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2017 年湖南省张家界市中考数学试卷
一、选择题（本大题共 8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1．（3分）﹣2017的相反数是（ ）
1 1
A．﹣2017 B．2017 C．﹣ D．
2017 2017
2．（3分）正在修建的黔张常铁路，横跨渝、鄂、湘三省，起于重庆市黔江区
黔江站，止于常德市武陵区常德站．铁路规划线路总长 340公里，工程估算金
额375000000000元．将数据37500000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.375×1011 B．3.75×1011 C．3.75×1010 D．375×108
3．（3分）如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO=30°，则
∠BOC的度数是（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
4．（3分）下列运算正确的有（ ）
A．5ab﹣ab=4 B．（a2）3=a6 C．（a﹣b）2=a2﹣b2 D．√9=±3
5．（3分）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的周长
是6，则△ABC的周长是（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
6．（3分）如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“美”字所在面
相对的面上标的字是（ ）
第1页（共21页）A．丽 B．张 C．家 D．界
7．（3分）某校高一年级今年计划招四个班的新生，并采取随机摇号的方法分
班，小明和小红既是该校的高一新生，又是好朋友，那么小明和小红分在同一
个班的机会是（ ）
1 1 1 3
A． B． C． D．
4 3 2 4
m
8．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+m（m≠0）与y= （m≠0）的
x
图象可能是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）
{&x≥1
9．（3分）不等式组 的解集是 ．
&x＞-2
10．（3分）因式分解：x3﹣x= ．
11．（3分）如图，a∥b，PA⊥PB，∠1=35°，则∠2的度数是 ．
12．（3 分）已知一元二次方程 x2﹣3x﹣4=0 的两根是 m，n，则 m2+n2=
．
13．（3分）某校组织学生参加植树活动，活动结束后，统计了九年级甲班 50
名学生每人植树的情况，绘制了如下的统计表：
第2页（共21页）植树棵 3 4 5 6
数
人数 20 15 10 5
那么这50名学生平均每人植树 棵．
14．（3 分）如图，在正方形 ABCD 中，AD=2√3，把边 BC 绕点 B 逆时针旋转
30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积
为 ．
三、解答题（本大题共 9个小题，满分58分.解答应写出文字说明、证明过程
或演算步骤.）
1
15．（5分）计算：（ ）﹣1+2cos30°﹣|√3﹣1|+（﹣1）2017．
2
1 x2-4x+4
16．（5分）先化简（1﹣ ）÷ ，再从不等式2x﹣1＜6的正整数
x-1 x2-1
解中选一个适当的数代入求值．
17．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交
CB的延长线于点F，连接AF，BE．
（1）求证：△AGE≌△BGF；
（2）试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．
第3页（共21页）18．（6分）某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，购买了黑白两种颜
色的文化衫共140件，进行手绘设计后了出售，所获利润全部捐给山区困难孩
子．每件文化衫的批发价和零售价如下表：
批发价（元） 零售价（元）
黑色文化衫 10 25
白色文化衫 8 20
假设文化衫全部售出，共获利1860元，求黑白两种文化衫各多少件？
19．（6分）位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．
铜像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在 Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，
在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确
到 0.1 米 ， 参 考 数 据 ： sin70.5°≈ 0.943 ， cos70.5°≈ 0.334 ，
tan70.5°≈2.824）
第4页（共21页）20．（6分）阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2=﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形
如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个
复数的虚部，它的加、减，乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：（2﹣i）+（5+3i）=（2+5）+（﹣1+3）i=7+2i；
（1+i）×（2﹣i）=1×2﹣i+2×i﹣i2=2+（﹣1+2）i+1=3+i；
根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：i3= ，i4= ；
（2）计算：（1+i）×（3﹣4i）；
（3）计算：i+i2+i3+…+i2017．
21．（7分）在等腰△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O分别与AB，AC相交于
点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
第5页（共21页）（2）分别延长CB，FD，相交于点G，∠A=60°，⊙O的半径为6，求阴影部分
的面积．
22．（8分）为了丰富同学们的课余生活，某学校计划举行“亲近大自然”户
外活动，现随机抽取了部分学生进行主题为“你最想去的景点是？”的问卷调
查，要求学生必须从“A（洪家关），B（天门山），C（大峡谷），D（黄龙
洞）”四个景点中选择一项，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计
图．
请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：
（1）本次调查的学生人数为 ；
（2）在扇形统计图中，“天门山”部分所占圆心角的度数为 ；
（3）请将两个统计图补充完整；
（4）若该校共有2000名学生，估计该校最想去大峡谷的学生人数为 ．
第6页（共21页）23．（10分）已知抛物线 c 的顶点为 A（﹣1，4），与 y轴的交点为 D（0，
1
3）．
（1）求c 的解析式；
1
（2）若直线l ：y=x+m与c 仅有唯一的交点，求m的值；
1 1
（3）若抛物线c 关于y轴对称的抛物线记作c ，平行于x轴的直线记作l ：
1 2 2
y=n．试结合图形回答：当n为何值时，l 与c 和c 共有：①两个交点；②三个
2 1 2
交点；③四个交点；
（4）若c 与x轴正半轴交点记作B，试在x轴上求点P，使△PAB为等腰三角
2
形．
第7页（共21页）2017 年湖南省张家界市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1．（3分）（2017•张家界）﹣2017的相反数是（ ）
1 1
A．﹣2017 B．2017 C．﹣ D．
2017 2017
【考点】14：相反数．
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【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【解答】解：﹣2017的相反数是2017，
故选：B．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2．（3分）（2017•张家界）正在修建的黔张常铁路，横跨渝、鄂、湘三省，
起于重庆市黔江区黔江站，止于常德市武陵区常德站．铁路规划线路总长 340
公里，工程估算金额375000000000元．将数据37500000000用科学记数法表示
为（ ）
A．0.375×1011 B．3.75×1011 C．3.75×1010 D．375×108
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
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【专题】17 ：推理填空题．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a×10n，其中 1≤|a|＜
10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：37500000000=3.75×1010．
故选：C．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为 a×10n，其
中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
3．（3分）（2017•张家界）如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，
若∠ACO=30°，则∠BOC的度数是（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
【考点】M5：圆周角定理．
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【分析】由等腰三角形的性质得出∠A=∠ACO=30°，再由圆周角定理即可得出
答案．
【解答】解：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO=30°，
第8页（共21页）∵AB是⊙O的直径，
∴∠BOC=2∠A=2×30°=60°．
故选D．
【点评】此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质．熟练掌握圆周角定理是
解决问题的关键．
4．（3分）（2017•张家界）下列运算正确的有（ ）
A．5ab﹣ab=4 B．（a2）3=a6 C．（a﹣b）2=a2﹣b2 D．√9=±3
【考点】47：幂的乘方与积的乘方；22：算术平方根；35：合并同类项；4C：
完全平方公式．
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【分析】根据合并同类项、幂的乘方、完全平方公式以及算术平平方根的定义
和计算公式分别进行计算，即可得出答案．
【解答】解：A、5ab﹣ab=4ab，故本选项错误；
B、（a2）3=a6，故本选项正确；
C、（a﹣b）2=a2﹣2ab﹣b2，故本选项错误；
D、√9=3，故本选项错误；
故选B．
【点评】此题考查了合并同类项、幂的乘方、完全平方公式以及算术平平方
根，熟记公式和定义是解题的关键，是一道基础题．
5．（3分）（2017•张家界）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，
如果△ADE的周长是6，则△ABC的周长是（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KX：三角形中位线定理．
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1 1
【分析】根据线段中点的性质求出 AD= AB、AE= AC的长，根据三角形中位线
2 2
1
定理求出DE= AB，根据三角形周长公式计算即可．
2
【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
1 1 1
∴AD= AB，AE= AC，DE= BC，
2 2 2
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=2AD+2AE+2DE=2（AD+AE+DE）=2×6=12．
故选B．
【点评】本题考查的是三角形的中点的性质和三角形中位线定理，三角形的中
位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
6．（3分）（2017•张家界）如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中
与“美”字所在面相对的面上标的字是（ ）
第9页（共21页）A．丽 B．张 C．家 D．界
【考点】I8：专题：正方体相对两个面上的文字．
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【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一
特点作答．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“张”与“丽”是相对面，
“美”与“家”是相对面，
“的”与“界”是相对面，
故选：C．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图
形，从相对面入手，分析及解答问题．
7．（3分）（2017•张家界）某校高一年级今年计划招四个班的新生，并采取
随机摇号的方法分班，小明和小红既是该校的高一新生，又是好朋友，那么小
明和小红分在同一个班的机会是（ ）
1 1 1 3
A． B． C． D．
4 3 2 4
【考点】X6：列表法与树状图法．
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【分析】画出树状图，根据概率公式求解即可．
【解答】解：如图，
，
共有16种结果，小明和小红分在同一个班的结果有 4种，故小明和小红分在同
4 1
一个班的机会= = ．
16 4
故选A．
【点评】本题考查的是列表法和树状法，熟记概率公式是解答此题的关键．
8．（3分）（2017•张家界）在同一平面直角坐标系中，函数 y=mx+m（m≠0）
m
与y= （m≠0）的图象可能是（ ）
x
第10页（共21页）A． B． C． D．
【考点】G2：反比例函数的图象；F3：一次函数的图象．
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【分析】在各选项中，先利用反比例函数图象确定 m的符号，再利用m的符号
对一次函数图象的位置进行判断，从而判断该选项是否正确．
【解答】解：A、由反比例函数图象得m＜0，则一次函数图象经过第二、三、
四象限，所以A选项错误；
B、由反比例函数图象得m＞0，则一次函数图象经过第一、二、三象限，所以B
选项错误；
C、由反比例函数图象得m＜0，则一次函数图象经过第二、三、四象限，所以C
选项错误；
D、由反比例函数图象得m＜0，则一次函数图象经过第一、二、三象限，所以D
选项正确．
故选D．
k
【点评】本题考查了反比例函数图象：反比例函数 y= 为双曲线，当k＞0时，
x
图象分布在第一、三象限；当k＜0时，图象分布在第二、四象限．也考查了一
次函数的性质．
二、填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）
{&x≥1
9．（3分）（2017•张家界）不等式组 的解集是 x ≥ 1 ．
&x＞-2
【考点】C3：不等式的解集．
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【分析】直接利用不等式组的解集确定方法得出答案．
{&x≥1
【解答】解：不等式组 的解集是：x≥1．
&x＞-2
故答案为：x≥1．
【点评】此题主要考查了不等式的解集，正确把握不等式组解集确定方法是解
题关键．
10．（3分）（2017•张家界）因式分解：x3﹣x= x （ x+ 1 ）（ x ﹣ 1 ） ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
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【专题】11 ：计算题．
【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式=x（x2﹣1）=x（x+1）（x﹣1），
故答案为：x（x+1）（x﹣1）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方
法是解本题的关键．
11．（3分）（2017•张家界）如图，a∥b，PA⊥PB，∠1=35°，则∠2的度数
第11页（共21页）是 55° ．
【考点】JA：平行线的性质；J3：垂线．
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【分析】先延长AP交直线b于C，再根据平行线的性质以及三角形的外角性质
进行计算即可．
【解答】解：如图所示，延长AP交直线b于C，
∵a∥b，
∴∠C=∠1=35°，
∵∠APB是△BCP的外角，PA⊥PB，
∴∠2=∠APB﹣∠C=90°﹣35°=55°，
故答案为：55°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义的运用，解题时注意：
两直线平行，内错角相等．
12．（3分）（2017•张家界）已知一元二次方程x2﹣3x﹣4=0的两根是m，n，
则m2+n2= 1 7 ．
【考点】AB：根与系数的关系．
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【分析】由m与n为已知方程的解，利用根与系数的关系，求出 m+n与mn的
值，将所求式子利用完全平方公式变形后，代入计算即可求出值．
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣3x﹣4=0的两个根，
∴m+n=3，mn=﹣4，
则m2+n2=（m+n）2﹣2mn=9+8=17．
故答案为：17．
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系
是解本题的关键．
13．（3分）（2017•张家界）某校组织学生参加植树活动，活动结束后，统计
了九年级甲班50名学生每人植树的情况，绘制了如下的统计表：
植树棵 3 4 5 6
数
人数 20 15 10 5
那么这50名学生平均每人植树 4 棵．
【考点】W2：加权平均数．
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【分析】利用加权平均数的计算公式进行计算即可．
【解答】解：平均每人植树（3×20+4×15+5×10+6×5）÷50=4棵，
第12页（共21页）故答案为：4．
【点评】本题考查了加权平均数的计算，解题的关键是牢记加权平均数的计算
公式，难度不大．
14．（3分）（2017•张家界）如图，在正方形ABCD中，AD=2√3，把边BC绕点
B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角
形PCE的面积为 6√3 ﹣ 1 0 ．
【考点】R2：旋转的性质；LE：正方形的性质．
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【分析】根据旋转的想知道的PB=BC=AB，∠PBC=30°，推出△ABP是等边三角
形，得到∠BAP=60°，AP=AB=2√3，解直角三角形得到CE=2√3﹣2，PE=4﹣2√3
，过P作PF⊥CD于F，于是得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∵把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，
∴PB=BC=AB，∠PBC=30°，
∴∠ABP=60°，
∴△ABP是等边三角形，
∴∠BAP=60°，AP=AB=2√3，
∵AD=2√3，
∴AE=4，DE=2，
∴CE=2√3﹣2，PE=4﹣2√3，
过P作PF⊥CD于F，
√3
∴PF= PE=2√3﹣3，
2
1 1
∴三角形PCE的面积= CE•PF= ×（2√3﹣2）×（4﹣2√3）=6√3﹣10，
2 2
故答案为：6√3﹣10．
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等边三角形的判定和性质，
解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
第13页（共21页）三、解答题（本大题共 9个小题，满分58分.解答应写出文字说明、证明过程
或演算步骤.）
1
15．（5 分）（2017•张家界）计算：（ ）﹣1+2cos30°﹣|√3﹣1|+（﹣1）
2
2017．
【考点】2C：实数的运算；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
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【分析】先计算负整数指数幂、代入特殊锐角三角函数值、根据绝对值性质去
绝对值符号、计算乘方，再计算乘法、去括号，最后计算加减法可得．
√3
【解答】解：原式=2+2× ﹣（√3﹣1）﹣1
2
=2+√3﹣√3+1﹣1
=2．
【点评】本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握负整数指数幂、特殊锐角三
角函数值、绝对值性质及乘方的运算法则是解题的关键．
1 x2-4x+4
16．（5分）（2017•张家界）先化简（1﹣ ）÷ ，再从不等式2x
x-1 x2-1
﹣1＜6的正整数解中选一个适当的数代入求值．
【考点】6D：分式的化简求值；C7：一元一次不等式的整数解．
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【分析】先把括号里的式子进行通分，再把后面的式子根据完全平方公式、平
方差公式进行因式分解，然后约分，再求出不等式的解集，最后代入一个合适
的数据代入即可．
1 x2-4x+4 x-2 (x+1)(x-1) x+1
【解答】解：（1﹣ ）÷ = × = ，
x-1 x2-1 x-1 (x-2) 2 x-2
∵2x﹣1＜6，
∴2x＜7，
7
∴x＜ ，
2
把x=3代入上式得：
3+1
原式= =4．
3-2
【点评】此题考查了分式的化简求值以及一元一次不等式的解法，用到的知识
点是通分、完全平方公式、平方差公式以及一元一次不等式的解法，熟练掌握
公式与解法是解题的关键．
17．（5分）（2017•张家界）如图，在平行四边形 ABCD中，边AB的垂直平分
线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE．
（1）求证：△AGE≌△BGF；
（2）试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．
第14页（共21页）【考点】L5：平行四边形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；KG：线段垂
直平分线的性质．
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【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠AEG=∠BFG，由AAS证
明△AGE≌△BGF即可；
（2）由全等三角形的性质得出 AE=BF，由AD∥BC，证出四边形AFBE是平行四
边形，再根据EF⊥AB，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEG=∠BFG，
∵EF垂直平分AB，
∴AG=BG，
在△AGEH和△BGF中，{∠AEG=∠BFG ¿∠AGE=∠BGF ¿AG=BG ¿，
∴△AGE≌△BGF（AAS）；
（2）解：四边形AFBE是菱形，理由如下：
∵△AGE≌△BGF，
∴AE=BF，
∵AD∥BC，
∴四边形AFBE是平行四边形，
又∵EF⊥AB，
∴四边形AFBE是菱形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方法、全等三角形的判定
与性质、线段垂直平分线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全
等是解决问题的关键．
18．（6分）（2017•张家界）某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，购
买了黑白两种颜色的文化衫共140件，进行手绘设计后了出售，所获利润全部
捐给山区困难孩子．每件文化衫的批发价和零售价如下表：
批发价（元） 零售价（元）
黑色文化衫 10 25
白色文化衫 8 20
假设文化衫全部售出，共获利1860元，求黑白两种文化衫各多少件？
【考点】9A：二元一次方程组的应用．
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【分析】设黑色文化衫x件，白色文化衫y件，依据黑白两种颜色的文化衫共
140件，文化衫全部售出共获利1860元，列二元一次方程组进行求解．
【解答】解：设黑色文化衫x件，白色文化衫y件，依题意得
{&x+ y=140
，
&(25-10)x+(20-8)y=1860
第15页（共21页）{&x=60
解得 ，
& y=80
答：黑色文化衫60件，白色文化衫80件．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，当问题较复杂时，有时设与
要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几
个未知数，就要列几个方程．
19．（6分）（2017•张家界）位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年
来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在Rt△ABC中，
∠ABC=70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，求像体AD的高度
（ 最 后 结 果 精 确 到 0.1 米 ， 参 考 数 据 ： sin70.5°≈ 0.943 ，
cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）
【考点】T8：解直角三角形的应用．
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AC
【分析】根据等腰直角三角形的性质得出BC的长，再利用tan70.5°= 求出
BC
答案．
【解答】解：∵在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，
∴BC=2.3m，
∵在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，
AC AD+2.3
∴tan70.5°= = ≈2.824，
BC 2.3
解得：AD≈4.2，
答：像体AD的高度约为4.2m．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是
解题关键．
20．（6分）（2017•张家界）阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2=﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形
如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个
复数的虚部，它的加、减，乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：（2﹣i）+（5+3i）=（2+5）+（﹣1+3）i=7+2i；
（1+i）×（2﹣i）=1×2﹣i+2×i﹣i2=2+（﹣1+2）i+1=3+i；
第16页（共21页）根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：i3= ﹣ i ，i4= 1 ；
（2）计算：（1+i）×（3﹣4i）；
（3）计算：i+i2+i3+…+i2017．
【考点】2C：实数的运算．
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【专题】23 ：新定义．
【分析】（1）把i2=﹣1代入求出即可；
（2）根据多项式乘以多项式的计算法则进行计算，再把 i2=﹣1 代入求出即
可；
（3）先根据复数的定义计算，再合并即可求解．
【解答】解：（1）i3=i2•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1．
故答案为：﹣i，1；
（2）（1+i）×（3﹣4i）
=3﹣4i+3i﹣4i2
=3﹣i+4
=7﹣i；
（3）i+i2+i3+…+i2017
=i﹣1﹣i+1+…+i
=i．
【点评】本题考查了整式的混合运算，复数的定义，能读懂题意是解此题的关
键，主要考查了学生的理解能力和计算能力，难度适中．
21．（7分）（2017•张家界）在等腰△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O分别
与AB，AC相交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）分别延长CB，FD，相交于点G，∠A=60°，⊙O的半径为6，求阴影部分
的面积．
【考点】ME：切线的判定与性质；KH：等腰三角形的性质；MO：扇形面积的计
算．
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【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质证出∠A=∠ODB，得出OD∥AC，证
出DF⊥OD，即可得出结论；
（2）证明△OBD是等边三角形，由等边三角形的性质得出∠BOD=60°，求出
∠G=30°，由直角三角形的性质得出OG=2OD=2×6=12，由勾股定理得出DG=6√3
，阴影部分的面积=△ODG的面积﹣扇形OBD的面积，即可得出答案．
第17页（共21页）【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：
∵AC=BC，OB=OD，
∴∠ABC=∠A，∠ABC=∠ODB，
∴∠A=∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：∵AC=BC，∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴ABC=60°，
∵OD=OB，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∵DF⊥OD，
∴∠ODG=90°，
∴∠G=30°，
∴OG=2OD=2×6=12，
∴DG=√3OD=6√3，
1 60π×62
∴阴影部分的面积=△ODG的面积﹣扇形 OBD的面积= ×6×6√3﹣ =18
2 360
√3﹣6π．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定，
勾股定理、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质，是一道综合题，难
度中等．
22．（8分）（2017•张家界）为了丰富同学们的课余生活，某学校计划举行
“亲近大自然”户外活动，现随机抽取了部分学生进行主题为“你最想去的景
点是？”的问卷调查，要求学生必须从“A（洪家关），B（天门山），C（大峡
谷），D（黄龙洞）”四个景点中选择一项，根据调查结果，绘制了如下两幅不
完整的统计图．
第18页（共21页）请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：
（1）本次调查的学生人数为 12 0 人 ；
（2）在扇形统计图中，“天门山”部分所占圆心角的度数为 198° ；
（3）请将两个统计图补充完整；
（4）若该校共有 2000名学生，估计该校最想去大峡谷的学生人数为 500 人
．
【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图．
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【分析】（1）由B的人数除以其人数占被调查人数的百分比即可求解；
（2）用360°×“天门山”部分所占的百分比即可求解；
（3）用调查的学生总人数乘以C所占百分比得出C的人数，补全条形图；用1
减去B、C、D所占的百分比得出A所占的百分比，补全扇形图；
（4）用样本中最想去大峡谷的学生所占的百分比乘总人数即可．
【解答】解：（1）本次调查的学生人数为66÷55%=120．
故答案为120人；
（ 2 ） 在 扇 形 统 计 图 中 ， “ 天 门 山 ” 部 分 所 占 圆 心 角 的 度 数 为
360°×55%=198°．
故答案为198°；
（3）选择C的人数为：120×25%=30（人），
A所占的百分比为：1﹣55%﹣25%﹣5%=15%．
补全统计图如图：
（4）25%×2000=500（人）．
答：若该校共有2000名学生，估计该校最想去大峡谷的学生人数为500人．
故答案为：500人．
【点评】此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，
从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表
第19页（共21页）示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查
了用样本估计总体．
23．（10分）（2017•张家界）已知抛物线c 的顶点为A（﹣1，4），与y轴的
1
交点为D（0，3）．
（1）求c 的解析式；
1
（2）若直线l ：y=x+m与c 仅有唯一的交点，求m的值；
1 1
（3）若抛物线c 关于y轴对称的抛物线记作c ，平行于x轴的直线记作l ：
1 2 2
y=n．试结合图形回答：当n为何值时，l 与c 和c 共有：①两个交点；②三个
2 1 2
交点；③四个交点；
（4）若c 与x轴正半轴交点记作B，试在x轴上求点P，使△PAB为等腰三角
2
形．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）设抛物线c 的解析式为y=a（x+1）2+4，把D（0，3）代入y=a
1
（x+1）2+4即可得到结论；
（2）解方程组得到x2+3x+m﹣3=0，由于直线l ：y=x+m与c 仅有唯一的交点，
1 1
于是得到△=9﹣4m+12=0，即可得到结论；
（3）根据轴对称的性质得到抛物线 c 的解析式为：y=﹣x2+2x+3，根据图象即
2
可刚刚结论；
（4）求得B（3，0），得到OB=3，根据勾股定理得到AB=√42+(1+3) 2=4√2，①
当AP=AB，②当AB=BP=4√2时，③当AP=PB时，点P在AB的垂直平分线上，于
是得到结论．
【解答】解：（1）∵抛物线c 的顶点为A（﹣1，4），
1
∴设抛物线c 的解析式为y=a（x+1）2+4，
1
把D（0，3）代入y=a（x+1）2+4得3=a+4，
∴a=﹣1，
∴抛物线c 的解析式为：y=﹣（x+1）2+4，即y=﹣x2﹣2x+3；
1
{& y=-x2-2x+3
（2）解 得x2+3x+m﹣3=0，
& y=x+m
∵直线l ：y=x+m与c 仅有唯一的交点，
1 1
∴△=9﹣4m+12=0，
第20页（共21页）21
∴m= ；
4
（3）∵抛物线c 关于y轴对称的抛物线记作c ，
1 2
∴抛物线c 的顶点坐标为（1，4），与y轴的交点为（0，3），
2
∴抛物线c 的解析式为：y=﹣x2+2x+3，
2
∴①当直线l 过抛物线c 的顶点（﹣1，4）和抛物线记作c 的顶点（1，4）
2 1 2
时，即n=4时，l 与c 和c 共有两个交点；
2 1 2
②当直线l 过D（0，3）时，即n=3时，l 与c 和c 共有三个交点；
2 2 1 2
③当3＜n＜4或n＞3时，l 与c 和c 共有四个交点；
2 1 2
（4）如图，∵若c 与x轴正半轴交于B，
2
∴B（3，0），
∴OB=3，
∴AB=√42+(1+3) 2=4√2，
①当AP=AB=4√2时，PB=8，
∴P （﹣5，0），
1
②当AB=BP=4√2时，
P （3﹣4√2，0）或P （3+4√2，0），
2 3
③当AP=PB时，点P在AB的垂直平分线上，
∴PA=PB=4，
∴P （﹣1，0），
4
综上所述，点P的坐标为（﹣5，0）或（3﹣4√2，0）或（3+4√2，0）或（﹣
1，0）时，△PAB为等腰三角形．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，轴对称的性质，等腰三
角形的判定和性质，函数的交点问题，解决本题关键是进行分类讨论．
第21页（共21页）
