文档内容
2015年湖南省永州市中考数学试卷
一、选择题，共10小题，每小题3分，共30分
1．（3分）在数轴上表示数﹣1和2014的两点分别为A和B，则A和B两点间的距离为
（ ）
A．2013 B．2014 C．2015 D．2016
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（﹣a+b）（a+b）＝b2﹣a2
C．（a3）4＝a7 D．a3+a5＝a8
3．（3分）某中学九年级舞蹈兴趣小组8名学生的身高分别为（单位：cm）：168，165，168，
166，170，170，176，170，则下列说法错误的是（ ）
A．这组数据的众数是170
B．这组数据的中位数是169
C．这组数据的平均数是169
D．若从8名学生中任选1名学生参加校文艺会演，则这名学生的身高不低于170的概率
为
4．（3分）永州市双牌县的阳明山风光秀丽，历史文化源远流长，尤以山顶数万亩野生杜鹃花
最为壮观，被誉为“天下第一杜鹃红”．今年“五一”期间举办了“阳明山杜鹃花旅游文
化节”，吸引了众多游客前去观光赏花．在文化节开幕式当天，从早晨8：00开始每小时进
入阳明山景区的游客人数约为1000人，同时每小时走出景区的游客人数约为600人，已
知阳明山景区游客的饱和人数约为2000人，则据此可知开幕式当天该景区游客人数饱和
的时间约为（ ）
A．10：00 B．12：00 C．13：00 D．16：00
5．（3分）一张桌子上摆放有若干个大小、形状完全相同的碟子，现从三个方向看，其三种视
图如图所示，则这张桌子上碟子的总数为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
第1页（共23页）6．（3分）如图，P是 O外一点，PA、PB分别交 O于C、D两点，已知 和 所对的圆心角
分别为90°和50°⊙，则∠P＝（ ） ⊙
A．45° B．40° C．25° D．20°
7．（3分）若不等式组 恰有两个整数解，则m的取值范围是（ ）
A．﹣1≤m＜0 B．﹣1＜m≤0 C．﹣1≤m≤0 D．﹣1＜m＜0
8．（3分）如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD•AC D． ＝
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB
＝S△PCD ，则满足此条件的点P（ ）
A．有且只有1个
B．有且只有2个
C．组成∠E的角平分线
D．组成∠E的角平分线和外角平分线所在的直线（E点除外）
10．（3分）定义[x]为不超过x的最大整数，如[3.6]＝3，[0.6]＝0，[﹣3.6]＝﹣4．对于任意实数
第2页（共23页）x，下列式子中错误的是（ ）
A．[x]＝x（x为整数） B．0≤x﹣[x]＜1
C．[x+y]≤[x]+[y] D．[n+x]＝n+[x]（n为整数）
二、填空题，共8小题，每小题3分，共24分
11．（3分）国家森林城市的创建极大地促进了森林资源的增长，美化了城市环境，提升了市
民的生活质量，截至2014年．全国已有21个省、自治区、直辖市的75个城市获得了“国
家森林城市”称号．永州市也在积极创建“国家森林城市”．据统计近两年全市投入“创
森”资金约为365000000元，365000000用科学记数法表示为 ．
12．（3分）如图，∠1＝∠2，∠A＝60°，则∠ADC＝ 度．
13．（3分）已知一次函数y＝kx+b的图象经过两点A（0，1），B（2，0），则当x 时，
y≤0．
14．（3分）已知点A（﹣1，y ），B（1，y ）和C（2，y ）都在反比例函数y＝ （k＞0）的图象上．
1 2 3
则 ＜ ＜ （填y ，y ，y ）．
1 2 3
15．（3分）如图，在△ABC中，已知∠1＝∠2，BE＝CD，AB＝5，AE＝2，则CE＝ ．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标（﹣2，0），△ABO是直角三角形，∠AOB
＝60°．现将Rt△ABO绕原点O按顺时针方向旋转到Rt△A′B′O的位置，则此时边OB
扫过的面积为 ．
第3页（共23页）17．（3分）在等腰△ABC中，AB＝AC，则有BC边上的中线，高线和∠BAC的平分线重合于
AD（如图一）．若将等腰△ABC的顶点A向右平行移动后，得到△A′BC（如图二），那么，
此时BC边上的中线、BC边上的高线和∠BA′C的平分线应依次分别是 ，
， ． （ 填 A′ D 、 A′ E 、 A′ F ）
18．（3分）设a 为正整数n4的末位数，如a ＝1，a ＝6，a ＝1，a ＝6．则a +a +a +…
n 1 2 3 4 1 2 3
+a +a +a ＝ ．
2013 2014 2015
三、简单题，共9小题，共76分
19．（6分）计算：cos30°﹣ +（ ）﹣2．
20．（6分）先化简，再求值： •（m﹣n），其中 ＝2．
21．（8分）中央电视台举办的“中国汉字听写大会”节目受到中学生的广泛关注．某中学为
了了解学生对观看“中国汉字听写大会”节目的喜爱程度，对该校部分学生进行了随机
抽样调查，并绘制出如图所示的两幅统计图．在条形图中，从左向右依次为A类（非常喜
欢），B类（较喜欢），C类（一般），D类（不喜欢）．已知A类和B类所占人数的比是5：9，
请结合两幅统计图，回答下列问题
第4页（共23页）（1）写出本次抽样调查的样本容量；
（2）请补全两幅统计图；
（3）若该校有2000名学生．请你估计观看“中国汉字听写大会”节目不喜欢的学生人数．
22．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+x+m2﹣2m＝0有一个实数根为﹣1，求m的值及方
程的另一实根．
23．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝DC．延长AD到E点，使DE＝
AB．
（1）求证：∠ABC＝∠EDC；
（2）求证：△ABC≌△EDC．
24．（10分）如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所
学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区
域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型
运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．
（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；
（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．
25．（10分）如图，已知△ABC内接于 O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一
⊙
第5页（共23页）点，使CF∥BD．
（1）求证：BE＝CE；
（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；
（3）若BC＝8，AD＝10，求CD的长．
26．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（1，0），与y轴的交点坐标为（0， ）．R（1，1）
是抛物线对称轴l上的一点．
（1）求抛物线y＝ax2+bx+c的解析式；
（2）若P是抛物线上的一个动点（如图一），求证：点P到R的距离与点P到直线y＝﹣1
的距离恒相等；
（3）设直线PR与抛物线的另一交点为Q，E为线段PQ的中点，过点P、E、Q分别作直线y
＝ ﹣ 1 的 垂 线 ． 垂 足 分 别 为 M 、 F 、 N （ 如 图 二 ） ． 求 证 ： PF⊥ QF ．
27．（10分）问题探究：
（一）新知学习：
圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边
形EFGH的对角互补，那么四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H都在同个圆上）．
（二）问题解决：
已知 O的半径为2，AB，CD是 O的直径．P是 上任意一点，过点P分别作AB，CD
⊙ ⊙
第6页（共23页）的垂线，垂足分别为N，M．
（1）若直径AB⊥CD，对于 上任意一点P（不与B、C重合）（如图一），证明四边形
PMON内接于圆，并求此圆直径的长；
（2）若直径AB⊥CD，在点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中，证明MN的长为定
值，并求其定值；
（3）若直径AB与CD相交成120°角．
当点P运动到 的中点P 时（如图二），求MN的长；
1
①当点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中（如图三），证明MN的长为定值．
②（4）试问当直径AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值．
第7页（共23页）2015年湖南省永州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题，共10小题，每小题3分，共30分
1．【分析】数轴上两点间的距离等于表示这两点的数的差的绝对值．
【解答】解：2014﹣（﹣1）＝2015，故A，B两点间的距离为2015．
故选：C．
【点评】本题考查了数轴，由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和
“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学
习中要注意培养数形结合的数学思想．
2．【分析】A：根据同底数幂的乘法法则判断即可．
B：平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，据此判断即可．
C：根据幂的乘方的计算方法判断即可．
D：根据合并同类项的方法判断即可．
【解答】解：∵a2•a3＝a5，
∴选项A不正确；
∵（﹣a+b）（a+b）＝b2﹣a2，
∴选项B正确；
∵（a3）4＝a12，
∴选项C不正确；
∵a3+a5≠a8
∴选项D不正确．
故选：B．
【点评】（1）此题主要考查了平方差公式，要熟练掌握，应用平方差公式计算时，应注意以
下几个问题： 左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互
为相反数； ①右边是相同项的平方减去相反项的平方； 公式中的a和b可以是具体数，
也可以是单②项式或多项式； 对形如两数和与这两数差③相乘的算式，都可以运用这个公
式计算，且会比用多项式乘以④多项式法则简便．
（2）此题还考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要熟练掌握，
解答此题的关键是要明确： 底数必须相同； 按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，
① ②
第8页（共23页）指数相加．
（3）此题还考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： （am）n
＝amn（m，n是正整数）； （ab）n＝anbn（n是正整数）． ①
（4）此题还考查了合并同类②项的方法，要熟练掌握．
3．【分析】分别利用众数、中位数、平均数及概率的知识求解后即可判断正误；
【解答】解：A、数据170出现了3次，最多，故众数为170，正确，不符合题意；
B、排序后位于中间位置的两数为168和170，故中位数为169，正确，不符合题意；
C、平均数为（168+165+168+166+170+170+176+170）÷4＝169.125，故错误，符合题意；
D、从8名学生中任选1名学生参加校文艺会演，则这名学生的身高不低于170的概率为
＝ ，
故选：C．
【点评】本题考查了众数、加权平均数、中位数及概率公式，解题的关键是能够分别求得有
关统计量，难度不大．
4．【分析】设开幕式当天该景区游客人数饱和的时间约为x点，结合已知条件“从早晨8：00
开始每小时进入阳明山景区的游客人数约为1000人，同时每小时走出景区的游客人数约
为600人，已知阳明山景区游客的饱和人数约为2000人”列出方程并解答．
【解答】解：设开幕式当天该景区游客人数饱和的时间约为x点，则
（x﹣8）×（1000﹣600）＝2000，
解得x＝13．
即开幕式当天该景区游客人数饱和的时间约为13：00．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出
的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
5．【分析】从俯视图可得：碟子共有3摞，结合主视图和左视图，可得每摞碟子的个数，相加可
得答案．
【解答】解：由俯视图可得：碟子共有3摞，
由几何体的主视图和左视图，可得每摞碟子的个数，如下图所示：
第9页（共23页）故这张桌子上碟子的个数为3+4+5＝12个，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，分析出每摞碟子的个数是解答的关
键．
6．【分析】先由圆周角定理求出∠A与∠ADB的度数，然后根据三角形外角的性质即可求出
∠P的度数．
【解答】解：∵ 和 所对的圆心角分别为90°和50°，
∴∠A＝25°，∠ADB＝45°，
∵∠P+∠A＝∠ADB，
∴∠P＝∠ADB﹣∠P＝45°﹣25°＝20°．
故选：D．
【点评】此题考查了圆周角定理及三角形外角的性质，解题的关键是：熟记并能灵活应用
圆周角定理及三角形外角的性质解题．
7．【分析】先求出不等式的解集，根据题意得出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可．
【解答】解：∵不等式组 的解集为m﹣1＜x＜1，
又∵不等式组 恰有两个整数解，0和﹣1，
∴﹣2≤m﹣1＜﹣1，
即 ，
解得：﹣1≤m＜0
恰有两个整数解，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的解集的应用，解此题的关键是能求
出关于m的不等式组，难度适中．
8．【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两
第10页（共23页）个三角形相似，分别判断得出即可．
【解答】解：A、∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
B、∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
C、∵AB2＝AD•AC，∴ ＝ ，∠A＝∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
D、 ＝ 不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对
应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
9．【分析】根据角平分线的性质分析，作∠E的平分线，点P到AB和CD的距离相等，即可得
到S△PAB ＝S△PCD ．
【解答】解：作∠E的平分线，
可得点P到AB和CD的距离相等，
因为AB＝CD，
所以此时点P满足S△PAB ＝S△PCD ．
组成∠E的角平分线和外角平分线所在的直线（E点除外）
故选：D．
【点评】此题考查角平分线的性质，关键是根据AB＝CD和三角形等底作出等高即可．
10．【分析】根据“定义[x]为不超过x的最大整数”进行计算．
【解答】解：A、∵[x]为不超过x的最大整数，
∴当x是整数时，[x]＝x，成立；
B、∵[x]为不超过x的最大整数，
∴0≤x﹣[x]＜1，成立；
C、例如，[﹣5.4﹣3.2]＝[﹣8.6]＝﹣9，[﹣5.4]+[﹣3.2]＝﹣6+（﹣4）＝﹣10，
∵﹣9＞﹣10，
∴[﹣5.4﹣3.2]＞[﹣5.4]+[﹣3.2]，
∴[x+y]≤[x]+[y]不成立，
D、[n+x]＝n+[x]（n为整数），成立；
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是理解新定义．新定义解
题是近几年高考常考的题型．
第11页（共23页）二、填空题，共8小题，每小题3分，共24分
11．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将365000000用科学记数法表示为3.65×108．
故答案为：3.65×108．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．【分析】由已知一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到AB与DC平行，再利用
两直线平行同旁内角互补，由∠A的度数即可求出∠ADC的度数．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠ADC＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠ADC＝120°．
故答案为：120°
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
13．【分析】利用待定系数法把点A（0，﹣1），B（1，0）代入y＝kx+b，可得关于k、b的方程组，
再解出方程组可得k、b的值，进而得到函数解析式，再解不等式即可．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过两点A（0，1），B（2，0），
∴ ，
解得：
这个一次函数的表达式为y＝﹣ x+1．
解不等式﹣ x+1≤0，
解得x≥2．
故答案为x≥2．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解不等式，把点的坐标代入函数解析
第12页（共23页）式求出解析式是解题的关键．
14．【分析】先根据反比例函数中k＞0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横
坐标的特点即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝ （k＞0）中k＞0，
∴函数图象的两个分式分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵﹣1＜0，
∴点A（﹣1，y ）位于第三象限，
1
∴y ＜0，
1
∴B（1，y ）和C（2，y ）位于第一象限，
2 3
∴y ＞0，y ＞0，
2 3
∵1＜2，
∴y ＞y ，
2 3
∴y ＜y ＜y ．
1 3 2
故答案为：y ，y ，y ．
1 3 2
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐
标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
15．【分析】由已知条件易证△ABE≌△ACD，再根据全等三角形的性质得出结论．
【解答】解：△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴AD＝AE＝2，AC＝AB＝5，
∴CE＝BD＝AB﹣AD＝3，
故答案为3．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，熟记定理是解题的关键．
16．【分析】根据点A的坐标（﹣2，0），可得OA＝2，再根据含30°的直角三角形的性质可得
OB的长，再根据性质的性质和扇形的面积公式即可求解．
【解答】解：∵点A的坐标（﹣2，0），
∴OA＝2，
∵△ABO是直角三角形，∠AOB＝60°，
第13页（共23页）∴∠OAB＝30°，
∴OB＝ OA＝1，
∴边OB扫过的面积为： ＝ ．
π
故答案为： ．
π
【点评】本题考查了扇形的面积公式：S＝ ，其中n为扇形的圆心角的度数，R为圆
的半径），或S＝ lR，l为扇形的弧长，R为半径．
17．【分析】根据三角形中线的定义，可得答案，根据三角形角平分线的定义，可得答案，三角
形高线的定义，可得答案．
【解答】解： ，
在等腰△ABC中，AB＝AC，则有BC边上的中线，高线和∠BAC的平分线重合于AD（如图
一）．若将等腰△ABC的顶点A向右平行移动后，得到△A′BC（如图二），那么，此时BC
边上的中线、BC边上的高线和∠BA′C的平分线应依次分别是 A′D，A′F，A′E，
故答案为：A′D，A′F，A′E．
【点评】本题考查了平移的性质，平移不改变三角形的中线，三角形的角平分线分角相等，
三角形的高线垂直于角的对边．
18．【分析】正整数n4的末位数依次是1，6，1，6，5，6，1，6，1，0，十个一循环，先求出2015÷10
的商和余数，再根据商和余数，即可求解．
【解答】解：正整数n4的末位数依次是1，6，1，6，5，6，1，6，1，0，十个一循环，
1+6+1+6+5+6+1+6+1+0＝33，
2015÷10＝201…5，
33×201+（1+6+1+6+5）
＝6633+19
＝6652．
第14页（共23页）故a +a +a +…+a +a +a ＝6652．
1 2 3 2013 2014 2015
故答案为：6652．
【点评】考查了尾数特征，本题关键是得出正整数n4的末位数依次是1，6，1，6，5，6，1，6，
1，0，十个一循环．
三、简单题，共9小题，共76分
19．【分析】原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项化为最简二次根式，最后一项
利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝ ﹣ +4＝4．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再由 ＝2得出m＝2n，代入原式进
行计算即可．
【解答】解：原式＝ •（m﹣n）
＝ ，
由 ＝2得m＝2n，
故原式＝ ＝ ＝5．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
21．【分析】（1）用A类的人数除以它所占的百分比，即可得样本容量；
（2）分别计算出D类的人数为：100﹣20﹣35﹣100×19%＝25（人），D类所占的百分比为：
25÷100×100%＝25%，B类所占的百分比为：36÷100×100%＝36%，即可补全统计图；
（3）用2000乘以25%，即可解答．
【解答】解：（1）20÷20%＝100，
∴本次抽样调查的样本容量为100．
（2）由于A，B两类人数比为5：9，故可算出B类人数为20× ＝36（人），D类的人数为：
100﹣20﹣36﹣100×19%＝25（人），
D类所占的百分比为：25÷100×100%＝25%，B类所占的百分比为：36÷100×100%＝36%，
如图所示：
第15页（共23页）（3）2000×25%＝500（人）．
故若该校有2000名学生．估计观看“中国汉字听写大会”节目不喜欢的学生人数为 500
人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计
图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇
形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．【分析】把x＝﹣1代入已知方程列出关于m的新方程，通过解该方程来求m的值；然后结
合根与系数的关系来求方程的另一根．
【解答】解：设方程的另一根为x ，则
2
﹣1+x ＝﹣1，
2
解得x ＝0．
2
把x＝﹣1代入x2+x+m2﹣2m＝0，得
（﹣1）2+（﹣1）+m2﹣2m＝0，即m（m﹣2）＝0，
解得m ＝0，m ＝2．
1 2
综上所述，m的值是0或2，方程的另一实根是0．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，
就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
23．【分析】（1）根据四边形的内角和等于360°求出∠B+∠ADC＝180°，再根据邻补角的和等
于180°可得∠CDE+∠ADE＝180°，从而求出∠B＝∠CDE；
（2）根据“边角边”证明即可．
【解答】（1）证明：在四边形ABCD中，∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴90°+∠B+90°+∠ADC＝360°，
∴∠B+∠ADC＝180°，
又∵∠CDE+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠CDE，
第16页（共23页）（2）连接AC，由（1）证得∠ABC＝∠CDE，
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（SAS）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，根据四边
形的内角和定理以及邻补角的定义，利用同角的补角相等求出夹角相等是证明三角形全
等的关键，也是本题的难点．
24．【分析】（1）直接利用直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半求出即可；
（2）根据题意可知，图中AB＝50m，AD⊥BC，且BD＝CD，∠AOD＝30°，OA＝80m；再利
用垂径定理及勾股定理解答即可．
【解答】解：（1）过点A作AD⊥ON于点D，
∵∠NOM＝30°，AO＝80m，
∴AD＝40m，
即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离为40米；
（2）由图可知：以50m为半径画圆，分别交ON于B，C两点，AD⊥BC，BD＝CD＝ BC，
OA＝80m，
∵在Rt△AOD中，∠AOB＝30°，
∴AD＝ OA＝ ×80＝40m，
在Rt△ABD中，AB＝50，AD＝40，由勾股定理得：BD＝ ＝ ＝
30m，
故BC＝2×30＝60米，即重型运输卡车在经过BC时对学校产生影响．
第17页（共23页）∵重型运输卡车的速度为18千米/小时，即 ＝300米/分钟，
∴重型运输卡车经过BC时需要60÷300＝0.2（分钟）＝12（秒）．
答：卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为12秒．
【点评】此题考查的是垂径定理与勾股定理在实际生活中的运用，解答此题的关键是卡车
在哪段路上运行时对学校产生影响．
25．【分析】（1）证明△ABD≌△ACD，得到∠BAD＝∠CAD，根据等腰三角形的性质即可证
明；
（2）菱形，证明△BFE≌△CDE，得到BF＝DC，可知四边形BFCD是平行四边形，易证BD
＝CD，可证明结论；
（3）设DE＝x，则根据CE2＝DE•AE列方程求出DE，再用勾股定理求出CD．
【解答】（1）证明：∵AD是直径，
∴∠ABD＝∠ACD＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE；
（2）四边形BFCD是菱形．
证明：∵AD是直径，AB＝AC，
∴AD⊥BC，BE＝CE，
∵CF∥BD，
∴∠FCE＝∠DBE，
在△BED和△CEF中
第18页（共23页），
∴△BED≌△CEF，
∴CF＝BD，
∴四边形BFCD是平行四边形，
∵∠BAD＝∠CAD，
∴BD＝CD，
∴四边形BFCD是菱形；
（3）解：∵AD是直径，AD⊥BC，BE＝CE，
∵∠AEC＝∠CED，∠CAE＝∠ECD，
∴△AEC∽△CED，
∴ ＝ ，
∴CE2＝DE•AE，
设DE＝x，
∵BC＝8，AD＝10，
∴42＝x（10﹣x），
解得：x＝2或x＝8（舍去）
在Rt△CED中，
CD＝ ＝ ＝2 ．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质：垂径定理、圆周角定理，三角形全等的判定与性质，
菱形的判定与性质，勾股定理，三角形相似的判定与性质，熟悉圆的有关性质是解决问题
的关键．
26．【分析】（1）设顶点式y＝a（x﹣1）2，然后把（0， ）代入求出a即可；
第19页（共23页）（2）根据二次函数图象上点的坐标，设P（x，（x﹣1）2），易得PM＝ （x﹣1）2+1，然后利
用两点的距离公式计算PR，得到PR2＝（x﹣1）2+[ （x﹣1）2﹣1]2，接着根据完全平方公式
变形可得PR2＝[ （x﹣1）2+1]2，则PR＝ （x﹣1）2+1，所以PR＝PM，于是可判断点P到
R的距离与点P到直线y＝﹣1的距离恒相等；
（3）根据（2）的结论得到得QN＝QR，PR＝PM，则PQ＝PR+QR＝PM+QN，再证明EF为
梯形PMNQ的中位线，所以EF＝ （QN+PM），则EF＝ PQ＝EQ＝EP，根据点与圆的位
置关系得到点 F 在以 PQ 为直径的圆上，则根据圆周角定理得∠PFQ＝90°，即有
PF⊥QF．
【解答】（1）解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2，
把（0， ）代入得a＝ ，
所以抛物线解析式为y＝ （x﹣1）2；
（2）证明：如图1，设P（x， （x﹣1）2），则PM＝ （x﹣1）2+1，
∵PR2＝（x﹣1）2+[ （x﹣1）2﹣1]2＝（x﹣1）2+[ （x﹣1）]4﹣ （x﹣1）2+1＝[ （x﹣1）]4+
（x﹣1）2+1＝[ （x﹣1）2+1]2，
∴PR＝ （x﹣1）2+1，
∴PR＝PM，
即点P到R的距离与点P到直线y＝﹣1的距离恒相等；
（3）证明：由（2）得QN＝QR，PR＝PM，
∴PQ＝PR+QR＝PM+QN，
∵EF⊥MN，QN⊥MN，PM⊥MN，
而E为线段PQ的中点，
∴EF为梯形PMNQ的中位线，
第20页（共23页）∴EF＝ （QN+PM），
∴EF＝ PQ，
∴EF＝EQ＝EP，
∴点F在以PQ为直径的圆上，
∴∠PFQ＝90°，
∴PF⊥QF．
【点评】本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和梯形的中
位线性质；理解坐标与图形性质；会利用待定系数法求二次函数解析式和利用两点间的距
离公式计算线段的长．要充分运用（2）的结论解决（3）中的问题．
27．【分析】（1）如图一，易证∠PMO+∠PNO＝180°，从而可得四边形PMON内接于圆，直径
OP＝2；
（2）如图一，易证四边形PMON是矩形，则有MN＝OP＝2，问题得以解决；
（3） 如图二，根据等弧所对的圆心角相等可得∠COP ＝∠BOP ＝60°，根据圆内接四边
1 1
形的①对角互补可得∠MP N＝60°．根据角平分线的性质可得P M＝P N，从而得到△P MN
1 1 1 1
是等边三角形，则有MN＝P M．然后在Rt△P MO运用三角函数就可解决问题； 设四边
1 1
形PMON的外接圆为 O′，连接NO′并延长，交 O′于点Q，连接QM，如图②三，根据
圆周角定理可得∠QM⊙N＝90°，∠MQN＝∠MPN＝6⊙0°，在Rt△QMN中运用三角函数可得：
MN＝QN•sin∠MQN，从而可得MN＝OP•sin∠MQN，由此即可解决问题；
（4）由（3） 中已得结论MN＝OP•sin∠MQN可知，当∠MQN＝90°时，MN最大，问题得
以解决． ②
【解答】解：（1）如图一，
∵PM⊥OC，PN⊥OB，
∴∠PMO＝∠PNO＝90°，
第21页（共23页）∴∠PMO+∠PNO＝180°，
∴四边形PMON内接于圆，直径OP＝2；
（2）如图一，
∵AB⊥OC，即∠BOC＝90°，
∴∠BOC＝∠PMO＝∠PNO＝90°，
∴四边形PMON是矩形，
∴MN＝OP＝2，
∴MN的长为定值，该定值为2；
（3） 如图二，
∵P
1
是① 的中点，∠BOC＝120°
∴∠COP ＝∠BOP ＝60°，∠MP N＝60°．
1 1 1
∵P M⊥OC，P N⊥OB，
1 1
∴P M＝P N，
1 1
∴△P MN是等边三角形，
1
∴MN＝P M．
1
∵P M＝OP •sin∠MOP ＝2×sin60°＝ ，
1 1 1
∴MN＝ ；
设四边形PMON的外接圆为 O′，连接NO′并延长，
②交 O′于点Q，连接QM，如图⊙三，
则⊙有∠QMN＝90°，∠MQN＝∠MPN＝60°，
在Rt△QMN中，sin∠MQN＝ ，
∴MN＝QN•sin∠MQN，
∴MN＝OP•sin∠MQN＝2×sin60°＝2× ＝ ，
∴MN是定值．
（4）由（3） 得MN＝OP•sin∠MQN＝2sin∠MQN．
当直径AB与C②D相交成90°角时，∠MQN＝180°﹣90°＝90°，MN取得最大值2．
第22页（共23页）【点评】本题主要考查了圆内接四边形的判定定理、圆周角定理、在同圆中弧与圆心角的
关系、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角函数、角平分线的性质等知识，
推出MN＝OP•sin∠MQN是解决本题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2020/9/17 12:41:06；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
第23页（共23页）
