文档内容
2017 年湖南省岳阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）6的相反数是（ ）
A．﹣6 B． C．6 D．±6
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（x3）2=x5B．（﹣x）5=﹣x5 C．x3•x2=x6 D．3x2+2x3=5x5
3．（3分）据国土资源部数据显示，我国是全球“可燃冰”资源储量最多的国家之一，海、陆
总储量约为39000000000吨油当量，将39000000000用科学记数法表示为（ ）
A．3.9×1010 B．3.9×109 C．0.39×1011 D．39×109
4．（3分）下列四个立体图形中，主视图、左视图、俯视图都相同的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）从 ，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）解分式方程 ﹣ =1，可知方程的解为（ ）
A．x=1 B．x=3 C．x= D．无解
7．（3分）观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，…，根据这个规律，则
21+22+23+24+…+22017的末位数字是（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
8．（3分）已知点A在函数y=﹣ （x＞0）的图象上，点B在直线y=kx+1+k（k为常数，且
1 2
k≥0）上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y，y 图象上的一对“友好点”．请
1 2
问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（ ）
A．有1对或2对 B．只有1对 C．只有2对 D．有2对或3对二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
9．（4分）函数y= 中自变量x的取值范围是 ．
10．（4分）因式分解：x2﹣6x+9= ．
11．（4分）在环保整治行动中，某市环保局对辖区内的单位进行了抽样调查，他们的综合得
分如下：95，85，83，95，92，90，96，则这组数据的中位数是 ，众数是 ．
12．（4分）如图，点P是∠NOM的边OM上一点，PD⊥ON于点D，∠OPD=30°，PQ∥ON，则∠MPQ
的度数是 ．
13．（4分）不等式组 的解集是 ．
14．（4分）在△ABC中BC=2，AB=2 ，AC=b，且关于x的方程x2﹣4x+b=0有两个相等的实数
根，则AC边上的中线长为 ．
15．（4分）我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，认为圆内接正多边形边数无限增
加时，周长就越接近圆周长，由此求得了圆周率π的近似值，设半径为r的圆内接正n边形
的周长为L，圆的直径为d，如图所示，当n=6时，π≈ = =3，那么当n=12时，π≈ =
．（结果精确到0.01，参考数据：sin15°=cos75°≈0.259）
16．（4分）如图，⊙O为等腰△ABC的外接圆，直径AB=12，P为弧 上任意一点（不与B，C重
合），直线CP交AB延长线于点Q，⊙O在点P处切线PD交BQ于点D，下列结论正确的是
．（写出所有正确结论的序号）
①若∠PAB=30°，则弧 的长为π；②若PD∥BC，则AP平分∠CAB；
③若PB=BD，则PD=6 ；④无论点P在弧 上的位置如何变化，CP•CQ为定值．三、解答题（本大题共8小题，共64分）
17．（6分）计算：2sin60°+|3﹣ |+（π﹣2）0﹣（ ）﹣1．
18．（6分）求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写
出证明过程．
已知：如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O， ．
▱
求证： ．19．（8分）如图，直线y=x+b与双曲线y= （k为常数，k≠0）在第一象限内交于点A（1，2），且
与x轴、y轴分别交于B，C两点．21教育网
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）点P在x轴上，且△BCP的面积等于2，求P点的坐标．
20．（8分）我市某校组织爱心捐书活动，准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区，其中每包
书的数目相等．第一次他们领来这批书的 ，结果打了16个包还多40本；第二次他们把剩下
的书全部取来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好又打了9个包，那么这批书共有多少本？
2
21．（8分）为了加强学生课外阅读，开阔视野，某校开展了“书香校园，从我做起”的主题活动，学校随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行调查，绘制出频数分布表和
频数分布直方图的一部分如下：
课外阅读时间（单位：小时） 频数（人数） 频率
0＜t≤2 2 0.04
2＜t≤4 3 0.06
4＜t≤6 15 0.30
6＜t≤8 a 0.50
t＞8 5 b
请根据图表信息回答下列问题：
（1）频数分布表中的a= ，b= ；
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）学校将每周课外阅读时间在8小时以上的学生评为“阅读之星”，请你估计该校2000名
学生中评为“阅读之星”的有多少人？2·1·c·n·j·y
22．（8分）某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直
线相交于点O，且OB=OD，支架CD与水平线AE垂直，∠BAC=∠CDE=30°，DE=80cm，AC=165cm．
（1）求支架CD的长；（2）求真空热水管AB的长．（结果保留根号）
23．（10分）问题背景：已知∠EDF的顶点D在△ABC的边AB所在直线上（不与A，B重合），DE
交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N，记△ADM的面积为S，△BND的面积为S．
1 2
【来源：21cnj*y.co*m】
（1）初步尝试：如图①，当△ABC是等边三角形，AB=6，∠EDF=∠A，且DE∥BC，AD=2时，则
S•S= ；
1 2（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点D沿AB平移，使AD=4，再将∠EDF绕点D旋转至如图
②所示位置，求S•S 的值；
1 2
（3）延伸拓展：当△ABC是等腰三角形时，设∠B=∠A=∠EDF=α．
（Ⅰ）如图③，当点D在线段AB上运动时，设AD=a，BD=b，求S•S 的表达式（结果用a，b和α
1 2
的三角函数表示）．
（Ⅱ）如图④，当点D在BA的延长线上运动时，设AD=a，BD=b，直接写出S•S 的表达式，不必
1 2
写出解答过程．
24．（10分）如图，抛物线y= x2+bx+c经过点B（3，0），C（0，﹣2），直线l：y=﹣ x﹣ 交y轴
于点E，且与抛物线交于A，D两点，P为抛物线上一动点（不与A，D重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线l下方时，过点P作PM∥x轴交l于点M，PN∥y轴交l于点N，求PM+PN的
最大值．
（3）设F为直线l上的点，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F
的坐标；若不能，请说明理由．2017 年湖南省岳阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）（2017•岳阳）6的相反数是（ ）
A．﹣6 B． C．6 D．±6
【考点】14：相反数．21世纪教育网
【分析】根据相反数的定义求解即可．
【解答】解：6的相反数是﹣6，
故选A．
2．（3分）（2017•岳阳）下列运算正确的是（ ）
A．（x3）2=x5B．（﹣x）5=﹣x5 C．x3•x2=x6 D．3x2+2x3=5x5
【考点】47：幂的乘方与积的乘方；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法．21世纪教育网
【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘法以及合并同类项计算法则进行解答．
【解答】解：A、原式=x6，故本选项错误；
B、原式=﹣x5，故本选项正确；
C、原式=x5，故本选项错误；
D、3x2与2x3不是同类项，不能合并，故本选项错误；
故选：B．
3．（3分）（2017•岳阳）据国土资源部数据显示，我国是全球“可燃冰”资源储量最多的国家
之一，海、陆总储量约为 39000000000吨油当量，将39000000000用科学记数法表示为
（ ）
A．3.9×1010 B．3.9×109 C．0.39×1011 D．39×109
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．21世纪教育网
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此
判断即可．
【解答】解：39000000000=3.9×1010．
故选：A．4．（3分）（2017•岳阳）下列四个立体图形中，主视图、左视图、俯视图都相同的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】U1：简单几何体的三视图．21世纪教育网
【分析】分别分析圆锥、圆柱、球体、三棱柱的主视图、左视图、俯视图，从而得出结论．
【解答】解：∵球的主视图、左视图、俯视图都是圆，
∴主视图、左视图、俯视图都相同的是B，
故选B．
5．（3分）（2017•岳阳）从 ，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率
是（ ）
A． B． C． D．
【考点】X4：概率公式；12：有理数．21世纪教育网
【分析】根据有理数的定义可找出在 ，0，π，3.14，6这5个数中只有0、3.14和6为有理数，
再根据概率公式即可求出抽到有理数的概率．
【解答】解：∵在 ，0，π，3.14，6这5个数中只有0、3.14和6为有理数，
∴从 ，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是 ．
故选C．
6．（3分）（2017•岳阳）解分式方程 ﹣ =1，可知方程的解为（ ）
A．x=1 B．x=3 C．x= D．无解
【考点】B3：解分式方程．21世纪教育网
【分析】直接利用分式方程的解法，首先去分母，进而解方程得出答案．
【解答】解：去分母得：
2﹣2x=x﹣1，
解得：x=1，
检验：当x=1时，x﹣1=0，故此方程无解．
故选：D．
7．（3分）（2017•岳阳）观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，…，根据这个规律，
则21+22+23+24+…+22017的末位数字是（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【考点】1Q：尾数特征．21世纪教育网
【分析】根据题目中的式子可以知道，末尾数字出现的2、4、8、6的顺序出现，从而可以求得
21+22+23+24+…+22017的末位数字．本题得以解决．
【解答】解：∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，…，
∴2017÷4=506…1，∵（2+4+8+6）×506+2=10122，
∴21+22+23+24+…+22017的末位数字是2，
故选B．
8．（3分）（2017•岳阳）已知点A在函数y=﹣ （x＞0）的图象上，点B在直线y=kx+1+k（k为
1 2
常数，且k≥0）上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y，y 图象上的一对“友好
1 2
点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（ ） 【来源：21·世纪·教
育·网】
A．有1对或2对 B．只有1对 C．只有2对 D．有2对或3对
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；F8：一次函数图象上点的坐标特征；R6：关于原
点对称的点的坐标．21世纪教育网
【分析】根据“友好点”的定义知，函数y 图象上点A（a，﹣ ）关于原点的对称点B（a，﹣
1
）一定位于直线y 上，即方程ka2﹣（k+1）a+1=0 有解，整理方程得（a﹣1）（ka﹣1）=0，据此可
2
得答案．
【解答】解：设A（a，﹣ ），
由题意知，点A关于原点的对称点B（（a，﹣ ），）在直线y=kx+1+k上，
2
则 =﹣ak+1+k，
整理，得：ka2﹣（k+1）a+1=0 ①，
即（a﹣1）（ka﹣1）=0，
∴a﹣1=0或ka﹣1=0，
则a=1或ka﹣1=0，
若k=0，则a=1，此时方程①只有1个实数根，即两个函数图象上的“友好点”只有1对；
若k≠0，则a= ，此时方程①有2个实数根，即两个函数图象上的“友好点”有2对，
综上，这两个函数图象上的“友好点”对数情况为1对或2对，
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
9．（4分）（2017•岳阳）函数y= 中自变量x的取值范围是 x ≠ 7 ．
【考点】E4：函数自变量的取值范围．21世纪教育网
【分析】根据分母不为零，即可解决问题．
【解答】解：函数y= 中自变量x的范围是x≠7．
故答案为x≠7
10．（4分）（2017•岳阳）因式分解：x2﹣6x+9= （ x ﹣ 3 ） 2 ．
【考点】54：因式分解﹣运用公式法．21世纪教育网
【分析】直接运用完全平方公式进行因式分解即可．【解答】解：x2﹣6x+9=（x﹣3）2．
11．（4分）（2017•岳阳）在环保整治行动中，某市环保局对辖区内的单位进行了抽样调查，他
们的综合得分如下：95，85，83，95，92，90，96，则这组数据的中位数是 9 2 ，众数是 9 5
．21cnjy.com
【考点】W5：众数；W4：中位数．21世纪教育网
【分析】环保整治行动中，某市环保局对辖区内的单位进行了抽样调查，他们的综合得分如下：
95，85，83，95，92，90，96，则这组数据的中位数．
【解答】解：这组数据从小到大排列为：83，85，90，92，95，95，96．则中位数是：92；
众数是95．
故答案是：92，95．
12．（4分）（2017•岳阳）如图，点P是∠NOM的边OM上一点，PD⊥ON于点D，∠OPD=30°，
PQ∥ON，则∠MPQ的度数是 60° ．
【考点】JA：平行线的性质；J3：垂线．21世纪教育网
【分析】根据直角三角形的内角和，求得∠O，再根据平行线的性质，即可得到∠MPQ．
【解答】解：∵PD⊥ON于点D，∠OPD=30°，
∴Rt△OPD中，∠O=60°，
又∵PQ∥ON，
∴∠MPQ=∠O=60°，
故答案为：60°．
13．（4分）（2017•岳阳）不等式组 的解集是 x ＜﹣ 3 ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．21世纪教育网
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：
∵解不等式①得：x≤3，
解不等式②得：x＜﹣3，
∴不等式组的解集为x＜﹣3，
故答案为：x＜﹣3．
14．（4分）（2017•岳阳）在△ABC中BC=2，AB=2 ，AC=b，且关于x的方程x2﹣4x+b=0有两个
相等的实数根，则AC边上的中线长为 2 ．
【考点】AA：根的判别式；KP：直角三角形斜边上的中线；KS：勾股定理的逆定理．21世纪教育
网
【分析】由根的判别式求出AC=b=4，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，再由直角
三角形斜边上的中线性质即可得出结论．2-1-c-n-j-y【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x+b=0有两个相等的实数根，
∴△=16﹣4b=0，
∴AC=b=4，
∵BC=2，AB=2 ，
∴BC2+AB2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，AC是斜边，
∴AC边上的中线长= AC=2；
故答案为：2．
15．（4分）（2017•岳阳）我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，认为圆内接正多边
形边数无限增加时，周长就越接近圆周长，由此求得了圆周率π的近似值，设半径为r的圆
内接正n边形的周长为L，圆的直径为d，如图所示，当n=6时，π≈ = =3，那么当n=12时，
π≈ = 3.1 0 ．（结果精确到0.01，参考数据：sin15°=cos75°≈0.259）【版权所有：21
教育】
【考点】MM：正多边形和圆；T7：解直角三角形．21世纪教育网
【分析】圆的内接正十二边形被半径分成顶角为30°的十二个等腰三角形，作辅助线构造直
角三角形，根据中心角的度数以及半径的大小，求得 L=6.207r，d=2r，进而得到π≈ =
≈3.10．21教育名师原创作品
【解答】解：如图，圆的内接正十二边形被半径分成如图所示的十二个等腰三角形，其顶角为
30°，即∠O=30°，∠ABO=∠A=75°，
作BC⊥AO于点C，则∠ABC=15°，
∵AO=BO=r，
∴BC= r，OC= r，
∴AC=（1﹣ ）r，
∵Rt△ABC中，cosA= ，
即0.259= ，
∴AB≈0.517r，
∴L=12×0.517r=6.207r，又∵d=2r，
∴π≈ = ≈3.10，
故答案为：3.10
16．（4分）（2017•岳阳）如图，⊙O为等腰△ABC的外接圆，直径AB=12，P为弧 上任意一点
（不与B，C重合），直线CP交AB延长线于点Q，⊙O在点P处切线PD交BQ于点D，下列结论正
确的是 ②③④ ．（写出所有正确结论的序号）www.21-cn-jy.com
①若∠PAB=30°，则弧 的长为π；②若PD∥BC，则AP平分∠CAB；
③若PB=BD，则PD=6 ；④无论点P在弧 上的位置如何变化，CP•CQ为定值．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KH：等腰三角形的性质；MC：切线的性质；MN：弧长的计
算．21世纪教育网
【分析】①根据∠POB=60°，OB=6，即可求得弧 的长；②根据切线的性质以及垂径定理，即
可得到 = ，据此可得AP平分∠CAB；③根据BP=BO=PO=6，可得△BOP是等边三角形，据此
即可得出PD=6 ；④判定△ACP∽△QCA，即可得到 = ，即CP•CQ=CA2，据此可得CP•CQ
为定值．
【解答】解：如图，连接OP，
∵AO=OP，∠PAB=30°，
∴∠POB=60°，
∵AB=12，
∴OB=6，
∴弧 的长为 =2π，故①错误；
∵PD是⊙O的切线，
∴OP⊥PD，
∵PD∥BC，
∴OP⊥BC，∴ = ，
∴∠PAC=∠PAB，
∴AP平分∠CAB，故②正确；
若PB=BD，则∠BPD=∠BDP，
∵OP⊥PD，
∴∠BPD+∠BPO=∠BDP+∠BOP，
∴∠BOP=∠BPO，
∴BP=BO=PO=6，即△BOP是等边三角形，
∴PD= OP=6 ，故③正确；
∵AC=BC，
∴∠BAC=∠ABC，
又∵∠ABC=∠APC，
∴∠APC=BAC，
又∵∠ACP=∠QCA，
∴△ACP∽△QCA，
∴ = ，即CP•CQ=CA2（定值），故④正确；
故答案为：②③④．
三、解答题（本大题共8小题，共64分）
17．（6分）（2017•岳阳）计算：2sin60°+|3﹣ |+（π﹣2）0﹣（ ）﹣1．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．21世纪
教育网【出处：21教育名师】
【分析】根据特殊角的三角函数值、零指数幂的运算法则、负整数指数幂的运算法则、绝对值
的性质进行化简，计算即可．
【解答】解：原式=2× +3﹣ +1﹣2
=2．
18．（6分）（2017•岳阳）求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写
出证明过程．
已知：如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O， A C ⊥ B D ．
▱
求证： 四边形 ABC D 是菱形 ．【考点】L9：菱形的判定；L5：平行四边形的性质．21世纪教育网
【分析】由命题的题设和结论可填出答案，由平行四边形的性质可证得AC为线段BD的垂直平
分线，可求得AB=AD，可得四边形ABCD是菱形．
【解答】已知：如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，
▱
求证：四边形ABCD是菱形．
证明：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BO=DO，
∵AC⊥BD，
∴AC垂直平分BD，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD为菱形．
故答案为：AC⊥BD；四边形ABCD是菱形．
19．（8分）（2017•岳阳）如图，直线y=x+b与双曲线y= （k为常数，k≠0）在第一象限内交于
点A（1，2），且与x轴、y轴分别交于B，C两点．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）点P在x轴上，且△BCP的面积等于2，求P点的坐标．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．21世纪教育网
【分析】（1）把A（1，2）代入双曲线以及直线y=x+b，分别可得k，b的值；
（2）先根据直线解析式得到BO=CO=1，再根据△BCP的面积等于2，即可得到P的坐标．
【解答】解：（1）把A（1，2）代入双曲线y= ，可得k=2，
∴双曲线的解析式为y= ；
把A（1，2）代入直线y=x+b，可得b=1，
∴直线的解析式为y=x+1；
（2）设P点的坐标为（x，0），
在y=x+1中，令y=0，则x=﹣1；令x=0，则y=1，∴B（﹣1，0），C（0，1），即BO=1=CO，
∵△BCP的面积等于2，
∴ BP×CO=2，即 |x﹣（﹣1）|×1=2，
解得x=3或﹣5，
∴P点的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．
20．（8分）（2017•岳阳）我市某校组织爱心捐书活动，准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地
区，其中每包书的数目相等．第一次他们领来这批书的 ，结果打了16个包还多40本；第二
次他们把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好又打了9个包，那么这批
书共有多少本？21·cn·jy·com
【考点】8A：一元一次方程的应用．21世纪教育网
【分析】设这批书共有3x本，根据每包书的数目相等．即可得出关于x的一元一次方程，解之
即可得出结论．
【解答】解：设这批书共有3x本，
根据题意得： = ，
解得：x=500，
∴3x=1500．
答：这批书共有500本．
21．（8分）（2017•岳阳）为了加强学生课外阅读，开阔视野，某校开展了“书香校园，从我做
起”的主题活动，学校随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行调查，绘制出
频数分布表和频数分布直方图的一部分如下：
课外阅读时间（单位：小时） 频数（人数） 频率
0＜t≤2 2 0.04
2＜t≤4 3 0.06
4＜t≤6 15 0.30
6＜t≤8 a 0.50
t＞8 5 b
请根据图表信息回答下列问题：
（1）频数分布表中的a= 2 5 ，b= 0.1 0 ；
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）学校将每周课外阅读时间在8小时以上的学生评为“阅读之星”，请你估计该校2000名
学生中评为“阅读之星”的有多少人？21·世纪*教育网【考点】V8：频数（率）分布直方图；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表．21世纪教育网
【分析】（1）由阅读时间为0＜t≤2的频数除以频率求出总人数，确定出a与b的值即可；
（2）补全条形统计图即可；
（3）由阅读时间在8小时以上的百分比乘以2000即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：2÷0.04=50（人），
则a=50﹣（2+3+15+5）=25；b=5÷50=0.10；
故答案为：25；0.10；
（2）阅读时间为6＜t≤8的学生有25人，补全条形统计图，如图所示：
（3）根据题意得：2000×0.10=200（人），
则该校2000名学生中评为“阅读之星”的有200人．
22．（8分）（2017•岳阳）某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管AB与支
架CD所在直线相交于点O，且OB=OD，支架CD与水平线AE垂直，∠BAC=∠CDE=30°，
DE=80cm，AC=165cm．
（1）求支架CD的长；
（2）求真空热水管AB的长．（结果保留根号）
【考点】T8：解直角三角形的应用．21世纪教育网
【分析】（1）在Rt△CDE中，根据∠CDE=30°，DE=80cm，求出支架CD的长是多少即可．
（2）首先在Rt△OAC中，根据∠BAC=30°，AC=165cm，求出OC的长是多少，进而求出OD的长
是多少；然后求出OA的长是多少，即可求出真空热水管AB的长是多少．
【解答】解：（1）在Rt△CDE中，∠CDE=30°，DE=80cm，
∴CD=80×cos30°=80× =40 （cm）．（2）在Rt△OAC中，∠BAC=30°，AC=165cm，
∴OC=AC×tan30°=165× =55 （cm），
∴OD=OC﹣CD=55 ﹣40 =15 （cm），
∴AB=AO﹣OB=AO﹣OD=55 ×2﹣15 =95 （cm）．
23．（10分）（2017•岳阳）问题背景：已知∠EDF的顶点D在△ABC的边AB所在直线上（不与
A，B重合），DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N，记△ADM的面积为S，△BND
1
的面积为S．
2
（1）初步尝试：如图①，当△ABC是等边三角形，AB=6，∠EDF=∠A，且DE∥BC，AD=2时，则
S•S= 1 2 ；
1 2
（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点D沿AB平移，使AD=4，再将∠EDF绕点D旋转至如图
②所示位置，求S•S 的值；
1 2
（3）延伸拓展：当△ABC是等腰三角形时，设∠B=∠A=∠EDF=α．
（Ⅰ）如图③，当点D在线段AB上运动时，设AD=a，BD=b，求S•S 的表达式（结果用a，b和α
1 2
的三角函数表示）．
（Ⅱ）如图④，当点D在BA的延长线上运动时，设AD=a，BD=b，直接写出S•S 的表达式，不必
1 2
写出解答过程．
【考点】RB：几何变换综合题．21世纪教育网
【分析】（1）首先证明△ADM，△BDN都是等边三角形，可得S= •22= ，S= •（4）2=4
1 2
，由此即可解决问题；
（2）如图2中，设AM=x，BN=y．首先证明△AMD∽△BDN，可得 = ，推出 = ，推出xy=8，
由S= •AD•AM•sin60°= x，S= DB•sin60°= y，可得S•S= x• y= xy=12；
1 2 1 2
（3）Ⅰ如图3中，设AM=x，BN=y，同法可证△AMD∽△BDN，可得xy=ab，由S= •AD•AM•sinα=
1
axsinα，S= DB•BN•sinα= bysinα，可得S•S= （ab）2sin2α．
2 1 2
（Ⅱ）结论不变，证明方法类似；
【解答】解：（1）如图1中，∵△ABC是等边三角形，
∴AB=CB=AC=6，∠A=∠B=60°，
∵DE∥BC，∠EDF=60°，
∴∠BND=∠EDF=60°，
∴∠BDN=∠ADM=60°，
∴△ADM，△BDN都是等边三角形，
∴S= •22= ，S= •（4）2=4 ，
1 2
∴S•S=12，
1 2
故答案为12．
（2）如图2中，设AM=x，BN=y．
∵∠MDB=∠MDN+∠NDB=∠A+∠AMD，∠MDN=∠A，
∴∠AMD=∠NDB，∵∠A=∠B，
∴△AMD∽△BDN，
∴ = ，
∴ = ，
∴xy=8，
∵S= •AD•AM•sin60°= x，S= DB•sin60°= y，
1 2
∴S•S= x• y= xy=12．
1 2
（3）Ⅰ如图3中，设AM=x，BN=y，同法可证△AMD∽△BDN，可得xy=ab，
∵S= •AD•AM•sinα= axsinα，S= DB•BN•sinα= bysinα，
1 2
∴S•S= （ab）2sin2α．
1 2
Ⅱ如图4中，设AM=x，BN=y，
同法可证△AMD∽△BDN，可得xy=ab，
∵S= •AD•AM•sinα= axsinα，S= DB•BN•sinα= bysinα，
1 2
∴S•S= （ab）2sin2α．
1 2
24．（10分）（2017•岳阳）如图，抛物线y= x2+bx+c经过点B（3，0），C（0，﹣2），直线l：y=﹣
x﹣ 交y轴于点E，且与抛物线交于A，D两点，P为抛物线上一动点（不与A，D重合）．
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（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线l下方时，过点P作PM∥x轴交l于点M，PN∥y轴交l于点N，求PM+PN的
最大值．21*cnjy*com
（3）设F为直线l上的点，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F
的坐标；若不能，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．21世纪教育网
【分析】（1）把B（3，0），C（0，﹣2）代入y= x2+bx+c解方程组即可得到结论；
（2）设P（m， m2﹣ m﹣2），得到N（m，﹣ m﹣ ），M（﹣m2+2m+2， m2﹣ m﹣2），根据二次函
数的性质即可得到结论；
（3）求得E（0，﹣ ），得到CE= ，设P（m， m2﹣ m﹣2），①以CE为边，根据CE=PF，列方程
得到m=1，m=0（舍去），②以CE为对角线，连接PF交CE于G，CG=GE，PG=FG，得到G（0，﹣ ），
设P（m， m2﹣ m﹣2），则F（﹣m， m﹣ ），列方程得到此方程无实数根，于是得到结论．
【解答】解：（1）把B（3，0），C（0，﹣2）代入y= x2+bx+c得， ，
∴
∴抛物线的解析式为：y= x2﹣ x﹣2；
（2）设P（m， m2﹣ m﹣2），
∵PM∥x轴，PN∥y轴，M，N在直线AD上，
∴N（m，﹣ m﹣ ），M（﹣m2+2m+2， m2﹣ m﹣2），
∴PM+PN=﹣m2+2m+2﹣m﹣ m﹣ ﹣ m2+ m+2=﹣ m2+ m+ =﹣ （m﹣ ）2+ ，21世纪
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∴当m= 时，PM+PN的最大值是 ；
（3）能，
理由：∵y=﹣ x﹣ 交y轴于点E，
∴E（0，﹣ ），∴CE= ，
设P（m， m2﹣ m﹣2），
∵以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形，
①以CE为边，∴CE∥PF，CE=PF，
∴F（m，﹣ m﹣ ），
∴﹣ m﹣ ﹣ m2+ m+2= ，
∴m=1，m=0（舍去），
②以CE为对角线，连接PF交CE于G，
∴CG=GE，PG=FG，
∴G（0，﹣ ），
设P（m， m2﹣ m﹣2），则F（﹣m， m﹣ ），
∴ ×（ m2﹣ m﹣2+ m﹣ ）=﹣ ，
∵△＜0，
∴此方程无实数根，
综上所述，当m=1时，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形．
参与本试卷答题和审题的老师有：sjzx；nhx600；放飞梦想；弯弯的小河；曹先生；sd2011；
zgm666；三界无我；HLing；wdxwwzy；zhjh；szl；zjx111；家有儿女；知足长乐；Ldt；sks；王学
峰（排名不分先后）
21世纪教育网
2017年7月7日
