文档内容
2016 年湖南省郴州市中考数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）2016的倒数是（ ）
A． B．﹣ C．2016D．﹣2016
2．（3分）2016年5月23日，为期5天的第四届中国（湖南）国际矿物宝石博览会
在郴州圆满落下帷幕，参观人数约 32万人次，交易总额达17.6亿元人民币，
32000用科学记数法表示为（ ）
A．32×104 B．3.2×104 C．3.2×105 D．0.32×106
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3a+2b=5ab B．a2×a3=a6 C．（a﹣b）2=a2﹣b2 D．a3÷a2=a
4．（3分）下列生态环保标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）在郴州市中小学“创园林城市，创卫生城市，创文明城市”演讲比赛中，
5位评委给靓靓同学的评分如下：9.0，9.2，9.2，9.1，9.5，则这5个数据的平均数和
众数分别是（ ）
A．9.1，9.2 B．9.2，9.2 C．9.2，9.3 D．9.3，9.2
6．（3分）下列四个立体图形中，它们各自的三视图都相同的是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）当b＜0时，一次函数y=x+b的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
第1页（共31页）8．（3 分）如图，在正方形 ABCD 中，△ABE 和△CDF 为直角三角形，
∠AEB=∠CFD=90°，AE=CF=5，BE=DF=12，则EF的长是（ ）
A．7 B．8 C．7 D．7
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）计算：﹣1+ = ．
10．（3分）因式分解：m2n﹣6mn+9n= ．
11．（3分）二次根式 中，a的取值范围是 ．
12．（3分）如图，直线AB，CD被直线AE所截，AB∥CD，∠A=110°，则∠1=
度．
13．（3分）同时掷两枚均匀的硬币，则两枚都出现反面朝上的概率是 ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），
A（2，0），B（2，1），C（0，1），以坐标原点O为位似中心，将矩形OABC放大为原
图形的2倍，记所得矩形为OA B C ，B为对应点为B ，且B 在OB的延长线上，
1 1 1 1 1
则B 的坐标为 ．
1
15．（3分）如图是一次射击训练中甲、乙两人的10次射击成绩的分布情况，则射
击成绩的方差较小的是 （填“甲”或“乙”）．
第2页（共31页）16．（3分）观察下列等式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，…，试猜想，
32016的个位数字是 ．
三、解答题（共10小题，满分82分）
17．（6分）计算：（ ）0+（﹣1）2016﹣|﹣ |+2sin60°．
18．（6分）解不等式组 ．
19．（6分）如图，一次函数y =x+1的图象与反比例函数y = （x＞0）的图象交于
1 2
点M，作MN⊥x轴，N为垂足，且ON=1
（1）在第一象限内，当x取何值时，y ＞y ？（根据图象直接写出结果）
1 2
（2）求反比例函数的表达式．
第3页（共31页）20．（8分）在中央文明办对2015年全国文明城市测评中，郴州市在全省五个全国
文明城市提名城市中排名第一，成绩的取得主要得力于领导高度重视、整改措施
有效、市民积极参与及市民文明素质进一步提高．郴州市某中学数学课外兴趣小
组随机走访了部分市民，对A（领导高度重视）、B（整改措施有效）、C（市民积极
参与）、D（市民文明素质进一步提高）四个类别进行满意度调查（只勾选最满意
的一项），并将调查结果制作了如下两幅不完整的统计图．
（1）这次调查共走访市民 人，∠α= 度．
（2）请补全条形统计图．
（3）结合上面的调查统计结果，请你对郴州市今后的文明城市创建工作提出好的
建议．
21．（8分）某商店原来平均每天可销售某种水果200千克，每千克可盈利6元，为
减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可多售出20千克
（1）设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数表达式；
（2）若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元？
22．（8分）小宇在学习解直角三角形的知识后，萌生了测量他家对面位于同一水
第4页（共31页）平面的楼房高度的想法，他站在自家C处测得对面楼房底端B的俯角为45°，测
得对面楼房顶端A的仰角为30°，并量得两栋楼房间的距离为9米，请你用小宇
测得的数据求出对面楼房AB的高度．（结果保留到整数，参考数据： ≈1.4，
≈1.7）
23．（8分）如图，OA，OD是⊙O半径，过A作⊙O的切线，交∠AOD的平分线于
点C，连接CD，延长AO交⊙O于点E，交CD的延长线于点B
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）如果D点是BC的中点，⊙O的半径为3cm，求 的长度（结果保留π）
24．（10分）设a，b是任意两个实数，规定a与b之间的一种运算“⊕”为：a⊕b=
第5页（共31页），
例如：1⊕（﹣3）= =﹣3，（﹣3）⊕2=（﹣3）﹣2=﹣5，
（x2+1）⊕（x﹣1）= （因为x2+1＞0）
参照上面材料，解答下列问题：
（1）2⊕4= ，（﹣2）⊕4= ；
（2）若x＞ ，且满足（2x﹣1）⊕（4x2﹣1）=（﹣4）⊕（1﹣4x），求x的值．
25．（10分）如图1，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴相
交于点C，连结BC，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC
于点G，交x轴于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l，F为垂足，当点
P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的
坐标；
（3）如图2，当点P在位于直线BC上方的抛物线上运动时，连结PC，PB，请问
△PBC的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的
坐标，若不能，请说明理由．
第6页（共31页）26．（12分）如图1，矩形ABCD中，AB=7cm，AD=4cm，点E为AD上一定点，点
F为AD延长线上一点，且DF=acm，点P从A点出发，沿AB边向点B以2cm/s
的速度运动，连结PE，设点P运动的时间为ts，△PAE的面积为ycm2，当0≤t≤1时，
△PAE的面积y（cm2）关于时间（t s）的函数图象如图2所示，连结PF，交CD于点
H．
（1）t的取值范围为 ，AE= cm；
（2）如图3，将△HDF沿线段DF进行翻折，与CD的延长线交于点M，连结AM，
当a为何值时，四边形PAMH为菱形？并求出此时点P的运动时间t；
（3）如图4，当点P出发1s后，AD边上另一动点Q从E点出发，沿ED边向点D
以1cm/s的速度运动，如果P，Q两点中的任意一点到达终点后，另一点也停止运
动，连结PQ，QH．若a= cm，请问△PQH能否构成直角三角形？若能，请求出点
P的运动时间t；若不能，请说明理由．
第7页（共31页）2016 年湖南省郴州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）（2016•郴州）2016的倒数是（ ）
A． B．﹣ C．2016D．﹣2016
【考点】倒数．
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【分析】直接利用倒数的定义分析得出答案．
【解答】解：∵2016× =1，
∴2016的倒数是 ，
故选A．
【点评】此题主要考查了倒数的定义，正确把握互为倒数之间关系是解题关键．
2．（3分）（2016•郴州）2016年5月23日，为期5天的第四届中国（湖南）国际矿
物宝石博览会在郴州圆满落下帷幕，参观人数约32万人次，交易总额达17.6亿
元人民币，32000用科学记数法表示为（ ）
A．32×104 B．3.2×104 C．3.2×105 D．0.32×106
【考点】科学记数法—表示较大的数．
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【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n
的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的
位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将32000用科学记数法表示为3.2×104．
故选B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，
其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）（2016•郴州）下列运算正确的是（ ）
第8页（共31页）A．3a+2b=5ab B．a2×a3=a6 C．（a﹣b）2=a2﹣b2D．a3÷a2=a
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；完全平方公式．
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【专题】推理填空题．
【分析】A：根据合并同类项的方法判断即可．
B：根据同底数幂的乘法法则判断即可．
C：根据完全平方公式判断即可．
D：根据同底数幂的除法法则判断即可．
【解答】解：∵3a+2b≠5ab，
∴选项A不正确；
∵a2×a3=a5，
∴选项B不正确；
∵（a﹣b）2=a2+2ab+b2，
∴选项C不正确；
∵a3÷a2=a，
∴选项D正确．
故选：D．
【点评】（1）此题主要考查了同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指
数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a
可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
（2）此题还考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要
熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数必须相同；②按照运算性质，只有相
乘时才是底数不变，指数相加．
（3）此题还考查了完全平方公式，以及合并同类项的方法，要熟练掌握．
4．（3分）（2016•郴州）下列生态环保标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
第9页（共31页）【考点】中心对称图形．
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【分析】根据中心对称图形的定义对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选B．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转
180度后两部分重合．
5．（3分）（2016•郴州）在郴州市中小学“创园林城市，创卫生城市，创文明城
市”演讲比赛中，5位评委给靓靓同学的评分如下：9.0，9.2，9.2，9.1，9.5，则这5
个数据的平均数和众数分别是（ ）
A．9.1，9.2 B．9.2，9.2C．9.2，9.3D．9.3，9.2
【考点】众数；算术平均数．
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【分析】根据平均数和众数的定义分别进行解答即可．
【解答】解：这组数据的平均数是：（9.0+9.2+9.2+9.1+9.5）÷5=9.2；
这组数据中9.2出现了2次，出现的次数最多，
则众数是9.2；
故选B．
【点评】此题考查了平均数和众数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除
以数据的个数；众数是一组数据中出现次数最多的数．
6．（3分）（2016•郴州）下列四个立体图形中，它们各自的三视图都相同的是（
）
A． B． C． D．
【考点】简单几何体的三视图．
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【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的
第10页（共31页）图形解答即可．
【解答】解：A、球的三视图都是圆，故本选项正确；
B、圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带有圆心的圆，故本选项错误；
C、圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项错误；
D、三棱柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是三角形，故本选项错误．
故选A．
【点评】本题考查的是几何体的三视图，理解主视图、左视图、俯视图是分别从物
体正面、左面和上面看所得到的图形是解题的关键．
7．（3分）（2016•郴州）当b＜0时，一次函数y=x+b的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【考点】一次函数的图象；一次函数图象与系数的关系．
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【分析】根据一次函数系数的正负，可得出一次函数图象经过的象限，由此即可得
出结论．
【解答】解：∵k=1＞0，b＜0，
∴一次函数y=x+b的图象经过第一、三、四象限．
故选B．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是找出函数图象经
过的象限．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据一次函数的解析
式结合一次函数图象与系数的关系找出函数图象经过的象限是关键．
8．（3分）（2016•郴州）如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，
∠AEB=∠CFD=90°，AE=CF=5，BE=DF=12，则EF的长是（ ）
第11页（共31页）A．7 B．8 C．7 D．7
【考点】正方形的性质．
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【 分 析 】 由 正 方 形 的 性 质 得 出 ∠ BAD=∠ ABC=∠ BCD=∠ ADC=90° ，
AB=BC=CD=AD，由 SSS 证明△ABE≌△CDF，得出∠ABE=∠CDF，证出
∠ABE=∠DAG=∠CDF=∠BCH，由AAS证明△ABE≌△ADG，得出AE=DG，
BE=AG ， 同 理 ： AE=DG=CF=BH=5 ， BE=AG=DF=CH=12 ， 得 出
EG=GF=FH=EF=7，证出四边形EGFH是正方形，即可得出结果．
【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=AD，
∴∠BAE+∠DAG=90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SSS），
∴∠ABE=∠CDF，
∵∠AEB=∠CFD=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠ABE=∠DAG=∠CDF，
同理：∠ABE=∠DAG=∠CDF=∠BCH，
∴∠DAG+∠ADG=∠CDF+∠ADG=90°，
即∠DGA=90°，
同理：∠CHB=90°，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（AAS），
∴AE=DG，BE=AG，
同理：AE=DG=CF=BH=5，BE=AG=DF=CH=12，
第12页（共31页）∴EG=GF=FH=EF=12﹣5=7，
∵∠GEH=180°﹣90°=90°，
∴四边形EGFH是正方形，
∴EF= EG=7 ；
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正
方形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）（2016•郴州）计算：﹣1+ = 1 ．
【考点】二次根式的性质与化简．
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【分析】直接利用二次根式的性质化简，进而求出答案．
【解答】解：原式=﹣1+2=1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
10．（3分）（2016•郴州）因式分解：m2n﹣6mn+9n= n （ m﹣ 3 ） 2 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
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【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3
项，可采用完全平方公式继续分解．
【解答】解：m2n﹣6mn+9n
=n（m2﹣6m+9）
=n（m﹣3）2．
故答案为：n（m﹣3）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多
项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考
第13页（共31页）虑运用公式法分解．
11．（3分）（2016•郴州）二次根式 中，a的取值范围是 a≥ 1 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
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【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，a﹣1≥0，
解得，a≥1，
故答案为：a≥1．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须
是非负数是解题的关键．
12．（3分）（2016•郴州）如图，直线 AB，CD被直线AE所截，AB∥CD，
∠A=110°，则∠1= 7 0 度．
【考点】平行线的性质．
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【分析】根据平行线的性质求出∠AFD，根据对顶角相等得出即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠AFD=180°，
∵∠A=110°，
∴∠AFD=70°，
∴∠1=∠AFD=70°，
故答案为：70．
【点评】本题考查了平行线的性质的应用，能根据平行线的性质求出∠AFD的度
第14页（共31页）数是解此题的关键，注意：两直线平行，同旁内角互补．
13．（3分）（2016•郴州）同时掷两枚均匀的硬币，则两枚都出现反面朝上的概率是
．
【考点】列表法与树状图法．
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【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两枚
都出现反面朝上的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有4种等可能的结果，两枚都出现反面朝上的有1种情况，
∴两枚都出现反面朝上的概率是： ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况
数与总情况数之比．
14．（3分）（2016•郴州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别
为O（0，0），A（2，0），B（2，1），C（0，1），以坐标原点O为位似中心，将矩形
OABC放大为原图形的2倍，记所得矩形为OA B C ，B为对应点为B ，且B 在
1 1 1 1 1
OB的延长线上，则B 的坐标为 （ 4 ， 2 ） ．
1
【考点】位似变换；坐标与图形性质；矩形的性质．
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【专题】数形结合．
第15页（共31页）【分析】利用以原点为位似中心的位似图形的坐标之间的关系求解．
【解答】解：∵B点坐标为（2，1），
而B为对应点为B ，且B 在OB的延长线上，
1 1
∴B 的坐标为（2×2，1×2），即B （4，2）．
1 1
故答案为（4，2）．
【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位
似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
15．（3分）（2016•郴州）如图是一次射击训练中甲、乙两人的10次射击成绩的分
布情况，则射击成绩的方差较小的是 甲 （填“甲”或“乙”）．
【考点】方差．
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【分析】从一次射击训练中甲、乙两人的10次射击成绩的分布情况得出甲乙的射
击成绩，再利用方差的公式计算．
【解答】解：由图中知，甲的成绩为7，8，8，9，8，9，9，8，7，7，
乙的成绩为6，8，8，9，8，10，9，8，6，7，
=（7+8+8+9+8+9+9+8+7+7）÷10=8，
=（6+8+8+9+8+10+9+8+6+7）÷10=7.9，
甲的方差S 2=[3×（7﹣8）2+4×（8﹣8）2+3×（9﹣8）2]÷10=0.6，
甲
乙的方差S 2=[2×（6﹣7.9）2+4×（8﹣7.9）2+2×（9﹣7.9）2+（10﹣7.9）2+（7﹣7.9）
乙
2]÷10=1.49，
则S2 ＜S2 ，即射击成绩的方差较小的是甲．
甲 乙
故答案为：甲．
第16页（共31页）【点评】本题考查方差的定义与意义，熟记方差的计算公式是解题的关键，它反映
了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
16．（3分）（2016•郴州）观察下列等式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，
36=729，…，试猜想，32016的个位数字是 1 ．
【考点】尾数特征．
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【分析】根据给出的规律，3n的个位数字是3，9，7，1，是4个循环一次，用2016去
除以4，看余数是几，再确定个位数字．
【解答】解：设n为自然数，
∵34n+1的个位数字是3，与31的个位数字相同，34n+2的个位数字是9，与32的个位
数字相同，34n+3的个位数字是7，与33的个位数字相同，34n的个位数字是1，与34
的个位数字相同，
∴32016=3504×4的个位数字与34的个位数字相同，应为1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的
题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
三、解答题（共10小题，满分82分）
17．（6分）（2016•郴州）计算：（ ）0+（﹣1）2016﹣|﹣ |+2sin60°．
【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
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【专题】计算题．
【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方，然后从左向右依次计算，求出算式（
）0+（﹣1）2016﹣|﹣ |+2sin60°的值是多少即可．
【解答】解：（ ）0+（﹣1）2016﹣|﹣ |+2sin60°
=1+1﹣ +2×
=2﹣ +
=2．
第17页（共31页）【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再
算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的
顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
①a0=1（a≠0）；②00≠1．
（3）此题还考查了特殊角的三角函数值，要牢记30°、45°、60°角的各种三角函数
值．
18．（6分）（2016•郴州）解不等式组 ．
【考点】解一元一次不等式组．
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【专题】计算题．
【分析】分别解两个不等式得到x＞1和x＜3，然后利用大小小大中间找确定不等
式组的解集．
【解答】解：解①得x＞1，
解②得x＜3，
所以不等式组的解集为1＜x＜3．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其
中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等
式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不
到．
19．（6分）（2016•郴州）如图，一次函数y =x+1的图象与反比例函数y = （x＞0）
1 2
的图象交于点M，作MN⊥x轴，N为垂足，且ON=1
（1）在第一象限内，当x取何值时，y ＞y ？（根据图象直接写出结果）
1 2
（2）求反比例函数的表达式．
第18页（共31页）【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
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【分析】（1）根据ON=1，MN⊥x轴，得到M点的横坐标为1，代入y =x+1=2，求
1
得M（1，2），于是得到结论；
（2）点M在反比例函数y = （x＞0）的图象上，于是得到2= ，求得k=2，于是得
2
到反比例函数的表达式为y = ．
2
【解答】解：（1）∵ON=1，MN⊥x轴，
∴M点的横坐标为1，
∴当x=1时，y =x+1=2，
1
∴M（1，2），
∴当x＞1时，y ＞y ；
1 2
（2）∵点M在反比例函数y = （x＞0）的图象上，
2
∴2= ，
∴k=2，
∴反比例函数的表达式为y = ．
2
【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数
法求函数解析式，坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，以及反比例函数
的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
20．（8分）（2016•郴州）在中央文明办对2015年全国文明城市测评中，郴州市在
全省五个全国文明城市提名城市中排名第一，成绩的取得主要得力于领导高度重
第19页（共31页）视、整改措施有效、市民积极参与及市民文明素质进一步提高．郴州市某中学数
学课外兴趣小组随机走访了部分市民，对A（领导高度重视）、B（整改措施有效）、
C（市民积极参与）、D（市民文明素质进一步提高）四个类别进行满意度调查（只
勾选最满意的一项），并将调查结果制作了如下两幅不完整的统计图．
（1）这次调查共走访市民 100 0 人，∠α= 5 4 度．
（2）请补全条形统计图．
（3）结合上面的调查统计结果，请你对郴州市今后的文明城市创建工作提出好的
建议．
【考点】条形统计图；扇形统计图．
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【分析】（1）由A人数及其占被调查人数的百分比可得总人数，根据扇形统计图
可得B的百分比，再乘以360°可得答案；
（2）总人数乘以D所占百分比可得；
（3）结合统计图中数据提出合理建议即可．
【解答】解：（1）这次调查共走访市民人数为：400÷40%=1000（人），
∵B类人数所占百分比为：1﹣40%﹣20%﹣25%=15%，
∴∠α=360°×15%=54°；
（2）D类人数为：1000×20%=200（人），补全条形图如图：
第20页（共31页）（3）由扇形统计图可知，对“整改措施有效”的占被调查人数的15%，是所有4
个类别中最少的，
故今后应加大整改措施的落实工作．
故答案为：（1）1000，54．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同
的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个
项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．（8分）（2016•郴州）某商店原来平均每天可销售某种水果200千克，每千克可
盈利6元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可多
售出20千克．
（1）设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数表达式；
（2）若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元？
【考点】二次函数的应用．
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【分析】（1）根据“每天利润=每天销售质量×每千克的利润”即可得出y关于x
的函数关系式；
（2）将y=960代入（1）中函数关系式中，得出关于x的一元二次方程，解方程即可
得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：
y=（200+20x）×（6﹣x）=﹣20x2﹣80x+1200．
（2）令y=﹣20x2﹣80x+1200中y=960，则有960=﹣20x2﹣80x+1200，
即x2+4x﹣12=0，
解得：x=﹣6（舍去），或x=2．
答：若要平均每天盈利960元，则每千克应降价2元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系找出函数
关系式；（2）将y=960代入函数关系式得出关于x的一元二次方程．本题属于基
础题，难度不大，解决该题型题目时结合数量关系找出函数关系式是关键．
22．（8分）（2016•郴州）小宇在学习解直角三角形的知识后，萌生了测量他家对面
位于同一水平面的楼房高度的想法，他站在自家 C处测得对面楼房底端B的俯
第21页（共31页）角为45°，测得对面楼房顶端A的仰角为30°，并量得两栋楼房间的距离为9米，
请你用小宇测得的数据求出对面楼房AB的高度．（结果保留到整数，参考数据：
≈1.4， ≈1.7）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【分析】根据正切的定义分别求出AD、BD的长，计算即可．
【解答】解：在Rt ADC中，tan∠ACD= ，
△
∴AD=DC•tan∠ACD=9× =3 米，
在Rt ADB中，tan∠BCD= ，
∴BD △ =CD=9米，
∴AB=AD+BD=3 +9≈14米．
答：楼房AB的高度约为14米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决此类问题要了
解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三
角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给
出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决
23．（8分）（2016•郴州）如图，OA，OD是⊙O半径，过A作⊙O的切线，交∠AOD
的平分线于点C，连接CD，延长AO交⊙O于点E，交CD的延长线于点B
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）如果D点是BC的中点，⊙O的半径为3cm，求 的长度（结果保留π）
第22页（共31页）【考点】切线的判定与性质；弧长的计算．
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【分析】（1）欲证明直线CD是⊙O的切线，只要证明∠ODC=90°即可．
（2）先证明∠B=∠OCB=∠ACO，推出∠B=30°，∠DOE=60°，利用弧长公式即可
解决问题．
【解答】（1）证明：∵AC是⊙O切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∵CO平分∠AOD，
∴∠AOC=∠COD，
在△AOC和△DOC中，
，
∴△AOC≌△DOC，
∴∠ODC=∠OAC=90°，
∴OD⊥CD，
∴直线CD是⊙O的切线．
（2）∵OD⊥BC，DC=DB，
∴OC=OB，
∴∠OCD=∠B=∠ACO，
∵∠B+∠ACB=90°，
∴∠B=30°，∠DOE=60°，
∴ 的长= =π．
第23页（共31页）【点评】本题考查切线的判定和性质、弧长公式、线段的垂直平分线的性质、全等
三角形的判定和性质等知识，属于中考常考题型；解题的关键是发现全等三角形
证明∠B=30°．
24．（10分）（2016•郴州）设a，b是任意两个实数，规定a与b之间的一种运算
“⊕”为：a⊕b= ，
例如：1⊕（﹣3）= =﹣3，（﹣3）⊕2=（﹣3）﹣2=﹣5，
（x2+1）⊕（x﹣1）= （因为x2+1＞0）
参照上面材料，解答下列问题：
（1）2⊕4= 2 ，（﹣2）⊕4= ﹣ 6 ；
（2）若x＞ ，且满足（2x﹣1）⊕（4x2﹣1）=（﹣4）⊕（1﹣4x），求x的值．
【考点】实数的运算；解分式方程；解一元一次不等式．
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【专题】新定义．
【分析】（1）按照运算的规定直接列式计算即可；
（2）按照运算的规定列方程，解出方程即可．
【解答】解：（1）2⊕4= =2，
（﹣2）⊕4=﹣2﹣4=﹣6；
（2）∵x＞ ，
∴（2x﹣1）⊕（4x2﹣1）=（﹣4）⊕（1﹣4x），
第24页（共31页）即 =﹣4﹣（1﹣4x），
=4x﹣5，
4x2﹣1=（4x﹣5）（2x﹣1），
4x2﹣1=4x2﹣14x+5，
2x2﹣7x+3=0，
（2x﹣1）（x﹣3）=0，
解得x = ，x =3．
1 2
经检验，x = 是增根，x =3是原方程的解，
1 2
故x的值是3．
故答案为：2，﹣6．
【点评】此题考查有理数的混合运算和解分式方程，注意新运算的计算方法．
25．（10分）（2016•郴州）如图1，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两
点，与y轴相交于点C，连结BC，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，
交直线BC于点G，交x轴于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l，F为垂足，当点
P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的
坐标；
（3）如图2，当点P在位于直线BC上方的抛物线上运动时，连结PC，PB，请问
△PBC的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的
坐标，若不能，请说明理由．
第25页（共31页）【考点】二次函数综合题．
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【分析】（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）的坐标代入抛物线的解析式，求得b、c的值
即可；
（2）先由函数解析式求得点C的坐标，从而得到△OBC为等腰直角三角形，故此
当CF=PF时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似．
设点P的坐标为（a，﹣a2+3a+4）．则CF=a，PF=﹣a2+3a，接下来列出关于a的方程，
从而可求得a的值，于是可求得点P的坐标；
（3）连接EC．设点P的坐标为（a，﹣a2+3a+4）．则OE=a，PE=﹣a2+3a+4，EB=4﹣
a．然后依据S =S ﹣S 列出△PBC的面积与a的函数关系式，从而
PBC 四边形PCEB CEB
可求得三角形的△ 最大面积． △
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）的坐标代入函数的表达式得：
，
解得：b=3，c=4．
抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4．
（2）如图1所示：
∵令x=0得y=4，
第26页（共31页）∴OC=4．
∴OC=OB．
∵∠CFP=∠COB=90°，
∴FC=PF时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似．
设点P的坐标为（a，﹣a2+3a+4）（a＞0）．
则CF=a，PF=|﹣a2+3a+4﹣4|=|a2﹣3a|．
∴|a2﹣3a|=a．
解得：a=2，a=4．
∴点P的坐标为（2，6）或（4，0）．
（3）如图2所示：连接EC．
设点P的坐标为（a，﹣a2+3a+4）．则OE=a，PE=﹣a2+3a+4，EB=4﹣a．
∵S = OB•PE= ×4（﹣a2+3a+4），S = EB•OC= ×4×（4﹣a），
四边形PCEB CEB
△
∴S =S ﹣S =2（﹣a2+3a+4）﹣2（4﹣a）=﹣2a2+8a．
PBC 四边形PCEB CEB
∵a=△﹣2＜0， △
∴当a=2时，△PBC的面积S有最大值．
∴P（2，6），△PBC的面积的最大值为8．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数
法求二次函数的解析式，相似三角形的判定，用含a的式子表示相关线段的长度，
然后列出△PBC的面积与a的函数关系式是解题的关键．
26．（12分）（2016•郴州）如图1，矩形ABCD中，AB=7cm，AD=4cm，点E为AD
上一定点，点F为AD延长线上一点，且DF=acm，点P从A点出发，沿AB边向
点B以2cm/s的速度运动，连结PE，设点P运动的时间为ts，△PAE的面积为
ycm2，当0≤t≤1时，△PAE的面积y（cm2）关于时间（t s）的函数图象如图2所示，
第27页（共31页）连结PF，交CD于点H．
（1）t的取值范围为 0≤t≤3. 5 ，AE= 1 cm；
（2）如图3，将△HDF沿线段DF进行翻折，与CD的延长线交于点M，连结AM，
当a为何值时，四边形PAMH为菱形？并求出此时点P的运动时间t；
（3）如图4，当点P出发1s后，AD边上另一动点Q从E点出发，沿ED边向点D
以1cm/s的速度运动，如果P，Q两点中的任意一点到达终点后，另一点也停止运
动，连结PQ，QH．若a= cm，请问△PQH能否构成直角三角形？若能，请求出点
P的运动时间t；若不能，请说明理由．
【考点】四边形综合题．
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【分析】（1）根据列出与时间的关系可以确定t的范围，根据t=1时，△APE面积
为1，即可求出AE．
（2）只要证明∠MAD=∠MFD=30°即可解决问题．
（3））①若∠PQH为直角三角形，△APQ∽△DQH，得 = ，求出DH= ，再
由DH∥AP，得 = 列出方程即可解决．
②若∠PHQ=90°，如图4中，作PM⊥CD于M，类似①利用相似三角形性质列出
方程即可解决问题．
【解答】解：（1）∵AB=7，7÷2=3.5，
∴0≤t≤3.5，
由图象可知y=t，
∴t=1时，y=1，
∴ •AE•2=1，
第28页（共31页）∴AE=1，
故答案分别为0≤t≤3.5，1．
（ 2 ） 如 图 3 中 ， ∵ 四 边 形 AMHP 是 菱 形 ，
∴AM=MH=2DM，AM∥PF，
∵∠ADM=90°，
∴∠MAD=30°，
∴∠PFA=∠MFA=∠MAD=30°，
∴MA=MF，∵MD⊥AF，
∴AD=DF=4，
∴a=4．AP=2DM= ，
∴t= ．
（3）①若∠PQH为直角三角形，
∵∠PQA+∠HQD=90°，∠HQD+∠QHD=90°，
∴∠AQP=∠QHD，∵∠PAQ=∠HDQ=90°．
∴△APQ∽△DQH，
∴ = ，
∴ = ，
∴DH= ，
第29页（共31页）∵DH∥AP，
∴ = ，
∴ = ，
∴t=2．
②若∠PHQ=90°，如图4中，作PM⊥CD于M，同理可证△PMH∽△HDQ，
∴ = ，
∴ = ，
∵DH∥AP，
∴ = ，
∴ = ，
∴DH= t，
∴ = ，
∴3t2+16t﹣64=0，
∴t= 或（﹣8舍弃），
∴t=2或 时，△PQH能构成直角三角形．
第30页（共31页）【点评】本题考查四边形综合题、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解
题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质，列出方程解决问题，
属于中考压轴题．
第31页（共31页）
