文档内容
2018 年湖南省岳阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3分，满分 24分，在每道小题给出的四
个选项中，选出符合要求的一项）
1．（3 分）2018 的倒数是（ ）
A．2018 B． C．﹣ D．﹣2018
2．（3 分）下列运算结果正确的是（ ）
A．a3•a2=a5 B．（a3）2=a5 C．a3+a2=a5 D．a﹣2=﹣a2
3．（3 分）函数y= 中自变量 x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x≠3 C．x≥3 D．x≥0
4．（3 分）抛物线y=3（x﹣2）2+5 的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，5） B．（﹣2，﹣5） C．（2，5） D．（2，﹣5）
5．（3 分）已知不等式组 ，其解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B ．
C． D．
6．（3 分）在“美丽乡村”评选活动中，某乡镇7 个村的得分如下：98，90，88，
96，92，96，86，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．90，96 B．92，96 C．92，98 D．91，92
7．（3 分）下列命题是真命题的是（ ）
A．平行四边形的对角线相等
B．三角形的重心是三条边的垂直平分线的交点
C．五边形的内角和是 540°
D．圆内接四边形的对角相等
8．（3 分）在同一直角坐标系中，二次函数 y=x2与反比例函数y= （x＞0）的图
象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点 A（x ，m），B（x ，m），C（x ，
1 2 3
m），其中m 为常数，令 ω=x
1
+x
2
+x
3
，则ω 的值为（ ）
第1页（共22页）A．1 B．m C．m2 D．
二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 4分，满分 32分）
9．（4 分）因式分解：x2﹣4= ．
10．（4 分）2018 年岳阳市教育扶贫工作实施方案出台，全市计划争取“全面改薄”
专项资金120000000元，用于改造农村义务教育薄弱学校100所，数据120000000
科学记数法表示为 ．
11．（4 分）关于 x的一元二次方程 x2+2x+k=0 有两个不相等的实数根，则 k的取
值范围是 ．
12．（4 分）已知a2+2a=1，则3（a2+2a）+2的值为 ．
13．（4 分）在﹣2，1，4，﹣3，0 这5 个数字中，任取一个数是负数的概率是 ．
14．（4 分）如图，直线 a∥b，∠l=60°，∠2=40°，则∠3= ．
15．（4 分）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，
股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长
为 5 步，股（长直角边）长为 12 步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大
是多少步？”该问题的答案是 步．
第2页（共22页）16．（4 分）如图，以 AB为直径的⊙O与CE 相切于点 C，CE 交AB的延长线于点
E，直径 AB=18，∠A=30°，弦 CD⊥AB，垂足为点 F，连接 AC，OC，则下列结论
正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
① = ；
②扇形 OBC的面积为 π；
③△OCF∽△OEC；
④若点 P 为线段OA 上一动点，则AP•OP 有最大值 20.25．
三、解答题（本大题共 8 小题，满分 64分，解答应写出文字说明，证明过程或
演算步骤）
17．（6 分）计算：（﹣1）2﹣2sin45°+（π﹣2018）0+|﹣ |
18．（6 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AE=CF，求证：四边形 BFDE 是平行
四边形．
19．（8 分）如图，某反比例函数图象的一支经过点 A（2，3）和点 B（点 B在点
A 的右侧），作BC⊥y 轴，垂足为点C，连结AB，AC．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若△ABC的面积为 6，求直线AB的表达式．
第3页（共22页）20．（8 分）为了树立文明乡风，推进社会主义新农村建设，某村决定组建村民
文体团队，现围绕“你最喜欢的文体活动项目（每人仅限一项）”，在全村范围内
随机抽取部分村民进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计
图．请你根据统计图解答下列问题：
（1）这次参与调查的村民人数为 人；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）求扇形统计图中“划龙舟”所在扇形的圆心角的度数；
（4）若在“广场舞、腰鼓、花鼓戏、划龙舟”这四个项目中任选两项组队参加端
午节庆典活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“花鼓戏、划龙舟”这两
个项目的概率．
21．（8 分）为落实党中央“长江大保护”新发展理念，我市持续推进长江岸线保护，
还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌．某工程队负责对一面积为 33000 平方
米的非法砂石码头进行拆除，回填土方和复绿施工，为了缩短工期，该工程队增
加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了 20%，结果提前 11 天完成
任务，求实际平均每天施工多少平方米？
22．（8 分）图 1 是某小区入口实景图，图 2 是该入口抽象成的平面示意图．已
知入口BC宽3.9 米，门卫室外墙 AB上的O 点处装有一盏路灯，点 O与地面 BC
的距离为3.3 米，灯臂 OM 长为1.2 米（灯罩长度忽略不计），∠AOM=60°．
（1）求点M 到地面的距离；
第4页（共22页）（2）某搬家公司一辆总宽 2.55 米，总高 3.5 米的货车从该入口进入时，货车需
与护栏CD 保持0.65 米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计
算说明；若不能，请说明理由．（参考数据： ≈1.73，结果精确到0.01 米）
23．（10 分）已知在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，CD 为∠ACB 的平分线，将∠ACB
沿CD 所在的直线对折，使点 B落在点B′处，连结 AB'，BB'，延长CD 交 BB'于点
E，设∠ABC=2α（0°＜α＜45°）．
（1）如图1，若AB=AC，求证：CD=2BE；
（2）如图2，若AB≠AC，试求CD 与BE 的数量关系（用含 α 的式子表示）；
（3）如图3，将（2）中的线段 BC绕点C逆时针旋转角（α+45°），得到线段 FC，
连结EF 交BC于点O，设△COE 的面积为S ，△COF的面积为S ，求 （用含 α
1 2
的式子表示）．
24．（10 分）已知抛物线 F：y=x2+bx+c的图象经过坐标原点 O，且与x轴另一交
点为（﹣ ，0）．
（1）求抛物线F 的解析式；
（2）如图 1，直线 l：y= x+m（m＞0）与抛物线 F 相交于点 A（x ，y ）和点
1 1
第5页（共22页）B（x
2
，y
2
）（点A 在第二象限），求 y
2
﹣y
1
的值（用含 m 的式子表示）；
（3）在（2）中，若 m= ，设点A′是点A 关于原点 O的对称点，如图2．
①判断△AA′B的形状，并说明理由；
②平面内是否存在点 P，使得以点A、B、A′、P 为顶点的四边形是菱形？若存在，
求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
第6页（共22页）2018 年湖南省岳阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3分，满分 24分，在每道小题给出的四
个选项中，选出符合要求的一项）
1．（3 分）2018 的倒数是（ ）
A．2018 B． C．﹣ D．﹣2018
【解答】解：2018 的倒数是 ，
故选：B．
2．（3 分）下列运算结果正确的是（ ）
A．a3•a2=a5 B．（a3）2=a5 C．a3+a2=a5 D．a﹣2=﹣a2
【解答】解：A、a3•a2=a5，正确，故本选项符合题意；
B、（a3）2=a6，故本选项不符合题意；
C、不是同类项不能合并，故本选项不符合题意；
D、a﹣2= ，故本选项不符合题意，
故选：A．
3．（3 分）函数y= 中自变量 x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x≠3 C．x≥3 D．x≥0
【解答】解：函数y= 中x﹣3≥0，
所以x≥3，
故选：C．
4．（3 分）抛物线y=3（x﹣2）2+5 的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，5） B．（﹣2，﹣5） C．（2，5） D．（2，﹣5）
【解答】解：抛物线 y=3（x﹣2）2+5 的顶点坐标为（2，5），
第7页（共22页）故选：C．
5．（3 分）已知不等式组 ，其解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B ．
C． D．
【解答】解： ，
解①得：x＜2，
解②得：x≥﹣1，
故不等式组的解集为：﹣1≤x＜2，
故解集在数轴上表示为： ．
故选：D．
6．（3 分）在“美丽乡村”评选活动中，某乡镇7 个村的得分如下：98，90，88，
96，92，96，86，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．90，96 B．92，96 C．92，98 D．91，92
【解答】解：将数据从小到大排列：86，88，90，92，96，96，98；可得中位数
为92，众数为96．
故选：B．
7．（3 分）下列命题是真命题的是（ ）
A．平行四边形的对角线相等
B．三角形的重心是三条边的垂直平分线的交点
C．五边形的内角和是 540°
D．圆内接四边形的对角相等
【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，A 是假命题；
三角形的重心是三条边的中线的交点，B是假命题；
第8页（共22页）五边形的内角和=（5﹣2）×180°=540°，C是真命题；
圆内接四边形的对角互补，D 是假命题；
故选：C．
8．（3 分）在同一直角坐标系中，二次函数 y=x2与反比例函数y= （x＞0）的图
象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点 A（x ，m），B（x ，m），C（x ，
1 2 3
m），其中m 为常数，令 ω=x
1
+x
2
+x
3
，则ω 的值为（ ）
A．1 B．m C．m2 D．
【解答】解：设点A、B在二次函数y=x2图象上，点 C在反比例函数 y= （x＞0）
的图象上．因为 AB 两点纵坐标相同，则 A、B 关于 y 轴对称，则 x +x =0，因为
1 2
点C（x
3
，m）在反比例函数图象上，则 x
3
=
∴ω=x
1
+x
2
+x
3
=x
3
=
故选：D．
二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 4分，满分 32分）
9．（4 分）因式分解：x2﹣4= （x+2）（x﹣2） ．
【解答】解：x2﹣4=（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
10．（4 分）2018 年岳阳市教育扶贫工作实施方案出台，全市计划争取“全面改薄”
专项资金120000000元，用于改造农村义务教育薄弱学校100所，数据120000000
科学记数法表示为 1.2×108 ．
【解答】解：120000000=1.2×108，
第9页（共22页）故答案为：1.2×108．
11．（4 分）关于 x的一元二次方程 x2+2x+k=0 有两个不相等的实数根，则 k的取
值范围是 k＜1 ．
【解答】解：由已知得：△=4﹣4k＞0，
解得：k＜1．
故答案为：k＜1．
12．（4 分）已知a2+2a=1，则3（a2+2a）+2的值为 5 ．
【解答】解：∵a2+2a=1，
∴3（a2+2a）+2=3×1+2=5，
故答案为5．
13．（4 分）在﹣2，1，4，﹣3，0 这 5 个数字中，任取一个数是负数的概率是
．
【解答】解：任取一个数是负数的概率是：P= ，
故答案为： ．
14．（4 分）如图，直线 a∥b，∠l=60°，∠2=40°，则∠3= 80° ．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠4=∠l=60°，
∴∠3=180°﹣∠4﹣∠2=80°，
故答案为：80°．
第10页（共22页）15．（4 分）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，
股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长
为 5 步，股（长直角边）长为 12 步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大
是多少步？”该问题的答案是 步．
【解答】解：∵四边形 CDEF 是正方形，
∴CD=ED，DE∥CF，
设ED=x，则CD=x，AD=12﹣x，
∵DE∥CF，
∴∠ADE=∠C，∠AED=∠B，
∴△ADE∽△ACB，
∴ ，
∴ ，
x= ，
∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是 （步），
故答案为： ．
第11页（共22页）16．（4 分）如图，以 AB为直径的⊙O与CE 相切于点 C，CE 交AB的延长线于点
E，直径 AB=18，∠A=30°，弦 CD⊥AB，垂足为点 F，连接 AC，OC，则下列结论
正确的是 ①③ ．（写出所有正确结论的序号）
① = ；
②扇形 OBC的面积为 π；
③△OCF∽△OEC；
④若点 P 为线段OA 上一动点，则 AP•OP 有最大值 20.25．
【解答】解：∵弦CD⊥AB，
∴ = ，所以①正确；
∴∠BOC=2∠A=60°，
∴扇形 OBC的面积= = π，所以②错误；
∵⊙O与CE 相切于点 C，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE=90，
∵∠COF=∠EOC，∠OFC=∠OCE，
∴△OCF∽△OEC；所以③正确；
AP•OP=（9﹣OP）•OP=﹣（OP﹣3）2+9，
当OP=3 时，AP•OP 的最大值为 9，所以④错误．
第12页（共22页）故答案为①③．
三、解答题（本大题共 8 小题，满分 64分，解答应写出文字说明，证明过程或
演算步骤）
17．（6 分）计算：（﹣1）2﹣2sin45°+（π﹣2018）0+|﹣ |
【解答】解：原式=1﹣2× +1+
=1﹣ +1+
=2．
18．（6 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AE=CF，求证：四边形 BFDE 是平行
四边形．
【解答】证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，且AB=CD，
又∵AE=CF，
∴BE=DF，
∴BE∥DF 且BE=DF，
∴四边形 BFDE 是平行四边形．
19．（8 分）如图，某反比例函数图象的一支经过点 A（2，3）和点 B（点 B在点
A 的右侧），作BC⊥y 轴，垂足为点C，连结AB，AC．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若△ABC的面积为 6，求直线AB的表达式．
第13页（共22页）【解答】解：（1）由题意得，k=xy=2×3=6
∴反比例函数的解析式为 y= ．
（2）设B点坐标为（a，b），如图 ，
作AD⊥BC于D，则D（2，b）
∵反比例函数 y= 的图象经过点 B（a，b）
∴b=
∴AD=3﹣ ．
∴S
△ABC
= BC•AD
= a（3﹣ ）=6
解得a=6
∴b= =1
∴B（6，1）．
设AB的解析式为 y=kx+b，
将A（2，3），B（6，1）代入函数解析式，得
，
第14页（共22页）解得 ，
直线AB的解析式为y=﹣ x+4．
20．（8 分）为了树立文明乡风，推进社会主义新农村建设，某村决定组建村民
文体团队，现围绕“你最喜欢的文体活动项目（每人仅限一项）”，在全村范围内
随机抽取部分村民进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计
图．请你根据统计图解答下列问题：
（1）这次参与调查的村民人数为 120 人；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）求扇形统计图中“划龙舟”所在扇形的圆心角的度数；
（4）若在“广场舞、腰鼓、花鼓戏、划龙舟”这四个项目中任选两项组队参加端
午节庆典活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“花鼓戏、划龙舟”这两
个项目的概率．
【解答】解：（1）这次参与调查的村民人数为：24÷20%=120（人）；
故答案为：120；
（2）喜欢广场舞的人数为：120﹣24﹣15﹣30﹣9=42（人），
如图所示：
第15页（共22页）；
（3）扇形统计图中“划龙舟”所在扇形的圆心角的度数为： ×360°=90°；
（4）如图所示：
，
一共有12 种可能，恰好选中“花鼓戏、划龙舟”这两个项目的有2 种可能，
故恰好选中“花鼓戏、划龙舟”这两个项目的概率为： ．
21．（8 分）为落实党中央“长江大保护”新发展理念，我市持续推进长江岸线保护，
还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌．某工程队负责对一面积为 33000 平方
米的非法砂石码头进行拆除，回填土方和复绿施工，为了缩短工期，该工程队增
加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了 20%，结果提前 11 天完成
任务，求实际平均每天施工多少平方米？
【解答】解：设原计划平均每天施工 x 平方米，则实际平均每天施工 1.2x 平方
米，
根据题意得： ﹣ =11，
解得：x=500，
经检验，x=500 是原方程的解，
∴1.2x=600．
第16页（共22页）答：实际平均每天施工 600 平方米．
22．（8 分）图 1 是某小区入口实景图，图 2 是该入口抽象成的平面示意图．已
知入口BC宽3.9 米，门卫室外墙 AB上的O 点处装有一盏路灯，点 O与地面 BC
的距离为3.3 米，灯臂 OM 长为1.2 米（灯罩长度忽略不计），∠AOM=60°．
（1）求点M 到地面的距离；
（2）某搬家公司一辆总宽 2.55 米，总高 3.5 米的货车从该入口进入时，货车需
与护栏CD 保持0.65 米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计
算说明；若不能，请说明理由．（参考数据： ≈1.73，结果精确到0.01 米）
【解答】解：（1）如图，过 M 作MN⊥AB于N，交BA 的延长线于N，
Rt△OMN 中，∠NOM=60°，OM=1.2，
∴∠M=30°，
∴ON= OM=0.6，
∴NB=ON+OB=3.3+0.6=3.9；
即点M 到地面的距离是 3.9 米；
（2）取CE=0.65，EH=2.55，
∴HB=3.9﹣2.55﹣0.65=0.7，
过H作 GH⊥BC，交 OM 于G，过O作OP⊥GH于P，
∵∠GOP=30°，
∴tan30°= = ，
∴GP= OP= ≈0.404，
∴GH=3.3+0.404=3.704≈3.70＞3.5，
第17页（共22页）∴货车能安全通过．
23．（10 分）已知在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，CD 为∠ACB 的平分线，将∠ACB
沿CD 所在的直线对折，使点 B落在点B′处，连结 AB'，BB'，延长CD 交 BB'于点
E，设∠ABC=2α（0°＜α＜45°）．
（1）如图1，若AB=AC，求证：CD=2BE；
（2）如图2，若AB≠AC，试求CD 与BE 的数量关系（用含 α 的式子表示）；
（3）如图3，将（2）中的线段 BC绕点C逆时针旋转角（α+45°），得到线段 FC，
连结EF 交BC于点O，设△COE 的面积为S ，△COF的面积为S ，求 （用含 α
1 2
的式子表示）．
【解答】解：（1）如图 1 中，
第18页（共22页）∵B、B′关于EC对称，
∴BB′⊥EC，BE=EB′，
∴∠DEB=∠DAC=90°，
∵∠EDB=∠ADC，
∴∠DBE=∠ACD，
∵AB=AC，∠BAB′=∠DAC=90°，
∴△BAB′≌CAD，
∴CD=BB′=2BE．
（2）如图2 中，结论：CD=2•BE•tan2α．
理由：由（1）可知：∠ABB′=∠ACD，∠BAB′=∠CAD=90°，
∴△BAB′∽△CAD，
∴ = = ，
∴ = ，
∴CD=2•BE•tan2α．
（3）如图 3 中，
第19页（共22页）在Rt△ABC中，∠ACB=90°﹣2α，
∵EC平分∠ACB，
∴∠ECB= （90°﹣2α）=45°﹣α，
∵∠BCF=45°+α，
∴∠ECF=45°﹣α+45°+α=90°，
∴∠BEC+∠ECF=180°，
∴BB′∥CF，
∴ = = =sin（45°﹣α），
∵ = ，
∴ =sin（45°﹣α）．
24．（10 分）已知抛物线 F：y=x2+bx+c的图象经过坐标原点 O，且与x轴另一交
点为（﹣ ，0）．
（1）求抛物线F 的解析式；
（2）如图 1，直线 l：y= x+m（m＞0）与抛物线 F 相交于点 A（x ，y ）和点
1 1
B（x
2
，y
2
）（点A 在第二象限），求 y
2
﹣y
1
的值（用含 m 的式子表示）；
（3）在（2）中，若 m= ，设点A′是点A 关于原点 O的对称点，如图2．
①判断△AA′B的形状，并说明理由；
②平面内是否存在点 P，使得以点A、B、A′、P 为顶点的四边形是菱形？若存在，
求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
第20页（共22页）【解答】解：（1）∵抛物线 y=x2+bx+c的图象经过点（0，0）和（﹣ ，0），
∴ ，解得： ，
∴抛物线 F 的解析式为 y=x2+ x．
（2）将y= x+m 代入 y=x2+ x，得：x2=m，
解得：x
1
=﹣ ，x
2
= ，
∴y
1
=﹣ +m，y
2
= +m，
∴y
2
﹣y
1
=（ +m）﹣（﹣ +m）= （m＞0）．
（3）∵m= ，
∴点A 的坐标为（﹣ ， ），点B的坐标为（ ，2）．
∵点A′是点A 关于原点 O的对称点，
∴点A′的坐标为（ ，﹣ ）．
①△AA′B为等边三角形，理由如下：
∵A（﹣ ， ），B（ ，2），A′（ ，﹣ ），
∴AA′= ，AB= ，A′B= ，
∴AA′=AB=A′B，
∴△AA′B为等边三角形．
②∵△AA′B为等边三角形，
∴存在符合题意得点 P，且以点 A、B、A′、P 为顶点的菱形分三种情况，设点 P
的坐标为（x，y）．
（i）当A′B为对角线时，有 ，
解得： ，
∴点P 的坐标为（2 ， ）；
第21页（共22页）（ii）当AB为对角线时，有 ，
解得： ，
∴点P 的坐标为（﹣ ， ）；
（iii）当AA′为对角线时，有 ，
解得： ，
∴点P 的坐标为（﹣ ，﹣2）．
综上所述：平面内存在点 P，使得以点A、B、A′、P 为顶点的四边形是菱形，点
P 的坐标为（2 ， ）、（﹣ ， ）和（﹣ ，﹣2）．
第22页（共22页）
