文档内容
2019年湖南省岳阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每道小题给出的四个选项中，选出
符合要求的一项）
1．（3分）﹣2019的绝对值是（ ）
A．2019 B．﹣2019 C． D．﹣
2．（3分）下列运算结果正确的是（ ）
A．3x﹣2x＝1 B．x3÷x2＝x
C．x3•x2＝x6 D．x2+y2＝（x+y）2
3．（3分）下列立体图形中，俯视图不是圆的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）如图，已知BE平分∠ABC，且BE∥DC，若∠ABC＝50°，则∠C的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．50°
5．（3分）函数y＝ 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠0 B．x＞﹣2 C．x＞0 D．x≥﹣2且x≠0
6．（3分）甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是S 2
甲
＝1.2，S 2＝1.1，S 2＝0.6，S 2＝0.9，则射击成绩最稳定的是（ ）
乙 丙 丁
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．（3分）下列命题是假命题的是（ ）
A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．同角（或等角）的余角相等
C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分
8．（3分）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．
1如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x、x，且x＜1＜x，则c的取值范围是（
1 2 1 2
）
A．c＜﹣3 B．c＜﹣2 C．c＜ D．c＜1
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）
9．（4分）因式分解：ax﹣ay＝ ．
10．（4分）2018年12月26日，岳阳三荷机场完成首航．至此，岳阳“水陆空铁”四位一体的
交通格局全面形成．机场以2020年为目标年，计划旅客年吞吐量为600000人次．数据
600000用科学记数法表示为 ．
11．（4分）分别写有数字 、 、﹣1、0、π的五张大小和质地均相同的卡片，从中任意抽取
一张，抽到无理数的概率是 ．
12．（4分）若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为 ．
13．（4分）分式方程 的解为x＝ ．
14．（4分）已知x﹣3＝2，则代数式（x﹣3）2﹣2（x﹣3）+1的值为 ．
15．（4分）我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织
五尺．问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺．
问每日各织多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布 尺．
16．（4分）如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点
为M，过A、B两点分别作PE的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的是
．（写出所有正确结论的序号）
①AM平分∠CAB；
②AM2＝AC•AB；
③若AB＝4，∠APE＝30°，则 的长为 ；
④若AC＝3，BD＝1，则有CM＝DM＝ ．
2三、解答题（本大题共8小题，满分64分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：（ ﹣1）0﹣2sin30°+（ ）﹣1+（﹣1）2019
18．（6分）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE＝DF，求证：∠1＝∠2．
19．（8分）如图，双曲线y＝ 经过点P（2，1），且与直线y＝kx﹣4（k＜0）有两个不同的交点．
（1）求m的值．
（2）求k的取值范围．
20．（8分）岳阳市整治农村“空心房”新模式，获评全国改革开放40年地方改革创新40案
例．据了解，我市某地区对辖区内“空心房”进行整治，腾退土地1200亩用于复耕和改造，
其中复耕土地面积比改造土地面积多600亩．
（1）求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？
（2）该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要求
休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的 ，求休闲小广场总面积最多为多少亩？
21．（8分）为了庆祝中华人民共和国成立70周年，某市决定开展“我和祖国共成长”主题演
3讲比赛，某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩（满分为100分，得分为正整数且无
满分，最低为75分）分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表．
分数段 频数 频率
74.5～79.5 2 0.05
79.5～84.5 m 0.2
84.5～89.5 12 0.3
89.5～94.5 14 n
94.5～99.5 4 0.1
（1）表中m＝ ，n＝ ；
（2）请在图中补全频数直方图；
（3）甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在 分
数段内；
（4）选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名
选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．
22．（8分）慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮
的目高CD为1.7米，他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°，小琴的目高EF为1.5米，
她站在距离塔底中心B点a米远的F处，测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°．（点D、B、F在
同一水平线上，参考数据：sin62.3°≈0.89，cos62.3°≈0.46，tan62.3°≈1.9）
（1）求小亮与塔底中心的距离BD；（用含a的式子表示）
（2）若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度AB．
423．（10分）操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线
EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处．点P为直线EF上一动点（不与E、F重
合），过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四
边形PMQN．
（1）如图1，求证：BE＝BF；
（2）特例感知：如图2，若DE＝5，CF＝2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的
周长；
（3）类比探究：若DE＝a，CF＝b．
①如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数
量关系，并证明；
②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间
的数量关系．（不要求写证明过程）
24．（10分）如图1，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线F：y＝ x2+ x的图象上，点A
1
的横坐标为﹣4，点B的纵坐标为﹣2．（点A在点B的左侧）
（1）求点A、B的坐标；
（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线F：y＝ax2+bx+4经过A'、B'两
2
点，已知点M为抛物线F的对称轴上一定点，且点A'恰好在以OM为直径的圆上，连接OM、
2
A'M，求△OA'M的面积；
（3）如图2，延长OB'交抛物线F于点C，连接A'C，在坐标轴上是否存在点D，使得以A、O、
2
5D为顶点的三角形与△OA'C相似．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
62019年湖南省岳阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每道小题给出的四个选项中，选出
符合要求的一项）
1．【解答】解：﹣2019的绝对值是：2019．
故选：A．
2．【解答】解：A、3x﹣2x＝x，故此选项错误；
B、x3÷x2＝x，正确；
C、x3•x2＝x5，故此选项错误；
D、x2+2xy+y2＝（x+y）2，故此选项错误；
故选：B．
3．【解答】解：A、圆柱的俯视图是圆；故本项不符合题意；
B、圆锥的俯视图是圆；故本项不符合题意；
C、立方体的俯视图是正方形；故本项符合题意；
D、球的俯视图是圆；故本项不符合题意．
故选：C．
4．【解答】解：∵BE平分∠ABC，∠ABC＝50°，
∴∠ABE＝∠EBC＝25°，
∵BE∥DC，
∴∠EBC＝∠C＝25°．
故选：B．
5．【解答】解：根据题意得： ，
解得：x≥﹣2且x≠0．
故选：D．
6．【解答】解：∵S 2＝1.2，S 2＝1.1，S 2＝0.6，S 2＝0.9，
甲 乙 丙 丁
∴S 2＜S 2＜S 2＜S 2，
丙 丁 乙 甲
∴射击成绩最稳定的是丙，
故选：C．
7．【解答】解：A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形；假命题；
B．同角（或等角）的余角相等；真命题；
7C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；真命题；
D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分；真命题；
故选：A．
8．【解答】解：由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x、x是方程x2+2x+c＝x
1 2
的两个实数根，
且x＜1＜x，
1 2
整理，得：x2+x+c＝0，
则 ．
解得c＜﹣2，
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）
9．【解答】解：原式＝a（x﹣y）．
故答案是：a（x﹣y）．
10．【解答】解：将600000用科学记数法表示为：6×105．
故答案为：6×105．
11．【解答】解：∵写有数字 、 、﹣1、0、π的五张大小和质地均相同的卡片， 、π是无
理数，
∴从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是： ．
故答案为： ．
12．【解答】解：设多边形的边数为n，
则（n﹣2）×180°＝360°，
解得：n＝4，
故答案为：4．
13．【解答】解：方程两边同乘x（x+1），
得x+1＝2x，
解得x＝1．
将x＝1代入x（x+1）＝2≠0．
所以x＝1是原方程的解．
814．【解答】解：∵x﹣3＝2，
∴代数式（x﹣3）2﹣2（x﹣3）+1＝（x﹣3﹣1）2
＝（2﹣1）2
＝1．
故答案为：1．
15．【解答】解：设第一天织布x尺，则第二天织布2x尺，第三天织布4x尺，第四天织布8x尺，
第五天织布16x尺，根据题意可得：
x+2x+4x+8x+16x＝5，
解得：x＝ ，
即该女子第一天织布 尺．
故答案为： ．
16．【解答】解：连接OM，
∵PE为⊙O的切线，
∴OM⊥PC，
∵AC⊥PC，
∴OM∥AC，
∴∠CAM＝∠AMO，
∵OA＝OM，
∠OAM＝∠AMO，
∴∠CAM＝∠OAM，即AM平分∠CAB，故①正确；
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AMB＝90°，
∵∠CAM＝∠MAB，∠ACM＝∠AMB，
∴△ACM∽△AMB，
9∴ ，
∴AM2＝AC•AB，故②正确；
∵∠APE＝30°，
∴∠MOP＝∠OMP﹣∠APE＝90°﹣30°＝60°，
∵AB＝4，
∴OB＝2，
∴ 的长为 ，故③错误；
∵BD⊥PC，AC⊥PC，
∴BD∥AC，
∴ ，
∴PB＝ ，
∴ ，BD＝ ，
∴PB＝OB＝OA，
∴在Rt△OMP中，OM＝ ＝2，
∴∠OPM＝30°，
∴PM＝2 ，
∴CM＝DM＝DP＝ ，故④正确．
故答案为：①②④．
三、解答题（本大题共8小题，满分64分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【解答】解：原式＝1﹣2× +3﹣1
＝1﹣1+3﹣1
＝2．
18．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
在△ADF和△CDE中， ，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
10∴∠1＝∠2．
19．【解答】解：（1）∵双曲线y＝ 经过点P（2，1），
∴m＝2×1＝2；
（2）∵双曲线y＝ 与直线y＝kx﹣4（k＜0）有两个不同的交点，
∴ ＝kx﹣4，整理为：kx2﹣4x﹣2＝0，
∴△＝（﹣4）2﹣4k•（﹣2）＞0，
∴k＞﹣2，
∴k的取值范围是﹣2＜k＜0．
20．【解答】解：（1）设改造土地面积是x亩，则复耕土地面积是（600+x）亩，
由题意，得x+（600+x）＝1200
解得x＝300．
则600+x＝900．
答：改造土地面积是300亩，则复耕土地面积是900亩；
（2）设休闲小广场总面积是y亩，则花卉园总面积是（300﹣y）亩，
由题意，得y≤ （300﹣y）．
解得 y≤75．
故休闲小广场总面积最多为75亩．
答：休闲小广场总面积最多为75亩．
21．【解答】解：（1）m＝40×0.2＝8，n＝14÷40＝0.35，
故答案为：8，0.35；
（2）补全图形如下：
11（3）由于40个数据的中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在89.5
～94.5，
∴测他的成绩落在分数段89.5～94.5内，
故答案为：89.5～94.5．
（4）选手有4人，2名是男生，2名是女生．
，
恰好是一名男生和一名女生的概率为 ＝ ．
22．【解答】解：（1）由题意得，四边形CDBG、HBFE为矩形，
∴GB＝CD＝1.7，HB＝EF＝1.5，
∴GH＝0.2，
在Rt△AHE中，tan∠AEH＝ ，
则AH＝HE•tan∠AEH≈1.9a，
∴AG＝AH﹣GH＝1.9a﹣0.2，
在Rt△ACG中，∠ACG＝45°，
∴CG＝AG＝1.9a﹣0.2，
∴BD＝1.9a﹣0.2，
答：小亮与塔底中心的距离BD（1.9a﹣0.2）米；
12（2）由题意得，1.9a﹣0.2+a＝52，
解得，a＝18，
则AG＝1.9a﹣0.2＝34.4，
∴AB＝AG+GB＝36.1，
答：慈氏塔的高度AB为36.1米．
23．【解答】（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB，
由翻折可知：∠DEF＝∠BEF，
∴∠BEF＝∠EFB，
∴BE＝BF．
（2）解：如图2中，连接BP，作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形，EH＝AB．
∵DE＝EB＝BF＝5，CF＝2，
∴AD＝BC＝7，AE＝2，
在Rt△ABE中，∵∠A＝90°，BE＝5，AE＝2，
∴AB＝ ＝ ，
∵S ＝S +S ，PM⊥BE，PN⊥BF，
△BEF △PBE △PBF
∴ •BF•EH＝ •BE•PM+ •BF•PN，
∵BE＝BF，
13∴PM+PN＝EH＝ ，
∵四边形PMQN是平行四边形，
∴四边形PMQN的周长＝2（PM+PN）＝2 ．
（3）①证明：如图3中，连接BP，作EH⊥BC于H．
∵ED＝EB＝BF＝a，CF＝b，
∴AD＝BC＝a+b，
∴AE＝AD﹣DE＝b，
∴EH＝AB＝ ，
∵S ﹣S ＝S ，
△EBP △BFP △EBF
∴ BE•PM﹣ •BF•PN＝ •BF•EH，
∵BE＝BF，
∴PM﹣PN＝EH＝ ，
∵四边形PMQN是平行四边形，
∴QN﹣QM＝（PM﹣PN）＝ ．
②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证：QM﹣QN＝PN﹣PM＝ ．
24．【解答】解：（1）当x＝﹣4时，y＝ ×（﹣4）2+ ×（﹣4）＝﹣4
∴点A坐标为（﹣4，﹣4）
当y＝﹣2时， x2+ x＝﹣2
解得：x＝﹣1，x＝﹣6
1 2
∵点A在点B的左侧
∴点B坐标为（﹣1，﹣2）
14（2）如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点B'作B'G⊥x轴于点G
∴∠BEO＝∠OGB'＝90°，OE＝1，BE＝2
∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'
∴OB＝OB'，∠BOB'＝90°
∴∠BOE+∠B'OG＝∠BOE+∠OBE＝90°
∴∠B'OG＝∠OBE
在△B'OG与△OBE中
∴△B'OG≌△OBE（AAS）
∴OG＝BE＝2，B'G＝OE＝1
∵点B'在第四象限
∴B'（2，﹣1）
同理可求得：A'（4，﹣4）
∴OA＝OA'＝
∵抛物线F：y＝ax2+bx+4经过点A'、B'
2
∴ 解得：
∴抛物线F解析式为：y＝ x2﹣3x+4
2
∴对称轴为直线：x＝﹣ ＝6
∵点M在直线x＝6上，设M（6，m）
∴OM2＝62+m2，A'M2＝（6﹣4）2+（m+4）2＝m2+8m+20
∵点A'在以OM为直径的圆上
∴∠OA'M＝90°
∴OA'2+A'M2＝OM2
∴（4 ）2+m2+8m+20＝36+m2
解得：m＝﹣2
15∴A'M＝
∴S ＝ OA'•A'M＝ ＝8
△OA'M
（3）在坐标轴上存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．
∵B'（2，﹣1）
∴直线OB'解析式为y＝﹣ x
解得： （即为点B'）
∴C（8，﹣4）
∵A'（4，﹣4）
∴A'C∥x轴，A'C＝4
∴∠OA'C＝135°
∴∠A'OC＜45°，∠A'CO＜45°
∵A（﹣4，﹣4），即直线OA与x轴夹角为45°
∴当点D在x轴负半轴或y轴负半轴时，∠AOD＝45°，此时△AOD不可能与△OA'C相似
∴点D在x轴正半轴或y轴正半轴时，∠AOD＝∠OA'C＝135°（如图2、图3）
①若△AOD∽△OA'C，则 ＝1
∴OD＝A'C＝4
∴D（4，0）或（0，4）
②若△DOA∽△OA'C，则
∴OD＝ OA'＝8
∴D（8，0）或（0，8）
综上所述，点D坐标为（4，0）、（8，0）、（0，4）或（0，8）时，以A、O、D为顶点的三角形与
△OA'C相似．
1617
