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2020年湖南省湘潭市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在
答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）
1．（3分）﹣6的绝对值是（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣ D．
2．（3分）地摊经济一词最近彻底火了，发展地摊经济，进行室外经营与有序占道经营，能满
足民众消费需求，在一定程度上缓解了就业压力，带动了第三产业发展，同时活跃市场，
刺激经济发展，一经推出，相关微博话题阅读量就超过了600000000次，这个数据用科学
记数法表示为（ ）
A．0.6×108 B．6×107 C．6×108 D．6×109
3．（3分）已知2xn+1y3与 x4y3是同类项，则n的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）下列运算中正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B．（ ）﹣1＝﹣2 C．（2﹣ ）0＝1 D．a3•a3＝2a6
6．（3分）如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝110°，∠B＝50°，则∠A＝（ ）
A．40° B．50° C．55° D．60°
7．（3分）为庆祝建党99周年，某校八年级（3）班团支部为了让同学们进一步了解中国科技
的发展，给班上同学布置了一项课外作业，从选出的以下五个内容中任选部分内容进行手
抄报的制作：A、“北斗卫星”：B、“5G时代”；C、“智轨快运系统”；D、“东风快递”；
E、“高铁”．统计同学们所选内容的频数，绘制如图所示的折线统计图，则选择“5G时
代”的频率是（ ）
第1页（共26页）A．0.25 B．0.3 C．25 D．30
8．（3分）如图，直线y＝kx+b（k＜0）经过点P（1，1），当kx+b≥x时，则x的取值范围为
（ ）
A．x≤1 B．x≥1 C．x＜1 D．x＞1
二、填空题（本大题共8小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）
9．（3分）计算：sin45°＝ ．
10．（3分）在数轴上到原点的距离小于4的整数可以为 ．（任意写出一个即可）
11．（3分）计算： ＝ ．
12．（3分）走路被世卫组织认定为“世界上最好的运动”，每天走6000步是走路最健康的步
数．手机下载微信运动，每天记录自己走路的步数，已经成了不少市民时下的习惯．张大
爷连续记录了3天行走的步数为：6200步、5800步、7200步，这3天步数的平均数是
步．
13．（3分）若 ，则 ＝ ．
14．（3分）如图，在半径为6的 O中，圆心角∠AOB＝60°，则阴影部分面积为 ．
⊙
第2页（共26页）15．（3分）如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝3，点M是
射线OC上一动点，则PM的最小值为 ．
16．（3分）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做
出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：
数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9
形式
纵式 | || ||| |||| |||||
横式
表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置
空．示例如图： ，则 表示的数是 ．
三、解答题（本大题共10小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答过程写
在答题卡相应位置上，满分72分）
17．（6分）解分式方程： +2＝ ．
18．（6分）化简求值：（1﹣ ）÷ ，其中a＝﹣2．
第3页（共26页）19．（6分）生死守护，致敬英雄．湘潭28名医护人员所在的湖南对口支援湖北黄冈医疗队红
安分队，精心救治每一位患者，出色地完成了医疗救治任务．为致敬英雄，某校音乐兴趣
小组根据网络盛传的“红旗小姐姐”跳的儋州调声组建了舞蹈队．现需要选取两名学生
作为舞蹈队的领舞，甲、乙两班各推荐了一男生和一女生．（温馨提示：用男 、女 ；男 、女
1 1 2
分别表示甲、乙两班4个学生）
2
（1）请用列举的方法写出所有可能出现的结果；
（2）若选取的两人来自不同的班级，且按甲、乙两班先后顺序选取．请用列表或画树状图
的方法求出恰好选中一男一女的概率．
20．（6分）为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形
ABCD为矩形，DE＝10 m，其坡度为i ＝1： ，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i ＝
1 2
1：4，求斜坡AF的长度．（结果精确到0.01 m，参考数据： ≈1.732， ≈4.123）
21．（6分）“停课不停学”．突如其来的新冠肺炎疫情让网络学习成为了今年春天一道别样
的风景．隔离的是身体，温暖的是人心．“幸得有你，山河无恙”．在钟南山、白衣天使等
人众志成城下，战胜了疫情．在春暖花开，万物复苏之际，某校为了解九年级学生居家网
络学习情况，以便进行有针对性的教学安排，特对他们的网络学习时长（单位：小时）进行
统计．现随机抽取20名学生的数据进行分析：
收集数据：4.5，6，5.5，6.5，6.5，5.5，7，6，7.5，8，6.5，8，7.5，5.5，6.5，7，6.5，6，6.5，5
整理数据：
第4页（共26页）时长x（小时） 4＜x≤5 5＜x≤6 6＜x≤7 7＜x≤8
人数 2 a 8 4
分析数据：
项目 平均数 中位数 众数
数据 6.4 6.5 b
应用数据：
（1）填空：a＝ ，b＝ ；
（2）补全频数直方图；
（3）若九年级共有1000人参与了网络学习，请估计学习时长在5＜x≤7小时的人数．
22．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的 O交BC于点D，过点D作
DE⊥AC，垂足为点E． ⊙
（1）求证：△ABD≌△ACD；
（2）判断直线DE与 O的位置关系，并说明理由．
⊙
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，
4）．
第5页（共26页）（1）求过点B的反比例函数y＝ 的解析式；
（2）连接OB，过点B作BD⊥OB交x轴于点D，求直线BD的解析式．
24．（8分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩
然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》（徐
则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书共50本．已知购买2本《北上》和1本《牵风记》需
100元；购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同．
（1）求这两种书的单价；
（2）若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超
过1600元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？
25．（10分）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．
（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边△ABC的重心为点O，求△OBC与△ABC
的面积．
第6页（共26页）（2）性质探究：如图（二），已知△ABC的重心为点O，请判断 、 是否都为定值？
如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由．
（3）性质应用：如图（三），在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC
于点M．
若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度；
①若S△CME ＝1，求正方形ABCD的面积．
②
26．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+5与x轴交于A，B两点．
（1）若过点C的直线x＝2是抛物线的对称轴．
求抛物线的解析式；
①对称轴上是否存在一点P，使点B关于直线OP的对称点B'恰好落在对称轴上．若存在，
②请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）当b≥4，0≤x≤2时，函数值y的最大值满足3≤y≤15，求b的取值范围．
第7页（共26页）2020年湖南省湘潭市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在
答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）
1．（3分）﹣6的绝对值是（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣ D．
【分析】在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．
【解答】解：负数的绝对值等于它的相反数，所以﹣6的绝对值是6．
故选：B．
【点评】本题主要考查绝对值的定义，规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的
绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．（3分）地摊经济一词最近彻底火了，发展地摊经济，进行室外经营与有序占道经营，能满
足民众消费需求，在一定程度上缓解了就业压力，带动了第三产业发展，同时活跃市场，
刺激经济发展，一经推出，相关微博话题阅读量就超过了600000000次，这个数据用科学
记数法表示为（ ）
A．0.6×108 B．6×107 C．6×108 D．6×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：600000000＝6×108，
故选：C．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）已知2xn+1y3与 x4y3是同类项，则n的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据同类项的概念可得关于n的一元一次方程，求解方程即可得到n的值．
【解答】解：∵2xn+1y3与 是同类项，
第8页（共26页）∴n+1＝4，
解得，n＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了同类项，解决本题的关键是判断两个项是不是同类项，只要两看，即一
看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指数是否相同．
4．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，
那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【解答】解：A、是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形，解题的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部
分重合．
5．（3分）下列运算中正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B．（ ）﹣1＝﹣2 C．（2﹣ ）0＝1 D．a3•a3＝2a6
【分析】根据幂的乘方、负整数指数幂、零指数幂以及同底数幂的乘法法则即可逐一判断．
【解答】解：A、（a2）3＝a6，故A错误；
B、 ，故B错误；
C、 ，正确；
D、a3•a3＝a6，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了幂的乘方、负整数指数幂、零指数幂以及同底数幂的乘法，解题的关键
是掌握基本的运算法则及公式．
6．（3分）如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝110°，∠B＝50°，则∠A＝（ ）
第9页（共26页）A．40° B．50° C．55° D．60°
【分析】根据三角形的外角的性质进行计算即可．
【解答】解：∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD＝∠B+∠A，
∴∠A＝∠ACD﹣∠B，
∵∠ACD＝110°，∠B＝50°，
∴∠A＝60°，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键
7．（3分）为庆祝建党99周年，某校八年级（3）班团支部为了让同学们进一步了解中国科技
的发展，给班上同学布置了一项课外作业，从选出的以下五个内容中任选部分内容进行手
抄报的制作：A、“北斗卫星”：B、“5G时代”；C、“智轨快运系统”；D、“东风快递”；
E、“高铁”．统计同学们所选内容的频数，绘制如图所示的折线统计图，则选择“5G时
代”的频率是（ ）
A．0.25 B．0.3 C．25 D．30
【分析】先计算出八年级（3）班的全体人数，然后用选择“5G时代”的人数除以八年级
（3）班的全体人数即可．
【解答】解：由图知，八年级（3）班的全体人数为：25+30+10+20+15＝100（人），
第10页（共26页）选择“5G时代”的人数为：30人，
∴选择“5G时代”的频率是： ；
故选：B．
【点评】本题考查了频数分布折线图，及相应频率的计算，熟知以上知识是解题的关键．
8．（3分）如图，直线y＝kx+b（k＜0）经过点P（1，1），当kx+b≥x时，则x的取值范围为
（ ）
A．x≤1 B．x≥1 C．x＜1 D．x＞1
【分析】将P（1，1）代入y＝kx+b（k＜0），可得k﹣1＝﹣b，再将kx+b≥x变形整理，得﹣
bx+b≥0，求解即可．
【解答】解：由题意，将P（1，1）代入y＝kx+b（k＜0），
可得k+b＝1，即k﹣1＝﹣b，
整理kx+b≥x得，（k﹣1）x+b≥0，
∴﹣bx+b≥0，
由图象可知b＞0，
∴x﹣1≤0，
∴x≤1，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，解题关键在于灵活应用待定系数法和不等式
的性质．
二、填空题（本大题共8小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）
9．（3分）计算：sin45°＝ ．
【分析】根据特殊角的三角函数值解答．
【解答】解：根据特殊角的三角函数值得：sin45°＝ ．
第11页（共26页）【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，
题型以选择题、填空题为主．
【相关链接】特殊角三角函数值：
sin30°＝ ，cos30°＝ ，tan30°＝ ，cot30°＝ ；
sin45°＝ ，cos45°＝ ，tan45°＝1，cot45°＝1；
sin60°＝ ，cos60°＝ ，tan60°＝ ，cot60°＝ ．
10．（3分）在数轴上到原点的距离小于4的整数可以为 3 ．（任意写出一个即可）
【分析】根据数轴表示数的意义，可得出答案为±3，±2，±1，0中任意写出一个即可．
【解答】解：在数轴上到原点的距离小于4的整数有：﹣3，3，﹣2，2，﹣1，1，0从中任选一
个即可
故答案为：3（答案不唯一，3，2，1，0，﹣1，﹣2，﹣3任意一个均可）；
【点评】本题考查了数轴、绝对值等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键．
11．（3分）计算： ＝ ．
【分析】先把 化简为2 ，再合并同类二次根式即可得解．
【解答】解： ＝2 ﹣ ＝ ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键．
12．（3分）走路被世卫组织认定为“世界上最好的运动”，每天走6000步是走路最健康的步
数．手机下载微信运动，每天记录自己走路的步数，已经成了不少市民时下的习惯．张大
爷连续记录了3天行走的步数为：6200步、5800步、7200步，这3天步数的平均数是
6400 步．
【分析】根据算术平均数的计算公式即可解答．
【解答】解：这3天步数的平均数是： （步），
故答案为：6400．
【点评】本题考查了平均数的计算，解题的关键是掌握平均数的计算公式．
13．（3分）若 ，则 ＝ ．
【分析】根据比例的基本性质变形，代入求值即可．
第12页（共26页）【解答】解：由 可设y＝3k，x＝7k，k是非零整数，
则 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了比例的基本性质，准确利用性质变形是解题的关键．
14．（3分）如图，在半径为6的 O中，圆心角∠AOB＝60°，则阴影部分面积为 6 ．
⊙ π
【分析】直接根据扇形的面积计算公式计算即可．
【解答】解：阴影部分面积为 ，
故答案为：6 ．
【点评】本题π考查了扇形面积的计算，解题的关键是熟记扇形面积的计算公式．
15．（3分）如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝3，点M是
射线OC上一动点，则PM的最小值为 3 ．
【分析】根据垂线段最短可知当PM⊥OC时，PM最小，再根据角的平分线的性质，即可得
出答案．
【解答】解：根据垂线段最短可知：当PM⊥OC时，PM最小，
当PM⊥OC时，
又∵OP平分∠AOC，PD⊥OA，PD＝3，
∴PM＝PD＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了垂线段最短、角平分线的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．
第13页（共26页）16．（3分）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做
出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：
数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9
形式
纵式 | || ||| |||| |||||
横式
表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置
空．示例如图： ，则 表示的数是 916 7 ．
【分析】根据算筹计数法来计数即可．
【解答】解：根据算筹计数法， 表示的数是：9167
故答案为：9167．
【点评】本题考查了算筹计数法，理解题意是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答过程写
在答题卡相应位置上，满分72分）
17．（6分）解分式方程： +2＝ ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到
分式方程的解．
【解答】解：
去分母得，3+2（x﹣1）＝x，
解得，x＝﹣1，
经检验，x＝﹣1是原方程的解．
所以，原方程的解为：x＝﹣1．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
18．（6分）化简求值：（1﹣ ）÷ ，其中a＝﹣2．
【分析】根据分式的混合运算法则，先化简，再将a＝﹣2代入计算即可．
第14页（共26页）【解答】解：
＝
＝a﹣1，
将a＝﹣2代入得：原式＝﹣2﹣1＝﹣3．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运
算法则．
19．（6分）生死守护，致敬英雄．湘潭28名医护人员所在的湖南对口支援湖北黄冈医疗队红
安分队，精心救治每一位患者，出色地完成了医疗救治任务．为致敬英雄，某校音乐兴趣
小组根据网络盛传的“红旗小姐姐”跳的儋州调声组建了舞蹈队．现需要选取两名学生
作为舞蹈队的领舞，甲、乙两班各推荐了一男生和一女生．（温馨提示：用男 、女 ；男 、女
1 1 2
分别表示甲、乙两班4个学生）
2
（1）请用列举的方法写出所有可能出现的结果；
（2）若选取的两人来自不同的班级，且按甲、乙两班先后顺序选取．请用列表或画树状图
的方法求出恰好选中一男一女的概率．
【分析】（1）直接列举出所有可能出现的结果即可；
（2）列出表格，找出符合题意的可能结果，再利用概率公式求出概率即可．
【解答】解：（1）可能出现的结果有：男 女 、男 男 、男 女 、男 女 、男 女 、女 女 ；
1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2
（2）列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有4种情况，其中恰好选中一男一女有2种情况，
所以恰好选中一男一女的概率为 ．
【点评】本题考查列举法和树状图法，注意结合题意中“写出所有可能的结果”的要求，
使用列举法，注意按一定的顺序列举，做到不重不漏．
20．（6分）为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形
ABCD为矩形，DE＝10 m，其坡度为i ＝1： ，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i ＝
1 2
第15页（共26页）1：4，求斜坡AF的长度．（结果精确到0.01 m，参考数据： ≈1.732， ≈4.123）
【分析】先由DE的坡度计算DC的长度，根据矩形性质得AB长度，再由AF的坡度得出
BF的长度，根据勾股定理计算出AF的长度．
【解答】解：∵DE＝10 m，其坡度为i ＝1： ，
1
∴在Rt△DCE中， ＝10，
∴解得DC＝5．
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD＝5．
∵斜坡AF的坡度为i ＝1：4，
2
∴ ，
∴BF＝4AB＝20，
∴在Rt△ABF中， ≈20.62（m）．
故斜坡AF的长度约为20.62米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，矩形的性质，以及用勾股定理
解直角三角形的用法，熟知以上知识点是解题的关键．
21．（6分）“停课不停学”．突如其来的新冠肺炎疫情让网络学习成为了今年春天一道别样
的风景．隔离的是身体，温暖的是人心．“幸得有你，山河无恙”．在钟南山、白衣天使等
人众志成城下，战胜了疫情．在春暖花开，万物复苏之际，某校为了解九年级学生居家网
络学习情况，以便进行有针对性的教学安排，特对他们的网络学习时长（单位：小时）进行
统计．现随机抽取20名学生的数据进行分析：
收集数据：4.5，6，5.5，6.5，6.5，5.5，7，6，7.5，8，6.5，8，7.5，5.5，6.5，7，6.5，6，6.5，5
整理数据：
时长x（小时） 4＜x≤5 5＜x≤6 6＜x≤7 7＜x≤8
人数 2 a 8 4
第16页（共26页）分析数据：
项目 平均数 中位数 众数
数据 6.4 6.5 b
应用数据：
（1）填空：a＝ 6 ，b＝ 6. 5 ；
（2）补全频数直方图；
（3）若九年级共有1000人参与了网络学习，请估计学习时长在5＜x≤7小时的人数．
【分析】（1）根据各组频数之和等于数据总数，可得5＜x≤6范围内的数据；找出数据中次
数最多的数据即为所求；
（2）根据（1）中的数据画图即可；
（3）先算出样本中学习时长在5＜x≤7小时的人数所占的百分比，再用总数乘以这个百分
比即可．
【解答】解：（1）由总人数是20人可得在5＜x≤6的人数是20﹣2﹣8﹣4＝6（人），所以a
＝6，
根据数据显示，6.5出现的次数最多，所以这组数据的众数b＝6.5；
故答案为：6，6.5；
（2）由（1）得a＝6．
频数分布直方图补充如下：
第17页（共26页）（3）由图可知，学习时长在5＜x≤7小时的人数所占的百分比＝ ×100%＝70%，
∴1000×70%＝700（人）．
∴学习时长在5＜x≤7小时的人数是700人．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获
取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了
众数，利用样本估计总体．
22．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的 O交BC于点D，过点D作
DE⊥AC，垂足为点E． ⊙
（1）求证：△ABD≌△ACD；
（2）判断直线DE与 O的位置关系，并说明理由．
⊙
【分析】（1）AB为 O的直径得AD⊥BC，结合AB＝AC，用HL证明三角形全等；
（2）由△ABD≌△AC⊙D得BD＝BC，结合AO＝BO得OD为△ABC的中位线，由DE⊥AC
得OD⊥DE，可得直线DE为 O切线．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BC， ⊙
在Rt△ADB和Rt△ADC中 ，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）；
（2）直线DE与 O相切，理由如下：
连接OD，如图所⊙示：
由△ABD≌△ACD知：BD＝DC，
又∵OA＝OB，
第18页（共26页）∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD为 O的半径，
∴DE与⊙O相切．
【点评】本⊙题考查了直线与圆的位置关系，全等三角形判定和性质，切线的判定，平行线的
判定和性质，熟知以上知识的应用是解题的关键．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，
4）．
（1）求过点B的反比例函数y＝ 的解析式；
（2）连接OB，过点B作BD⊥OB交x轴于点D，求直线BD的解析式．
【分析】（1）由A的坐标求出菱形的边长，利用菱形的性质确定出B的坐标，利用待定系
数法求出反比例函数解析式即可；
（2）证明△OBF～△BDF，利用相似三角形的性质得出点D的坐标，利用待定系数法求出
直线BD解析式即可．
【解答】解：（1）过点A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，垂足分别为E，F，如图，
∵A（3，4），
∴OE＝3，AE＝4，
∴ ，
∵四边形OABC是菱形，
∴AO＝AB＝OC＝5，AB∥x轴，
∴EF＝AB＝5，
∴OF＝OE+EF＝3+5＝8，
第19页（共26页）∴B（8，4）．
设过B点的反比例函数解析式为 ，
把B点坐标代入得，k＝32，
∴反比例函数解析式为 ；
（2）∵OB⊥BD，
∴∠OBD＝90°，
∴∠OBF+∠DBF＝90°，
∵∠DBF+∠BDF＝90°，
∴∠OBF＝∠BDF，
又∠OFB＝∠BFD＝90°，
∴△OBF～△BDF，
∴ ，
∴ ，
解得，DF＝2，
∴OD＝OF+DF＝8+2＝10，
∴D（10，0）．
设BD所在直线解析式为y＝kx+b，
把B（8，4），D（10，0）分别代入，
得： ，解得， ，
∴直线BD的解析式为y＝﹣2x+20．
【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，菱形的性质，相
似三角形的判定与性质，一次函数、反比例函数的性质，以及一次函数与反比例函数的交
第20页（共26页）点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
24．（8分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩
然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》（徐
则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书共50本．已知购买2本《北上》和1本《牵风记》需
100元；购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同．
（1）求这两种书的单价；
（2）若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超
过1600元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？
【分析】（1）设购买《北上》的单价为x元，《牵风记》的单价为y元，根据“购买2本《北
上》和1本《牵风记》需100元”和“购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同”
建立方程组求解即可；
（2）设购买《北上》的数量n本，则购买《牵风记》的数量为（50﹣n）本，根据“购买《北上》
的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半”和“购买两种书的总价不超过1600元”两
个不等关系列不等式组解答并确定整数解即可．
【解答】解：（1）设购买《北上》的单价为x元，《牵风记》的单价为y元，
由题意得： ，
解得 ．
答：购买《北上》的单价为35元，《牵风记》的单价为30元；
（2）设购买《北上》的数量n本，则购买《牵风记》的数量为（50﹣n）本，
根据题意得 ，
解得： ，
则n可以取17、18、19、20，
当n＝17时，50﹣n＝33，共花费17×35+33×30＝1585（元）；
当n＝18时，50﹣n＝32，共花费18×35+32×30＝1590（元）；
当n＝19时，50﹣n＝31，共花费19×35+31×30＝1595（元）；
当n＝20时，50﹣n＝30，共花费20×35+30×30＝1600（元）；
所以，共有4种购买方案分别为：购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本，购
第21页（共26页）买《北上》和《牵风记》的数量分别为18本和32本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为
19本和31本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为20本和30本；其中购买《北上》和
《牵风记》的数量分别为17本和33本费用最低，最低费用为1585元．
【点评】本题考查了二元一次方程组和不等式组的应用，弄清题意、确定等量关系和不等
关系是解答本题的关键．
25．（10分）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．
（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边△ABC的重心为点O，求△OBC与△ABC
的面积．
（2）性质探究：如图（二），已知△ABC的重心为点O，请判断 、 是否都为定值？
如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由．
（3）性质应用：如图（三），在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC
于点M．
若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度；
①若S△CME ＝1，求正方形ABCD的面积．
②
【分析】（1）连接DE，利用相似三角形证明 ，运用勾股定理求出AD的长，运用三
角形面积公式求解即可；
（2）根据（1）的证明可求解；
（3） 证明△CME∽△ABM，得 ，再运用勾股定理求出BE的长即可解决问题；
①
分别求出S△BMC 和S△ABM 即可求得正方形ABCD的面积．
②【解答】解：（1）连接DE，如图一，
∵点O是△ABC的重心，
∴AD，BE是BC，AC边上的中线，
第22页（共26页）∴D，E为BC，AC边上的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DE＝ AB，
∴△ODE∽△OAB，
∴ ＝ ，
∵AB＝2，BD＝1，∠ADB＝90°，
∴AD＝ ，OD＝ ，
∴ ， ＝ ；
（2）由（1）同理可得， ，是定值；
点O到BC的距离和点A到BC的距离之比为1：3，
则△OBC和△ABC的面积之比等于点O到BC的距离和点A到BC的距离之比，
故 ＝ ，是定值；
（3） ∵四边形ABCD是正方形，
∴CD∥①AB，AB＝BC＝CD＝4，
∴△CME～△AMB，
∴ ，
∵E为CD的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ；
第23页（共26页）∴S△CME ＝1，且 ，
②
∴S△BMC ＝2，
∵ ，
∴ ，
∴S△AMB ＝4，
∴S△ABC ＝S△BMC +S△ABM ＝2+4＝6，
又S△ADC ＝S△ABC ，
∴S△ADC ＝6，
∴正方形ABCD的面积为：6+6＝12．
【点评】本题是一道相似形综合题目，主要考查的是三角形重心的性质、全等三角形的判
定与性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质，解答此题的关键是明确题意，找出所求
问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
26．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+5与x轴交于A，B两点．
（1）若过点C的直线x＝2是抛物线的对称轴．
求抛物线的解析式；
①对称轴上是否存在一点P，使点B关于直线OP的对称点B'恰好落在对称轴上．若存在，
第24页（共26页）
②请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）当b≥4，0≤x≤2时，函数值y的最大值满足3≤y≤15，求b的取值范围．
【分析】（1） 根据抛物线的对称轴公式即可求出解析式；
如图，若点P①在x轴上方，点B关于OP对称的点B'在对称轴上，连接OB′、PB，根据
②轴对称的性质得到 OB'＝OB，PB'＝PB，求出点 B 的坐标，利用勾股定理得到
，再根据PB'＝PB，列出方程解答，同理得到点P在x轴下方时的坐标即
可；
（2）当b≥4时，确定对称轴的位置，再结合开口方向，确定当0≤x≤2时，函数的增减性，
从而得到当x＝2时，函数取最大值，再列出不等式解答即可．
【解答】解：（1） 抛物线y＝﹣x2+bx+5的对称轴为直线 ，
①
∴若过点C的直线x＝2是抛物线的对称轴，
则 ，解得：b＝4，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5；
存在，
②如图，若点P在x轴上方，点B关于OP对称的点B'在对称轴上，连接OB′、PB，
则OB'＝OB，PB'＝PB，
对于y＝﹣x2+4x+5，令y＝0，则﹣x2+4x+5＝0，
解得：x ＝﹣1，x ＝5，
1 2
∴A（﹣1，0），B（5，0），
∴OB'＝OB＝5，
∴ ，
∴ ，
设点P（2，m），
由PB'＝PB可得： ，解得： ，
∴P（2， ）；
同理，当点P在x轴下方时，P（2，﹣ ）．
第25页（共26页）综上所述，点P（2， ）或P（2，﹣ ）；
（2）∵抛物线y＝﹣x2+bx+5的对称轴为直线 ，
∴当b≥4时， ，
∵抛物线开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，
∴当0≤x≤2时，取x＝2，y有最大值，
即y＝﹣4+2b+5＝2b+1，
∴3≤2b+1≤15，解得：1≤b≤7，
又∵b≥4，
∴4≤b≤7．
【点评】本题考查了二次函数的综合应用，涉及了二次函数的图象与性质，以及勾股定理
的应用，其中第（1） 问要先画出图形再理解，第（2）问运用到了二次函数的增减性，难
度适中，解题的关键②是熟记二次函数的图象与性质．
第26页（共26页）
