文档内容
2016年湖南省株洲市中考数学试卷
一、选择题（每小题只有一个正确答案，本题共10小题，共30分）
1．（3分）（2016•株洲）下列数中，﹣3的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣3 D．3
2．（3分）（2016•株洲）下列等式错误的是（ ）
A．（2mn）2=4m2n2 B．（﹣2mn）2=4m2n2
C．（2m2n2）3=8m6n6 D．（﹣2m2n2）3=﹣8m5n5
3．（3分）（2016•株洲）甲、乙、丙、丁四名射击队员考核赛的平均成绩（环）及方差统计如表，
现要根据这些数据，从中选出一人参加比赛，如果你是教练员，你的选择是（ ）
队员 平均成绩 方差
甲 9.7 2.12
乙 9.6 0.56
丙 9.7 0.56
丁 9.6 1.34
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．（3分）（2016•株洲）如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，将此三角形绕点C沿
顺时针方向旋转后得到三角形A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC、A′B′交于点O，则
∠COA′的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
5．（3分）（2016•株洲）不等式 的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
第1页（共23页）6．（3分）（2016•株洲）在解方程 时，方程两边同时乘以6，去分母后，正确的
是（ ）
A．2x﹣1+6x=3（3x+1） B．2（x﹣1）+6x=3（3x+1）
C．2（x﹣1）+x=3（3x+1）D．（x﹣1）+x=3（x+1）
7．（3分）（2016•株洲）已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC
的中点，以下说法错误的是（ ）
A．OE= DC B．OA=OC C．∠BOE=∠OBAD．∠OBE=∠OCE
8．（3分）（2016•株洲）如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角
三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S +S =S 图形个数有（ ）
1 2 3
A．1B．2C．3D．4
9．（3分）（2016•株洲）已知，如图一次函数y =ax+b与反比例函数y = 的图象如图示，当y
1 2 1
＜y 时，x的取值范围是（ ）
2
A．x＜2 B．x＞5 C．2＜x＜5 D．0＜x＜2或x＞5
第2页（共23页）10．（3分）（2016•株洲）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（﹣1，2），B（2，5），
顶点坐标为（m，n），则下列说法错误的是（ ）
A．c＜3 B．m≤ C．n≤2 D．b＜1
二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分）
11．（3分）（2016•株洲）计算：3a﹣（2a﹣1）=______．
12．（3分）（2016•株洲）据民政部网站消息，截至2014年底，我国60岁以上老年人口已经达
到2.12亿，其中2.12亿用科学记数法表示为______．
13．（3分）（2016•株洲）从1，2，3…99，100个整数中，任取一个数，这个数大于60的概率是
______．
14．（3分）（2016•株洲）如图，正六边形ABCDEF内接于半径为3的圆O，则劣弧AB的长度
为______．
15．（3分）（2016•株洲）分解因式：（x﹣8）（x+2）+6x=______．
16．（3分）（2016•株洲）△ABC的内切圆的三个切点分别为D、E、F，∠A=75°，∠B=45°，则圆
心角∠EOF=______度．
17．（3分）（2016•株洲）已知A、B、C、D是平面坐标系中坐标轴上的点，且△AOB≌△COD．
设直线AB的表达式为y =k x+b ，直线CD的表达式为y =k x+b ，则k •k =______．
1 1 1 2 2 2 1 2
第3页（共23页）18．（3分）（2016•株洲）已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，
则P点叫△ABC的费马点（Fermat point）．已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，
当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时，P就是△ABC的费马点．若点P是腰长为 的等腰直角
三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF=______．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）（2016•株洲）计算： ．
20．（6分）（2016•株洲）先化简，再求值： ，其中x=3．
第4页（共23页）21．（8分）（2016•株洲）某社区从2011年开始，组织全民健身活动，结合社区条件，开展了广
场舞、太极拳、羽毛球和跑步四个活动项目，现将参加项目活动总人数进行统计，并绘制成每
年参加总人数折线统计图和2015年各活动项目参与人数的扇形统计图，请你根据统计图解
答下列题
（1）2015年比2011年增加______人；
（2）请根据扇形统计图求出2015年参与跑步项目的人数；
（3）组织者预计2016年参与人员人数将比2015年的人数增加15%，名各活动项目参与人数
的百分比与2016年相同，请根据以上统计结果，估计2016年参加太极拳的人数．
22．（8分）（2016•株洲）某市对初二综合素质测评中的审美与艺术进行考核，规定如下：考核
综合评价得分由测试成绩（满分100分）和平时成绩（满分100分）两部分组成，其中测试成
绩占80%，平时成绩占20%，并且当综合评价得分大于或等于80分时，该生综合评价为A等．
（1）孔明同学的测试成绩和平时成绩两项得分之和为185分，而综合评价得分为91分，则孔
明同学测试成绩和平时成绩各得多少分？
（2）某同学测试成绩为70分，他的综合评价得分有可能达到A等吗？为什么？
（3）如果一个同学综合评价要达到A等，他的测试成绩至少要多少分？
23．（8分）（2016•株洲）已知正方形ABCD中，BC=3，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，
DF=BE，连接AE、AF，过点A作AH⊥ED于H点．
第5页（共23页）（1）求证：△ADF≌△ABE；
（2）若BE=1，求tan∠AED的值．
24．（8分）（2016•株洲）平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y= （k≠0）图象
上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，AD交y轴于P点
（1）已知点A的坐标是（2，3），求k的值及C点的坐标；
（2）若△APO的面积为2，求点D到直线AC的距离．
25．（10分）（2016•株洲）已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上
一点，过点D的直线交AC于E点，且△AEF为等边三角形
（1）求证：△DFB是等腰三角形；
第6页（共23页）（2）若DA= AF，求证：CF⊥AB．
26．（12分）（2016•株洲）已知二次函数y=x2﹣（2k+1）x+k2+k（k＞0）
（1）当k= 时，求这个二次函数的顶点坐标；
（2）求证：关于x的一元次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0有两个不相等的实数根；
第7页（共23页）（3）如图，该二次函数与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于C点，P是y轴
负半轴上一点，且OP=1，直线AP交BC于点Q，求证： ．
2016 年湖南省株洲市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题只有一个正确答案，本题共10小题，共30分）
1．（3分）（2016•株洲）下列数中，﹣3的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣3 D．3
【分析】根据倒数的定义，用1÷（﹣3），算出结果即是﹣3的倒数．
【解答】解：1÷（﹣3）= =﹣ ．
故选A．
2．（3分）（2016•株洲）下列等式错误的是（ ）
A．（2mn）2=4m2n2B．（﹣2mn）2=4m2n2
C．（2m2n2）3=8m6n6 D．（﹣2m2n2）3=﹣8m5n5
【分析】根据幂的乘方和积的乘方分别求出每个式子的值，再判断即可．
【解答】解：A、结果是4m2n2，故本选项错误；
B、结果是4m2n2，故本选项错误；
C、结果是8m6n6，故本选项错误；
B、结果是﹣8m6n6，故本选项正确；
故选D．
第8页（共23页）3．（3分）（2016•株洲）甲、乙、丙、丁四名射击队员考核赛的平均成绩（环）及方差统计如表，
现要根据这些数据，从中选出一人参加比赛，如果你是教练员，你的选择是（ ）
队员 平均成绩 方差
甲 9.7 2.12
乙 9.6 0.56
丙 9.7 0.56
丁 9.6 1.34
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】首先比较平均数，然后比较方差，方差越小，越稳定．
【解答】解：∵ = =9.7，S2 甲 ＞S2 乙 ，
∴选择丙．
故选C．
4．（3分）（2016•株洲）如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，将此三角形绕点C沿
顺时针方向旋转后得到三角形A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC、A′B′交于点O，则
∠COA′的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】由三角形的内角和为180°可得出∠A=40°，由旋转的性质可得出BC=B′C，从而得出
∠B=∠BB′C=50°，再依据三角形外角的性质结合角的计算即可得出结论．
【解答】解：∵在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，
∴∠A=180°﹣∠ACB﹣∠B=40°．
由旋转的性质可知：
BC=B′C，
∴∠B=∠BB′C=50°．
又∵∠BB′C=∠A+∠ACB′=40°+∠ACB′，
∴∠ACB′=10°，
∴∠COA′=∠AOB′=∠OB′C+∠ACB′=∠B+∠ACB′=60°．
故选B．
5．（3分）（2016•株洲）不等式 的解集在数轴上表示为（ ）
A． B． C．
D．
第9页（共23页）【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大
大小小无解了确定不等式组的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括
端点用空心”的原则判断即可．
【解答】解：解不等式2x﹣1≥1，得：x≥1，
解不等式x﹣2＜0，得：x＜2，
∴不等式组的解集为：1≤x＜2，
故选：C．
6．（3分）（2016•株洲）在解方程 时，方程两边同时乘以6，去分母后，正确的
是（ ）
A．2x﹣1+6x=3（3x+1）B．2（x﹣1）+6x=3（3x+1）
C．2（x﹣1）+x=3（3x+1）D．（x﹣1）+x=3（x+1）
【分析】方程两边同时乘以6，化简得到结果，即可作出判断．
【解答】解：方程两边同时乘以6得：2（x﹣1）+6x=3（3x+1），
故选B．
7．（3分）（2016•株洲）已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC
的中点，以下说法错误的是（ ）
A．OE= DC B．OA=OC C．∠BOE=∠OBAD．∠OBE=∠OCE
【分析】由平行四边形的性质和三角形中位线定理得出选项A、B、C正确；由OB≠OC，得出
∠OBE≠∠OCE，选项D错误；即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AB∥DC，
又∵点E是BC的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE= DC，OE∥DC，
∴OE∥AB，
∴∠BOE=∠OBA，
∴选项A、B、C正确；
∵OB≠OC，
∴∠OBE≠∠OCE，
∴选项D错误；
故选：D．
8．（3分）（2016•株洲）如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角
三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S +S =S 图形个数有（ ）
1 2 3
第10页（共23页）A．1B．2C．3D．4
【分析】根据直角三角形a、b、c为边，应用勾股定理，可得a2+b2=c2．
（1）第一个图形中，首先根据等边三角形的面积的求法，表示出3个三角形的面积；然后根据
a2+b2=c2，可得S +S =S ．
1 2 3
（2）第二个图形中，首先根据圆的面积的求法，表示出3个半圆的面积；然后根据a2+b2=c2，可
得S +S =S ．
1 2 3
（3）第三个图形中，首先根据等腰直角三角形的面积的求法，表示出3个等腰直角三角形的
面积；然后根据a2+b2=c2，可得S +S =S ．
1 2 3
（4）第四个图形中，首先根据正方形的面积的求法，表示出3个正方形的面积；然后根据
a2+b2=c2，可得S +S =S ．
1 2 3
【解答】解：（1）S = a2，S = b2，S = c2，
1 2 3
∵a2+b2=c2，
∴ a2+ b2= c2，
∴S +S =S ．
1 2 3
（2）S = a2，S = b2，S = c2，
1 2 3
∵a2+b2=c2，
∴ a2+ b2= c2，
∴S +S =S ．
1 2 3
（3）S = a2，S = b2，S = c2，
1 2 3
∵a2+b2=c2，
∴ a2+ b2= c2，
∴S +S =S ．
1 2 3
（4）S =a2，S =b2，S =c2，
1 2 3
∵a2+b2=c2，
∴S +S =S ．
1 2 3
综上，可得
第11页（共23页）面积关系满足S +S =S 图形有4个．
1 2 3
故选：D．
9．（3分）（2016•株洲）已知，如图一次函数y =ax+b与反比例函数y = 的图象如图示，当y
1 2 1
＜y 时，x的取值范围是（ ）
2
A．x＜2B．x＞5 C．2＜x＜5 D．0＜x＜2或x＞5
【分析】根据图象得出两交点的横坐标，找出一次函数图象在反比例图象下方时x的范围即
可．
【解答】解：根据题意得：当y ＜y 时，x的取值范围是0＜x＜2或x＞5．
1 2
故选：D．
10．（3分）（2016•株洲）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（﹣1，2），B（2，5），
顶点坐标为（m，n），则下列说法错误的是（ ）
A．c＜3 B．m≤ C．n≤2 D．b＜1
【分析】根据已知条件得到 ，解方程组得到c=3﹣2a＜3，b=1﹣a＜1，求得二次
函数的对称轴为x=﹣ =﹣ = ﹣ ＜ ，根据二次函数的顶点坐标即可得到结论．
【解答】解：由已知可知： ，
消去b得：c=3﹣2a＜3，
消去c得：b=1﹣a＜1，
对称轴：x=﹣ =﹣ = ﹣ ＜ ，
∵A（﹣1，2），a＞0，那么顶点的纵坐标为函数的最小值，
∴n≤2，
故B错．
二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分）
11．（3分）（2016•株洲）计算：3a﹣（2a﹣1）= a + 1 ．
【分析】原式去括号合并即可得到结果．
【解答】解：原式=3a﹣2a+1=a+1，
故答案为：a+1．
第12页（共23页）12．（3分）（2016•株洲）据民政部网站消息，截至2014年底，我国60岁以上老年人口已经达
到2.12亿，其中2.12亿用科学记数法表示为 2.12×1 0 8 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝
对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：2.12亿=212000000=2.12×108，
故答案为：2.12×108．
13．（3分）（2016•株洲）从1，2，3…99，100个整数中，任取一个数，这个数大于60的概率是
0.4 ．
【分析】直接利用概率公式计算．
【解答】解：从1，2，3…99，100个整数中，任取一个数，这个数大于60的概率= =0.4．
故答案为0.4．
14．（3分）（2016•株洲）如图，正六边形ABCDEF内接于半径为3的圆O，则劣弧AB的长度
为 π ．
【分析】求出圆心角∠AOB的度数，再利用弧长公式解答即可．
【解答】解：如图，连接OA、OB，
∵ABCDEF为正六边形，
∴∠AOB=360°× =60°，
的长为 =π．
故答案为：π．
15．（3分）（2016•株洲）分解因式：（x﹣8）（x+2）+6x= （ x + 4 ）（ x﹣ 4 ） ．
【分析】原式去括号、合并同类项后，运用平方差公式分解即可得到结果．
【解答】解：原式=x2+2x﹣8x﹣16+6x
=x2﹣16
=（x+4）（x﹣4），
第13页（共23页）故答案为：（x+4）（x﹣4）．
16．（3分）（2016•株洲）△ABC的内切圆的三个切点分别为D、E、F，∠A=75°，∠B=45°，则圆
心角∠EOF= 12 0 度．
【分析】首先根据∠A=75°，∠B=45°，求出∠C=60°；然后根据△ABC的内切圆的三个切点分
别为D、E、F，可得∠OEC=∠OFC=90°，再根据四边形OEFC的内角和等于360°，求出圆心角
∠EOF的度数是多少即可．
【解答】解：∵∠A=75°，∠B=45°，
∴∠C=180°﹣75°﹣45°
=105°﹣45°
=60°
∵△ABC的内切圆的三个切点分别为D、E、F，
∴∠OEC=∠OFC=90°，
∵四边形OECF的内角和等于360°，
∴∠EOF=360°﹣（90°+90°+60°）
=360°﹣240°
=120°
故答案为：120．
17．（3分）（2016•株洲）已知A、B、C、D是平面坐标系中坐标轴上的点，且△AOB≌△COD．
设直线AB的表达式为y =k x+b ，直线CD的表达式为y =k x+b ，则k •k = 1 ．
1 1 1 2 2 2 1 2
【分析】根据A（0，a）、B（b，0），得到OA=a，OB=﹣b，根据全等三角形的性质得到OC=a，
OD=﹣b，得到C（a，0），D（0，b），求得k = ，k = ，即可得到结论．
1 2
【解答】解：设点A（0，a）、B（b，0），
∴OA=a，OB=﹣b，
∵△AOB≌△COD，
∴OC=a，OD=﹣b，
第14页（共23页）∴C（a，0），D（0，b），
∴k = = ，k = = ，
1 2
∴k •k =1，
1 2
故答案为：1．
18．（3分）（2016•株洲）已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，
则P点叫△ABC的费马点（Fermat point）．已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，
当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时，P就是△ABC的费马点．若点P是腰长为 的等腰直角
三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF= +1 ．
【分析】根据题意首先画出图形，过点D作DM⊥EF于点M，过E、F分别作
∠MEP=∠MFP=30°就可以得到满足条件的点P，根据特殊直角三角形才求出PE，PF，PM，
DP的长，进而得出答案．
【解答】解：如图：等腰Rt△DEF中，DE=DF= ，
过点D作DM⊥EF于点M，过E、F分别作∠MEP=∠MFP=30°，
则EM=DM=1，
故cos30°= ，
解得：PE=PF= = ，则PM= ，
故DP=1﹣ ，
则PD+PE+PF=2× +1﹣ = +1．
故答案为： +1．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）（2016•株洲）计算： ．
【分析】原式利用算术平方根定义，乘方的意义，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【解答】解：原式=3+1﹣2=2．
20．（6分）（2016•株洲）先化简，再求值： ，其中x=3．
【分析】首先通分计算括号里面的，再计算乘法，把多项式分解因式后约分，得出化简结果，再
代入x的值计算即可．
第15页（共23页）【解答】解：
= •
= ，
当x=3时，原式= = ．
21．（8分）（2016•株洲）某社区从2011年开始，组织全民健身活动，结合社区条件，开展了广
场舞、太极拳、羽毛球和跑步四个活动项目，现将参加项目活动总人数进行统计，并绘制成每
年参加总人数折线统计图和2015年各活动项目参与人数的扇形统计图，请你根据统计图解
答下列题
（1）2015年比2011年增加 99 0 人；
（2）请根据扇形统计图求出2015年参与跑步项目的人数；
（3）组织者预计2016年参与人员人数将比2015年的人数增加15%，名各活动项目参与人数
的百分比与2016年相同，请根据以上统计结果，估计2016年参加太极拳的人数．
【分析】（1）用2015年的人数﹣2011年的人数即可；
（2）用2015年总人数×参与跑步项目的人数所占的百分数即可；
（3）2015年总人数×（1+15%）×参加太极拳的人数所占的百分数即可．
【解答】解：（1）1600﹣610=（人）；
故答案为：990人；
（2）1600×55%=880（人）；
答：2015年参与跑步项目的人数为880人；
（3）1600×（1+15%）×（1﹣55%﹣30%﹣5%）=184（人）；
答：估计2016年参加太极拳的人数为184人．
22．（8分）（2016•株洲）某市对初二综合素质测评中的审美与艺术进行考核，规定如下：考核
综合评价得分由测试成绩（满分100分）和平时成绩（满分100分）两部分组成，其中测试成
绩占80%，平时成绩占20%，并且当综合评价得分大于或等于80分时，该生综合评价为A等．
（1）孔明同学的测试成绩和平时成绩两项得分之和为185分，而综合评价得分为91分，则孔
明同学测试成绩和平时成绩各得多少分？
（2）某同学测试成绩为70分，他的综合评价得分有可能达到A等吗？为什么？
（3）如果一个同学综合评价要达到A等，他的测试成绩至少要多少分？
第16页（共23页）【分析】（1）分别利用孔明同学的测试成绩和平时成绩两项得分之和为185分，而综合评价
得分为91分，分别得出等式求出答案；
（2）利用测试成绩占80%，平时成绩占20%，进而得出答案；
（3）首先假设平时成绩为满分，进而得出不等式，求出测试成绩的最小值．
【解答】解：（1）设孔明同学测试成绩为x分，平时成绩为y分，依题意得：
解之得：
答：孔明同学测试成绩位90分，平时成绩为95分；
（2）由题意可得：80﹣70×80%=24，
24÷20%=120＞100，故不可能．
（3）设平时成绩为满分，即100分，综合成绩为100×20%=20，
设测试成绩为a分，根据题意可得：20+80%a≥80，
解得：a≥75
答：他的测试成绩应该至少为75分．
23．（8分）（2016•株洲）已知正方形ABCD中，BC=3，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，
DF=BE，连接AE、AF，过点A作AH⊥ED于H点．
（1）求证：△ADF≌△ABE；
（2）若BE=1，求tan∠AED的值．
【分析】（1）根据辅助线的性质得到AD=AB，∠ADC=∠ABC=90°，由邻补角的定义得到
∠ADF=∠ABE=90°，于是得到结论；
（2）过点A作AH⊥DE于点H，根据勾股定理得到AE= ，ED= =5，根据三角
形的面积S = AD×BA= ，S = ED×AH= ，求得AH=1.8，由三角函数的定义即
△AED △ADE
可得到结论．
【解答】解：（1）正方形ABCD中，
∵AD=AB，∠ADC=∠ABC=90°，
∴∠ADF=∠ABE=90°，
在△ADF与△ABE中，
第17页（共23页），
∴△ADF≌△ABE；
（2）过点A作AH⊥DE于点H，
在Rt△ABE中，∵AB=BC=3，
∵BE=1，
∴AE= ，ED= =5，
∵S = AD×BA= ，
△AED
S = ED×AH= ，
△ADE
解出AH=1.8，
在Rt△AHE中，EH=2.6，
∴tan∠AED= ．
24．（8分）（2016•株洲）平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y= （k≠0）图象
上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，AD交y轴于P点
（1）已知点A的坐标是（2，3），求k的值及C点的坐标；
（2）若△APO的面积为2，求点D到直线AC的距离．
第18页（共23页）【分析】（1）根据点A的坐标是（2，3），平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y=
（k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，可以求得k的值和点C的坐
标；
（2）根据△APO的面积为2，可以求得OP的长，从而可以求得点P的坐标，进而可以求得直
线AP的解析式，从而可以求得点D的坐标，再根据等积法可以求得点D到直线AC的距离．
【解答】解：（1）∵点A的坐标是（2，3），平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数
y= （k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，
∴3= ，点C与点A关于原点O对称，
∴k=6，C（﹣2，﹣3），
即k的值是6，C点的坐标是（﹣2，﹣3）；
（2）∵△APO的面积为2，点A的坐标是（2，3），
∴ ，得OP=2，
设过点P（0，2），点A（2，3）的直线解析式为y=ax+b，
解得， ，
即直线PC的解析式为y= ，
将y=0代入y= ，得x═﹣4，
∴OP=4，
∵A（2，3），C（﹣2，﹣3），
∴AC= ，
设点D到AC的距离为m，
∵S =S +S ，
△ACD △ODA △ODC
∴ ，
解得，m= ，
即点D到直线AC的距离是 ．
25．（10分）（2016•株洲）已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上
一点，过点D的直线交AC于E点，且△AEF为等边三角形
（1）求证：△DFB是等腰三角形；
（2）若DA= AF，求证：CF⊥AB．
第19页（共23页）【分析】（1）由AB是⊙O直径，得到∠ACB=90°，由于△AEF为等边三角形，得到
∠CAB=∠EFA=60°，根据三角形的外角的性质即可得到结论；
（2）过点A作AM⊥DF于点M，设AF=2a，根据等边三角形的性质得到FM=EN=a，AM=
a，在根据已知条件得到AB=AF+BF=8a，根据直角三角形的性质得到AE=EF=AF=CE=2a，推
出∠ECF=∠EFC，根据三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∵△AEF为等边三角形，
∴∠CAB=∠EFA=60°，
∴∠B=30°，
∵∠EFA=∠B+∠FDB，
∴∠B=∠FDB=30°，
∴△DFB是等腰三角形；
（2）过点A作AM⊥DF于点M，设AF=2a，
∵△AEF是等边三角形，∴FM=EN=a，AM= a，
在Rt△DAM中，AD= AF=2 a，AM= ，
∴DM=5a，∴DF=BF=6a，
∴AB=AF+BF=8a，
在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=4a，
∵AE=EF=AF=CE=2a，∴∠ECF=∠EFC，
∵∠AEF=∠ECF+∠EFC=60°，∴∠CFE=30°，
∴∠AFC=∠AFE+∠EFC=60°+30°=90°，
∴CF⊥AB．
26．（12分）（2016•株洲）已知二次函数y=x2﹣（2k+1）x+k2+k（k＞0）
第20页（共23页）（1）当k= 时，求这个二次函数的顶点坐标；
（2）求证：关于x的一元次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0有两个不相等的实数根；
（3）如图，该二次函数与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于C点，P是y轴
负半轴上一点，且OP=1，直线AP交BC于点Q，求证： ．
【分析】（1）直接将k的值代入函数解析式，进而利用配方法求出顶点坐标；
（2）利用根的判别式得出△=1，进而得出答案；
（3）根据题意首先表示出Q点坐标，以及表示出OA，AB的长，再利用两点之间距离求出AQ
的长，进而求出答案．
【解答】解：（1）将k= 代入二次函数可求得，
y=x2﹣2x+
=（x﹣1）2﹣ ，
故抛物线的顶点坐标为：（1，﹣ ）；
（2）∵一元次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0，
∴△=b2﹣4ac=[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+k）=1＞0，
∴关于x的一元次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0有两个不相等的实数根；
（3）由题意可得：点P的坐标为（0，﹣1），
则0=x2﹣（2k+1）x+k2+k
0=（x﹣k﹣1）（x﹣k），
故A（k，0），B（k+1，0），
当x=0，则y=k2+k，
故C（0，k2+k）
则AB=k+1﹣k=1，OA=k，
可得
第21页（共23页），
y =﹣kx+k2+k，
BC
当 x﹣1=﹣kx+k2+k，
解得：x=k+ ，
则代入原式可得：y= ，
则点Q坐标为
运用距离公式得：AQ2=（ ）2+（ ）2= ，
则OA2=k2，AB2=1，
故 + = +1= = ，
则 ．
第22页（共23页）参与本试卷答题和审题的老师有：曹先生；zjx111；zcx；三界无我；sks；wdzyzmsy@126.com；
放飞梦想；nhx600；王学峰；gsls；sd2011；gbl210；zgm666（排名不分先后）
菁优网
2016年9月21日
第23页（共23页）
