文档内容
2016 年湖南省永州市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分
1．﹣ 的相反数的倒数是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2016 D．﹣2016
2．不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．﹣a•a3=a3 B．﹣（a2）2=a4
C．x﹣ x= D．（ ﹣2）（ +2）=﹣1
5．如图，将两个形状和大小都相同的杯子叠放在一起，则该实物图的主视图为（ ）
A． B． C． D．
6．在“爱我永州”中学生演讲比赛中，五位评委分别给甲、乙两位选手的评分如下：
甲：8、7、9、8、8
乙：7、9、6、9、9
则下列说法中错误的是（ ）
A．甲、乙得分的平均数都是8
B．甲得分的众数是8，乙得分的众数是9
C．甲得分的中位数是9，乙得分的中位数是6
D．甲得分的方差比乙得分的方差小
7．对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是（ ）
1A．把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理
B．木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与
直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理
C．将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理
D．将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理
8．抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2 B．m＞2 C．0＜m≤2 D．m＜﹣2
9．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个
条件仍不能判定△ABE≌△ACD（ ）
A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD
10．圆桌面（桌面中间有一个直径为0.4m的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照
射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为1.2m，桌面
离地面1m，若灯泡离地面3m，则地面圆环形阴影的面积是（ ）
A．0.324πm2 B．0.288πm2 C．1.08πm2 D．0.72πm2
11．下列式子错误的是（ ）
A．cos40°=sin50° B．tan15°•tan75°=1
C．sin225°+cos225°=1 D．sin60°=2sin30°
12．我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例：
指数运算 21=2 22=4 23=8 … 31=3 32=9 33=27 …
新运算 log2=1 log4=2 log8=3 … log3=1 log9=2 log27=3 …
2 2 2 3 3 3
根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log16=4，②log25=5，③log =﹣1．其中正确
2 5 2
的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
2二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分
13．涔天河水库位于永州市江华瑶族自治县境内，其扩建工程是湖南省“十二五”期间水利
建设的“一号工程”，也是国务院重点推进的重大工程，其中灌区工程总投资约39亿元．请
将3900000000用科学记数法表示为 ．
14．在1，π， ，2，﹣3.2这五个数中随机取出一个数，则取出的这个数大于2的概率是
．
15．已知反比例函数y= 的图象经过点A（1，﹣2），则k= ．
16．方程组 的解是 ．
17．化简： ÷ = ．
18．如图，在⊙O中，A，B是圆上的两点，已知∠AOB=40°，直径CD∥AB，连接AC，则∠BAC=
度．
19．已知一次函数y=kx+2k+3的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，且函数值y随x的增
大而减小，则k所有可能取得的整数值为 ．
20．如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM=d．我们把圆上到
直线l的距离等于1的点的个数记为m．如d=0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有
四个到直线l的距离等于1的点，即m=4，由此可知：
（1）当d=3时，m= ；
（2）当m=2时，d的取值范围是 ．
3三、解答题：本大题共7小题，共79分
21．计算： ﹣（3﹣π）0﹣|﹣3+2|
22．二孩政策的落实引起了全社会的关注，某校学生数学兴趣小组为了了解本校同学对父母
生育二孩的态度，在学校抽取了部分同学对父母生育二孩所持的态度进行了问卷调查，调查
分别为非常赞同、赞同、无所谓、不赞同等四种态度，现将调查统计结果制成了如图两幅统计
图，请结合两幅统计图，回答下列问题：
（1）在这次问卷调查中一共抽取了 名学生，a= %；
（2）请补全条形统计图；
（3）持“不赞同”态度的学生人数的百分比所占扇形的圆心角为 度；
（4）若该校有3000名学生，请你估计该校学生对父母生育二孩持“赞同”和“非常赞同”
两种态度的人数之和．
423．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点
E．
（1）求证：BE=CD；
（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．
24．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分
率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总
利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？
25．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AC的延长线交于点D，E是
BD中点，连接CE．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AC=4，BC=2，求BD和CE的长．
526．已知抛物线y=ax2+bx﹣3经过（﹣1，0），（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y=kx与抛物线
交于A，B两点．
（1）写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；
（2）当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标；
（3）是否存在实数k使得△ABC的面积为 ？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理
由．
27．问题探究：
61．新知学习
若把将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“面线”，其“面
线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“面径”（例如圆的直径就是圆的“面
径”）．
2．解决问题
已知等边三角形ABC的边长为2．
（1）如图一，若AD⊥BC，垂足为D，试说明AD是△ABC的一条面径，并求AD的长；
（2）如图二，若ME∥BC，且ME是△ABC的一条面径，求面径ME的长；
（3）如图三，已知D为BC的中点，连接AD，M为AB上的一点（0＜AM＜1），E是DC上的一点，连
接ME，ME与AD交于点O，且S =S ．
△MOA △DOE
①求证：ME是△ABC的面径；
②连接AE，求证：MD∥AE；
（4）请你猜测等边三角形ABC的面径长l的取值范围（直接写出结果）
2016 年湖南省永州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分
1．﹣ 的相反数的倒数是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2016 D．﹣2016
【考点】倒数；相反数．
【分析】直接利用相反数的概念以及倒数的定义分析，进而得出答案．
【解答】解：﹣ 的相反数是： ，
∵ ×2016=1，
∴﹣ 的相反数的倒数是：2016．
故选：C．
72．不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】把各不等式的解集在数轴上表示出来即可．
【解答】解：不等式组 的解集在数轴上表示为：
．
故选A．
3．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形．也是中心对称图形，故此选项正确；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：A．
4．下列运算正确的是（ ）
A．﹣a•a3=a3B．﹣（a2）2=a4C．x﹣ x= D．（ ﹣2）（ +2）=﹣1
【考点】二次根式的混合运算；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】利用同底数的幂的乘法法则、幂的乘方、合并同类项法则，以及平方差公式即可判断．
【解答】解：A、﹣a•a3=﹣a4，故选项错误；
B、﹣（a2）2=﹣a4，选项错误；
C、x﹣ x= x，选项错误；
D、（ ﹣2）（ +2）=（ ）2﹣22=3﹣4=﹣1，选项正确．
故选D．
5．如图，将两个形状和大小都相同的杯子叠放在一起，则该实物图的主视图为（ ）
8A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】根据图形的三视图的知识，即可求得答案．
【解答】解：该实物图的主视图为 ．
故选B．
6．在“爱我永州”中学生演讲比赛中，五位评委分别给甲、乙两位选手的评分如下：
甲：8、7、9、8、8
乙：7、9、6、9、9
则下列说法中错误的是（ ）
A．甲、乙得分的平均数都是8
B．甲得分的众数是8，乙得分的众数是9
C．甲得分的中位数是9，乙得分的中位数是6
D．甲得分的方差比乙得分的方差小
【考点】方差；算术平均数；中位数；众数．
【分析】分别求出甲、乙的平均数、众数、中位数及方差可逐一判断．
【解答】解：A、 = =8， = =8，故此选项正确；
B、甲得分次数最多是8分，即众数为8分，乙得分最多的是9分，即众数为9分，故此选项正
确；
C、∵甲得分从小到大排列为：7、8、8、8、9，∴甲的中位数是8分；
∵乙得分从小到大排列为：6、7、9、9、9，∴乙的中位数是9分；故此选项错误；
D、∵ = ×[（8﹣8）2+（7﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2]= ×2=0.4，
= ×[（7﹣8）2+（9﹣8）2+（6﹣8）2+（9﹣8）2+（9﹣8）2]= ×8=1.6，
∴ ＜ ，故D正确；
故选：C．
7．对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是（ ）
A．把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理
9B．木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与
直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理
C．将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理
D．将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理
【考点】圆的认识；线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短；三角形的稳定性．
【分析】根据圆的有关定义、垂线段的性质、三角形的稳定性等知识结合生活中的实例确定正
确的选项即可．
【解答】解：A、把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的
原理，正确；
B、木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“两点确定一条
直线”的原理，故错误；
C、将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理，正确；
D、将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理，正确，
故选B．
8．抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2 B．m＞2 C．0＜m≤2 D．m＜﹣2
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】由抛物线与x轴有两个交点，则△=b2﹣4ac＞0，从而求出m的取值范围．
【解答】解：∵抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，
即4﹣4m+4＞0，
解得m＜2，
故选A．
9．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个
条件仍不能判定△ABE≌△ACD（ ）
A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD
【考点】全等三角形的判定．
【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，
逐一证明即可．
【解答】解：∵AB=AC，∠A为公共角，
A、如添加∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；
B、如添AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
C、如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
D、如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件．
故选：D．
1010．圆桌面（桌面中间有一个直径为0.4m的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照
射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为1.2m，桌面
离地面1m，若灯泡离地面3m，则地面圆环形阴影的面积是（ ）
A．0.324πm2B．0.288πm2C．1.08πm2D．0.72πm2
【考点】中心投影．
【分析】先根据AC⊥OB，BD⊥OB可得出△AOC∽△BOD，由相似三角形的对应边成比例可求出
BD的长，进而得出BD′=0.3m，再由圆环的面积公式即可得出结论．
【解答】解：如图所示：∵AC⊥OB，BD⊥OB，
∴△AOC∽△BOC，
∴ = ，即 = ，
解得：BD=0.9m，
同理可得：AC′=0.2m，则BD′=0.3m，
∴S =0.92π﹣0.32π=0.72π（m2）．
圆环形阴影
故选：D．
11．下列式子错误的是（ ）
A．cos40°=sin50° B．tan15°•tan75°=1
C．sin225°+cos225°=1 D．sin60°=2sin30°
【考点】互余两角三角函数的关系；同角三角函数的关系；特殊角的三角函数值．
【分析】根据正弦和余弦的性质以及正切、余切的性质即可作出判断．
【解答】解：A、sin40°=sin（90°﹣50°）=cos50°，式子正确；
B、tan15°•tan75°=tan15°•cot15°=1，式子正确；
C、sin225°+cos225°=1正确；
D、sin60°= ，sin30°= ，则sin60°=2sin30°错误．
故选D．
12．我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例：
指数运
21=2 22=4 23=8 … 31=3 32=9 33=27 …
算
新运算 log2=1 log4=2 log8=3 … log3=1 log9=2 log27=3 …
2 2 2 3 3 3
11根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log16=4，②log25=5，③log =﹣1．其中正确
2 5 2
的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【考点】实数的运算．
【分析】根据指数运算和新的运算法则得出规律，根据规律运算可得结论．
【解答】解：①因为24=16，所以此选项正确；
②因为55=3125≠25，所以此选项错误；
③因为2﹣1= ，所以此选项正确；
故选B．
二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分
13．涔天河水库位于永州市江华瑶族自治县境内，其扩建工程是湖南省“十二五”期间水利
建设的“一号工程”，也是国务院重点推进的重大工程，其中灌区工程总投资约39亿元．请
将3900000000用科学记数法表示为 3.9×1 0 9 ．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝
对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：3900000000=3.9×109，
故答案为：3.9×109．
14．在1，π， ，2，﹣3.2这五个数中随机取出一个数，则取出的这个数大于2的概率是
．
【考点】概率公式．
【分析】首先找出大于2的数字个数，进而利用概率公式求出答案．
【解答】解：∵在1，π， ，2，﹣3.2这五个数中，只有π这个数大于2，
∴随机取出一个数，这个数大于2的概率是： ．
故答案为： ．
15．已知反比例函数y= 的图象经过点A（1，﹣2），则k= ﹣ 2 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】直接把点A（1，﹣2）代入y= 求出k的值即可．
【解答】解：∵反比例函数y= 的图象经过点A（1，﹣2），
∴﹣2= ，
解得k=﹣2．
12故答案为：﹣2．
16．方程组 的解是 ．
【考点】二元一次方程组的解．
【分析】代入消元法求解即可．
【解答】解：解方程组 ，
由①得：x=2﹣2y ③，
将③代入②，得：2（2﹣2y）+y=4，
解得：y=0，
将y=0代入①，得：x=2，
故方程组的解为 ，
故答案为： ．
17．化简： ÷ = ．
【考点】分式的乘除法．
【分析】将分子、分母因式分解，除法转化为乘法，再约分即可．
【解答】解：原式= •
= ，
故答案为： ．
18．如图，在⊙O中，A，B是圆上的两点，已知∠AOB=40°，直径CD∥AB，连接AC，则∠BAC=
3 5 度．
【考点】圆周角定理．
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ABO的度数，再由平行线的性质求出∠BOC的度数，
根据圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵∠AOB=40°，OA=OB，
13∴∠ABO= =70°．
∵直径CD∥AB，
∴∠BOC=∠ABO=70°，
∴∠BAC= ∠BOC=35°．
故答案为：35．
19．已知一次函数y=kx+2k+3的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，且函数值y随x的增
大而减小，则k所有可能取得的整数值为 ﹣ 1 ．
【考点】一次函数图象与系数的关系．
【分析】由一次函数图象与系数的关系可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可
得出结论．
【解答】解：由已知得： ，
解得：﹣ ＜k＜0．
∵k为整数，
∴k=﹣1．
故答案为：﹣1．
20．如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM=d．我们把圆上到
直线l的距离等于1的点的个数记为m．如d=0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有
四个到直线l的距离等于1的点，即m=4，由此可知：
（1）当d=3时，m= 1 ；
（2）当m=2时，d的取值范围是 0 ＜ d ＜ 3 ．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】根据直线与圆的位置关系和直线与圆的交点个数以及命题中的数据分析即可得到答
案．
【解答】解：（1）当d=3时，
∵3＞2，即d＞r，
∴直线与圆相离，则m=1，
故答案为：1；
（2）当m=2时，则圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为2，
∴直线与圆相交或相切或相离，
∴0＜d＜3，
∴d的取值范围是0＜d＜3，
14故答案为：0＜d＜3．
三、解答题：本大题共7小题，共79分
21．计算： ﹣（3﹣π）0﹣|﹣3+2|
【考点】实数的运算；零指数幂．
【分析】直接利用立方根的性质化简再结合零指数幂的性质以及绝对值的性质化简求出答案．
【解答】解： ﹣（3﹣π）0﹣|﹣3+2|
=2﹣1﹣1
=0．
22．二孩政策的落实引起了全社会的关注，某校学生数学兴趣小组为了了解本校同学对父母
生育二孩的态度，在学校抽取了部分同学对父母生育二孩所持的态度进行了问卷调查，调查
分别为非常赞同、赞同、无所谓、不赞同等四种态度，现将调查统计结果制成了如图两幅统计
图，请结合两幅统计图，回答下列问题：
（1）在这次问卷调查中一共抽取了 5 0 名学生，a= 37. 5 %；
（2）请补全条形统计图；
（3）持“不赞同”态度的学生人数的百分比所占扇形的圆心角为 3 6 度；
（4）若该校有3000名学生，请你估计该校学生对父母生育二孩持“赞同”和“非常赞同”
两种态度的人数之和．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）由赞同的人数20，所占40%，即可求出样本容量，进而求出a的值；
（2）由（1）可知抽查的人数，即可求出无所谓态度的人数，即可将条形统计图补充完整；
（3）求出不赞成人数的百分数，即可求出圆心角的度数；
（4）求出“赞同”和“非常赞同”两种态度的人数所占的百分数，用样本估计总体的思想计
算即可．
【解答】解：（1）20÷40%=50（人），无所谓态度的人数为50﹣10﹣20﹣5=15，则a=
×100%=37.5%；
（2）补全条形统计图如图所示：
（3）不赞成人数占总人数的百分数为 ×100%=10%，
持“不赞同”态度的学生人数的百分比所占扇形的圆心角为10%×360°=36°，
15（4）“赞同”和“非常赞同”两种态度的人数所占的百分数为 ×100%=60%，
则该校学生对父母生育二孩持“赞同”和“非常赞同”两种态度的人数之和为
3000×60%=1800（人）．
故答案为（1）50；37.6；（3）36．
23．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点
E．
（1）求证：BE=CD；
（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠BEA，即可得出AB=BE；
（2）先证明△ABE是等边三角形，得出AE=AB=4，AF=EF=2，由勾股定理求出BF，由AAS证明
△ADF≌△ECF，得出△ADF的面积=△ECF的面积，因此平行四边形ABCD的面积=△ABE的面
积= AE•BF，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，
∴∠B+∠C=180°，∠AEB=∠DAE，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，∴BE=CD；
（2）解：∵AB=BE，∠BEA=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=4，
∵BF⊥AE，
∴AF=EF=2，
16∴BF= = =2 ，
∵AD∥BC，
∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴△ADF的面积=△ECF的面积，
∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积= AE•BF= ×4×2 =4 ．
24．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分
率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总
利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？
【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，根据“两次降价后的售价=原价×（1﹣降价
百分比）的平方”，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论；
（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品件，根据“总利润=第
一次降价后的单件利润×销售数量+第二次降价后的单件利润×销售数量”，即可的出关于
m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】解：（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，
依题意得：400×（1﹣x%）2=324，
解得：x=10，或x=190（舍去）．
答：该种商品每次降价的百分率为10%．
（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品件，
第一次降价后的单件利润为：400×（1﹣10%）﹣300=60（元/件）；
第二次降价后的单件利润为：324﹣300=24（元/件）．
依题意得：60m+24×=36m+2400≥3210，
解得：m≥22.5．
∴m≥23．
答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元．第一次降价后至少要售出该种商品23件．
25．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AC的延长线交于点D，E是
BD中点，连接CE．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AC=4，BC=2，求BD和CE的长．
17【考点】切线的判定与性质．
【分析】（1）连接OC，由弦切角定理和切线的性质得出∠CBE=∠A，∠ABD=90°，由圆周角定
理得出∠ACB=90°，得出∠ACO+∠BCO=90°，∠BCD=90°，由直角三角形斜边上的中线性质
得出CE= BD=BE，得出∠BCE=∠CBE=∠A，证出∠ACO=∠BCE，得出∠BCE+∠BCO=90°，得出
CE⊥OC，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出AB，再由三角函数得出tanA= = = ，求出BD= AB= ，即可得出
CE的长．
【解答】（1）证明：连接OC，如图所示：
∵BD是⊙O的切线，
∴∠CBE=∠A，∠ABD=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，∠BCD=90°，
∵E是BD中点，
∴CE= BD=BE，
∴∠BCE=∠CBE=∠A，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A，
∴∠ACO=∠BCE，
∴∠BCE+∠BCO=90°，
即∠OCE=90°，CE⊥OC，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：∵∠ACB=90°，
∴AB= = =2 ，
∵tanA= = = = ，
∴BD= AB= ，
∴CE= BD= ．
1826．已知抛物线y=ax2+bx﹣3经过（﹣1，0），（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y=kx与抛物
线交于A，B两点．
（1）写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；
（2）当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标；
（3）是否存在实数k使得△ABC的面积为 ？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理
由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）令抛物线解析式中x=0求出y值即可得出C点的坐标，有点（﹣1，0）、（3，0）利用
待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）将正比例函数解析式代入抛物线解析式中，找出关于x的一元二次方程，根据根与系数
的关系即可得出“x+x=2+k，x•x=﹣3”，结合点O为线段AB的中点即可得出x+x=2+k=0，
A B A B A B
由此得出k的值，将k的值代入一元二次方程中求出x、x，在代入一次函数解析式中即可得
A B
出点A、B的坐标；
（3）假设存在，利用三角形的面积公式以及（2）中得到的“x+x=2+k，x•x=﹣3”，即可得出
A B A B
关于k的一元二次方程，结合方程无解即可得出假设不成了，从而得出不存在满足题意的k
值．
【解答】解：（1）令抛物线y=ax2+bx﹣3中x=0，则y=﹣3，
∴点C的坐标为（0，﹣3）．
∵抛物线y=ax2+bx﹣3经过（﹣1，0），（3，0）两点，
∴有 ，解得： ，
∴此抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．
（2）将y=kx代入y=x2﹣2x﹣3中得：kx=x2﹣2x﹣3，
整理得：x2﹣（2+k）x﹣3=0，
19∴x+x=2+k，x•x=﹣3．
A B A B
∵原点O为线段AB的中点，
∴x+x=2+k=0，
A B
解得：k=﹣2．
当k=﹣2时，x2﹣（2+k）x﹣3=x2﹣3=0，
解得：x=﹣ ，x= ．
A B
∴y=﹣2x=2 ，y=﹣2x=2 ．
A A B B
故当原点O为线段AB的中点时，k的值为﹣2，点A的坐标为（﹣ ，2 ），点B的坐标为（
，﹣2 ）．
（3）假设存在．
由（2）可知：x+x=2+k，x•x=﹣3，
A B A B
S = OC•|x﹣x|= ×3× = ，
△ABC A B
∴（2+k）2﹣4×（﹣3）=10，即（2+k）2+2=0．
∵（2+k）2非负，无解．
故假设不成了．
所以不存在实数k使得△ABC的面积为 ．
27．问题探究：
1．新知学习
若把将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“面线”，其“面
线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“面径”（例如圆的直径就是圆的“面
径”）．
2．解决问题
已知等边三角形ABC的边长为2．
（1）如图一，若AD⊥BC，垂足为D，试说明AD是△ABC的一条面径，并求AD的长；
（2）如图二，若ME∥BC，且ME是△ABC的一条面径，求面径ME的长；
（3）如图三，已知D为BC的中点，连接AD，M为AB上的一点（0＜AM＜1），E是DC上的一点，连
接ME，ME与AD交于点O，且S =S ．
△MOA △DOE
①求证：ME是△ABC的面径；
②连接AE，求证：MD∥AE；
（4）请你猜测等边三角形ABC的面径长l的取值范围（直接写出结果）
【考点】圆的综合题；等边三角形的性质．
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一即可证明，利用直角三角形30°性质，即可求出AD．
（2）根据相似三角形性质面积比等于相似比的平方，即可解决问题．
（3）如图三中，作MN⊥AE于N，DF⊥AE于F，先证明MN=DF，推出四边形MNFD是平行四边形即
可．
20（4）如图四中，作MF⊥BC于F，设BM=x，BE=y，求出EM，利用不等式性质证明ME≥ 即可解
决问题．
【解答】解：（1）如图一中，
∵AB=AC=BC=2，AD⊥BC，
∴BD=DC，
∴S =S ，
△ABD △ADC
∴线段AD是△ABC的面径．
∵∠B=60°，
∴sin60°= ，
∴ = ，
∴AD= ．
（2）如图二中，
∵ME∥BC，且ME是△ABC的一条面径，
∴△AME∽△ABC， = ，
∴ = ，
∴ME= ．
（3）如图三中，作MN⊥AE于N，DF⊥AE于F．
∵S =S ，
△MOA △DOE
∴S =S ，
△AEM △AED
∴ •AE•MN= •AE•DF，
∴MN=DF，
21∵MN∥DF，
∴四边形MNFD是平行四边形，
∴DM∥AE．
（4）如图四中，作MF⊥BC于F，设BM=x，BE=y，
∵DM∥AE，
∴ = ，
∴ = ，
∴xy=2，
在RT△MBF中，∵∠MFB=90°，∠B=60°，BM=x，
∴BF= x，MF= x，
∴ME= = = ≥ ，
∴ME≥ ，
∵ME是等边三角形面径，AD也是等边三角形面积径，
∴等边三角形ABC的面径长l的取值范围 ≤l≤ ．
22
