文档内容
2017 年湖南省株洲市中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，满分30分）
1．（3分）计算a2•a4的结果为（ ）
A．a2 B．a4 C．a6 D．a8
2．（3分）如图示，数轴上点A所表示的数的绝对值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．以上均不对
3．（3分）如图示直线l ，l △ABC被直线l 所截，且l ∥l ，则α=（ ）
1 2 3 1 2
A．41° B．49° C．51° D．59°
4．（3分）已知实数a，b满足a+1＞b+1，则下列选项错误的为（ ）
A．a＞b B．a+2＞b+2 C．﹣a＜﹣b D．2a＞3b
5．（3 分）如图，在△ABC 中，∠BAC=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，则∠BAD=（
）
A．145°B．150°C．155°D．160°
6．（3分）下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（
）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
7．（3分）株洲市展览馆某天四个时间段进出馆人数统计如下，则馆内人数变
化最大时间段为（ ）
9：00﹣10：00 10：00﹣11： 14：00﹣15： 15：00﹣16：
00 00 00
进馆人数 50 24 55 32
第1页（共28页）出馆人数 30 65 28 45
A．9：00﹣10：00 B．10：00﹣11：00C．14：00﹣15：00D．15：00﹣16：
00
8．（3分）三名初三学生坐在仅有的三个座位上，起身后重新就坐，恰好有两
名同学没有坐回原座位的概率为（ ）
1 1 1 1
A．） B．） C．） D．）
9 6 4 2
9．（3分）如图，点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA
的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的为（ ）
A．一定不是平行四边形 B．一定不是中心对称图形
C．可能是轴对称图形 D．当AC=BD时它是矩形
10．（3分）如图示，若△ABC 内一点 P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点 P为
△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学
教育家克洛尔（A．L．Crelle 1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现
并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛
卡（Brocard 1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等
腰直角三角形 DEF 中，∠EDF=90°，若点 Q 为△DEF 的布洛卡点，DQ=1，则
EQ+FQ=（ ）
A．5 B．4 C．3+√2 D．2+√2
二、填空题（每小题3分，满分24分）
第2页（共28页）11．（3分）如图示在△ABC中∠B= ．
12．（3分）分解因式：m3﹣mn2= ．
4 1
13．（3分）分式方程 ﹣ =0的解为 ．
x x+2
14．（3分）已知“x的3倍大于5，且x的一半与1的差不大于2”，则x的取
值范围是 ．
15．（3 分）如图，已知 AM 为⊙O 的直径，直线 BC 经过点 M，且 AB=AC，
∠BAM=∠CAM，线段AB和AC分别交⊙O于点D、E，∠BMD=40°，则∠EOM=
．
16．（3分）如图示直线 y=√3x+√3与x轴、y轴分别交于点A、B，当直线绕着
点 A 按顺时针方向旋转到与 x 轴首次重合时，点 B 运动的路径的长度为
．
17．（3分）如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O位于
k
坐标原点，斜边AB垂直于x轴，顶点A在函数y = 1（x＞0）的图象上，顶点B
1 x
第3页（共28页）k k
在函数y = 2（x＞0）的图象上，∠ABO=30°，则 1 = ．
2 x k
2
18．（3分）如图示二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，其图象与x轴
交于点A（﹣1，0）与点C（x ，0），且与y轴交于点B（0，﹣2），小强得到
2
以下结论：①0＜a＜2；②﹣1＜b＜0；③c=﹣1；④当|a|=|b|时x ＞√5﹣1；
2
以上结论中正确结论的序号为 ．
三、解答题（本大题共有8个小题，满分66分）
19．（6分）计算：√8+20170×（﹣1）﹣4sin45°．
y2 y
20．（6分）化简求值：（x﹣ ）• ﹣y，其中x=2，y=√3．
x x+ y
第4页（共28页）21．（8分）某次世界魔方大赛吸引世界各地共 600名魔方爱好者参加，本次
大赛首轮进行3×3阶魔方赛，组委会随机将爱好者平均分到20个区域，每个
区域30名同时进行比赛，完成时间小于8秒的爱好者进入下一轮角逐；如图是
3×3阶魔方赛A区域30名爱好者完成时间统计图，求：
①A区域3×3阶魔方爱好者进入下一轮角逐的人数的比例（结果用最简分数表
示）．
②若3×3阶魔方赛各个区域的情况大体一致，则根据 A区域的统计结果估计在
3×3阶魔方赛后进入下一轮角逐的人数．
③若3×3阶魔方赛A区域爱好者完成时间的平均值为8.8秒，求该项目赛该区
域完成时间为8秒的爱好者的概率（结果用最简分数表示）．
22．（8分）如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF
上，EF与BC相交于点G，连接CF．
第5页（共28页）①求证：△DAE≌△DCF；
②求证：△ABG∽△CFG．
23．（8分）如图示一架水平飞行的无人机 AB的尾端点A测得正前方的桥的左
端点P的
俯角为α其中tanα=2√3，无人机的飞行高度AH为500√3米，桥的长度为1255
米．
①求点H到桥左端点P的距离；
②若无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°，求这架无人机的
长度AB．
k
24．（8分）如图所示，Rt△PAB的直角顶点P（3，4）在函数y= （x＞0）的
x
t
图象上，顶点 A、B在函数y= （x＞0，0＜t＜k）的图象上，PA∥x轴，连接
x
OP，OA，记△OPA的面积为S ，△PAB的面积为S ，设w=S ﹣S ．
△OPA △PAB △OPA △PAB
①求k的值以及w关于t的表达式；
第6页（共28页）②若用w 和w 分别表示函数w的最大值和最小值，令T=w +a2﹣a，其中a
max min max
为实数，求T ．
min
25．（10分）如图示AB为⊙O的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E为优弧AB
上一点，点F在AE的延长线上，且BE=EF，线段CE交弦AB于点D．
①求证：CE∥BF；
②若BD=2，且EA：EB：EC=3：1：√3，求△BCD的面积（注：根据圆的对称性
可知OC⊥AB）．
第7页（共28页）26．（12分）已知二次函数y=﹣x2+bx+c+1，
①当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程；
1
②若c= b2﹣2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切？
4
③若二次函数的图象与x轴交于点A（x ，0），B（x ，0），且x ＜x ，与y轴
1 2 1 2
的正半轴交于点M，以AB为直径的半圆恰好过点M，二次函数的对称轴l与x
DE 1
轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足 = ，求二次函数的表
EF 3
达式．
第8页（共28页）2017 年湖南省株洲市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，满分30分）
1．（3分）（2017•株洲）计算a2•a4的结果为（ ）
A．a2 B．a4 C．a6 D．a8
【考点】46：同底数幂的乘法．
菁优网版权所有
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则求出答案．
【解答】解：原式=a2+4=a6．
故选C．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关
键．
2．（3 分）（2017•株洲）如图示，数轴上点 A 所表示的数的绝对值为
（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．以上均不对
【考点】13：数轴；15：绝对值．
菁优网版权所有
【分析】根据数轴可以得到点A表示的数，从而可以求出这个数的绝对值，本
题得以解决．
【解答】解：由数轴可得，
点A表示的数是﹣2，|﹣2|=2，
故选A．
【点评】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点，会求一
个数的绝对值．
3．（3分）（2017•株洲）如图示直线l ，l △ABC被直线l 所截，且l ∥l ，则
1 2 3 1 2
α=（ ）
A．41° B．49° C．51° D．59°
【考点】JA：平行线的性质．
菁优网版权所有
【分析】根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：∵l ∥l ，
1 2
∴α=49°，
故选B．
【点评】本题考查了平行线的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
4．（3分）（2017•株洲）已知实数a，b满足a+1＞b+1，则下列选项错误的为
第9页（共28页）（ ）
A．a＞b B．a+2＞b+2 C．﹣a＜﹣b D．2a＞3b
【考点】C2：不等式的性质．
菁优网版权所有
【分析】根据不等式的性质即可得到a＞b，a+2＞b+2，﹣a＜﹣b．
【解答】解：由不等式的性质得a＞b，a+2＞b+2，﹣a＜﹣b．
故选D．
【点评】本题考查了不等式的性质，属于基础题．
5．（3分）（2017•株洲）如图，在△ABC中，∠BAC=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，
则∠BAD=（ ）
A．145°B．150°C．155°D．160°
【考点】K7：三角形内角和定理．
菁优网版权所有
【分析】根据三角形内角和定理求出x，再根据三角形的外角的等于不相邻的
两个内角的和，即可解决问题．
【解答】解：在△ABC 中，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=x°，∠B=2x°，
∠C=3x°，
∴6x=180，
∴x=30，
∵∠BAD=∠B+∠C=5x=150°，
故选B．
【点评】本题考查三角形内角和定理、三角形的外角的性质等知识，学会构建
方程解决问题，属于基础题．
6．（3分）（2017•株洲）下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最
大的图形是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【考点】MM：正多边形和圆．
菁优网版权所有
【分析】根据正多边形的中心角的度数即可得到结论．
【解答】解：∵正三角形一条边所对的圆心角是360°÷3=120°，
正方形一条边所对的圆心角是360°÷4=90°，
正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5=72°，
正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6=60°，
∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形，
故选A．
【点评】本题考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形的中心角的定义是解题
的关键．
第10页（共28页）7．（3 分）（2017•株洲）株洲市展览馆某天四个时间段进出馆人数统计如
下，则馆内人数变化最大时间段为（ ）
9：00﹣ 10：00﹣ 14：00﹣ 15：00﹣
10：00 11：00 15：00 16：00
进馆人数 50 24 55 32
出馆人数 30 65 28 45
A．9：00﹣10：00 B．10：00﹣11：00C．14：00﹣15：00D．15：00﹣16：
00
【考点】VA：统计表．
菁优网版权所有
【分析】直接利用统计表中人数的变化范围得出馆内人数变化最大时间段．
【解答】解：由统计表可得：10：00﹣11：00，进馆24人，出馆65人，差之
最大，
故选：B．
【点评】此题主要考查了统计表，正确利用表格获取正确信息是解题关键．
8．（3分）（2017•株洲）三名初三学生坐在仅有的三个座位上，起身后重新
就坐，恰好有两名同学没有坐回原座位的概率为（ ）
1 1 1 1
A．） B．） C．） D．）
9 6 4 2
【考点】X6：列表法与树状图法．
菁优网版权所有
【专题】11 ：计算题．
【分析】画树状图为（用A、B、C表示三位同学，用a、b、c表示他们原来的
座位）展示所有6种等可能的结果数，再找出恰好有两名同学没有坐回原座位
的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：（用A、B、C表示三位同学，用a、b、c表示他们
原来的座位）
共有6种等可能的结果数，其中恰好有两名同学没有坐回原座位的结果数为3，
3 1
所以恰好有两名同学没有坐回原座位的概率= = ．
6 2
故选D．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可
能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计
算事件A或事件B的概率．
9．（3分）（2017•株洲）如图，点 E、F、G、H分别为四边形 ABCD 的四边
AB、BC、CD、DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的为（ ）
第11页（共28页）A．一定不是平行四边形 B．一定不是中心对称图形
C．可能是轴对称图形 D．当AC=BD时它是矩形
【考点】LN：中点四边形；L6：平行四边形的判定；LC：矩形的判定；P3：轴
对称图形．
菁优网版权所有
1 1
【分析】先连接AC，BD，根据EF=HG= AC，EH=FG= BD，可得四边形EFGH是
2 2
平行四边形，当 AC⊥BD时，∠EFG=90°，此时四边形EFGH是矩形；当AC=BD
时，EF=FG=GH=HE，此时四边形EFGH是菱形，据此进行判断即可．
【解答】解：连接AC，BD，
∵点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，
1 1
∴EF=HG= AC，EH=FG= BD，
2 2
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH一定是中心对称图形，
当AC⊥BD时，∠EFG=90°，此时四边形EFGH是矩形，
当AC=BD时，EF=FG=GH=HE，此时四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH可能是轴对称图形，
故选：C．
【点评】本题主要考查了中点四边形的运用，解题时注意：平行四边形是中心
对称图形．解决问题的关键是掌握三角形中位线定理．
10 ． （ 3 分 ） （ 2017• 株 洲 ） 如 图 示 ， 若 △ ABC 内 一 点 P 满 足
∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点 P 为△ABC 的布洛卡点．三角形的布洛卡点
（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle 1780﹣
1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，
布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 1845﹣1922）重新发
现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形 DEF中，∠EDF=90°，若
点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（ ）
第12页（共28页）A．5 B．4 C．3+√2 D．2+√2
【考点】R2：旋转的性质；JB：平行线的判定与性质；KW：等腰直角三角形．
菁优网版权所有
DQ FQ DF 1
【分析】由△DQF∽△FQE，推出 = = = ，由此求出EQ、FQ即可解
FQ QE EF √2
决问题．
【解答】解：如图，在等腰直角三角形△DEF 中，∠EDF=90°，DE=DF，
∠1=∠2=∠3，
∵∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45°，
∴∠QEF=∠DFQ，∵∠2=∠3，
∴△DQF∽△FQE，
DQ FQ DF 1
∴ = = = ，
FQ QE EF √2
∵DQ=1，
∴FQ=√2，EQ=2，
∴EQ+FQ=2+√2，
故选D
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，
解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题（每小题3分，满分24分）
11．（3分）（2017•株洲）如图示在△ABC中∠B= 25 ° ．
【考点】KN：直角三角形的性质．
菁优网版权所有
【分析】由直角三角形的两个锐角互余即可得出答案．
【解答】解：∵∠C=90°，
∴∠B=90°﹣∠A=90°﹣65°=25°；
第13页（共28页）故答案为：25°．
【点评】本题考查了直角三角形的两个锐角互余的性质；熟记直角三角形的性
质是解决问题的关键．
12．（3分）（2017•株洲）分解因式：m3﹣mn2= m （ m + n ）（ m﹣n ） ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
菁优网版权所有
【分析】先提取公因式m，再运用平方差公式分解．
【解答】解：m3﹣mn2，
=m（m2﹣n2），
=m（m+n）（m﹣n）．
【点评】本题考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进
行二次分解因式，分解因式要彻底．
4 1 8
13．（3分）（2017•株洲）分式方程 ﹣ =0的解为 x=﹣ ．
x x+2 3
【考点】B3：解分式方程．
菁优网版权所有
【分析】根据解方式方程的步骤一步步求解，即可得出 x的值，将其代入原方
程验证后即可得出结论．
【解答】解：去分母，得4x+8﹣x=0，
移项、合并同类项，得3x=﹣8，
8
方程两边同时除以3，得x=﹣ ．
3
8
经检验，x=﹣ 是原方程的解．
3
8
故答案为：x=﹣ ．
3
【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法及步骤是解题的关
键．
14．（3分）（2017•株洲）已知“x的3倍大于5，且x的一半与1的差不大于
5
2”，则x的取值范围是 ＜ x ≤ 6 ．
3
【考点】C6：解一元一次不等式．
菁优网版权所有
【分析】根据题意列出不等式组，再求解集即可得到x的取值范围．
{
&3x＞5
【解答】解：依题意有 1 ，
& x-1≤2
2
5
解得 ＜x≤6．
3
5
故x的取值范围是 ＜x≤6．
3
5
故答案为： ＜x≤6．
3
【点评】主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求
第14页（共28页）解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小
小找不到（无解）．
15．（3分）（2017•株洲）如图，已知AM为⊙O的直径，直线BC经过点M，
且AB=AC，∠BAM=∠CAM，线段AB和AC分别交⊙O于点D、E，∠BMD=40°，
则∠EOM= 80 ° ．
【考点】M5：圆周角定理．
菁优网版权所有
【分析】连接 EM，根据等腰三角形的性质得到 AM⊥BC，进而求出
∠AMD=70°，于是得到结论．
【解答】解：连接EM，
∵AB=AC，∠BAM=∠CAM，
∴AM⊥BC，
∵AM为⊙O的直径，
∴∠ADM=∠AEM=90°，
∴∠AME=∠AMD=90°﹣∠BMD=50°
∴∠EAM=40°，
∴∠EOM=2∠EAM=80°，
故答案为：80°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是
解题的关键．
16．（3分）（2017•株洲）如图示直线y=√3x+√3与x轴、y轴分别交于点A、
B，当直线绕着点A按顺时针方向旋转到与x轴首次重合时，点B运动的路径的
2
长度为 π ．
3
第15页（共28页）【考点】F9：一次函数图象与几何变换；O4：轨迹．
菁优网版权所有
【专题】11 ：计算题．
【分析】先利用一次函数的解析式可确定A（﹣1，0），B（0，√3），再利用
正切的定义求出∠BAO=60°，利用勾股定理计算出AB=2，然后根据弧长公式计
算．
【解答】解：当y=0时，√3x+√3=0，解得x=﹣1，则A（﹣1，0），
当x=0时，y=√3x+√3=√3，则B（0，√3），
√3
在Rt△OAB中，∵tan∠BAO= =√3，
1
∴∠BAO=60°，
∴AB=√12+(√3) 2=2，
∴当直线绕着点A按顺时针方向旋转到与x轴首次重合时，点B运动的路径的
60⋅π⋅2 2
长度= = π．
180 3
2
故答案为 π．
3
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换：熟练掌握旋转的性质，会计算
一次函数与坐标轴的交点坐标．
17．（3分）（2017•株洲）如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直
k
角顶点O位于坐标原点，斜边AB垂直于x轴，顶点A在函数y = 1（x＞0）的
1 x
k k 1
图象上，顶点B在函数y = 2（x＞0）的图象上，∠ABO=30°，则 1 = ﹣ ．
2 x k 3
2
第16页（共28页）【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
菁优网版权所有
【分析】设AC=a，则OA=2a，OC=√3a，根据直角三角形30°角的性质和勾股定
理分别计算点A和B的坐标，写出A和B两点的坐标，代入解析式求出 k 和k
1 2
的值，相比即可．
【解答】解：如图，Rt△AOB中，∠B=30°，∠AOB=90°，
∴∠OAC=60°，
∵AB⊥OC，
∴∠ACO=90°，
∴∠AOC=30°，
设AC=a，则OA=2a，OC=√3a，
∴A（√3a，a），
k
∵A在函数y = 1（x＞0）的图象上，
1 x
∴k =√3a•a=√3a2，
1
Rt△BOC中，OB=2OC=2√3a，
∴BC=√OB2-OC2=3a，
∴B（√3a，﹣3a），
k
∵B在函数y = 2（x＞0）的图象上，
2 x
∴k =﹣3a⋅√3a=﹣3√3a2，
2
k 1
∴ 1 =﹣ ；
k 3
2
1
故答案为：﹣ ．
3
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的特征、直角三角形30°的性质，熟练
掌握直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半，正确写出 A、B两点的坐标
是关键．
18．（3 分）（2017•株洲）如图示二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴在 y 轴的右
侧，其图象与 x 轴交于点 A（﹣1，0）与点 C（x ，0），且与 y 轴交于点 B
2
（0，﹣2），小强得到以下结论：①0＜a＜2；②﹣1＜b＜0；③c=﹣1；④当|
a|=|b|时x ＞√5﹣1；以上结论中正确结论的序号为 ①④ ．
2
第17页（共28页）【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H4：二次函数图象与系数的关系．
菁优网版权所有
【分析】根据抛物线与y轴交于点B（0，﹣2），可得c=﹣2，依此判断③；由
抛物线图象与x轴交于点A（﹣1，0），可得a﹣b﹣2=0，依此判断①②；由|
1
a|=|b|可得二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为y= ，可得x =2，比较大小即可判
2 2
断④；从而求解．
【解答】解：由A（﹣1，0），B（0，﹣2），得b=a﹣2，
∵开口向上，
∴a＞0；
∵对称轴在y轴右侧，
b
∴﹣ ＞0，
2a
a-2
∴﹣ ＞0，
2a
∴a﹣2＜0，
∴a＜2；
∴0＜a＜2；
∴①正确；
∵抛物线与y轴交于点B（0，﹣2），
∴c=﹣2，故③错误；
∵抛物线图象与x轴交于点A（﹣1，0），
∴a﹣b﹣2=0，无法得到0＜a＜2；②﹣1＜b＜0，故①②错误；
∵|a|=|b|，二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，
1
∴二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为y= ，
2
∴x =2＞√5﹣1，故④正确．
2
故答案为：①④．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数的关系：二次
函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞
0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项
系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴
左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y
轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2
﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个
交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
第18页（共28页）三、解答题（本大题共有8个小题，满分66分）
19．（6分）（2017•株洲）计算：√8+20170×（﹣1）﹣4sin45°．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
菁优网版权所有
【分析】根据立方根的定义、零指数幂及特殊角的三角函数值求得各项的值，
再计算即可．
【解答】解：
√8+20170×（﹣1）﹣4sin45°
√2
=2√2+1×（﹣1）﹣4×
2
=2√2﹣1﹣2√2
=﹣1．
【点评】本题主要考查实数的计算及零指数幂和特殊角的三角函数值，掌握立
方根的计算、零指数幂的运算法则、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
y2 y
20．（6分）（2017•株洲）化简求值：（x﹣ ）• ﹣y，其中x=2，y=√3
x x+ y
．
【考点】6D：分式的化简求值．
菁优网版权所有
【专题】11 ：计算题；513：分式．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分后计算
得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
(x+ y)(x- y) y y(x- y) xy y2
【解答】解：原式= • ﹣y= ﹣ =﹣ ，
x x+ y x x x
3
当x=2，y=√3时，原式=﹣ ．
2
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．（8分）（2017•株洲）某次世界魔方大赛吸引世界各地共 600名魔方爱好
者参加，本次大赛首轮进行 3×3阶魔方赛，组委会随机将爱好者平均分到 20
个区域，每个区域30名同时进行比赛，完成时间小于8秒的爱好者进入下一轮
角逐；如图是3×3阶魔方赛A区域30名爱好者完成时间统计图，求：
①A区域3×3阶魔方爱好者进入下一轮角逐的人数的比例（结果用最简分数表
示）．
②若3×3阶魔方赛各个区域的情况大体一致，则根据 A区域的统计结果估计在
3×3阶魔方赛后进入下一轮角逐的人数．
③若3×3阶魔方赛A区域爱好者完成时间的平均值为8.8秒，求该项目赛该区
域完成时间为8秒的爱好者的概率（结果用最简分数表示）．
第19页（共28页）【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；X4：概率公式．
菁优网版权所有
【专题】1 ：常规题型．
【分析】①由图知1人6秒，3人7秒，小于8秒的爱好者共有4人，进入下一
轮角逐的人数比例为4：30；
②因为其他赛区情况大致一致，所以进入下一轮的人数为：600×A区进入下一
轮角逐的人数比例；
③由完成时间的平均值和A区30人，得到关于a、b的二元一次方程组，求出
a、b，得到完成时间8秒的爱好者的概率．
【解答】解：①A区小于8秒的共有3+1=4（人）
4 2
所以A区进入下一轮角逐的人数比例为： = ；
30 15
2
②估计进入下一轮角逐的人数为600× =80（人）；
15
③因为A区域爱好者完成时间的平均值为8.8秒，
所以（1×6+3×7+a×8+b×9+10×10）÷30=8.8
化简，得8a+9b=137
又∵1+3+a+b+10=30，即a+b=16
{&8a+9b=137
所以
&a+b=16
解得a=7，b=9
7
所以该区完成时间为8秒的爱好者的概率为 ．
30
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到
必要的信息是解决问题的关键．解决本题的关键是根据平均数和各个时间段的
人数确定完成时间为8秒的人数．概率=所求情况数与总情况数之比．
22．（8分）（2017•株洲）如图示，正方形 ABCD的顶点A在等腰直角三角形
DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．
①求证：△DAE≌△DCF；
②求证：△ABG∽△CFG．
第20页（共28页）【考点】S8：相似三角形的判定；KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直
角三角形；LE：正方形的性质．
菁优网版权所有
【专题】11 ：计算题；553：图形的全等；55D：图形的相似．
【分析】①由正方形ABCD与等腰直角三角形DEF，得到两对边相等，一对直角
相等，利用SAS即可得证；
②由第一问的全等三角形的对应角相等，根据等量代换得到∠BAG=∠BCF，再
由对顶角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证．
【解答】证明：①∵正方形ABCD，等腰直角三角形EDF，
∴∠ADC=∠EDF=90°，AD=CD，DE=DF，
∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
{
&DE=DF
&∠ADE=∠CDF，
&DA=DC
∴△ADE≌△CDF；
②延长BA到M，交ED于点M，
∵△ADE≌△CDF，
∴∠EAD=∠FCD，即∠EAM+∠MAD=∠BCD+∠BCF，
∵∠MAD=∠BCD=90°，
∴∠EAM=∠BCF，
∵∠EAM=∠BAG，
∴∠BAG=∠BCF，
∵∠AGB=∠CGF，
∴△ABG∽△CFG．
第21页（共28页）【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性
质，熟练掌握各自的判定与性质是解本题的关键．
23．（8分）（2017•株洲）如图示一架水平飞行的无人机 AB的尾端点A测得
正前方的桥的左端点P的
俯角为α其中tanα=2√3，无人机的飞行高度AH为500√3米，桥的长度为1255
米．
①求点H到桥左端点P的距离；
②若无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°，求这架无人机的
长度AB．
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
菁优网版权所有
AH
【分析】①在Rt△AHP中，由tan∠APH=tanα= ，即可解决问题；
HP
BC
②设BC⊥HQ于C．在Rt△BCQ中，求出CQ= =1500米，由PQ=1255米，
tan30°
可得CP=245米，再根据AB=HC=PH﹣PC计算即可；
【解答】解：①在Rt△AHP中，∵AH=500√3，
AH 500√3
由tan∠APH=tanα= = =2√3，可得PH=250米．
HP PH
∴点H到桥左端点P的距离为250米．
②设BC⊥HQ于C．
在Rt△BCQ中，∵BC=AH=500√3，∠BQC=30°，
BC
∴CQ= =1500米，
tan30°
∵PQ=1255米，
∴CP=245米，
∵HP=250米，
第22页（共28页）∴AB=HC=250﹣245=5米．
答：这架无人机的长度AB为5米．
【点评】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，锐角三角函数，矩形判定和
性质等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24．（8分）（2017•株洲）如图所示，Rt△PAB的直角顶点 P（3，4）在函数
k t
y= （x＞0）的图象上，顶点 A、B在函数y= （x＞0，0＜t＜k）的图象上，
x x
PA∥x轴，连接OP，OA，记△OPA的面积为S ，△PAB的面积为S ，设
△OPA △PAB
w=S ﹣S ．
△OPA △PAB
①求k的值以及w关于t的表达式；
②若用w 和w 分别表示函数w的最大值和最小值，令T=w +a2﹣a，其中a
max min max
为实数，求T ．
min
【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；G6：反比例函数图象上点的坐标
特征．
菁优网版权所有
1
【分析】（1）由点P的坐标表示出点A、点B的坐标，从而得S = •PA•PB=
△PAB
2
1 t t
（4﹣ ）（3﹣ ），再根据反比例系数 k的几何意义知S =S ﹣S =6
2 3 4
△OPA △OPC △OAC
1
﹣ t，由w=S ﹣S 可得答案；
2
△OPA △PAB
3
（2）将（1）中所得解析式配方求得w = ，代入T=w +a2﹣a配方即可得出
max 2 max
答案．
【解答】解：（1）∵点P（3，4），
t t t
∴在y= 中，当x=3时，y= ，即点A（3， ），
x 3 3
t t
当y=4时，x= ，即点B（ ，4），
4 4
第23页（共28页）1 1 t t
则S = •PA•PB= （4﹣ ）（3﹣ ），
△PAB
2 2 3 4
如图，延长PA交x轴于点C，
则PC⊥x轴，
1 1 1
又S =S ﹣S = ×3×4﹣ t=6﹣ t，
△OPA △OPC △OAC
2 2 2
1 1 t t 1 1
∴w=6﹣ t﹣ （4﹣ ）（3﹣ ）=﹣ t2+ t；
2 2 3 4 24 2
1 1 1 3
（2）∵w=﹣ t2+ t=﹣ （t﹣6）2+ ，
24 2 24 2
3
∴w = ，
max 2
3 1 5
则T=w +a2﹣a=a2﹣a+ =（a﹣ ）2+ ，
max 2 2 4
1 5
∴当a= 时，T = ．
2 min 4
【点评】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义及二次函数的性质，熟练
掌握反比例系数k的几何意义及配方法求二次函数的最值是解题的关键．
25．（10分）（2017•株洲）如图示AB为⊙O的一条弦，点C为劣弧AB的中
点，E为优弧AB上一点，点F在AE的延长线上，且BE=EF，线段CE交弦AB于
点D．
①求证：CE∥BF；
②若BD=2，且EA：EB：EC=3：1：√3，求△BCD的面积（注：根据圆的对称性
可知OC⊥AB）．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；M2：垂径定理．
菁优网版权所有
第24页（共28页）1
【分析】①连接AC，BE，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出∠F=
2
∠AEB，由圆周角定理得出∠AEC=∠BEC，证出∠AEC=∠F，即可得出结论；
AD 3 BD BE
②证明△ADE∽△CBE，得出 = ，证明△CBE∽△CDB，得出 = ，求
CB √5 CB CE
1
出CB=2√5，得出 AD=6，AB=8，由垂径定理得出 OC⊥AB，AG=BG= AB=4，由
2
勾股定理求出CG=√CB2-BG2=2，即可得出△BCD的面积．
【解答】①证明：连接AC，BE，作直线OC，如图所示：
∵BE=EF，
∴∠F=∠EBF；
∵∠AEB=∠EBF+∠F，
1
∴∠F= ∠AEB，
2
∵C是^AB的中点，∴^AC=^BC，
∴∠AEC=∠BEC，
∵∠AEB=∠AEC+∠BEC，
1
∴∠AEC= ∠AEB，
2
∴∠AEC=∠F，
∴CE∥BF；
②解：∵∠DAE=∠DCB，∠AED=∠CEB，
∴△ADE∽△CBE，
AD AE AD 3
∴ = ，即 = ，
CB CE CB √5
∵∠CBD=∠CEB，∠BCD=∠ECB，
∴△CBE∽△CDB，
BD BE 2 1
∴ = ，即 = ，
CB CE CB √5
∴CB=2√5，
∴AD=6，
∴AB=8，
∵点C为劣弧AB的中点，
1
∴OC⊥AB，AG=BG= AB=4，
2
∴CG=√CB2-BG2=2，
1 1
∴△BCD的面积= BD•CG= ×2×2=2．
2 2
第25页（共28页）【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、三角
形的外角性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理，证明三角
形相似是解决问题的关键．
26．（12分）（2017•株洲）已知二次函数y=﹣x2+bx+c+1，
①当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程；
1
②若c= b2﹣2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切？
4
③若二次函数的图象与x轴交于点A（x ，0），B（x ，0），且x ＜x ，与y轴
1 2 1 2
的正半轴交于点M，以AB为直径的半圆恰好过点M，二次函数的对称轴l与x
DE 1
轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足 = ，求二次函数的表
EF 3
达式．
【考点】HF：二次函数综合题；H3：二次函数的性质．
菁优网版权所有
b
【分析】①二次函数y=﹣x2+bx+c+1的对称轴为x= ，即可得出答案；
2
b 4(c+1)+b2
②二次函数y=﹣x2+bx+c+1的顶点坐标为（ ， ），y由二次函数的
2 4
{
4(c+1)+b2
& =0
1 4
图象与x轴相切且c= b2﹣2b，得出方程组 ，求出b即可；
4 1
&c= b2-2b
4
③ 由 圆 周 角 定 理 得 出 ∠ AMB=90° ， 证 出 ∠ OMA=∠ OBM ， 得 出
△OAM∽△OMB，得出OM2=OA•OB，由二次函数的图象与x轴的交点和根与系
数关系得出 OA=﹣x ，OB=x ，x +x ，=b，x •x =﹣（c+1），得出方程（c+1）
1 2 1 2 1 2
第26页（共28页）2=c+1，得出 c=0，OM=1，证明△BDE∽△BOM，△AOM∽△ADF，得出
DE BD OM OA
= ， = ，得出 OB=4OA，即x =﹣4x ，由x •x =﹣（c+1）=﹣1，
OM OB DF AD 2 1 1 2
{&x ⋅x =-1
得出方程组 1 2 ，解方程组求出b的值即可．
&x =-4x
2 1
b
【解答】解：①二次函数y=﹣x2+bx+c+1的对称轴为x= ，
2
b 1
当b=1时， = ，
2 2
1
∴当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程为x= ．
2
b 4(c+1)+b2
②二次函数y=﹣x2+bx+c+1的顶点坐标为（ ， ），
2 4
1
∵二次函数的图象与x轴相切且c= b2﹣2b，
4
{
4(c+1)+b2
& =0
4
∴ ，解得：b=2+√2或b=2﹣√2，
1
&c= b2-2b
4
∴b为2+√2或2﹣√2时，二次函数的图象与x轴相切．
③∵AB是半圆的直径，
∴∠AMB=90°，
∴∠OAM+∠OBM=90°，
∵∠AOM=∠MOB=90°，
∴∠OAM+∠OMA=90°，
∴∠OMA=∠OBM，
∴△OAM∽△OMB，
OM OA
∴ = ，
OB OM
∴OM2=OA•OB，
∵二次函数的图象与x轴交于点A（x ，0），B（x ，0），
1 2
∴OA=﹣x ，OB=x ，x +x ，=b，x •x =﹣（c+1），
1 2 1 2 1 2
∵OM=c+1，
∴（c+1）2=c+1，
解得：c=0或c=﹣1（舍去），
∴c=0，OM=1，
∵二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满
DE 1
足 = ，
EF 3
∴AD=BD，DF=4DE，
DF∥OM，
∴△BDE∽△BOM，△AOM∽△ADF，
第27页（共28页）DE BD OM OA
∴ = ， = ，
OM OB DF AD
BD AD
∴DE= ，DF= ，
OB OA
AD BD
∴ = ×4，
OA OB
∴OB=4OA，即x =﹣4x ，
2 1
∵x •x =﹣（c+1）=﹣1，
1 2
{ 1
{&x ⋅x =-1 &x =-
∴ 1 2 ，解得： 1 2，
&x =-4x
2 1 &x =2
2
1 3
∴b=﹣ +2= ，
2 2
3
∴二次函数的表达式为y=﹣x2+ x+1．
2
【点评】本题是二次函数综合题目，考查了二次函数的性质、二次函数的图象
与x轴的交点、顶点坐标、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、根与系数
是关系等知识；本题综合性强，有一定难度．
第28页（共28页）
