文档内容
2016年湖南省岳阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题8道小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）下列各数中为无理数的是（ ）
A．﹣1 B．3.14 C． D．0
2．（3分）下列运算结果正确的是（ ） π
A．a2+a3＝a5 B．（a2）3＝a6 C．a2•a3＝a6 D．3a﹣2a＝1
3．（3分）函数y＝ 中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥0 B．x＞4 C．x＜4 D．x≥4
4．（3分）某小学校足球队22名队员年龄情况如下：
年龄（岁） 12 11 10 9
人数 4 10 6 2
则这个队队员年龄的众数和中位数分别是（ ）
A．11，10 B．11，11 C．10，9 D．10，11
5．（3分）如图是某几何体的三视图，则该几何体可能是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．长方体
6．（3分）下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cm
C．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm
7．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．角平分线上的点到角的两边的距离相等
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．菱形的对角线相等
D．平行四边形是中心对称图形
8．（3分）对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜
b时，max{a，b}＝b；如：max{4，﹣2}＝4，max{3，3}＝3，若关于x的函数为y＝max{x+3，
﹣x+1}，则该函数的最小值是（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）
第1页（共19页）9．（4分）如图所示，数轴上点A所表示的数的相反数是 ．
10．（4分）因式分解：6x2﹣3x＝ ．
11．（4分）在半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为 cm．
12．（4分）为加快“一极三宜”江湖名城建设，总投资124000万元的岳阳三荷机场及交通产
业园，预计2016年建好主体工程，将124000万元用科学记数法表示为 元．
13．（4分）如图，四边形ABCD为 O的内接四边形，已知∠BCD＝110°，则∠BAD＝
度． ⊙
14．（4分）如图，一山坡的坡度为i＝1： ，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达
点B，则小辰上升了 米．
15．（4分）如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）和反比例函数y＝ （x＞0）的图象
交于A、B两点，利用函数图象直接写出不等式 ＜kx+b的解集是 ．
16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，P ，P ，P ，…，
1 2 3
均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P（0，0），P（0，1），P（1，1），P（1，﹣
1 2 3 4
1），P （﹣1，﹣1），P （﹣1，2）…根据这个规律，点P 的坐标为 ．
5 6 2016
第2页（共19页）三、解答题（本大题共8道小题，满分64分）
17．（8分）计算：（ ）﹣1﹣ +2tan60°﹣（2﹣ ）0．
18．（6分）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE＝CF，
EF⊥DF，求证：BF＝CD．
19．（6分）已知不等式组
（1）求不等式组的解集，并写出它的所有整数解；
（2）在不等式组的所有整数解中任取两个不同的整数相乘，请用画树状图或列表的方法求
积为正数的概率．
20．（8分）我市某学校开展“远足君山，磨砺意志，保护江豚，爱鸟护鸟”为主题的远足活动．
已知学校与君山岛相距24千米，远足服务人员骑自行车，学生步行，服务人员骑自行车的
平均速度是学生步行平均速度的2.5倍，服务人员与学生同时从学校出发，到达君山岛时，
服务人员所花时间比学生少用了3.6小时，求学生步行的平均速度是多少千米/小时．
21．（8分）某学校环保志愿者协会对该市城区的空气质量进行调查，从全年365天中随机抽
取了80天的空气质量指数（AQI）数据，绘制出三幅不完整的统计图表．请根据图表中提
供的信息解答下列问题：
AQI指数 质量等级 天数（天）
0﹣50 优 m
51﹣100 良 44
第3页（共19页）101﹣150 轻度污染 n
151﹣200 中度污染 4
201﹣300 重度污染 2
300以上 严重污染 2
（1 ）统计表中m＝ ，n＝ ．扇形统计图中，空气质量等级为“良”的天数
占 %；
（2）补全条形统计图，并通过计算估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天
数共多少天？
（3）据调查，严重污染的2天发生在春节期间，燃放烟花爆竹成为空气污染的一个重要原
因，据此，请你提出一条合理化建议．
22．（8分）已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）已知方程的一个根为x＝0，求代数式（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5的值（要求先
化简再求值）．
23．（10分）数学活动﹣旋转变换
（1）如图 ，在△ABC 中，∠ABC＝130°，将△ABC 绕点 C 逆时针旋转 50°得到
△A′B′C，①连接BB′，求∠A′B′B的大小；
（2）如图 ，在△ABC中，∠ABC＝150°，AB＝3，BC＝5，将△ABC绕点C逆时针旋转60°
得到△A′②B′C，连接BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆．
（Ⅰ）猜想：直线BB′与 A′的位置关系，并证明你的结论；
（Ⅱ）连接A′B，求线段⊙A′B的长度；
（3）如图 ，在△ABC中，∠ABC＝（90°＜ ＜180°），AB＝m，BC＝n，将△ABC绕点C逆
时针旋转③2 角度（0°＜2 ＜180°）得α 到△Aα′B′C，连接A′B和BB′，以A′为圆心，
β β
第4页（共19页）A′B′长为半径作圆，问：角 与角 满足什么条件时，直线BB′与 A′相切，请说明
理由，并求此条件下线段A′Bα的长度β（结果用角 或角 的三角函数⊙及字母m、n所组成
的式子表示） α β
24．（10分）如图 ，直线y＝ x+4交于x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线F
1
①
交x轴于另一点B（1，0）．
（1）求抛物线F 所表示的二次函数的表达式；
1
（2）若点M是抛物线F 位于第二象限图象上的一点，设四边形MAOC和△BOC的面积分
1
别为S四边形MAOC 和S△BOC ，记S＝S四边形MAOC ﹣S△BOC ，求S最大时点M的坐标及S的最大
值；
（3）如图 ，将抛物线F 沿y轴翻折并“复制”得到抛物线F ，点A、B与（2）中所求的点
1 2
M的对应②点分别为A′、B′、M′，过点M′作M′E⊥x轴于点E，交直线A′C于点D，
在x轴上是否存在点P，使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似？若存在，请
求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第5页（共19页）2016年湖南省岳阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题8道小题，每小题3分，满分24分）
1．【分析】 是圆周率，是无限不循环小数，所以 是无理数．
【解答】解π：∵ 是无限不循环小数， π
∴ 是无理数．π
故π选：C．
【点评】此题是无理数题，主要考查了无理数的定义，了解 ，解本题的关键是明白无理意
义．数的 π
2．【分析】利用幂的有关运算性质逐一计算后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故错误；
B、（a2）3＝a6，正确，符合题意；
C、a2•a3＝a5，故错误；
D、3a﹣2a＝a，故错误，
故选：B．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方、合并同类项及同底数幂的乘法的知识，解题的
关键是牢记有关的幂的运算性质，难度不大．
3．【分析】根据二次根式有意义的条件可得出x﹣4≥0，解该不等式即可得出结论．
【解答】解：∵x﹣4≥0，
∴x≥4．
故选：D．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围以及二次根式有意义的条件，解题的关键是得
出不等式x﹣4≥0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次根式有意义
的条件得出不等式是关键．
4．【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
【解答】解：年龄是11岁的人数最多，有10个人，则众数是11；
把这些数从小到大排列，中位数是第11，12个数的平均数，
则中位数是 ＝11；
故选：B．
第6页（共19页）【点评】此题考查了中位数和众数，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明
确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来
确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位
数的平均数．
5．【分析】根据一个空间几何体的主视图和俯视图都是宽度相等的长方形，可判断该几何体
是柱体，进而根据左视图的形状，可判断柱体侧面形状，得到答案．
【解答】解：∵几何体的主视图和俯视图都是宽度相等的长方形，
∴该几何体是一个柱体，
又∵俯视图是一个圆，
∴该几何体是一个圆柱．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果
有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．
6．【分析】依据三角形任意两边之和大于第三边求解即可．
【解答】解：A、因为2+3＝5，所以不能构成三角形，故A错误；
B、因为2+4＜7，所以不能构成三角形，故B错误；
C、因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C错误；
D、因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系是解题的关键．
7．【分析】A：根据角平分线的性质，可得角平分线上的点到角的两边的距离相等．
B：根据直角三角形斜边上的中线的性质，可得直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
C：根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直，但是不一定相等．
D：根据中心对称图形的性质，可得常见的中心对称图形有：平行四边形、圆形、正方形、长
方形，据此判断即可．
【解答】解：∵角平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴选项A正确；
∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
∴选项B正确；
∵菱形的对角线互相垂直，但是不一定相等，
∴选项C不正确；
第7页（共19页）∵平行四边形是中心对称图形，
∴选项D正确．
故选：C．
【点评】（1）此题主要考查了角平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要
明确：一个角的平分线把这个角分成两个大小相同的角．
（2）此题还考查了菱形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： 菱形具
有平行四边形的一切性质； 菱形的四条边都相等； 菱形的两条对角线互相①垂直，并
且每一条对角线平分一组对②角； 菱形是轴对称图形，③它有2条对称轴，分别是两条对角
线所在直线． ④
（3）此题还考查了直角三角形斜边上的中线，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在
直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
（4）此题还考查了中心对称图形，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：中心对称图形
和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的
特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
8．【分析】分x≥﹣1和x＜﹣1两种情况进行讨论计算，
【解答】解：当x+3≥﹣x+1，
即：x≥﹣1时，y＝x+3，
∴当x＝﹣1时，y ＝2，
min
当x+3＜﹣x+1，
即：x＜﹣1时，y＝﹣x+1，
∵x＜﹣1，
∴﹣x＞1，
∴﹣x+1＞2，
∴y＞2，
∴y ＝2，
min
故选：B．
【点评】此题是分段函数题，主要考查了新定义，解本题的关键是分段．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）
9．【分析】根据相反数的定义，即可解答．
【解答】解：数轴上点A所表示的数是﹣2，﹣2的相反数是2，
故答案为：2．
第8页（共19页）【点评】本题考查了相反数，解决本题的关键是熟记相反数的定义．
10．【分析】根据提公因式法因式分解的步骤解答即可．
【解答】解：6x2﹣3x＝3x（2x﹣1），
故答案为：3x（2x﹣1）．
【点评】本题考查的是提公因式法因式分解，提公因式法基本步骤：找出公因式；提公因式
并确定另一个因式：第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；第
二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所
得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的
剩下的另一个因式．
11．【分析】直接利用弧长公式求出即可．
【解答】解：半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为： ＝4 （cm）．
π
故答案为：4 ．
【点评】此题π主要考查了弧长公式的应用，正确记忆弧长公式是解题关键．
12．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：124000万＝124000 0000＝1.24×109，
故答案为：1.24×109．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．【分析】根据圆内接四边形的对角互补求∠BAD的度数即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为 O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD＝180°（圆内接⊙四边形的对角互补）；
又∵∠BCD＝110°，
∴∠BAD＝70°．
故答案为：70．
【点评】本题主要考查了圆内接四边形的性质．解答此题时，利用了圆内接四边形的对角
互补的性质来求∠BCD的补角即可．
14．【分析】根据坡比的定义得到tan∠A＝ ＝ ，∠A＝30°，然后根据含30度的直角三角
第9页（共19页）形三边的关系求解．
【解答】解：根据题意得tan∠A＝ ＝ ＝ ，
所以∠A＝30°，
所以BC＝ AB＝ ×200＝100（m）．
故答案为100．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又
叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．
15．【分析】先根据图形得出A、B的坐标，根据两点的坐标和图形得出不等式的解集即可．
【解答】解：∵由图象可知：A（1，4），B（4，1），x＞0，
∴不等式 ＜kx+b的解集为1＜x＜4，
故答案为：1＜x＜4．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点的应用，能读懂图象是解此题的关键，
数形结合思想的应用．
16．【分析】根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，
被4除余1的点在第三象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限的直线上，被4除
余3的点在第一象限的角平分线上，点P 的在第四象限的角平分线上，且横纵坐标的
2016
绝对值＝2016÷4，再根据第四项象限内点的符号得出答案即可．
【解答】解：由规律可得，2016÷4＝504，
∴点P 的在第四象限的角平分线上，
2016
∵点P （1，﹣1），点P （2，﹣2），点P （3，﹣3），
4 8 12
∴点P （504，﹣504），
2016
故答案为（504，﹣504）．
【点评】本题考查了规律型：点的坐标，是一个阅读理解，猜想规律的题目，解答此题的关
键是首先确定点所在的大致位置，所在正方形，然后就可以进一步推得点的坐标．
三、解答题（本大题共8道小题，满分64分）
17．【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，二次根式性质，以及特殊角的三角函数值
计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝3﹣2 +2 ﹣1
＝2．
第10页（共19页）【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．【分析】由四边形ABCD为矩形，得到四个角为直角，再由EF与FD垂直，利用平角定义
得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形BEF与三
角形CFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵EF⊥DF，
∴∠EFD＝90°，
∴∠EFB+∠CFD＝90°，
∵∠EFB+∠BEF＝90°，
∴∠BEF＝∠CFD，
在△BEF和△CFD中，
，
∴△BEF≌△CFD（ASA），
∴BF＝CD．
【点评】此题考查了矩形的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是
解本题的关键．
19．【分析】（1）首先分别解不等式 ，然后求得不等式组的解集，继而求得它的所有整数
解； ①②
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与积为正数的情况，
再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）由 得：x＞﹣2，
由 得：x≤2， ①
∴②不等式组的解集为：﹣2＜x≤2，
∴它的所有整数解为：﹣1，0，1，2；
（2）画树状图得：
第11页（共19页）∵共有12种等可能的结果，积为正数的有2种情况，
∴积为正数的概率为： ＝ ．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及不等式组的整数解．用到的知识点为：
概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．【分析】设学生步行的平均速度是每小时x千米，服务人员骑自行车的平均速度是每小时
2.5x千米，根据学校与君山岛距离为24千米，服务人员所花时间比学生少用了3.6小时，
可列方程求解．
【解答】解：设学生步行的平均速度是每小时x千米．
服务人员骑自行车的平均速度是每小时2.5x千米，
根据题意： ﹣ ＝3.6，
解得：x＝4，
经检验，x＝4是所列方程的解，且符合题意．
答：学生步行的平均速度是每小时4千米．
【点评】本题考查了分式方程的应用，关键设出速度，以时间做为等量关系列方程求解．
21．【分析】（1）由A占25%，即可求得m的值，继而求得n的值，然后求得空气质量等级为
“良”的天数占的百分比；
（2）首先由（1）补全统计图，然后利用样本估计总体的知识求解即可求得答案；
（3）提出合理建议，比如不燃放烟花爆竹或少燃放烟花爆竹等．
【解答】解：（1）∵m＝80×25%＝20，n＝80﹣20﹣44﹣4﹣2﹣2＝8，
∴空气质量等级为“良”的天数占： ×100%＝55%．
故答案为：20，8，55；
（2）估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共：365×（25%+55%）＝292
（天），
答：估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共292天；
第12页（共19页）补全统计图：
（3）建议不要燃放烟花爆竹．
【点评】此题考查了条形图与扇形图的知识．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是
解决问题的关键．
22．【分析】（1）找出a，b及c，表示出根的判别式，变形后得到其值大于0，即可得证．
（2）把x＝0代入方程即可求m（m+1）＝0，然后化简代数式再将m（m+1）＝0代入所求的
代数式并求值即可．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）＝0．
∴△＝（2m+1）2﹣4m（m+1）＝1＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5＝4m2﹣4m+1+9﹣m2+7m﹣5＝3m2+3m+5＝3m
（m+1 ）+5，
∵x＝0是此方程的一个根，
∴把x＝0代入方程中得到m（m+1）＝0，
把m（m+1）＝0代入3m（m+1）+5得：5＝5．
【点评】本题考查了根的判别式和一元二次方程的解．解题时，逆用一元二次方程解的定
义易得出所求式子的值，在解题时要重视解题思路的逆向分析．
23．【分析】（1）根据∠A′B′B＝∠A′B′C﹣∠BB′C，只要求出∠BB′C即可．
（2）（Ⅰ）结论：直线BB′与 A′相切．只要证明∠A′B′B＝90°即可．（Ⅱ）在
Rt△ABB′中，利用勾股定理计算⊙即可．
（3）如图 中，当 + ＝180°时，直线BB′与 A′相切．只要证明∠A′B′B＝90°即可
解决问题③．在△CBαB′β中求出BB′，再在Rt△⊙A′B′B中利用勾股定理即可．
第13页（共19页）【解答】解；（1）如图 中，∵△A′B′C是由△ABC旋转得到，
∴∠A′B′C＝∠ABC＝①130°，CB＝CB′，
∴∠CBB′＝∠CB′B，∵∠BCB′＝50°，
∴∠CBB′＝∠CB′B＝65°，
∴∠A′B′B＝∠A′B′C﹣∠BB′C＝65°．
（2）（Ⅰ）结论：直线BB′与 A′相切．
理由：如图 中，∵∠A′B′C⊙＝∠ABC＝150°，CB＝CB′，
∴∠CBB′＝②∠CB′B，∵∠BCB′＝60°，
∴∠CBB′＝∠CB′B＝60°，
∴∠A′B′B＝∠A′B′C﹣∠BB′C＝90°．
∴AB′⊥BB′，
∴直线BB′与 A′相切．
（Ⅱ）∵在Rt△⊙ABB′中，∵∠AB′B＝90°，BB′＝BC＝5，AB′＝AB＝3，
∴A′B＝ ＝ ．
（3）如图 中，当 + ＝180°时，直线BB′与 A′相切．
理由：∵∠③A′B′C＝α ∠β ABC＝ ，CB＝CB′，⊙
∴∠CBB′＝∠CB′B，∵∠BCαB′＝2 ，
∴∠CBB′＝∠CB′B＝ ，β
∴∠A′B′B＝∠A′B′C﹣∠BB′C＝ ﹣90°+ ＝180°﹣90°＝90°．
∴AB′⊥BB′， α β
∴直线BB′与 A′相切．
在△CBB′中，⊙∵CB＝CB′＝n，∠BCB′＝2 ，
∴BB′＝2•nsin ， β
在Rt△A′BB′β中，A′B＝ ＝ ．
第14页（共19页）【点评】本题考查圆的综合题、旋转不变性、勾股定理、切线的判定、等腰三角形的性质等
知识，解题的关键是熟练运用这些知识解决问题，充分利用旋转不变性，属于中考压轴题．
24．【分析】（1）利用一次函数的解析式求出点A、C的坐标，然后再利用B点坐标即可求出
二次函数的解析式；
（2）由于M在抛物线F
1
上，所以可设M（a，﹣ a2﹣ a+4），然后分别计算S四边形MAOC 和
S△BOC ，过点M作MP⊥x轴于点P，则S四边形MAOC 的值等于△APM的面积与梯形POCM
的面积之和．
（3）由于没有说明点P的具体位置，所以需要将点P的位置进行分类讨论，当点P在A′
的右边时，此情况是不存在；当点P在A′的左边时，此时∠DA′P＝∠CAB′，若以
A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似，则分为以下两种情况进行讨论： ＝
①
； ＝ ．
②
【解答】解：（1）令y＝0代入y＝ x+4，
第15页（共19页）∴x＝﹣3，
A（﹣3，0），
令x＝0，代入y＝ x+4，
∴y＝4，
∴C（0，4），
设抛物线F 的解析式为：y＝a（x+3）（x﹣1），
1
把C（0，4）代入上式得，a＝﹣ ，
∴y＝﹣ x2﹣ x+4，
（2）如图 ，设点M（a，﹣ a2﹣ a+4）
①
其中﹣3＜a＜0
∵B（1，0），C（0，4），
∴OB＝1，OC＝4
∴S△BOC ＝ OB•OC＝2，
过点M作MP⊥x轴于点P，
∴MP＝﹣ a2﹣ a+4，AP＝a+3，OP＝﹣a，
∴S四边形MAOC ＝ AP•MP+ （MP+OC）•OP
＝ AP•MP+ OP•MP+ OP•OC
＝ +
＝ +
＝ ×3（﹣ a2﹣ a+4）+ ×4×（﹣a）
＝﹣2a2﹣6a+6
∴S＝S四边形MAOC ﹣S△BOC
第16页（共19页）＝（﹣2a2﹣6a+6）﹣2
＝﹣2a2﹣6a+4
＝﹣2（a+ ）2+
∴当a＝﹣ 时，
S有最大值，最大值为
此时，M（﹣ ，5）；
（3）如图 ，由题意知：M′（ ），B′（﹣1，0），A′（3，0）
②
∴AB′＝2，
设直线A′C的解析式为：y＝kx+b，
把A′（3，0）和C（0，4）代入y＝kx+b，
得： ，
∴
∴y＝﹣ x+4，
令x＝ 代入y＝﹣ x+4，
∴y＝2
∴
由勾股定理分别可求得：AC＝5，DA′＝
设P（m，0）
当m＜3时，
此时点P在A′的左边，
∴∠DA′P＝∠CAB′，
第17页（共19页）当 ＝ 时，△DA′P∽△CAB′，
此时， ＝ （3﹣m），
解得：m＝2，
∴P（2，0）
当 ＝ 时，△DA′P∽△B′AC，
此时， ＝ （3﹣m）
m＝﹣ ，
∴P（﹣ ，0）
当m＞3时，
此时，点P在A′右边，
由于∠CB′O≠∠DA′E，
∴∠AB′C≠∠DA′P
∴此情况，△DA′P与△B′AC不能相似，
综上所述，当以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似时，点P的坐标为（2，0）或（﹣
，0）．
第18页（共19页）【点评】本题是二次函数的综合问题，涉及待定系数法求解析式，二次函数最值问题，相似
三角形的判定与性质等知识内容，综合程度较大，需要学生灵活运用所学知识解决问题．
另外对于动点问题，通常可以用一参数m来表示该动点．
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