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2016年湖南省永州市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分
1．（4分）﹣ 的相反数的倒数是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2016 D．﹣2016
2．（4分）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（4分）下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．﹣a•a3＝a3 B．﹣（a2）2＝a4
C．x﹣ x＝ D．（ ﹣2）（ +2）＝﹣1
5．（4分）如图，将两个形状和大小都相同的杯子叠放在一起，则该实物图的主视图为（ ）
A． B． C． D．
第1页（共21页）6．（4分）在“爱我永州”中学生演讲比赛中，五位评委分别给甲、乙两位选手的评分如下：
甲：8、7、9、8、8
乙：7、9、6、9、9
则下列说法中错误的是（ ）
A．甲、乙得分的平均数都是8
B．甲得分的众数是8，乙得分的众数是9
C．甲得分的中位数是9，乙得分的中位数是6
D．甲得分的方差比乙得分的方差小
7．（4分）对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是（ ）
A．把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理
B．木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点
与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理
C．将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理
D．将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理
8．（4分）抛物线y＝x2+2x+m﹣1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2 B．m＞2 C．0＜m≤2 D．m＜﹣2
9．（4分）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加
以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（ ）
A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BD＝CE D．BE＝CD
10．（4分）圆桌面（桌面中间有一个直径为0.4m的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的
光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为
1.2m，桌面离地面1m，若灯泡离地面3m，则地面圆环形阴影的面积是（ ）
A．0.324 m2 B．0.288 m2 C．1.08 m2 D．0.72 m2
第2页（共21页）
π π π π11．（4分）下列式子错误的是（ ）
A．cos40°＝sin50° B．tan15°•tan75°＝1
C．sin225°+cos225°＝1 D．sin60°＝2sin30°
12．（4分）我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例：
指数运算 21＝2 22＝4 23＝8 … 31＝3 32＝9 33＝27 …
新运算 log 2＝1 log 4＝2 log 8＝3 … log 3＝1 log 9＝2 log 27＝ …
2 2 2 3 3 3
3
根据上表规律，某同学写出了三个式子： log 16＝4， log 25＝5， log ＝﹣1．其
2 5 2
① ② ③
中正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空①题②：本大题共8小题①，③每小题4分，共32分②③ ①②③
13．（4分）涔天河水库位于永州市江华瑶族自治县境内，其扩建工程是湖南省“十二五”期
间水利建设的“一号工程”，也是国务院重点推进的重大工程，其中灌区工程总投资约
39亿元．请将3900000000用科学记数法表示为 ．
14．（4分）在1，， ，2，﹣3.2这五个数中随机取出一个数，则取出的这个数大于2的概率
是 ．π
15．（4分）已知反比例函数y＝ 的图象经过点A（1，﹣2），则k＝ ．
16．（4分）方程组 的解是 ．
17．（4分）化简： ÷ ＝ ．
18．（4分）如图，在 O中，A，B是圆上的两点，已知∠AOB＝40°，直径CD∥AB，连接AC，则
∠BAC＝ ⊙度．
19．（4分）已知一次函数y＝kx+2k+3的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，且函数值y随x
的增大而减小，则k所有可能取得的整数值为 ．
第3页（共21页）20．（4分）如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM＝d．我们
把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m．如d＝0时，l为经过圆心O的一条直线，
此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m＝4，由此可知：
（1）当d＝3时，m＝ ；
（2）当m＝2时，d的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共7小题，共79分
21．（8分）计算： ﹣（3﹣ ）0﹣|﹣3+2|
π
22．（8分）二孩政策的落实引起了全社会的关注，某校学生数学兴趣小组为了了解本校同学
对父母生育二孩的态度，在学校抽取了部分同学对父母生育二孩所持的态度进行了问卷
调查，调查分别为非常赞同、赞同、无所谓、不赞同等四种态度，现将调查统计结果制成了
如图两幅统计图，请结合两幅统计图，回答下列问题：
（1）在这次问卷调查中一共抽取了 名学生，a＝ %；
（2）请补全条形统计图；
（3）持“不赞同”态度的学生人数的百分比所占扇形的圆心角为 度；
（4）若该校有3000名学生，请你估计该校学生对父母生育二孩持“赞同”和“非常赞
同”两种态度的人数之和．
23．（10分）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC
的延长线于点E．
第4页（共21页）（1）求证：BE＝CD；
（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．
24．（10分）某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价
的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的
总利润不少于3120元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？
25．（10分）如图，△ABC是 O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AC的延长线交
于点D，E是BD中点，连⊙接CE．
（1）求证：CE是 O的切线；
（2）若AC＝4，B⊙C＝2，求BD和CE的长．
26．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣3经过（﹣1，0），（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝kx
与抛物线交于A，B两点．
（1）写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；
（2）当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标；
（3）是否存在实数k使得△ABC的面积为 ？若存在，求出k的值；若不存在，请说明
理由．
第5页（共21页）27．（12分）问题探究：
1．新知学习
若把将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“面线”，其
“面线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“面径”（例如圆的直径就是圆的
“面径”）．
2．解决问题
已知等边三角形ABC的边长为2．
（1）如图一，若AD⊥BC，垂足为D，试说明AD是△ABC的一条面径，并求AD的长；
（2）如图二，若ME∥BC，且ME是△ABC的一条面径，求面径ME的长；
（3）如图三，已知D为BC的中点，连接AD，M为AB上的一点（0＜AM＜1），E是DC上的
一点，连接ME，ME与AD交于点O，且S△MOA ＝S△DOE ．
求证：ME是△ABC的面径；
①连接AE，求证：MD∥AE；
②（4）请你猜测等边三角形ABC的面径长l的取值范围（直接写出结果）
第6页（共21页）2016年湖南省永州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分
1．【分析】直接利用相反数的概念以及倒数的定义分析，进而得出答案．
【解答】解：﹣ 的相反数是： ，
∵ ×2016＝1，
∴﹣ 的相反数的倒数是：2016．
故选：C．
【点评】此题主要考查了相反数、倒数的定义，正确把握定义是解题关键．
2．【分析】把各不等式的解集在数轴上表示出来即可．
【解答】解：不等式组 的解集在数轴上表示为：
．
故选：A．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题
的关键．
3．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形．也是中心对称图形，故此选项正确；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对
称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分
重合．
4．【分析】利用同底数的幂的乘法法则、幂的乘方、合并同类项法则，以及平方差公式即可判
断．
第7页（共21页）【解答】解：A、﹣a•a3＝﹣a4，故选项错误；
B、﹣（a2）2＝﹣a4，选项错误；
C、x﹣ x＝ x，选项错误；
D、（ ﹣2）（ +2）＝（ ）2﹣22＝3﹣4＝﹣1，选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了同底数的幂的乘法法则、幂的乘方、合并同类项法则，以及平方差公式，
理解运算性质以及公式是关键．
5．【分析】根据图形的三视图的知识，即可求得答案．
【解答】解：该实物图的主视图为 ．
故选：B．
【点评】此题考查了简单组合图形的三视图．考查了学生的空间想象能力．
6．【分析】分别求出甲、乙的平均数、众数、中位数及方差可逐一判断．
【解答】解：A、 ＝ ＝8， ＝ ＝8，故此选项正确；
B、甲得分次数最多是8分，即众数为8分，乙得分最多的是9分，即众数为9分，故此选项
正确；
C、∵甲得分从小到大排列为：7、8、8、8、9，∴甲的中位数是8分；
∵乙得分从小到大排列为：6、7、9、9、9，∴乙的中位数是9分；故此选项错误；
D、∵ ＝ ×[（8﹣8）2+（7﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2]＝ ×2＝0.4，
＝ ×[（7﹣8）2+（9﹣8）2+（6﹣8）2+（9﹣8）2+（9﹣8）2]＝ ×8＝1.6，
∴ ＜ ，故D正确；
故选：C．
【点评】本题主要考查平均数、众数、中位数及方差，熟练掌握这些统计量的意义及计算公
式是解题的关键．
7．【分析】根据圆的有关定义、垂线段的性质、三角形的稳定性等知识结合生活中的实例确定
正确的选项即可．
第8页（共21页）【解答】解：A、把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”
的原理，正确；
B、木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“两点确定一
条直线”的原理，故错误；
C、将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理，正确；
D、将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理，正确，
故选：B．
【点评】本题考查了圆的认识、三角形的稳定性、确定直线的条件等知识，解题的关键是熟
练掌握这些定理，难度不大．
8．【分析】由抛物线与x轴有两个交点，则△＝b2﹣4ac＞0，从而求出m的取值范围．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+2x+m﹣1与x轴有两个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，
即4﹣4m+4＞0，
解得m＜2，
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，注： 抛物线与x轴有两个交点，则△＞0；
抛物线与x轴无交点，则△＜0； 抛物线与x①轴有一个交点，则△＝0．
9．【②分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB③＝AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添
加条件，逐一证明即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A为公共角，
A、如添加∠B＝∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；
B、如添AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
C、如添BD＝CE，等量关系可得AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
D、如添BE＝CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件．
故选：D．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求
学生应熟练掌握全等三角形的判定定理．
10．【分析】先根据AC⊥OB，BD⊥OB可得出△AOC∽△BOD，由相似三角形的对应边成比
例可求出BD的长，进而得出BD′＝0.3m，再由圆环的面积公式即可得出结论．
【解答】解：如图所示：∵AC⊥OB，BD⊥OB，
∴△AOC∽△BOD，
第9页（共21页）∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得：BD＝0.9m，
同理可得：AC′＝0.2m，则BD′＝0.3m，
∴S圆环形阴影 ＝0.92 ﹣0.32 ＝0.72 （m2）．
故选：D． π π π
【点评】本题考查的是相似三角形的应用以及中心投影，利用相似三角形的对应边成比例
得出阴影部分的半径是解题关键．
11．【分析】根据正弦和余弦的性质以及正切、余切的性质即可作出判断．
【解答】解：A、sin40°＝sin（90°﹣50°）＝cos50°，式子正确；
B、tan15°•tan75°＝tan15°•cot15°＝1，式子正确；
C、sin225°+cos225°＝1正确；
D、sin60°＝ ，sin30°＝ ，则sin60°＝2sin30°错误．
故选：D．
【点评】本题考查了互余两个角的正弦和余弦之间的关系，以及同角之间的正切和余切之
间的关系，理解性质是关键．
12．【分析】根据指数运算和新的运算法则得出规律，根据规律运算可得结论．
【解答】解： 因为24＝16，所以此选项正确；
因为55＝31①25≠25，所以此选项错误；
②
因为2﹣1＝ ，所以此选项正确；
③
故选：B．
【点评】此题考查了指数运算和新定义运算，发现运算规律是解答此题的关键．
二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分
13．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
第10页（共21页）数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：3900000000＝3.9×109，
故答案为：3.9×109．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14．【分析】首先找出大于2的数字个数，进而利用概率公式求出答案．
【解答】解：∵在1， ， ，2，﹣3.2这五个数中，只有 这个数大于2，
π π
∴随机取出一个数，这个数大于2的概率是： ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了概率公式，正确应用概率公式是解题关键．
15．【分析】直接把点A（1，﹣2）代入y＝ 求出k的值即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝ 的图象经过点A（1，﹣2），
∴﹣2＝ ，
解得k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐
标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
16．【分析】代入消元法求解即可．
【解答】解：解方程组 ，
由 得：x＝2﹣2y ，
将①代入 ，得：③2（2﹣2y）+y＝4，
解③得：y＝②0，
将y＝0代入 ，得：x＝2，
①
故方程组的解为 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，
第11页（共21页）当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．
17．【分析】将分子、分母因式分解，除法转化为乘法，再约分即可．
【解答】解：原式＝ •
＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考察了分式的除法的知识，解答本题的关键是掌握分式除法的运算法则，
此题比较简单．
18．【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ABO的度数，再由平行线的性质求出∠BOC的
度数，根据圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵∠AOB＝40°，OA＝OB，
∴∠ABO＝ ＝70°．
∵直径CD∥AB，
∴∠BOC＝∠ABO＝70°，
∴∠BAC＝ ∠BOC＝35°．
故答案为：35．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
19．【分析】由一次函数图象与系数的关系可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即
可得出结论．
【解答】解：由已知得： ，
解得：﹣ ＜k＜0．
∵k为整数，
∴k＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是得出关于k的一元一次不
等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据一次函数图象与系数的关
第12页（共21页）系找出关于系数的不等式（或不等式组）是关键．
20．【分析】根据直线与圆的位置关系和直线与圆的交点个数以及命题中的数据分析即可得
到答案．
【解答】解：（1）当d＝3时，
∵3＞2，即d＞r，
∴直线与圆相离，则m＝1，
故答案为：1；
（2）当d＝3时，m＝1；
当d＝1时，m＝3；
∴当1＜d＜3时，m＝2，
故答案为：1＜d＜3．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解直线与圆的位置关系与d与r
的数量关系．
三、解答题：本大题共7小题，共79分
21．【分析】直接利用立方根的性质化简再结合零指数幂的性质以及绝对值的性质化简求出
答案．
【解答】解： ﹣（3﹣ ）0﹣|﹣3+2|
π
＝2﹣1﹣1
＝0．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
22．【分析】（1）由赞同的人数20，所占40%，即可求出样本容量，进而求出a的值；
（2）由（1）可知抽查的人数，即可求出无所谓态度的人数，即可将条形统计图补充完整；
（3）求出不赞成人数的百分数，即可求出圆心角的度数；
（4）求出“赞同”和“非常赞同”两种态度的人数所占的百分数，用样本估计总体的思想
计算即可．
【解答】解：（1）20÷40%＝50（人），无所谓态度的人数为50﹣10﹣20﹣5＝15，则a＝
×100%＝30%；
（2）补全条形统计图如图所示：
（3）不赞成人数占总人数的百分数为 ×100%＝10%，
第13页（共21页）持“不赞同”态度的学生人数的百分比所占扇形的圆心角为10%×360°＝36°，
（4）“赞同”和“非常赞同”两种态度的人数所占的百分数为 ×100%＝60%，
则该校学生对父母生育二孩持“赞同”和“非常赞同”两种态度的人数之和为
3000×60%＝1800（人）．
故答案为（1）50；30；（3）36．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计
图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇
形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23．【分析】（1）由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE＝∠BEA，即可得出AB＝BE；
（2）先证明△ABE是等边三角形，得出AE＝AB＝4，AF＝EF＝2，由勾股定理求出BF，由
AAS证明△ADF≌△ECF，得出△ADF的面积＝△ECF的面积，因此平行四边形ABCD的
面积＝△ABE的面积＝ AE•BF，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AEB＝∠DAE，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD；
（2）解：∵AB＝BE，∠BEA＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
第14页（共21页）∴AE＝AB＝4，
∵BF⊥AE，
∴AF＝EF＝2，
∴BF＝ ＝ ＝2 ，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠ECF，∠DAF＝∠E，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴△ADF的面积＝△ECF的面积，
∴平行四边形ABCD的面积＝△ABE的面积＝ AE•BF＝ ×4×2 ＝4 ．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、等
边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决
问题（2）的关键．
24．【分析】（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，根据“两次降价后的售价＝原价×（1﹣
降价百分比）的平方”，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论；
（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣m）件，根
据“总利润＝第一次降价后的单件利润×销售数量+第二次降价后的单件利润×销售数
量”，即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】解：（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，
依题意得：400×（1﹣x%）2＝324，
解得：x＝10，或x＝190（舍去）．
答：该种商品每次降价的百分率为10%．
（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣m）件，
第一次降价后的单件利润为：400×（1﹣10%）﹣300＝60（元/件）；
第二次降价后的单件利润为：324﹣300＝24（元/件）．
依题意得：60m+24×（100﹣m）＝36m+2400≥3120，
解得：m≥20．
第15页（共21页）答：为使两次降价销售的总利润不少于3120元．第一次降价后至少要售出该种商品20件．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）
根据数量关系得出关于x的一元二次方程；（2）根据数量关系得出关于m的一元一次不等
式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出不等式（方程或方
程组）是关键．
25．【分析】（1）连接OC，由弦切角定理和切线的性质得出∠CBE＝∠A，∠ABD＝90°，由圆
周角定理得出∠ACB＝90°，得出∠ACO+∠BCO＝90°，∠BCD＝90°，由直角三角形斜边
上的中线性质得出CE＝ BD＝BE，得出∠BCE＝∠CBE＝∠A，证出∠ACO＝∠BCE，得
出∠BCE+∠BCO＝90°，得出CE⊥OC，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出AB，再由三角函数得出tanA＝ ＝ ＝ ，求出BD＝ AB＝ ，
即可得出CE的长．
【解答】（1）证明：连接OC，如图所示：
∵BD是 O的切线，
∴∠CBE⊙＝∠A，∠ABD＝90°，
∵AB是 O的直径，
∴∠ACB⊙＝90°，
∴∠ACO+∠BCO＝90°，∠BCD＝90°，
∵E是BD中点，
∴CE＝ BD＝BE，
∴∠BCE＝∠CBE＝∠A，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A，
∴∠ACO＝∠BCE，
∴∠BCE+∠BCO＝90°，
即∠OCE＝90°，CE⊥OC，
∴CE是 O的切线；
（2）解⊙：∵∠ACB＝90°，
∴AB＝ ＝ ＝2 ，
第16页（共21页）∵tanA＝ ＝ ＝ ＝ ，
∴BD＝ AB＝ ，
∴CE＝ BD＝ ．
【点评】本题考查了切线的判定、弦切角定理、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线性质、
勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握切线的判定和圆周角定理是解决问题的关键．
26．【分析】（1）令抛物线解析式中x＝0求出y值即可得出C点的坐标，有点（﹣1，0）、（3，
0）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）将正比例函数解析式代入抛物线解析式中，找出关于x的一元二次方程，根据根与系
数的关系即可得出“x +x ＝2+k，x •x ＝﹣3”，结合点O为线段AB的中点即可得出
A B A B
x +x ＝2+k＝0，由此得出k的值，将k的值代入一元二次方程中求出x 、x ，在代入一次函
A B A B
数解析式中即可得出点A、B的坐标；
（3）假设存在，利用三角形的面积公式以及（2）中得到的“x +x ＝2+k，x •x ＝﹣3”，即
A B A B
可得出关于k的一元二次方程，结合方程无解即可得出假设不成了，从而得出不存在满足
题意的k值．
【解答】解：（1）令抛物线y＝ax2+bx﹣3中x＝0，则y＝﹣3，
∴点C的坐标为（0，﹣3）．
∵抛物线y＝ax2+bx﹣3经过（﹣1，0），（3，0）两点，
∴有 ，解得： ，
∴此抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）将y＝kx代入y＝x2﹣2x﹣3中得：kx＝x2﹣2x﹣3，
整理得：x2﹣（2+k）x﹣3＝0，
∴x +x ＝2+k，x •x ＝﹣3．
A B A B
∵原点O为线段AB的中点，
第17页（共21页）∴x +x ＝2+k＝0，
A B
解得：k＝﹣2．
当k＝﹣2时，x2﹣（2+k）x﹣3＝x2﹣3＝0，
解得：x ＝﹣ ，x ＝ ．
A B
∴y ＝﹣2x ＝2 ，y ＝﹣2x ＝﹣2 ．
A A B B
故当原点O为线段AB的中点时，k的值为﹣2，点A的坐标为（﹣ ，2 ），点B的坐标
为（ ，﹣2 ）．
（3）假设存在．
由（2）可知：x +x ＝2+k，x •x ＝﹣3，
A B A B
S△ABC ＝ OC•|x
A
﹣x
B
|＝ ×3× ＝ ，
∴（2+k）2﹣4×（﹣3）＝10，即（2+k）2+2＝0．
∵（2+k）2非负，无解．
故假设不成立．
所以不存在实数k使得△ABC的面积为 ．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、根与系数的关系、解一元二次方程以及三
角形的面积公式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）结合根与系数
的关系求出k值；（3）利用反正法找出方程无解．本题属于中档题，难度不大，解决该题型
题目时，将正比例函数解析式代入二次函数解析式中，利用三角形的面积公式结合根与系
数的关系找出关于k的方程是关键．
27．【分析】（1）根据等腰三角形三线合一即可证明，利用直角三角形30°性质，即可求出
AD．
（2）根据相似三角形性质面积比等于相似比的平方，即可解决问题．
（3）如图三中，作MN⊥AE于N，DF⊥AE于F，先证明MN＝DF，推出四边形MNFD是平
行四边形即可．
（4）如图四中，作MF⊥BC于F，设BM＝x，BE＝y，求出EM，利用不等式性质证明ME≥
即可解决问题．
【解答】解：（1）如图一中，
第18页（共21页）∵AB＝AC＝BC＝2，AD⊥BC，
∴BD＝DC，
∴S△ABD ＝S△ADC ，
∴线段AD是△ABC的面径．
∵∠B＝60°，
∴sin60°＝ ，
∴ ＝ ，
∴AD＝ ．
（2）如图二中，
∵ME∥BC，且ME是△ABC的一条面径，
∴△AME∽△ABC， ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ME＝ ．
（3）如图三中，作MN⊥AE于N，DF⊥AE于F．
∵S△MOA ＝S△DOE ，
① 第19页（共21页）∴S△ABD ＝S△BME ，
∵BD＝DC，
∴S△ABD ＝ S△ABC ，
∴S△EMB ＝ S△ABC ，
∴ME是△ABC的面径；
∵S△MOA ＝S△DOE ，
②∴S△AEM ＝S△AED ，
∴ •AE•MN＝ •AE•DF，
∴MN＝DF，
∵MN∥DF，
∴四边形MNFD是平行四边形，
∴DM∥AE．
（4）如图四中，作MF⊥BC于F，设BM＝x，BE＝y，
∵DM∥AE，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴xy＝2，
在RT△MBF中，∵∠MFB＝90°，∠B＝60°，BM＝x，
∴BF＝ x，MF＝ x，
∴ME＝ ＝ ＝ ≥ ，
∴ME≥ ，
第20页（共21页）∵ME是等边三角形面径，AD也是等边三角形面积径，易知AD＝ ，
∴等边三角形ABC的面径长l的取值范围 ≤l≤ ．
【点评】本题考查等边三角形的性质、平行线的性质，三角形面积等知识，解题的关键是理
解题意，学会条件常用辅助线，记住不等式的性质x2+y2≥2xy，属于中考压轴题．
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