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2016 年湖南省岳阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题8道小题，每小题3分，满分24分）
1．下列各数中为无理数的是（ ）
A．﹣1 B．3.14 C．π D．0
2．下列运算结果正确的是（ ）
A．a2+a3=a5 B．（a2）3=a6 C．a2•a3=a6 D．3a﹣2a=1
3．函数y= 中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥0 B．x＞4 C．x＜4 D．x≥4
4．某小学校足球队22名队员年龄情况如下：
年龄（岁） 12 11 10 9
人数 4 10 6 2
则这个队队员年龄的众数和中位数分别是（ ）
A．11，10 B．11，11 C．10，9 D．10，11
5．如图是某几何体的三视图，则该几何体可能是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．长方体
6．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cm C．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm
7．下列说法错误的是（ ）
A．角平分线上的点到角的两边的距离相等
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．菱形的对角线相等
D．平行四边形是中心对称图形
8．对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}=a；当a＜b时，
max{a，b]=b；如：max{4，﹣2}=4，max{3，3}=3，若关于x的函数为y=max{x+3，﹣x+1}，则该函
数的最小值是（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）
19．如图所示，数轴上点A所表示的数的相反数是 ．
10．因式分解：6x2﹣3x= ．
11．在半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为 cm．
12．为加快“一极三宜”江湖名城建设，总投资124000万元的岳阳三荷机场及交通产业园，
预计2016年建好主体工程，将124000万元用科学记数法表示为 元．
13．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD=110°，则∠BAD= 度．
14．如图，一山坡的坡度为i=1： ，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则
小辰上升了 米．
15．如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）和反比例函数y= （x＞0）的图象交于A、B
两点，利用函数图象直接写出不等式 ＜kx+b的解集是 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，P，P，P，…，均在格
1 2 3
点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P（0，0），P（0，1），P（1，1），P（1，﹣1），P（﹣1，
1 2 3 4 5
﹣1），P（﹣1，2）…根据这个规律，点P 的坐标为 ．
6 2016
2三、解答题（本大题共8道小题，满分64分）
17．计算：（ ）﹣1﹣ +2tan60°﹣（2﹣ ）0．
18．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：
BF=CD．
319．已知不等式组
（1）求不等式组的解集，并写出它的所有整数解；
（2）在不等式组的所有整数解中任取两个不同的整数相乘，请用画树状图或列表的方法求积
为正数的概率．
20．我市某学校开展“远是君山，磨砺意志，保护江豚，爱鸟护鸟”为主题的远足活动．已知
学校与君山岛相距24千米，远足服务人员骑自行车，学生步行，服务人员骑自行车的平均速
度是学生步行平均速度的2.5倍，服务人员与学生同时从学校出发，到达君山岛时，服务人
员所花时间比学生少用了3.6小时，求学生步行的平均速度是多少千米/小时．
21．某学校环保志愿者协会对该市城区的空气质量进行调查，从全年365天中随机抽取了80
天的空气质量指数（AQI）数据，绘制出三幅不完整的统计图表．请根据图表中提供的信息解
答下列问题：
4AQI指数 质量等级 天数（天）
0﹣50 优 m
51﹣100 良 44
101﹣150 轻度污染 n
151﹣200 中度污染 4
201﹣300 重度污染 2
300以上 严重污染 2
（1 ）统计表中m= ，n= ．扇形统计图中，空气质量等级为“良”的
天数占 %；
（2）补全条形统计图，并通过计算估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数
共多少天？
（3）据调查，严重污染的2天发生在春节期间，燃放烟花爆竹成为空气污染的一个重要原因，
据此，请你提出一条合理化建议．
22．已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）已知方程的一个根为x=0，求代数式（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5的值（要求先化简再
求值）．
523．数学活动﹣旋转变换
（1）如图①，在△ABC中，∠ABC=130°，将△ABC绕点C逆时针旋转50°得到△A′B′C，连接
BB′，求∠A′B′B的大小；
（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=150°，AB=3，BC=5，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到
△A′B′C，连接BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆．
（Ⅰ）猜想：直线BB′与⊙A′的位置关系，并证明你的结论；
（Ⅱ）连接A′B，求线段A′B的长度；
（3）如图③，在△ABC中，∠ABC=α（90°＜α＜180°），AB=m，BC=n，将△ABC绕点C逆时针旋
转2β角度（0°＜2β＜180°）得到△A′B′C，连接A′B和BB′，以A′为圆心，A′B′长
为半径作圆，问：角α与角β满足什么条件时，直线BB′与⊙A′相切，请说明理由，并求此
条件下线段A′B的长度（结果用角α或角β的三角函数及字母m、n所组成的式子表示）
24．如图①，直线y= x+4交于x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线F 交x轴于另
1
一点B（1，0）．
（1）求抛物线F 所表示的二次函数的表达式；
1
（2）若点M是抛物线F 位于第二象限图象上的一点，设四边形MAOC和△BOC的面积分别为S
1
和S ，记S=S ﹣S ，求S最大时点M的坐标及S的最大值；
四边形MAOC △BOC 四边形MAOC △BOC
（3）如图②，将抛物线F 沿y轴翻折并“复制”得到抛物线F，点A、B与（2）中所求的点M的
1 2
对应点分别为A′、B′、M′，过点M′作M′E⊥x轴于点E，交直线A′C于点D，在x轴上是
6否存在点P，使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似？若存在，请求出点P的坐标；
若不存在，请说明理由．
2016 年湖南省岳阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题8道小题，每小题3分，满分24分）
1．下列各数中为无理数的是（ ）
A．﹣1 B．3.14 C．π D．0
【考点】无理数．
【分析】π是圆周率，是无限不循环小数，所以π是无理数．
【解答】解：∵π是无限不循环小数，
∴π是无理数．
故选C．
2．下列运算结果正确的是（ ）
A．a2+a3=a5 B．（a2）3=a6C．a2•a3=a6 D．3a﹣2a=1
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．
【分析】利用幂的有关运算性质逐一计算后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故错误；
B、（a2）3=a6，正确，符合题意；
C、a2•a3=a5，故错误；
D、3a﹣2a=a，故错误，
故选B．
3．函数y= 中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥0 B．x＞4 C．x＜4 D．x≥4
【考点】函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得出x﹣4≥0，解该不等式即可得出结论．
7【解答】解：∵x﹣4≥0，
∴x≥4．
故选D．
4．某小学校足球队22名队员年龄情况如下：
年龄（岁） 12 11 10 9
人数 4 10 6 2
则这个队队员年龄的众数和中位数分别是（ ）
A．11，10 B．11，11 C．10，9 D．10，11
【考点】众数；中位数．
【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
【解答】解：年龄是11岁的人数最多，有10个人，则众数是11；
把这些数从小到大排列，中位数是第11，12个数的平均数，
则中位数是 =11；
故选B．
5．如图是某几何体的三视图，则该几何体可能是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．长方体
【考点】由三视图判断几何体．
【分析】根据一个空间几何体的主视图和俯视图都是宽度相等的长方形，可判断该几何体是
柱体，进而根据左视图的形状，可判断柱体侧面形状，得到答案．
【解答】解：∵几何体的主视图和俯视图都是宽度相等的长方形，
∴该几何体是一个柱体，
又∵俯视图是一个圆，
∴该几何体是一个圆柱．
故选A．
6．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cm C．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm
【考点】三角形三边关系．
【分析】依据三角形任意两边之和大于第三边求解即可．
【解答】解：A、因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A错误；
B、因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B错误；
C、因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C错误；
D、因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D正确．
故选：D．
7．下列说法错误的是（ ）
A．角平分线上的点到角的两边的距离相等
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．菱形的对角线相等
8D．平行四边形是中心对称图形
【考点】中心对称图形；角平分线的性质；直角三角形斜边上的中线；菱形的性质．
【分析】A：根据角平分线的性质，可得角平分线上的点到角的两边的距离相等．
B：根据直角三角形斜边上的中线的性质，可得直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
C：根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直，但是不一定相等．
D：根据中心对称图形的性质，可得常见的中心对称图形有：平行四边形、圆形、正方形、长方
形，据此判断即可．
【解答】解：∵角平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴选项A正确；
∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
∴选项B正确；
∵菱形的对角线互相垂直，但是不一定相等，
∴选项C不正确；
∵平行四边形是中心对称图形，
∴选项D正确．
故选：C．
8．对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}=a；当a＜b时，
max{a，b]=b；如：max{4，﹣2}=4，max{3，3}=3，若关于x的函数为y=max{x+3，﹣x+1}，则该函
数的最小值是（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
【考点】分段函数．
【分析】分x≥﹣1和x＜﹣1两种情况进行讨论计算，
【解答】解：当x+3≥﹣x+1，
即：x≥﹣1时，y=x+3，
∴当x=﹣1时，y =2，
min
当x+3＜﹣x+1，
即：x＜﹣1时，y=﹣x+1，
∵x＜﹣1，
∴﹣x＞1，
∴﹣x+1＞2，
∴y＞2，
∴y =2，
min
故选B
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）
9．如图所示，数轴上点A所表示的数的相反数是 2 ．
【考点】相反数；数轴．
【分析】根据相反数的定义，即可解答．
【解答】解：数轴上点A所表示的数是﹣2，﹣2的相反数是2，
故答案为：2．
910．因式分解：6x2﹣3x= 3 x （ 2x﹣ 1 ） ．
【考点】因式分解-提公因式法．
【分析】根据提公因式法因式分解的步骤解答即可．
【解答】解：6x2﹣3x=3x（2x﹣1），
故答案为：3x（2x﹣1）．
11．在半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为 4π cm．
【考点】弧长的计算．
【分析】直接利用弧长公式求出即可．
【解答】解：半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为： =4π（cm）．
故答案为：4π．
12．为加快“一极三宜”江湖名城建设，总投资124000万元的岳阳三荷机场及交通产业园，
预计2016年建好主体工程，将124000万元用科学记数法表示为 1.24×1 0 9 元．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝
对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：124000万=124000 0000=1.24×109，
故答案为：1.24×109．
13．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD=110°，则∠BAD= 7 0 度．
【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．
【分析】根据圆内接四边形的对角互补求∠BAD的度数即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD=180°（圆内接四边形的对角互补）；
又∵∠BCD=110°，
∴∠BAD=70°．
故答案为：70．
14．如图，一山坡的坡度为i=1： ，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则
小辰上升了 10 0 米．
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
10【分析】根据坡比的定义得到tan∠A = ，∠A=30°，然后根据含30度的直角三角形三边
的关系求解．
【解答】解：根据题意得tan∠A = = ，
所以∠A=30°，
所以BC= AB= ×200=100（m）．
故答案为100．
15．如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）和反比例函数y= （x＞0）的图象交于A、B
两点，利用函数图象直接写出不等式 ＜kx+b的解集是 1 ＜ x ＜ 4 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】先根据图形得出A、B的坐标，根据两点的坐标和图形得出不等式的解集即可．
【解答】解：∵由图象可知：A（1，4），B（4，1），x＞0，
∴不等式 ＜kx+b的解集为1＜x＜4，
故答案为：1＜x＜4．
16．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，P，P，P，…，均在格
1 2 3
点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P（0，0），P（0，1），P（1，1），P（1，﹣1），P（﹣1，
1 2 3 4 5
﹣1），P（﹣1，2）…根据这个规律，点P 的坐标为 ．
6 2016
【考点】规律型：点的坐标．
【分析】根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，被4
除余1的点在第三象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限的角平分线上，被4除余3
11的点在第一象限的角平分线上，点P 的在第四象限的角平分线上，且横纵坐标的绝对值
2016
=2016÷4，再根据第四项象限内点的符号得出答案即可．
【解答】解：由规律可得，2016÷4=504，
∴点P 的在第四象限的角平分线上，
2016
∵点P（1，﹣1），点P（2，﹣2），点P （3，﹣3），
4 8 12
∴点P ，
2016
故答案为．
三、解答题（本大题共8道小题，满分64分）
17．计算：（ ）﹣1﹣ +2tan60°﹣（2﹣ ）0．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，二次根式性质，以及特殊角的三角函数值计
算即可得到结果．
【解答】解：原式=3﹣2 +2 ﹣1
=2．
18．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：
BF=CD．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】由四边形ABCD为矩形，得到四个角为直角，再由EF与FD垂直，利用平角定义得到一
对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形BEF与三角形CFD全
等，利用全等三角形对应边相等即可得证．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
∵EF⊥DF，
∴∠EFD=90°，
∴∠EFB+∠CFD=90°，
∵∠EFB+∠BEF=90°，
∴∠BEF=∠CFD，
在△BEF和△CFD中，
，
∴△BEF≌△CFD（ASA），
∴BF=CD．
1219．已知不等式组
（1）求不等式组的解集，并写出它的所有整数解；
（2）在不等式组的所有整数解中任取两个不同的整数相乘，请用画树状图或列表的方法求积
为正数的概率．
【考点】列表法与树状图法；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．
【分析】（1）首先分别解不等式①②，然后求得不等式组的解集，继而求得它的所有整数解；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与积为正数的情况，再
利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）由①得：x＞﹣2，
由②得：x≤2，
∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤2，
∴它的所有整数解为：﹣1，0，1，2；
（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，积为正数的有2种情况，
∴积为正数的概率为： = ．
20．我市某学校开展“远是君山，磨砺意志，保护江豚，爱鸟护鸟”为主题的远足活动．已知
学校与君山岛相距24千米，远足服务人员骑自行车，学生步行，服务人员骑自行车的平均速
度是学生步行平均速度的2.5倍，服务人员与学生同时从学校出发，到达君山岛时，服务人
员所花时间比学生少用了3.6小时，求学生步行的平均速度是多少千米/小时．
【考点】分式方程的应用．
【分析】设学生步行的平均速度是每小时x千米，服务人员骑自行车的平均速度是每小时
2.5x千米，根据学校与君山岛距离为24千米，服务人员所花时间比学生少用了3.6小时，可
列方程求解．
【解答】解：设学生步行的平均速度是每小时x千米．
服务人员骑自行车的平均速度是每小时2.5x千米，
根据题意： ﹣ =3.6，
解得：x=3，
经检验，x=3是所列方程的解，且符合题意．
答：学生步行的平均速度是每小时3千米．
21．某学校环保志愿者协会对该市城区的空气质量进行调查，从全年365天中随机抽取了80
天的空气质量指数（AQI）数据，绘制出三幅不完整的统计图表．请根据图表中提供的信息解
答下列问题：
13AQI指数 质量等级 天数（天）
0﹣50 优 m
51﹣100 良 44
101﹣150 轻度污染 n
151﹣200 中度污染 4
201﹣300 重度污染 2
300以上 严重污染 2
（1 ）统计表中m= 2 0 ，n= 8 ．扇形统计图中，空气质量等级为“良”的天数占 5 5
%；
（2）补全条形统计图，并通过计算估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数
共多少天？
（3）据调查，严重污染的2天发生在春节期间，燃放烟花爆竹成为空气污染的一个重要原因，
据此，请你提出一条合理化建议．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）由A占25%，即可求得m的值，继而求得n的值，然后求得空气质量等级为“良”
的天数占的百分比；
（2）首先由（1）补全统计图，然后利用样本估计总体的知识求解即可求得答案；
（3）提出合理建议，比如不燃放烟花爆竹或少燃放烟花爆竹等．
【解答】解：（1）∵m=80×25%=20，n=80﹣20﹣44﹣4﹣2﹣2=8，
∴空气质量等级为“良”的天数占： ×100%=55%．
故答案为：20，8，55；
（2）估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共：365×（25%+55%）=292
（天），
答：估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共292天；
补全统计图：
14（3）建议不要燃放烟花爆竹．
22．已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）已知方程的一个根为x=0，求代数式（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5的值（要求先化简再
求值）．
【考点】根的判别式；一元二次方程的解．
【分析】（1）找出a，b及c，表示出根的判别式，变形后得到其值大于0，即可得证．
（2）把x=0代入方程即可求m的值，然后将其整体代入所求的代数式并求值即可．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．
∴△=（2m+1）2﹣4m（m+1）=1＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵x=0是此方程的一个根，
∴把x=0代入方程中得到m（m+1）=0，
∴m=0或m=﹣1，
把m=0或m=﹣1代入（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5=4m2﹣4m+1+9﹣m2+7m﹣5=3m2+3m+5，
可得：（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5=5，或（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5=3﹣3+5=5．
23．数学活动﹣旋转变换
（1）如图①，在△ABC中，∠ABC=130°，将△ABC绕点C逆时针旋转50°得到△A′B′C，连接
BB′，求∠A′B′B的大小；
（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=150°，AB=3，BC=5，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到
△A′B′C，连接BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆．
（Ⅰ）猜想：直线BB′与⊙A′的位置关系，并证明你的结论；
（Ⅱ）连接A′B，求线段A′B的长度；
（3）如图③，在△ABC中，∠ABC=α（90°＜α＜180°），AB=m，BC=n，将△ABC绕点C逆时针旋
转2β角度（0°＜2β＜180°）得到△A′B′C，连接A′B和BB′，以A′为圆心，A′B′长
为半径作圆，问：角α与角β满足什么条件时，直线BB′与⊙A′相切，请说明理由，并求此
条件下线段A′B的长度（结果用角α或角β的三角函数及字母m、n所组成的式子表示）
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）根据∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C，只要求出∠A′B′B即可．
（2）（Ⅰ）结论：直线BB′、是⊙A′的切线．只要证明∠A′B′B=90°即可．（Ⅱ）在
RT△ABB′中，利用勾股定理计算即可．
（3）如图③中，当α+β=180°时，直线BB′、是⊙A′的切线．只要证明∠A′B′B=90°即可
解决问题．在△CBB′中求出BB′，再在RT△A′B′B中利用勾股定理即可．
15【解答】解；（1）如图①中，∵△A′B′C是由△ABC旋转得到，
∴∠A′B′C=∠ABC=130°，CB=CB′，
∴∠CBB′=∠CB′B，∵∠BCB′=50°，
∴∠CBB′=∠CB′B=65°，
∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=65°．
（2）（Ⅰ）结论：直线BB′、是⊙A′的切线．
理由：如图②中，∵∠A′B′C=∠ABC=150°，CB=CB′，
∴∠CBB′=∠CB′B，∵∠BCB′=60°，
∴∠CBB′=∠CB′B=60°，
∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=90°．
∴AB′⊥BB′，
∴直线BB′、是⊙A′的切线．
（Ⅱ）∵在RT△ABB′中，∵∠AB′B=90°，BB′=BC=5，AB′=AB=3，
∴A′B= = ．
（3）如图③中，当α+β=180°时，直线BB′、是⊙A′的切线．
理由：∵∠A′B′C=∠ABC=α，CB=CB′，
∴∠CBB′=∠CB′B，∵∠BCB′=2β，
∴∠CBB′=∠CB′B= ，
∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=α﹣90°+β=180°﹣90°=90°．
∴AB′⊥BB′，
∴直线BB′、是⊙A′的切线．
在△CBB′中∵CB=CB′=n，∠BCB′=2β，
∴BB′=2•nsinβ，
在RT△A′BB′中，A′B= = ．
1624．如图①，直线y= x+4交于x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线F 交x轴于另
1
一点B（1，0）．
（1）求抛物线F 所表示的二次函数的表达式；
1
（2）若点M是抛物线F 位于第二象限图象上的一点，设四边形MAOC和△BOC的面积分别为S
1
和S ，记S=S ﹣S ，求S最大时点M的坐标及S的最大值；
四边形MAOC △BOC 四边形MAOC △BOC
（3）如图②，将抛物线F 沿y轴翻折并“复制”得到抛物线F，点A、B与（2）中所求的点M的
1 2
对应点分别为A′、B′、M′，过点M′作M′E⊥x轴于点E，交直线A′C于点D，在x轴上是
否存在点P，使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似？若存在，请求出点P的坐标；
若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）利用一次函数的解析式求出点A、C的坐标，然后再利用B点坐标即可求出二次
函数的解析式；
（2）由于M在抛物线F 上，所以可设M（a，﹣ a2﹣ a+4），然后分别计算S 和S ，过
1 四边形MAOC △BOC
点M作MD⊥x轴于点D，则S 的值等于△ADM的面积与梯形DOCM的面积之和．
四边形MAOC
（3）由于没有说明点P的具体位置，所以需要将点P的位置进行分类讨论，当点P在A′的右
边时，此情况是不存在；当点P在A′的左边时，此时∠DA′P=∠CAB′，若以A′、D、P为顶点
的三角形与△AB′C相似，则分为以下两种情况进行讨论：① = ；② = ．
【解答】解：（1）令y=0代入y= x+4，
∴x=﹣3，
A（﹣3，0），
令x=0，代入y= x+4，
∴y=4，
17∴C（0，4），
设抛物线F 的解析式为：y=a（x+3）（x﹣1），
1
把C（0，4）代入上式得，a=﹣ ，
∴y=﹣ x2﹣ x+4，
（2）如图①，设点M（a，﹣ a2﹣ a+4）
其中﹣3＜a＜0
∵B（1，0），C（0，4），
∴OB=1，OC=4
∴S = OB•OC=2，
△BOC
过点M作MD⊥x轴于点D，
∴MD=﹣ a2﹣ a+4，AD=a+3，OD=﹣a，
∴S = AD•MD+ （MD+OC）•OD
四边形MAOC
= AD•MD+ OD•MD+ OD•OC
= +
= +
= ×3（﹣ a2﹣ a+4）+ ×4×（﹣a）
=﹣2a2﹣6a+6
∴S=S ﹣S
四边形MAOC △BOC
=（﹣2a2﹣6a+6）﹣2
=﹣2a2﹣6a+4
=﹣2（a+ ）2+
∴当a=﹣ 时，
S有最大值，最大值为
此时，M（﹣ ，5）；
（3）如图②，由题意知：M′（ ），B′（﹣1，0），A′（3，0）
∴AB′=2
设直线A′C的解析式为：y=kx+b，
18把A′（3，0）和C（0，4）代入y=kx+b，
得： ，
∴
∴y=﹣ x+4，
令x= 代入y=﹣ x+4，
∴y=2
∴
由勾股定理分别可求得：AC=5，DA′=
设P（m，0）
当m＜3时，
此时点P在A′的左边，
∴∠DA′P=∠CAB′，
当 = 时，△DA′P∽△CAB′，
此时， = （3﹣m），
解得：m=2，
∴P（2，0）
当 = 时，△DA′P∽△B′AC，
此时， = （3﹣m）
m=﹣ ，
∴P（﹣ ，0）
当m＞3时，
此时，点P在A′右边，
由于∠CB′O≠∠DA′E，
∴∠AB′C≠∠DA′P
∴此情况，△DA′P与△B′AC不能相似，
综上所述，当以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似时，点P的坐标为（2，0）或（﹣ ，
0）．
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