2020考研数学二真题公众号：小乖考研免费分享_05.数学二历年真题_普通版本数学二_2020考研数学（二）真题+答案解析

2020 年全国硕士研究生招生考试数学二试题 一、选择题：1~8题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 （1）当x0时，下列无穷小量中最高阶的是 （ ） A. x (et2 1)dt B. x ln(1 t3)dt C. sinx sint2dt D. 1cosx sin3tdt 0 0 0 0 1 ex1ln1x （2）函数 f(x) 的第二类间断点的个数为 （ ） (ex 1)(x2) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 1arcsin x （3） dx  （ ） 0 x(1x) 2 2   A. B. C. D. 4 8 4 8 （4）已知函数 f(x) x2ln(1x),当n3时，f (n)(0) （ ） n! n! (n2)! (n2)! A. B. C. D. n2 n2 n n xy,xy 0  （5）关于函数 f(x,y)x,y 0 ,给出下列结论： （ ）  y,x0 f 2f ① 1;② 1;③ lim f(x,y)0;④limlim f(x,y)0. x (0,0) xy (0,0) (x,y)(0,0) y0 x0 其中正确的个数为 （ ） A.4 B.3 C.2 D.1 （6）设函数f(x)在区间 2,2 上可导，且f(x) f(x)0.则 （ ） f(2) f(0) f(1) f(2) A. 1 B. e C. e2 D. e3 f(1) f(1) f(1) f(1) （7）设4阶矩阵A(a )不可逆，a 的代数余子式A 0，,,, 为矩阵A的列向量组，A*为 ij 12 12 1 2 3 4 A的伴随矩阵，则方程组A*x0的通解为 （ ） A.xk k k,其中k ,k ,k 为任意数 1 1 2 2 3 3 1 2 3 B.xk k k,其中k ,k ,k 为任意数 1 1 2 2 3 4 1 2 3 C.xk k k,其中k ,k ,k 为任意数 1 1 2 3 3 4 1 2 3 D.xk k k,其中k ,k ,k 为任意数 1 2 2 3 3 4 1 2 3 淘宝店铺：https://shop499712503.taobao.com/ 店主旺旺：慧园文化（8）设A为3阶矩阵，, 为A的属于特征值1的线性无关的特征向量， 为A的属于特征值-1的特 1 2 3 1 0 0   征向量，则满足P1AP 0 1 0的可逆矩阵P可为 （ ）   0 0 1 A.( ,,) B.( ,,) C.( ,,) D.( ,,) 1 3 2 3 1 2 2 3 1 3 3 2 1 2 3 2 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在横线上.   x t2 1 d2y （9）设 ,则 ________.  y ln(t t2 1) dx2 t1 1 1 （10） dy x3 1dx ________. 0 y （11）设z arctan  xysin(x y)  ,则dz ________. (0,) （12）斜边长为2a的等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐，记重力加速度为g， 水的密度为，则该平板一侧所受的水压力为________.  （13）设y  y(x)满足y2y y 0,且y(0)0,y(0)1,则 y(x)dx ________. 0 a 0 1 1 0 a 1 1 （14）行列式 ________. 1 1 a 0 1 1 0 a 三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. （15）（本题满分10分） x1x   求曲线y  x0 的斜渐近线方程.  1x x （16）（本题满分10分） 已知函数 f  x  连续且lim f(x) 1,g(x)  1 f(xt)dt,求g(x)并证明g(x)在x0处连续. x0 x 0 淘宝店铺：https://shop499712503.taobao.com/ 店主旺旺：慧园文化（17）（本题满分10分） 求函数 f  x,y   x3 8y3 xy的极值. （18）（本题满分10分） 1 x2 2x 设函数 f(x)的定义域为  0,  且满足2f(x)x2f  .求f(x),并求曲线  x 1x2 1 3 y  f(x),y  ，y  及y轴所围图形绕x轴旋转所成转体的体积. 2 2 （19）（本题满分10分） x2  y2 设平面区域D由直线x1,x2,y  x与x轴围成，计算 dxdy. x D 淘宝店铺：https://shop499712503.taobao.com/ 店主旺旺：慧园文化（20）（本题满分11分） 设函数 f(x)  x et2 dt. 1 （Ⅰ）证明：存在(1,2),使得f()(2)e2 ; （Ⅱ）证明：存在(1,2),使得f(2)ln2e2 . （21）（本题满分11分） 设函数 f(x)可导，且 f(x)0，曲线y  f(x)(x0)经过坐标原点O,其上任意一点M 处的切线与 x轴交于T,又MP垂直x轴与点P.已知由曲线 y  f(x),直线MP 以及x轴所围图形的面积与MTP的 面积之比恒为3:2，求满足上述条件的曲线的方程. 淘宝店铺：https://shop499712503.taobao.com/ 店主旺旺：慧园文化（22）（本题满分11分） 设二次型 f(x ,x ,x ) x2 x2 x2 2ax x 2ax x 2ax x 经过可逆线性变换 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 x  y   1   1  x  Py 化为二次型g(y ,y ,y ) y2  y2 4y2 2y y . 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2     x  y  3 3 （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）求可逆矩阵P. （23）（本题满分11分） 设A为2阶矩阵，P (,A),其中是非零向量且不是A的特征向量. （Ⅰ）证明P为可逆矩阵； （Ⅱ）若A2 A60，求P1AP,并判断A是否相似于对角矩阵. 淘宝店铺：https://shop499712503.taobao.com/ 店主旺旺：慧园文化