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2018 年湖南省永州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共 10个小题，每个小题只有一个正确选项，每小题 4分，
共 40分
1．（4 分）﹣2018 的相反数是（ ）
A．2018 B．﹣2018 C． D．﹣
2．（4 分）誉为全国第三大露天碑林的“浯溪碑林”，摩崖上铭刻着500 多方古今
名家碑文，其中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值，下面四个悬针篆文文
字明显不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（4 分）函数y= 中自变量 x的取值范围是（ ）
A．x≥3 B．x＜3 C．x≠3 D．x=3
4．（4 分）如图几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（4 分）下列运算正确的是（ ）
A．m2+2m3=3m5 B．m2•m3=m6 C．（﹣m）3=﹣m3 D．（mn）3=mn3
6．（4 分）已知一组数据 45，51，54，52，45，44，则这组数据的众数、中位数
分别为（ ）
A．45，48 B．44，45 C．45，51 D．52，53
7．（4 分）下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
第1页（共18页）C．任意多边形的内角和为 360°
D．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
8．（4 分）如图，在△ABC 中，点 D 是边 AB 上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=2，
BD=6，则边AC的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．（4 分）在同一平面直角坐标系中，反比例函数 y= （b≠0）与二次函数y=ax2+bx
（a≠0）的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
10．（4 分）甲从商贩A 处购买了若干斤西瓜，又从商贩 B处购买了若干斤西瓜．A、
B两处所购买的西瓜重量之比为 3：2，然后将买回的西瓜以从 A、B两处购买单
价的平均数为单价全部卖给了乙，结果发现他赔钱了，这是因为（ ）
A．商贩A 的单价大于商贩 B的单价
B．商贩A 的单价等于商贩 B的单价
C．商版A 的单价小于商贩 B的单价
D．赔钱与商贩A、商贩 B的单价无关
二、填空题（本大题共 8 个小题，每小题 4分，共 32分）
11．（4 分）截止2017年年底，我国60 岁以上老龄人口达 2.4 亿，占总人口比重
达17.3%．将2.4 亿用科学记数法表示为 ．
12．（4 分）因式分解：x2﹣1= ．
13．（4 分）一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB、CE 相交于点
D，则∠BDC= ．
第2页（共18页）14．（4 分）化简：（1+ ）÷ = ．
15．（4 分）在一个不透明的盒子中装有 n 个球，它们除了颜色之外其它都没有
区别，其中含有3 个红球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一
个球，记下颜色后再放回盒中．通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在
0.03，那么可以推算出n 的值大约是 ．
16．（4 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（1，1），以点O为旋转中心，
将点A 逆时针旋转到点 B的位置，则 的长为 ．
17．（4 分）对于任意大于 0 的实数x、y，满足：log（x•y）=log x+log y，若log 2=1，
2 2 2 2
则log
2
16= ．
18．（4 分）现有A、B两个大型储油罐，它们相距 2km，计划修建一条笔直的输
油管道，使得 A、B 两个储油罐到输油管道所在直线的距离都为 0.5km，输油管
道所在直线符合上述要求的设计方案有 种．
三、解答题（本大题共 8 个小题，解答题要求写出证明步骤或解答过程）
19．（8 分）计算：2﹣1﹣ sin60°+|1﹣ |．
20．（8 分）解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．
21．（8 分）永州植物园“清风园”共设11 个主题展区．为推进校园文化建设，某
校九年级（1）班组织部分学生到“清风园”参观后，开展“我最喜欢的主题展区”
第3页（共18页）投票调查．要求学生从“和文化”、“孝文化”、“德文化”、“理学文化”、“瑶文化”
五个展区中选择一项，根据调查结果绘制出了两幅不完整的条形统计图和扇形统
计图．结合图中信息，回答下列问题．
（1）参观的学生总人数为 人；
（2）在扇形统计图中最喜欢“瑶文化”的学生占参观总学生数的百分比
为 ；
（3）补全条形统计图；
（4）从最喜欢“德文化”的学生中随机选两人参加知识抢答赛，最喜欢“德文化”
的学生甲被选中的概率为 ．
22．（10 分）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段 AB 为边向外
作等边△ABD，点E 是线段 AB的中点，连接CE 并延长交线段AD 于点F．
（1）求证：四边形BCFD 为平行四边形；
（2）若AB=6，求平行四边形 BCFD 的面积．
23．（10 分）在永州市青少年禁毒教育活动中，某班男生小明与班上同学一起到
禁毒教育基地参观，以下是小明和奶奶的对话，请根据对话内容，求小明班上参
观 禁 毒 教 育 基 地 的 男 生 和 女 生 的 人
第4页（共18页）数．
24．（10 分）如图，线段 AB为⊙O的直径，点 C，E 在⊙O上， = ，CD⊥AB，
垂足为点D，连接BE，弦BE 与线段CD 相交于点 F．
（1）求证：CF=BF；
（2）若cos∠ABE= ，在 AB的延长线上取一点 M，使BM=4，⊙O的半径为 6．求
证：直线CM 是⊙O的切线．
25．（12 分）如图1，抛物线的顶点 A 的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于 B、
C两点，与y轴交于点 E（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点 G，使得 EG+FG最
小，如果存在，求出点 G的坐标：如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接AB，若点P 是线段 OE 上的一动点，过点 P 作线段AB的垂线，
分别与线段AB、抛物线相交于点 M、N（点M、N 都在抛物线对称轴的右侧），
当MN 最大时，求△PON 的面积．
第5页（共18页）26．（12 分）如图1，在△ABC中，矩形EFGH的一边 EF 在AB上，顶点 G、H分
别在BC、AC上，CD 是边 AB上的高，CD 交GH于点I．若 CI=4，HI=3，AD= ．矩
形DFGI恰好为正方形．
（1）求正方形DFGI的边长；
（2）如图2，延长AB至P．使得AC=CP，将矩形 EFGH沿BP 的方向向右平移，
当点 G 刚好落在 CP 上时，试判断移动后的矩形与△CBP 重叠部分的形状是三角
形还是四边形，为什么？
（3）如图 3，连接 DG，将正方形 DFGI 绕点 D 顺时针旋转一定的角度得到正方
形DF′G′I′，正方形DF′G′I′分别与线段DG、DB相交于点 M，N，求△MNG′的周长．
第6页（共18页）2018 年湖南省永州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 10个小题，每个小题只有一个正确选项，每小题 4分，
共 40分
1．
【解答】解：﹣2018的相反数是 2018．
故选：A．
2．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项正确；
D、是轴对称图形，故此选项错误；
故选：C．
3．
【解答】解：根据题意得：x﹣3≠0，
解得：x≠3．
故选：C．
4．
【解答】解：由图可得，几何体的主视图是：
故选：B．
第7页（共18页）5．
【解答】解：A、m2与2m3不是同类项，不能合并，此选项错误；
B、m2•m3=m5，此选项错误；
C、（﹣m）3=﹣m3，此选项正确；
D、（mn）3=m3n3，此选项错误；
故选：C．
6．
【解答】解：数据从小到大排列为：44，45，45，51，52，54，
所以这组数据的众数为 45，中位数为 （45+51）=48．
故选：A．
7．
【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以 A 选项为假命题；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以 B选项为假命题；
C、任意多边形的外角和为 360°，所以C选项为假命题；
D、三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，所以 D 选项为真命题．
故选：D．
8．
【解答】解：∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，
∴△ADC∽△ACB，
∴ = ，
∴AC2=AD•AB=2×8=16，
∵AC＞0，
∴AC=4，
故选：B．
9．
第8页（共18页）【解答】解：A、抛物线 y=ax2+bx开口方向向上，则 a＞0，对称轴位于y轴的右
侧，则a、b 异号，即b＜0．所以反比例函数y= 的图象位于第二、四象限，故
本选项错误；
B、抛物线 y=ax2+bx 开口方向向上，则 a＞0，对称轴位于 y 轴的左侧，则 a、b
同号，即b＞0．所以反比例函数 y= 的图象位于第一、三象限，故本选项错误；
C、抛物线 y=ax2+bx 开口方向向下，则 a＜0，对称轴位于 y 轴的右侧，则 a、b
异号，即b＞0．所以反比例函数 y= 的图象位于第一、三象限，故本选项错误；
D、抛物线 y=ax2+bx 开口方向向下，则 a＜0，对称轴位于 y 轴的右侧，则 a、b
异号，即b＞0．所以反比例函数 y= 的图象位于第一、三象限，故本选项正确；
故选：D．
10．
【解答】解：利润=总售价﹣总成本= ×5﹣（3a+2b）=0.5b﹣0.5a，赔钱了说
明利润＜0
∴0.5b﹣0.5a＜0，
∴a＞b．
故选：A．
二、填空题（本大题共 8 个小题，每小题 4分，共 32分）
11．
【解答】解：2.4 亿=2.4×108．
故答案为：2.4×108
12．
【解答】解：原式=（x+1）（x﹣1）．
故答案为：（x+1）（x﹣1）．
13．
第9页（共18页）【解答】解：∵∠CEA=60°，∠BAE=45°，
∴∠ADE=180°﹣∠CEA﹣∠BAE=75°，
∴∠BDC=∠ADE=75°，
故答案为75°．
14．
【解答】解：（1+ ）÷
=
=
= ，
故答案为： ．
15．
【解答】解：由题意可得， =0.03，
解得，n=100．
故估计n 大约是100．
故答案为：100．
16．
【解答】解：∵点A（1，1），
∴OA= = ，点 A 在第一象限的角平分线上，
∵以点 O为旋转中心，将点 A 逆时针旋转到点 B的位置，
∴∠AOB=45°，
∴ 的长为 = ．
故答案为 ．
第10页（共18页）17．
【解答】解：log
2
16=log
2
（2•2•2•2）
=
log
2
2+log
2
2+log
2
2+log
2
2=1+1+1+1=4．
故答案为4．
18．
【解答】解：输油管道所在直线符合上述要求的设计方案有 4 种，如图所示；
故答案为4．
三、解答题（本大题共 8 个小题，解答题要求写出证明步骤或解答过程）
19．
【解答】解：原式= ﹣ × +2=1．
20．
【解答】解： ，
解不等式①，可得
x＜3，
解不等式②，可得
x＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x＜3，
在数轴上表示出来为：
第11页（共18页）21．
【解答】解：（1）参观的学生总人数为 12÷30%=40（人）；
（2）喜欢“瑶文化”的学生占参观总学生数的百分比为 ×100%=15%；
（3）“德文化”的学生数为 40﹣12﹣8﹣10﹣6=4，条形统计图如下：
（4）设最喜欢“德文化”的4 个学生分别为甲乙丙丁，画树状图得：
∵共有 12 种等可能的结果，甲同学被选中的有 6 种情况，
∴甲同学被选中的概率是： = ．
故答案为：40；15%； ．
22．
【解答】（1）证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°．
在等边△ABD 中，∠BAD=60°，
∴∠BAD=∠ABC=60°．
∵E 为AB的中点，
∴AE=BE．
又∵∠AEF=∠BEC，
∴△AEF≌△BEC．
在△ABC中，∠ACB=90°，E 为AB的中点，
第12页（共18页）∴CE= AB，BE= AB．
∴CE=AE，
∴∠EAC=∠ECA=30°，
∴∠BCE=∠EBC=60°．
又∵△AEF≌△BEC，
∴∠AFE=∠BCE=60°．
又∵∠D=60°，
∴∠AFE=∠D=60°．
∴FC∥BD．
又∵∠BAD=∠ABC=60°，
∴AD∥BC，即FD∥BC．
∴四边形 BCFD 是平行四边形．
（2）解：在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AB=6，
∴BC= AB=3，AC= BC=3 ，
∴S
平行四边形BCFD
=3× =9 ．
23．
【解答】解：设小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为 x人，女生人数为 y人，
依题意得： ，
解得 ，
答：小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为 35 人，女生人数为20 人．
第13页（共18页）24．
【解答】证明：（1）延长 CD 交⊙O于G，如图，
∵CD⊥AB，
∴ = ，
∵ = ，
∴ = ，
∴∠CBE=∠GCB，
∴CF=BF；
（2）连接OC交BE 于 H，如图，
∵ = ，
∴OC⊥BE，
在Rt△OBH中，cos∠OBH= = ，
∴BH= ×6= ，
∴OH= = ，
∵ = = ， = = ，
∴ = ，
而∠HOB=∠COM，
∴△OHB∽△OCM，
∴∠OCM=∠OHB=90°，
∴OC⊥CM，
∴直线 CM 是⊙O的切线．
第14页（共18页）25．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y=a（x﹣1）2+4，
把（0，3）代入得：3=a（0﹣1）2+4，
a=﹣1，
∴抛物线的表达式为：y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3；
（2）存在，
如图 1，作 E 关于对称轴的对称点 E'，连接 E'F 交对称轴于 G，此时 EG+FG 的值
最小，
∵E（0，3），
∴E'（2，3），
易得E'F 的解析式为：y=3x﹣3，
当x=1 时，y=3×1﹣3=0，
∴G（1，0）
（3）如图2，∵A（1，4），B（3，0），
易得AB的解析式为：y=﹣2x+6，
设N（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣2m+6），（0≤m≤3），
∴NQ=（﹣m2+2m+3）﹣（﹣2m+6）=﹣m2+4m﹣3，
∵AD∥NH，
∴∠DAB=∠NQM，
∵∠ADB=∠QMN=90°，
∴△QMN∽△ADB，
∴ ，
∴ ，
∴MN=﹣ （m﹣2）2+ ，
∵﹣ ＜0，
∴当m=2 时，MN 有最大值；
过N 作NG⊥y轴于G，
第15页（共18页）∵∠GPN=∠ABD，∠NGP=∠ADB=90°，
∴△NGP∽△ADB，
∴ = = ，
∴PG= NG= m，
∴OP=OG﹣PG=﹣m2+2m+3﹣ m=﹣m2+ m+3，
∴S
△PON
= OP•GN= （﹣m2+ m+3）•m，
当m=2 时，S
△PON
= ×2（﹣4+3+3）=2．
26．
【解答】解：（1）如图 1 中，
第16页（共18页）∵HI∥AD，
∴ = ，
∴ = ，
∴AD=6，
∴ID=CD﹣CI=2，
∴正方形的边长为 2．
（2）如图2 中，设等G落在PC时对应的点为 G′，点F 的对应的点为F′．
∵CA=CP，CD⊥PA，
∴∠ACD=∠PCD，∠A=∠P，
∵HG′∥PA，
∴∠CHG′=∠A，∠CG′H=∠P，
∴∠CHG′=∠CG′H，
∴CH=CG′，
∴IH=IG′=DF′=3，
∵IG∥DB，
∴ = ，
∴ = ，
∴DB=3，
∴DB=DF′=3，
∴点B与点F′重合，
∴移动后的矩形与△CBP 重叠部分是△BGG′，
∴移动后的矩形与△CBP 重叠部分的形状是三角形．
第17页（共18页）（3）如图3 中，如图将△DMI′绕点D 逆时针旋转 90°得到△DF′R，此时 N、F′、
R共线．
∵∠MDN=∠NDF+∠MDI′=∠NDF′+∠DF′R=∠NDR=45°，
∵DN=DN，DM=DR，
∴△NDM≌△NDR，
∴MN=NR=NF′+RF′=NF′+MI′，
∴△MNG′的周长=MN+MG′+NG′=MG′+MI′+NG′+F′R=2I′G′=4．
第18页（共18页）
