面积为1，则k= ．
第3页（共27页）16．（4分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点D是^AC的中点，点E
是^BC上的一点，若∠CED=40°，则∠ADC= 度．
17．（4分）如图，这是某同学用纸板做成的一个底面直径为10cm，高为12cm
的无底圆锥形玩具（接缝忽略不计），则做这个玩具所需纸板的面积是
cm2（结果保留π）．
18．（4分）一小球从距地面1m高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的
一半再落下．
（1）小球第3次着地时，经过的总路程为 m；
（2）小球第n次着地时，经过的总路程为 m．
第4页（共27页）三、解答题：本大题共8个小题，满分78分．
19．（8分）计算：√2cos45°+（π﹣2017）0﹣√9．
x2 4 x2+4x+4
20．（8分）先化简，再求值：（ + ）÷ ．其中x是0，1，2
x-2 2-x x
这三个数中合适的数．
21．（8分）某校组织了一次防溺水、防交通事故、防食物中毒、防校园欺凌
及其他各种安全意识的调查活动，了解同学们在哪些方面的安全意识薄弱，便
于今后更好地开展安全教育活动．根据调查结果，绘制出图1，图2两幅不完整
的统计图．
请结合图中的信息解答下列问题：
（1）本次调查的人数为 ，其中防校园欺凌意识薄弱的人数占
%；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有1500名学生，请估计该校学生中防溺水意识薄弱的人数；
（4）请你根据题中的信息，给该校的安全教育提一个合理的建议．
第5页（共27页）22．（10分）如图，已知四边形 ABCD是菱形，DF⊥AB于点F，BE⊥CD于点
E．
（1）求证：AF=CE；
（2）若DE=2，BE=4，求sin∠DAF的值．
23．（10分）永州市是一个降水丰富的地区，今年4月初，某地连续降雨导致
该地某水库水位持续上涨，下表是该水库4月1日～4月4日的水位变化情况：
日期x 1 2 3 4
水位y（米） 20.00 20.50 21.00 21.50
（1）请建立该水库水位y与日期x之间的函数模型；
（2）请用求出的函数表达式预测该水库今年4月6日的水位；
第6页（共27页）（3）你能用求出的函数表达式预测该水库今年12月1日的水位吗？
24．（10分）如图，已知 AB是⊙O的直径，过O点作OP⊥AB，交弦AC于点
D，交⊙O于点E，且使∠PCA=∠ABC．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠P=60°，PC=2，求PE的长．
25．（12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+1经过A（﹣1，0），B（1，1）两
点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）阅读理解：
在同一平面直角坐标系中，直线 l ：y=k x+b （k ，b 为常数，且k ≠0），直线
1 1 1 1 1 1
l ：y=k x+b （k ，b 为常数，且k ≠0），若l ⊥l ，则k •k =﹣1．
2 2 2 2 2 2 1 2 1 2
解决问题：
①若直线y=3x﹣1与直线y=mx+2互相垂直，求m的值；
②抛物线上是否存在点 P，使得△PAB是以 AB 为直角边的直角三角形？若存
在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）M是抛物线上一动点，且在直线AB的上方（不与A，B重合），求点M
到直线AB的距离的最大值．
第7页（共27页）26．（12分）已知点O是正方形ABCD对角线BD的中点．
（1）如图1，若点E是OD的中点，点F是AB上一点，且使得∠CEF=90°，过点
E作ME∥AD，交AB于点M，交CD于点N．
①∠AEM=∠FEM； ②点F是AB的中点；
DE AF 1
（2）如图2，若点E是OD上一点，点F是AB上一点，且使 = = ，请判
DO AB 3
断△EFC的形状，并说明理由；
（3）如图 3，若 E 是 OD 上的动点（不与 O，D 重合），连接 CE，过 E 点作
DE m AF
EF⊥CE，交AB于点F，当 = 时，请猜想 的值（请直接写出结论）．
DB n AB
第8页（共27页）第9页（共27页）2017 年湖南省永州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共10小题，合计40分）
1．（4分）（2017•永州）﹣8的绝对值是（ ）
1 1
A．8 B．﹣8 C． D．﹣
8 8
【考点】15：绝对值．
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【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数即可求解．
【解答】解：﹣8的绝对值是8．
故选A．
【点评】本题考查了绝对值的意义，如果用字母 a表示有理数，则数a 绝对值
要由字母a本身的取值来确定：①当a是正数时，a的绝对值是它本身a；②当
a是负数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．
2．（4 分）（2017•永州）x=1 是关于 x 的方程 2x﹣a=0 的解，则 a 的值是（
）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
【考点】85：一元一次方程的解．
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【分析】根据方程的解的概念即可求出a的值．
【解答】解：将x=1代入2x﹣a=0中，
∴2﹣a=0，
∴a=2
故选（B）
【点评】本题考查一元一次方程的解，解题的关键是正确理解方程的解的概
念，本题属于基础题型．
3．（4 分）（2017•永州）江永女书诞生于宋朝，是世界上唯一一种女性文
字，主要书写在精制布面、扇面、布帕等物品上，是一种独特而神奇的文化现
象．下列四个文字依次为某女书传人书写的“女书文化”四个字，基本是轴对
称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】P3：轴对称图形．
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【分析】利用轴对称图形定义判断即可．
【解答】解：下列四个文字依次为某女书传人书写的“女书文化”四个字，基
第10页（共27页）本是轴对称图形的是 ，
故选A
【点评】此题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解本题的关
键．
4．（4分）（2017•永州）下列运算正确的是（ ）
1
A．a•a2=a2 B．（ab）2=ab C．3﹣1= D．√5+√5=√10
3
【考点】78：二次根式的加减法；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的
乘方；6F：负整数指数幂．
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【分析】根据同底数幂的乘法法则对 A进行判断；根据积的乘方对 B进行判
断；根据负整数指数幂的意义对 C进行判断；根据二次根式的加减法对 D进行
判断．
【解答】解：A、原式=a3，所以A选项错误；
B、原式=a2b2，所以B选项错误；
1
C、原式= ，所以C选项正确；
3
D、原式=2√5，所以D选项错误．
故选C．
【点评】本题考查了二次根式的加减法：二次根式相加减，先把各个二次根式
化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数
相加减，根式不变．也考查了整式的运算．
5．（4分）（2017•永州）下面是某一天永州市 11个旅游景区最高气温（单
位：℃）的统计表：
景 潇水 东山 浯溪 舜皇 阳明 鬼崽 九嶷 上甘 涔天 湘江 南武
区 湖 景区 碑林 山 山 岭 山 棠 河 源 当
气 31 30 31 25 28 27 26 28 28 25 29
温
则下列说法正确的是（ ）
A．该组数据的方差为0B．该组数据的平均数为25
C．该组数据的中位数为27 D．该组数据的众数为28
【考点】W7：方差；W1：算术平均数；W4：中位数；W5：众数．
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【分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的数据即可得到结论．
【解答】解：∵在这组数据中28出现的次数最多是3次，
∴该组数据的众数为28，
故选D．
【点评】本题考查了一组数据的方差、平均数，中位数和众数．一些学生往往
对这些概念掌握不清楚而误选其它选项．注意找中位数的时候一定要先排好顺
序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的
第11页（共27页）数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
6．（4分）（2017•永州）湖南省第二次文物普查时，省考古研究所在冷水滩
钱家州征集到一个宋代“青釉瓜棱形瓷执壶”的主视图，该壶为盛酒器，瓷
质，侈口，喇叭形长颈，长立把，则该“青釉瓜棱形瓷执壶”的主视图是（
）
A． B． C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．
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【分析】根据从前面看的到的视图是主视图．
【解答】解：该“青釉瓜棱形瓷执壶”的主视图是 ．
故选：D．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，确定俯视图、左视图、主视图是解
题关键．
7．（4分）（2017•永州）小红不小心把家里的一块圆形玻璃打碎了，需要配
制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出
了点A，B，C，给出三角形ABC，则这块玻璃镜的圆心是（ ）
A．AB，AC边上的中线的交点
B．AB，AC边上的垂直平分线的交点
C．AB，AC边上的高所在直线的交点
D．∠BAC与∠ABC的角平分线的交点
【考点】M3：垂径定理的应用．
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【分析】根据题意可知所求的圆形玻璃是△ABC 的外接圆，从而可以解答本
题．
【解答】解：由题意可得，
第12页（共27页）所求的圆形玻璃是△ABC的外接圆，
∴这块玻璃镜的圆心是△ABC三边垂直平分线的交点，
故选B．
【点评】本题考查垂径定理的应用，解答本题的关键是明确三角形外接圆的圆
心是三边垂直平分线的交点．
8．（4 分）（2017•永州）如图，在△ABC 中，点 D 是 AB 边上的一点，若
∠ACD=∠B，AD=1，AC=2，△ADC的面积为1，则△BCD的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】由∠ACD=∠B结合公共角∠A=∠A，即可证出△ACD∽△ABC，根据相
S AD 1
似三角形的性质可得出 △ACD =（ ）2= ，结合△ADC的面积为1，即可求出
S AC 4
△ABC
△BCD的面积．
【解答】解：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
S AD 1
∴ △ACD =（ ）2= ．
S AC 4
△ABC
∵S =1，
△ACD
∴S =4，S =S ﹣S =3．
△ABC △BCD △ABC △ACD
故选C．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，牢记“相似三角形的面积比等于
相似比的平方”是解题的关键．
k
9．（4分）（2017•永州）在同一平面直角坐标系中，函数 y=x+k与y= （k为
x
常数，k≠0）的图象大致是（ ）
A． B． C． D ．
第13页（共27页）【考点】G2：反比例函数的图象；F3：一次函数的图象．
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【分析】根据已知解析式和函数的图象和性质逐个判断即可．
【解答】解：A、从正比例函数图象看出 k＜0，而从反比例函数图象看出 k＞
0，故本选项不符合题意；
B、从正比例函数图象看出k＞0，而从反比例函数图象看出k＞0，故本选项符
合题意；
C、从正比例函数图象看出k＞0，而从反比例函数图象看出k＜0，故本选项不
符合题意；
D、从正比例函数图象看出 k＜0，而从反比例函数图象看出 k＜0，但解析式
y=x+k的图象和图象不符，故本选项不符合题意；
故选B．
【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，能灵活运用图象和
性质进行判断是解此题的关键．
10．（4分）（2017•永州）已知从n个人中，选出m个人按照一定的顺序排成
一行，所有不同的站位方法有 n×（n﹣1）×…×（n﹣m+1）种．现某校九年
级甲、乙、丙、丁 4 名同学和 1 位老师共 5 人在毕业前合影留念（站成一
行）．若老师站在中间，则不同的站位方法有（ ）
A．6种B．20种 C．24种 D．120种
【考点】X6：列表法与树状图法．
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【分析】分为四步，第一步甲有 4 种选法，第二步：乙同学 3 种选法，第三
步：并同学2种选法，第四步：丁同学1种选法．
【解答】解：老师在中间，故第一位同学有 4种选择方法，第二名同学有 3种
选法，第三名同学有2种选法，第四名同学有1中选法，故共有4×3×2×1=24
种．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是排列组合的应用，优先分析受限制元素是解题的关
键．
二、填空题：（每小题4分，共8小题，合计32分）
11．（4分）（2017•永州）2017年端午小长假的第一天，永州市共接待旅客约
275 000人次，请将275 000用科学记数法表示为 2.75 × 1 0 5 ．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
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【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整
数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与
小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1
时，n是负数．
第14页（共27页）【解答】解：将275 000用科学记数法表示为2.75×105，
故答案为：2.75×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n的
形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的
值．
{&2x-1≤0
12．（4分）（2017•永州）满足不等式组 的整数解是 0 ．
&x+1＞0
【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．
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【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，找出不等式组的整数
解即可．
1
【解答】解：∵解不等式2x﹣1≤0得：x≤ ，
2
解不等式x+1＞0得：x＞﹣1，
1
∴不等式组的解集是﹣1＜x≤ ，
2
∴整数解为0，
故答案为0．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组的应用，解此题
的关键是求出不等式组的解集．
13．（4分）（2017•永州）某水果店搞促销活动，对某种水果打8折出售，若
用60元钱买这种水果，可以比打折前多买 3斤．设该种水果打折前的单价为 x
60 60
元，根据题意可列方程为 = ﹣3 ．
x 0.8x
【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．
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【分析】本题可根据：60元打折前买的斤数比打折后买的斤数少 3斤，然后即
可列出方程．
60 60
【解答】解：依题意得： = ﹣3，
x 0.8x
60 60
故答案为： = ﹣3．
x 0.8x
【点评】本题考查降分式方程，由：60元打折前买的斤数比打折后买的斤数少
3斤可以列出方程．
14．（4分）（2017•永州）把分别写有数字1，2，3，4，5的5张同样的小卡
片放进不透明的盒子里，搅拌均匀后随机取出一张小卡片，则取出的卡片上的
2
数字大于3的概率是 ．
5
【考点】X4：概率公式．
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【分析】找出大于3的卡片的个数，根据概率公式即可得出结论．
【解答】解：∵在1、2、3、4、5中大于3的只有4、5，
2
∴取出的卡片上的数字大于3的概率是 ．
5
第15页（共27页）2
故答案为： ．
5
【点评】本题考查了概率公式，牢记“随机事件A的概率P（A）=事件A可能
出现的结果数所有可能出现的结果数”是解题的关键．
k
15．（4分）（2017•永州）如图，已知反比例函数 y= （k为常数，k≠0）的
x
图象经过点A，过A点作AB⊥x轴，垂足为B．若△AOB的面积为1，则k= ﹣
2 ．
【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义．
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【分析】根据反比例函数的性质可以得到△AOB的面积等于|k|的一半，由此可
以得到它们的关系．
1
【解答】解：依据比例系数 k 的几何意义可得两个三角形的面积都等于 |k|
2
=1，解得k=﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查反比例系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两
条坐标作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．该知识点是中考的重要考
点，同学们应高度关注．
16．（4分）（2017•永州）如图，四边形 ABCD是⊙O的内接四边形，点D是
^AC的中点，点E是^BC上的一点，若∠CED=40°，则∠ADC= 10 0 度．
【考点】M6：圆内接四边形的性质；M5：圆周角定理．
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【分析】先求出∠AEC，再用圆内接四边形的性质即可得出结论．
【解答】解：如图，
连接AE，
∵点D是^AC的中点，
∴∠AED=∠CED，
∵∠CED=40°，
第16页（共27页）∴∠AEC=2∠CED=80°，
∵四边形ADCE是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠AEC=180°，
∴∠ADC=180°﹣∠AEC=100°，
故答案为：100．
【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质，同圆中，等弧所对的圆周角相
等，解本题的关键是作出辅助线．
17．（4分）（2017•永州）如图，这是某同学用纸板做成的一个底面直径为
10cm，高为12cm的无底圆锥形玩具（接缝忽略不计），则做这个玩具所需纸
板的面积是 75π cm2（结果保留π）．
【考点】MP：圆锥的计算．
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【分析】作PO⊥AB于O．利用勾股定理求出PA，求出圆锥的表面积即可解决
问题．
【解答】解：作PO⊥AB于O．
在Rt△PAO中，PA=√OP2+OA2=√122+52=13．
∴S =10π+π•5•13=75π．
表面积
∴做这个玩具所需纸板的面积是75πcm2．
故答案为75π．
【点评】本题考查圆锥的表面积、解题的关键是记住圆锥的侧面积公式、底面
积公式．
18．（4分）（2017•永州）一小球从距地面1m高处自由落下，每次着地后又
跳回到原高度的一半再落下．
第17页（共27页）（1）小球第3次着地时，经过的总路程为 2. 5 m；
1
（2）小球第n次着地时，经过的总路程为 3﹣ （ ） n﹣ 2 m．
2
【考点】HE：二次函数的应用．
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【分析】（1）根据题意可以求得小球第3次着地时，经过的总路程；
（2）根据题意可以求得小球第n次着地时，经过的总路程．
【解答】解：（1）由题意可得，
1 1 1 1
小球第3次着地时，经过的总路程为：1+ + + + =2.5（m），
2 2 4 4
故答案为：2.5；
（ 2 ） 由 题 意 可 得 ， 小 球 第 n 次 着 地 时 ， 经 过 的 总 路 程 为 ： 1+2[
1 1 1 1
+ +⋯+( ) n-1]=3﹣（ ）n﹣2，
2 4 2 2
1
故答案为：3﹣（ ）n﹣2．
2
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出题目中
数的变化规律，注意每次着地后又跳回到原高度的一半再落下．
三、解答题：本大题共8个小题，满分78分．
19．（8分）（2017•永州）计算：√2cos45°+（π﹣2017）0﹣√9．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
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【分析】根据特殊角的三角函数值、零指数幂，算术平方根的定义化简即可．
√2
【解答】解：原式=√2× +1﹣3
2
=1+1﹣3
=﹣1
【点评】本题考查特殊角的三角函数值、零指数幂，算术平方根的定义等知
识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于基础题．
x2 4 x2+4x+4
20．（8分）（2017•永州）先化简，再求值：（ + ）÷ ．其
x-2 2-x x
中x是0，1，2这三个数中合适的数．
【考点】6D：分式的化简求值．
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【分析】这是个分式除法与减法混合运算题，运算顺序是先做括号内的减法，
此时要注意把各分母先因式分解，确定最简公分母进行通分；做除法时要注意
先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式
分解的先分解，然后约分．x取不0和2的任何数．
第18页（共27页）x2 4 x2+4x+4
【解答】解：（ + ）÷
x-2 2-x x
x2-4 x2+4x+4
= ÷
x-2 x
x
=（x+2）•
(x+2) 2
x
=
x+2
1 1
当x=1时，原式= = ．
1+2 3
【点评】本题考查了分式的化简求值．注意：取喜爱的数代入求值时，要特注
意原式及化简过程中的每一步都有意义．如果取x=0和2，则原式没有意义，
21．（8分）（2017•永州）某校组织了一次防溺水、防交通事故、防食物中
毒、防校园欺凌及其他各种安全意识的调查活动，了解同学们在哪些方面的安
全意识薄弱，便于今后更好地开展安全教育活动．根据调查结果，绘制出图
1，图2两幅不完整的统计图．
请结合图中的信息解答下列问题：
（1）本次调查的人数为 5 0 ，其中防校园欺凌意识薄弱的人数占 4 0 %；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有1500名学生，请估计该校学生中防溺水意识薄弱的人数；
（4）请你根据题中的信息，给该校的安全教育提一个合理的建议．
【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图．
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【分析】（1）用其它选项的人数除以它占的百分率，求出本次调查的人数为多
少；然后用防校园欺凌意识薄弱的人数除以总人数，求出其中防校园欺凌意识
薄弱的人数占百分之几即可．
（2）用本次调查的人数乘防交通事故意识薄弱的占的百分率，求出防交通事故
意识薄弱的有多少人，并补全条形统计图即可．
（3）用该校的学生人数乘该校学生中防溺水意识薄弱的人数占的百分率，求出
估计该校学生中防溺水意识薄弱的人数即可．
（4）根据题中的信息，给该校的安全教育提一个合理的建议：加强学生的防校
园欺凌意识．
【解答】解：（1）本次调查的人数为：
第19页（共27页）8÷16%=50（人）
其中防校园欺凌意识薄弱的人数占：
20÷50=40%
（2）50×24%=12（人）
补全条形统计图如下：
（3）1500×（4÷50）
=1500×8%
=120（人）
答：估计该校学生中防溺水意识薄弱的人数是120人．
（4）根据题中的信息，给该校的安全教育提一个合理的建议：加强学生的防校
园欺凌意识．
故答案为：50、40．
【点评】此题主要考查了条形统计图、扇形统计图的应用，以及用样本估计总
体的方法和应用，要熟练掌握．
22．（10分）（2017•永州）如图，已知四边形ABCD是菱形，DF⊥AB于点F，
BE⊥CD于点E．
（1）求证：AF=CE；
（2）若DE=2，BE=4，求sin∠DAF的值．
【考点】L8：菱形的性质；T7：解直角三角形．
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【分析】（1）根据平行四边形的判定可得四边形 BEDF是平行四边形，根据平
行四边形的性质可得BF=DE，根据线段的和差关系可得AF=CE；
（2）根据勾股定理可得AF，AD的长，根据三角函数可得sin∠DAF的值．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
第20页（共27页）∴AB∥CD，AB=CD，
∵DF⊥AB，BE⊥CD，
∴DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BF=DE，
∴AF=CE；
（2）∵DE=2，BE=4，
∴设AD=x，则AF=x﹣2，AD=BE=4，
在Rt△DAF中，x2=42+（x﹣2）2，
解得x=5，
DF 4
∴sin∠DAF= = ．
AD 5
【点评】考查了菱形的性质，解直角三角形，涉及的知识点有：平行四边形的
判定和性质，勾股定理，三角函数，综合性较强，有一定的难度．
23．（10分）（2017•永州）永州市是一个降水丰富的地区，今年 4月初，某
地连续降雨导致该地某水库水位持续上涨，下表是该水库4月1日～4月4日的
水位变化情况：
日期x 1 2 3 4
水位y（米） 20.00 20.50 21.00 21.50
（1）请建立该水库水位y与日期x之间的函数模型；
（2）请用求出的函数表达式预测该水库今年4月6日的水位；
（3）你能用求出的函数表达式预测该水库今年12月1日的水位吗？
【考点】FH：一次函数的应用．
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【分析】（1）由给出的图表可知水库水位 y与日期x之间的函数关系一次函
数，设y=kx+b，把（1，20）和（2.20.5）代入求出k、b的值即可；
（2）把x=6代入（1）中的函数关系式即可得到今年4月6日的水位；
（3）不能，因为所建立的函数模型远离已知数据作预测是不可靠的．
【解答】解：
（1）水库的水位y随日期x的变化是均匀的，所以y与日期x之间的函数为一
次函数，设y=kx+b，把（1，20）和（2.20.5）代入得
{&k+b=20
，
&2k+b=20.5
{&k=0.5
解得： ，
&b=19.5
∴y=0.5x+19.5；
（2）当x=6时，y=3+19.5=22.5；
（3）不能，理由如下：
∵12月远远大于4月，
∴所建立的函数模型远离已知数据作预测是不可靠的．
【点评】本题考查了一次函数的应用，能够求出一次函数的解析式是解题的关
键．
24．（10 分）（2017•永州）如图，已知 AB 是⊙O 的直径，过 O 点作
第21页（共27页）OP⊥AB，交弦AC于点D，交⊙O于点E，且使∠PCA=∠ABC．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠P=60°，PC=2，求PE的长．
【考点】ME：切线的判定与性质；KQ：勾股定理；M2：垂径定理．
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【分析】（1）连接 OC，由 AB 是⊙O 的直径，得到∠ACB=90°，求得
∠BCO+∠ACO=90°，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠BCO，等量代换得到
∠BCO=∠ACP，求得∠OCP=90°，于是得到结论；
（2）解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCO+∠ACO=90°，
∵OC=OB，
∴∠B=∠BCO，
∵∠PCA=∠ABC，
∴∠BCO=∠ACP，
∴∠ACP+∠OCA=90°，
∴∠OCP=90°，
∴PC是⊙O的切线；
（2）∵∠P=60°，PC=2，∠PCO=90°，
∴OC=2√2，OP=2PC=4，
∴PE=OP﹣OE=OP﹣OC=4．
【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，解直角三角形，正确作
出辅助线是解题的关键．
25．（12分）（2017•永州）如图，已知抛物线y=ax2+bx+1经过A（﹣1，0），
B（1，1）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
第22页（共27页）（2）阅读理解：
在同一平面直角坐标系中，直线 l ：y=k x+b （k ，b 为常数，且k ≠0），直线
1 1 1 1 1 1
l ：y=k x+b （k ，b 为常数，且k ≠0），若l ⊥l ，则k •k =﹣1．
2 2 2 2 2 2 1 2 1 2
解决问题：
①若直线y=3x﹣1与直线y=mx+2互相垂直，求m的值；
②抛物线上是否存在点 P，使得△PAB是以 AB 为直角边的直角三角形？若存
在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）M是抛物线上一动点，且在直线AB的上方（不与A，B重合），求点M
到直线AB的距离的最大值．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据垂线间的关系，可得PA，PB的解析式，根据解方程组，可得P点坐
标；
（3）根据垂直于x的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可
得MQ，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得面积
的最大值，根据三角形的底一定时面积与高成正比，可得三角形高的最大值．
【解答】解：（1）将A，B点坐标代入，得
{&a-b+1=0①
，
&a+b+1=1②
1
{&a=-
2
解得 ，
1
&b=
2
1 1
抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+1；
2 2
（2）①由直线y=3x﹣1与直线y=mx+2互相垂直，得
3m=﹣1，
1
即m=﹣ ；
3
1 1
②AB的解析式为y= x+ ，
2 2
当PA⊥AB时，PA的解析式为y=﹣2x﹣2，
联立PA与抛物线，得
第23页（共27页）{ & y=- 1 x2+ 1 x+1
2 2 ，
& y=-2x-2
{&x=-1 {&x=6
解得 （舍）， ，即P（6，﹣14）；
& y=0 & y=-14
当PB⊥AB时，PB的解析式为y=﹣2x+3，
{ & y=- 1 x2+ 1 x+1
联立PB与抛物线，得 2 2 ，
& y=-2x+3
{&x=1 {&x=4
解得 （舍） 即P（4，﹣5），
& y=1 & y=-5
综上所述：△PAB 是以 AB 为直角边的直角三角形，点 P 的坐标（6，﹣14）
（4，﹣5）；
（3）如图 ，
1 1 1 1
∵M（t，﹣ t2+ t+1），Q（t， t+ ），
2 2 2 2
1 1
∴MQ=﹣ t2+
2 2
1
S = MQ|x ﹣x
△MAB 2 B A
1 1 1
= （﹣ t2+ ）×2
2 2 2
1 1
=﹣ t2+ ，
2 2
1
当t=0时，S取最大值 ，即M（0，1）．
2
由勾股定理，得
AB=√(1+1) 2+12=√5，
设M到AB的距离为h，由三角形的面积，得
1 √5
h= = ．
√5 5
√5
点M到直线AB的距离的最大值是 ．
5
【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法，解（2）
第24页（共27页）的关键是利用垂线间的关系得出直线PA，或PB的解析式，又利用解方程组；
解（3）的关键是利用三角形的底一定时面积与高成正比得出最大面积时高最
大．
26．（12分）（2017•永州）已知点O是正方形ABCD对角线BD的中点．
（1）如图1，若点E是OD的中点，点F是AB上一点，且使得∠CEF=90°，过点
E作ME∥AD，交AB于点M，交CD于点N．
①∠AEM=∠FEM； ②点F是AB的中点；
DE AF 1
（2）如图2，若点E是OD上一点，点F是AB上一点，且使 = = ，请判
DO AB 3
断△EFC的形状，并说明理由；
（3）如图 3，若 E 是 OD 上的动点（不与 O，D 重合），连接 CE，过 E 点作
DE m AF
EF⊥CE，交AB于点F，当 = 时，请猜想 的值（请直接写出结论）．
DB n AB
【考点】SO：相似形综合题．
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【 分 析 】 （ 1 ） ① 由 正 方 形 的 性 质 得 出 ∠ ABD=45° ，
∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AE=CE，由 HL 证明 Rt△AME≌Rt△ENC，得
出∠AEM=∠ECN，再由角的互余关系即可得出结论；
②由三角形内角和定理得出∠EAF=∠EFA，证出AE=FE，由等腰三角形的性质得
DE 1 AM DE
出AM=FM，AF=2AM，求出 = ，由平行线分线段成比例定理得出 = =
DB 4 AB DB
1 AF 1
，得出 = ，即可得出结论；
4 AB 2
（2）过点 E作ME∥AD，交 AB于点 M，交 CD于点 N．同（1）得：AE=CE，
DE 1
Rt△AME≌Rt△ENC，得出∠AEM=∠ECN，∵ = ，O 是 DB 的中点，证出
DO 3
AM DE 1
= = ，得出AF=2AM，即M是AF的中点，由线段垂直平分线的性质得
AB DB 6
出AE=FE，证出∠AEM=∠FEM，FE=CE，由角的互余关系证出∠CEF=90°，即可
得出结论；
（3）同（1）即可得出答案．
【解答】（1）证明：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=45°，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AE=CE，
∵ME∥AD，
∴ME⊥AB，∠AME=∠BME=∠BAD=90°，∠ENC=∠ADC=90°，
∴△BME是等腰直角三角形，四边形BCNM是矩形，
第25页（共27页）∴BM=EM，BM=CN，
∴EM=CN，
{&AE=CE
在Rt△AME和Rt△ENC中， ，
&EM=CN
∴Rt△AME≌Rt△ENC（HL），
∴∠AEM=∠ECN，
∵∠CEF=90°，
∴∠FEM+∠CEN=90°，
∵∠ECN+∠CEN=90°，
∴∠FEM=∠ECN，
∴∠AEM=∠FEM；
②在△AME和△FME中，∠AME=∠FME=90°，∠AEM=∠FEM，
∴∠EAF=∠EFA，
∴AE=FE，
∵ME⊥AF，
∴AM=FM，
∴AF=2AM，
∵点E是OD的中点，O是BD的中点，
DE 1
∴ = ，
DB 4
∵ME∥AD，
AM DE 1
∴ = = ，
AB DB 4
AF 1
∴ = ，
AB 2
∴点F是AB的中点；
（2）解：△EFC是等腰直角三角形；理由如下：
过点E作ME∥AD，交AB于点M，交CD于点N．如图所示：
同（1）得：AE=CE，Rt△AME≌Rt△ENC，
∴∠AEM=∠ECN，
DE 1
∵ = ，O是DB的中点，
DO 3
DE 1
∴ = ，
DB 6
∵ME∥AD，
AM DE 1
∴ = = ，
AB DB 6
AF 1
∵ = ，
AB 3
∴AF=2AM，即M是AF的中点，
∵ME⊥AB，
∴AE=FE，
∴∠AEM=∠FEM，FE=CE，
∵∠ECN+∠CEN=90°，
第26页（共27页）∴∠FEM+∠CEN=90°，
∴∠CEF=90°，
∴△EFC是等腰直角三角形；
DE m AF 2m
（3）解：当 = 时， = ；理由同（1）．
DB n AB n
【点评】本题是综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、
平行线分线段成比例定理、等腰直角三角形的判定、线段垂直平分线的性质、
等腰三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．
第27页（共27页）
