文档内容
2019年湖南省岳阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每道小题给出的四个选项中，选出符
合要求的一项）
1．（3分）﹣2019的绝对值是（ ）
A．2019 B．﹣2019 C． D．﹣
2．（3分）下列运算结果正确的是（ ）
A．3x﹣2x＝1 B．x3÷x2＝x
C．x3•x2＝x6 D．x2+y2＝（x+y）2
3．（3分）下列立体图形中，俯视图不是圆的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）如图，已知BE平分∠ABC，且BE∥DC，若∠ABC＝50°，则∠C的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．50°
5．（3分）函数y＝ 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠0 B．x＞﹣2 C．x＞0 D．x≥﹣2且x≠0
6．（3分）甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是S甲 2
＝1.2，S乙 2＝1.1，S丙 2＝0.6，S丁 2＝0.9，则射击成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．（3分）下列命题是假命题的是（ ）
A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．同角（或等角）的余角相等
C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分
第1页（共21页）8．（3分）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．
如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x 、x ，且x ＜1＜x ，则c的取值范围是（
1 2 1 2
）
A．c＜﹣3 B．c＜﹣2 C．c＜ D．c＜1
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）
9．（4分）因式分解：ax﹣ay＝ ．
10．（4分）2018年12月26日，岳阳三荷机场完成首航．至此，岳阳“水陆空铁”四位一体的
交通格局全面形成．机场以2020年为目标年，计划旅客年吞吐量为600000人次．数据
600000用科学记数法表示为 ．
11．（4分）分别写有数字 、 、﹣1、0、 的五张大小和质地均相同的卡片，从中任意抽取一
π
张，抽到无理数的概率是 ．
12．（4分）若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为 ．
13．（4分）分式方程 的解为x＝ ．
14．（4分）已知x﹣3＝2，则代数式（x﹣3）2﹣2（x﹣3）+1的值为 ．
15．（4分）我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织
五尺．问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺．
问每日各织多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布 尺．
16．（4分）如图，AB为 O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作 O的切线PE，切
点为M，过A、B两点⊙分别作PE的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接⊙AM，则下列结论
正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
AM平分∠CAB；
①AM2＝AC•AB；
②
若AB＝4，∠APE＝30°，则 的长为 ；
③
若AC＝3，BD＝1，则有CM＝DM＝ ．
④
第2页（共21页）三、解答题（本大题共8小题，满分64分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：（ ﹣1）0﹣2sin30°+（ ）﹣1+（﹣1）2019
18．（6分）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE＝DF，求证：∠1＝
∠2．
19．（8分）如图，双曲线y＝ 经过点P（2，1），且与直线y＝kx﹣4（k＜0）有两个不同的交点．
（1）求m的值．
（2）求k的取值范围．
20．（8分）岳阳市整治农村“空心房”新模式，获评全国改革开放40年地方改革创新40案
例．据了解，我市某地区对辖区内“空心房”进行整治，腾退土地1200亩用于复耕和改造，
其中复耕土地面积比改造土地面积多600亩．
（1）求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？
（2）该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要求
第3页（共21页）休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的 ，求休闲小广场总面积最多为多少亩？
21．（8分）为了庆祝中华人民共和国成立70周年，某市决定开展“我和祖国共成长”主题演
讲比赛，某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩（满分为100分，得分为正整数且无
满分，最低为75分）分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表．
分数段 频数 频率
74.5～79.5 2 0.05
79.5～84.5 m 0.2
84.5～89.5 12 0.3
89.5～94.5 14 n
94.5～99.5 4 0.1
（1）表中m＝ ，n＝ ；
（2）请在图中补全频数直方图；
（3）甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在 分
数段内；
（4）选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名
选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．
22．（8分）慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮
的目高CD为1.7米，他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°，小琴的目高EF为1.5米，
她站在距离塔底中心B点a米远的F处，测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°．（点D、B、F在
同一水平线上，参考数据：sin62.3°≈0.89，cos62.3°≈0.46，tan62.3°≈1.9）
（1）求小亮与塔底中心的距离BD；（用含a的式子表示）
（2）若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度AB．
第4页（共21页）23．（10分）操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿
直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处．点P为直线EF上一动点（不
与E、F重合），过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻
边构造平行四边形PMQN．
（1）如图1，求证：BE＝BF；
（2）特例感知：如图2，若DE＝5，CF＝2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形
PMQN的周长；
（3）类比探究：若DE＝a，CF＝b．
如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含a、b的式子表示QM与QN之间
①的数量关系，并证明；
如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含a、b的式子表示QM与QN
②之间的数量关系．（不要求写证明过程）
24．（10分）如图1，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线F ：y＝ x2+ x的图象上，点
1
A的横坐标为﹣4，点B的纵坐标为﹣2．（点A在点B的左侧）
（1）求点A、B的坐标；
（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线F ：y＝ax2+bx+4经过A'、B'两点，
2
已知点M为抛物线F 的对称轴上一定点，且点A'恰好在以OM为直径的圆上，连接OM、
2
A'M，求△OA'M的面积；
（3）如图2，延长OB'交抛物线F 于点C，连接A'C，在坐标轴上是否存在点D，使得以A、
2
第5页（共21页）O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
第6页（共21页）2019年湖南省岳阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每道小题给出的四个选项中，选出符
合要求的一项）
1．【分析】直接利用绝对值的定义进而得出答案．
【解答】解：﹣2019的绝对值是：2019．
故选：A．
【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．
2．【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、完全平方公式分别分析
得出答案．
【解答】解：A、3x﹣2x＝x，故此选项错误；
B、x3÷x2＝x，正确；
C、x3•x2＝x5，故此选项错误；
D、x2+2xy+y2＝（x+y）2，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、完全平方公式，正确掌握
相关运算法则是解题关键．
3．【分析】俯视图是从几何体的上面看物体，所得到的图形，分析每个几何体，解答出即可．
【解答】解：A、圆柱的俯视图是圆，故本项不符合题意；
B、圆锥的俯视图是圆，故本项不符合题意；
C、立方体的俯视图是正方形，故本项符合题意；
D、球的俯视图是圆，故本项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了简单几何体的俯视图，锻炼了学生的空间想象能力．
4．【分析】直接利用角平分线的定义结合平行线的性质分析得出答案．
【解答】解：∵BE平分∠ABC，∠ABC＝50°，
∴∠ABE＝∠EBC＝25°，
∵BE∥DC，
∴∠EBC＝∠C＝25°．
第7页（共21页）故选：B．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，得出∠EBC＝25°是解题关键．
5．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求
出x的范围．
【解答】解：根据题意得： ，
解得：x≥﹣2且x≠0．
故选：D．
【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
6．【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，
表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：∵S甲 2＝1.2，S乙 2＝1.1，S丙 2＝0.6，S丁 2＝0.9，
∴S丙 2＜S丁 2＜S乙 2＜S甲 2，
∴射击成绩最稳定的是丙，
故选：C．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这
组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布
比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
7．【分析】由平行四边形的性质得出A是假命题；
由同角（或等角）的余角相等，得出B是真命题；
由线段垂直平分线的性质和正方形的性质得出C、D是真命题，即可得出答案．
【解答】解：A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形；假命题；
B．同角（或等角）的余角相等；真命题；
C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；真命题；
D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分；真命题；
故选：A．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判
断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
第8页（共21页）8．【分析】由函数的不动点概念得出x 、x 是方程x2+2x+c＝x的两个实数根，由x ＜1＜x 知
1 2 1 2
△＞0且x＝1时y＜0，据此得 ，解之可得．
【解答】解：由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x 、x 是方程x2+2x+c＝x
1 2
的两个不相等实数根，
且x ＜1＜x ，
1 2
整理，得：x2+x+c＝0，
由x2+x+c＝0有两个不相等的实数根，且x ＜1＜x ，知△＞0，
1 2
令y＝x2+x+c，画出该二次函数的草图如下：
则 ，
解得c＜﹣2，
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概
念，并据此得出关于c的不等式．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）
9．【分析】通过提取公因式a进行因式分解即可．
【解答】解：原式＝a（x﹣y）．
故答案是：a（x﹣y）．
【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这
个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公
因式法．
第9页（共21页）10．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将600000用科学记数法表示为：6×105．
故答案为：6×105．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
11．【分析】直接利用无理数的定义结合概率求法得出答案．
【解答】解：∵写有数字 、 、﹣1、0、 的五张大小和质地均相同的卡片， 、 是无理
π π
数，
∴从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是： ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了概率公式以及无理数的定义，正确把握相关定义是解题关键．
12．【分析】设多边形的边数为n，根据题意得出方程（n﹣2）×180°＝360°，求出即可．
【解答】解：设多边形的边数为n，
则（n﹣2）×180°＝360°，
解得：n＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了多边形的内角和和外角和定理，能根据题意列出方程是解此题的关键．
13．【分析】观察可得最简公分母为x（x+1）．去分母，转化为整式方程求解．结果要检验．
【解答】解：方程两边同乘x（x+1），
得x+1＝2x，
解得x＝1．
将x＝1代入x（x+1）＝2≠0．
所以x＝1是原方程的解．
【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
14．【分析】直接利用完全平方公式将原式变形，进而将已知代入求出答案．
【解答】解：∵x﹣3＝2，
第10页（共21页）∴代数式（x﹣3）2﹣2（x﹣3）+1＝（x﹣3﹣1）2
＝（2﹣1）2
＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了代数式求值，正确运用公式是解题关键．
15．【分析】直接根据题意表示出5天每天织布的尺数，进而得出方程求出答案．
【解答】解：设第一天织布x尺，则第二天织布2x尺，第三天织布4x尺，第四天织布8x尺，
第五天织布16x尺，根据题意可得：
x+2x+4x+8x+16x＝5，
解得：x＝ ，
即该女子第一天织布 尺．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确表示出5天每天织布的尺数是解题关
键．
16．【分析】连接OM，可证OM∥AC，得出∠CAM＝∠AMO，由OA＝OM可得∠OAM＝
∠AMO，故 正确；证明△ACM∽△AMB，则可得出 正确；求出∠MOP＝60°，OB＝2，
① ②
则用弧长公式可求出 的长为 ，故 错误；由BD∥AC可得PB＝ ，则PB＝OB
③
＝OA，得出∠OPM＝30°，则PM＝2 ，可得出CM＝DM＝DP＝ ，故 正确．
【解答】解：连接OM， ④
∵PE为 O的切线，
∴OM⊥⊙PC，
∵AC⊥PC，
第11页（共21页）∴OM∥AC，
∴∠CAM＝∠AMO，
∵OA＝OM，
∠OAM＝∠AMO，
∴∠CAM＝∠OAM，即AM平分∠CAB，故 正确；
∵AB为 O的直径， ①
∴∠AM⊙B＝90°，
∵∠CAM＝∠MAB，∠ACM＝∠AMB，
∴△ACM∽△AMB，
∴ ，
∴AM2＝AC•AB，故 正确；
∵∠APE＝30°， ②
∴∠MOP＝∠OMP﹣∠APE＝90°﹣30°＝60°，
∵AB＝4，
∴OB＝2，
∴ 的长为 ，故 错误；
③
∵BD⊥PC，AC⊥PC，
∴BD∥AC，
∴ ，
∴PB＝ ，
∴ ，BD＝ ，
∴PB＝OB＝OA，
∴在Rt△OMP中，OM＝2BD＝2，
∴OP＝4，
∴∠OPM＝30°，
∴PM＝2 ，
∴CM＝DM＝DP＝ ，故 正确．
故答案为： ． ④
①②④ 第12页（共21页）【点评】本题考查圆知识的综合应用，涉及切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和
性质、弧长公式、含30度直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决
问题．
三、解答题（本大题共8小题，满分64分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质和零指数幂的性质分别化简
得出答案．
【解答】解：原式＝1﹣2× +3﹣1
＝1﹣1+3﹣1
＝2．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．【分析】由菱形的性质得出AD＝CD，由SAS证明△ADF≌△CDE，即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
在△ADF和△CDE中， ，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴∠1＝∠2．
【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，证明三
角形全等是解题的关键．
19．【分析】（1）根据反比例函数系数k的几何意义即可求得；
（2）联立方程，消去y得到关于x的一元二次方程，求出方程的根的判别式，进而即可求得
k的取值范围．
【解答】解：（1）∵双曲线y＝ 经过点P（2，1），
∴m＝2×1＝2；
（2）∵双曲线y＝ 与直线y＝kx﹣4（k＜0）有两个不同的交点，
∴ ＝kx﹣4，整理为：kx2﹣4x﹣2＝0，
∴△＝（﹣4）2﹣4k•（﹣2）＞0，
∴k＞﹣2，
第13页（共21页）∴k的取值范围是﹣2＜k＜0．
【点评】本题主要考查了一次函数和反比例函数的交点问题，解答本题的关键是熟练掌握
根的判别式的求法，此题难度不大．
20．【分析】（1）设改造土地面积是x亩，则复耕土地面积是（600+x）亩．根据“复耕土地面积
+改造土地面积＝1200亩”列出方程并解答；
（2）设休闲小广场总面积是y亩，则花卉园总面积是（300﹣y）亩，根据“休闲小广场总面
积不超过花卉园总面积的 ”列出不等式并解答．
【解答】解：（1）设改造土地面积是x亩，则复耕土地面积是（600+x）亩，
由题意，得x+（600+x）＝1200
解得x＝300．
则600+x＝900．
答：改造土地面积是300亩，则复耕土地面积是900亩；
（2）设休闲小广场总面积是y亩，则花卉园总面积是（300﹣y）亩，
由题意，得y≤ （300﹣y）．
解得 y≤75．
故休闲小广场总面积最多为75亩．
答：休闲小广场总面积最多为75亩．
【点评】考查了一元一次不等式的应用和一元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题
意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
21．【分析】（1）根据频率＝频数÷总数求解可得；
（2）根据所求结果即可补全图形；
（3）根据中位数的概念求解可得；
（4）首先根据题意画出树状图，然后由表格即可求得所有等可能的结果与挑选的两位学生
恰好是一男一女的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）m＝40×0.2＝8，n＝14÷40＝0.35，
故答案为：8，0.35；
（2）补全图形如下：
第14页（共21页）（3）由于40个数据的中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在84.5
～89.5，
∴测他的成绩落在分数段84.5～89.5内，
故答案为：84.5～89.5．
（4）选手有4人，2名是男生，2名是女生．
，
恰好是一名男生和一名女生的概率为 ＝ ．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率、频数分布直方图、扇形统计图以及众数与
中位数的定义．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．【分析】（1）根据正切的定义用a表示出AH，根据等腰直角三角形的性质计算；
（2）根据题意列方程求出a，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：（1）由题意得，四边形CDBG、HBFE为矩形，
∴GB＝CD＝1.7，HB＝EF＝1.5，
∴GH＝0.2，
在Rt△AHE中，tan∠AEH＝ ，
则AH＝HE•tan∠AEH≈1.9a，
∴AG＝AH﹣GH＝1.9a﹣0.2，
在Rt△ACG中，∠ACG＝45°，
第15页（共21页）∴CG＝AG＝1.9a﹣0.2，
∴BD＝1.9a﹣0.2，
答：小亮与塔底中心的距离BD为（1.9a﹣0.2）米；
（2）由题意得，1.9a﹣0.2+a＝52，
解得，a＝18，
则AG＝1.9a﹣0.2＝34，
∴AB＝AG+GB＝34+1.7＝35.7，
答：慈氏塔的高度AB为35.7米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题问题，掌握仰角俯角的概念、
熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
23．【分析】（1）证明∠BEF＝∠BFE即可解决问题（也可以利用全等三角形的性质解决问题
即可）．
（2）如图2中，连接BP，作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形．利用面积法证明
PM+PN＝EH，利用勾股定理求出AB即可解决问题．
（3） 如图3中，连接BP，作EH⊥BC于H．由S△EBP ﹣S△BFP ＝S△EBF ，可得 BE•PM﹣
①
•BF•PN＝ •BF•EH，由BE＝BF，推出PM﹣PN＝EH＝ ，由此即可解决问题．
如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证：QM﹣QN＝PN﹣PM＝
②
．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB，
第16页（共21页）由翻折可知：∠DEF＝∠BEF，
∴∠BEF＝∠EFB，
∴BE＝BF．
（2）解：如图2中，连接BP，作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形，EH＝AB．
∵DE＝EB＝BF＝5，CF＝2，
∴AD＝BC＝7，AE＝2，
在Rt△ABE中，∵∠A＝90°，BE＝5，AE＝2，
∴AB＝ ＝ ，
∵S△BEF ＝S△PBE +S△PBF ，PM⊥BE，PN⊥BF，
∴ •BF•EH＝ •BE•PM+ •BF•PN，
∵BE＝BF，
∴PM+PN＝EH＝ ，
∵四边形PMQN是平行四边形，
∴四边形PMQN的周长＝2（PM+PN）＝2 ．
（3） 证明：如图3中，连接BP，作EH⊥BC于H．
①
∵ED＝EB＝BF＝a，CF＝b，
∴AD＝BC＝a+b，
∴AE＝AD﹣DE＝b，
第17页（共21页）∴EH＝AB＝ ，
∵S△EBP ﹣S△BFP ＝S△EBF ，
∴ BE•PM﹣ •BF•PN＝ •BF•EH，
∵BE＝BF，
∴PM﹣PN＝EH＝ ，
∵四边形PMQN是平行四边形，
∴QN﹣QM＝（PM﹣PN）＝ ．
如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证：QM﹣QN＝PN﹣PM＝
②
．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质和判定，翻折变换，等腰三角形的性质，
平行四边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊
四边形解决问题，学会利用面积法证明线段之间的关系，属于中考压轴题．
24．【分析】（1）把x＝﹣4代入抛物线F 解析式求得y即得到点A坐标；把y＝﹣2代入抛物
1
线F 解析式，解方程并判断大于﹣4的解为点B横坐标．
1
（2）根据旋转90°的性质特点可求点A'、B'坐标（过点作x轴垂线，构造全等得到对应边相
等）及OA'的长，用待定系数法求抛物线F 的解析式，进而求得对称轴．设点M纵坐标为
2
m，则能用m表示A'M、OM的长度．因为点A'恰好在以OM为直径的圆上，即∠OA'M为圆
周角，等于90°，故能根据勾股定理列得关于m的方程，解方程求得m的值即求得A'M的
长， OA'•A'M即求得△OA'M的面积．
（3）求直线OB'解析式，与抛物线F 解析式联立方程组，求解即求得点C坐标，发现A'与
2
C纵坐标相同，即A'C∥x轴，故∠OA'C＝135°．以A、O、D为顶点的三角形要与△OA'C相
似，则△AOD必须有一角为135°．因为点A（﹣4，﹣4）得直线OA与x轴夹角为45°，所以
点D不能在x轴或y轴的负半轴，在x轴或y轴的正半轴时，刚好有∠AOD＝135°．由于
∠AOD 的两夹边对应关系不明确，故需分两种情况讨论：△AOD∽△OA'C 或
△DOA∽△OA'C．每种情况下由对应边成比例求得OD的长，即得到点D坐标．
第18页（共21页）【解答】解：（1）当x＝﹣4时，y＝ ×（﹣4）2+ ×（﹣4）＝﹣4
∴点A坐标为（﹣4，﹣4）
当y＝﹣2时， x2+ x＝﹣2
解得：x ＝﹣1，x ＝﹣6
1 2
∵点A在点B的左侧
∴点B坐标为（﹣1，﹣2）
（2）如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点B'作B'G⊥x轴于点G
∴∠BEO＝∠OGB'＝90°，OE＝1，BE＝2
∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'
∴OB＝OB'，∠BOB'＝90°
∴∠BOE+∠B'OG＝∠BOE+∠OBE＝90°
∴∠B'OG＝∠OBE
在△B'OG与△OBE中
∴△B'OG≌△OBE（AAS）
∴OG＝BE＝2，B'G＝OE＝1
∵点B'在第四象限
∴B'（2，﹣1）
同理可求得：A'（4，﹣4）
∴OA＝OA'＝
∵抛物线F ：y＝ax2+bx+4经过点A'、B'
2
∴ 解得：
∴抛物线F 解析式为：y＝ x2﹣3x+4
2
第19页（共21页）∴对称轴为直线：x＝﹣ ＝6
∵点M在直线x＝6上，设M（6，m）
∴OM2＝62+m2，A'M2＝（6﹣4）2+（m+4）2＝m2+8m+20
∵点A'在以OM为直径的圆上
∴∠OA'M＝90°
∴OA'2+A'M2＝OM2
∴（4 ）2+m2+8m+20＝36+m2
解得：m＝﹣2
∴A'M＝
∴S△OA'M ＝ OA'•A'M＝ ＝8
（3）在坐标轴上存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．
∵B'（2，﹣1）
∴直线OB'解析式为y＝﹣ x
解得： （即为点B'）
∴C（8，﹣4）
∵A'（4，﹣4）
∴A'C∥x轴，A'C＝4
∴∠OA'C＝135°
∴∠A'OC＜45°，∠A'CO＜45°
∵A（﹣4，﹣4），即直线OA与x轴夹角为45°
∴当点D在x轴负半轴或y轴负半轴时，∠AOD＝45°，此时△AOD不可能与△OA'C相似
∴点D在x轴正半轴或y轴正半轴时，∠AOD＝∠OA'C＝135°（如图2、图3）
若△AOD∽△OA'C，则 ＝1
①
∴OD＝A'C＝4
第20页（共21页）∴D（4，0）或（0，4）
若△DOA∽△OA'C，则
②
∴OD＝ OA'＝8
∴D（8，0）或（0，8）
综上所述，点D坐标为（4，0）、（8，0）、（0，4）或（0，8）时，以A、O、D为顶点的三角形与
△OA'C相似．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股
定理，圆周角定理，解一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程，相似三角形的判定
和性质．题目条件较多，图形有点复杂，需要细心根据条件逐步解决问题．第（2）题求点旋
转90°后对应点的坐标，第（3）题相似三角形存在性问题中确定一角对应再分两种情况讨
论，属于常考题型．
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