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2014年湖南省湘潭市中考数学试卷
一、选择题
1．（3分）下列各数中是无理数的是（ ）
A． B．﹣2 C．0 D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a+a2＝a3 B．2﹣1＝ C．2a•3a＝6a D．2+ ＝2
3．（3分）如图，AB是池塘两端，设计一方法测量AB的距离，取点C，连接AC、BC，再取它们
的中点D、E，测得DE＝15米，则AB＝（ ）米．
A．7.5 B．15 C．22.5 D．30
4．（3分）分式方程 的解为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（3分）如图，所给三视图的几何体是（ ）
A．球 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱锥
6．（3分）式子 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x≤1
7．（3分）以下四个命题正确的是（ ）
A．任意三点可以确定一个圆
B．菱形对角线相等
C．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
第1页（共30页）D．平行四边形的四条边相等
8．（3分）如图，A、B两点在双曲线y＝ 上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影 ＝
1，则S +S ＝（ ）
1 2
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
9．（3分）﹣3的相反数是 ．
10．（3分）分解因式：ax﹣a＝ ．
11．（3分）未测试两种电子表的走时误差，做了如下统计
平均数 方差
甲 0.4 0.026
乙 0.4 0.137
则这两种电子表走时稳定的是 ．
12．（3分）计算：（ ）2﹣|﹣2|＝ ．
13．（3分）如图，直线a、b被直线c所截，若满足 ，则a、b平行．
14．（3分）如图， O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO＝5，PA切 O于A点，则PA＝
． ⊙ ⊙
第2页（共30页）15．（3分）七、八年级学生分别到雷锋、毛泽东纪念馆参观，共589人，到毛泽东纪念馆的人
数是到雷锋纪念馆人数的2倍多56人．设到雷锋纪念馆的人数为x人，可列方程为
．
16．（3分）如图，按此规律，第6行最后一个数字是 ，第 行最后一个数是
2014．
三、综合解答题
17．在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上，
（1）B点关于y轴的对称点坐标为 ；
（2）将△AOB向左平移3个单位长度得到△A O B ，请画出△A O B ；
1 1 1 1 1 1
（3）在（2）的条件下，A 的坐标为 ．
1
18．先化简，再求值：（ + ）÷ ，其中x＝2．
第3页（共30页）19．如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道．为了加快施工进度，想在小山的另一侧同
时施工．为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过C点作直线AB的垂线
L，过点B作一直线（在山的旁边经过），与L相交于D点，经测量∠ABD＝135°，BD＝800
米，求直线L上距离D点多远的C处开挖？（ ≈1.414，精确到1米）
20．如图，将矩形ABCD沿BD对折，点A落在E处，BE与CD相交于F，若AD＝3，BD＝6．
（1）求证：△EDF≌△CBF；
（2）求∠EBC．
21．某企业新增了一个化工项目，为了节约资源，保护环境，该企业决定购买A、B两种型号的
第4页（共30页）污水处理设备共8台，具体情况如下表：
A型 B型
价格（万元/台） 12 10
月污水处理能力（吨/月） 200 160
经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低于1380吨．
（1）该企业有几种购买方案？
（2）哪种方案更省钱，说明理由．
22．有两个构造完全相同（除所标数字外）的转盘A、B，游戏规定，转动两个转盘各一次，指向
大的数字获胜．现由你和小明各选择一个转盘游戏，你会选择哪一个，为什么？
23．从全校1200名学生中随机选取一部分学生进行调查，调查情况：A、上网时间≤1小时；
B、1小时＜上网时间≤4小时；C、4小时＜上网时间≤7小时；D、上网时间＞7小时．统计
结果制成了如图统计图：
第5页（共30页）（1）参加调查的学生有 人；
（2）请将条形统计图补全；
（3）请估计全校上网不超过7小时的学生人数．
24．已知两直线L ：y＝k x+b ，L ：y＝k x+b ，若L ⊥L ，则有k •k ＝﹣1．
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2
（1）应用：已知y＝2x+1与y＝kx﹣1垂直，求k；
（2）直线经过A（2，3），且与y＝ x+3垂直，求解析式．
25．△ABC为等边三角形，边长为a，DF⊥AB，EF⊥AC，
第6页（共30页）（1）求证：△BDF∽△CEF；
（2）若a＝4，设BF＝m，四边形ADFE面积为S，求出S与m之间的函数关系，并探究当m为
何值时S取最大值；
（3）已知A、D、F、E四点共圆，已知tan∠EDF＝ ，求此圆直径．
26．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的对称轴为x＝2，且经过原点，直线AC解析式为y＝kx+4，
（1）求二次函数解析式；
第7页（共30页）（2）若 ＝ ，求k；
（3）若以BC为直径的圆经过原点，求k．
第8页（共30页）2014 年湖南省湘潭市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）下列各数中是无理数的是（ ）
A． B．﹣2 C．0 D．
【考点】26：无理数．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有
理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无
理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、正确；
B、是整数，是有理数，选项错误；
C、是整数，是有理数，选项错误；
D、是分数，是有理数，选项错误．
故选：A．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，2 等；开方开不
尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． π π
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a+a2＝a3 B．2﹣1＝ C．2a•3a＝6a D．2+ ＝2
【考点】2C：实数的运算；35：合并同类项；49：单项式乘单项式；6F：负整数指数幂．
【专题】11：计算题．
【分析】A、原式不能合并，错误；
B、原式利用负指数幂法则计算得到结果，即可做出判断；
C、原式利用单项式乘以单项式法则计算得到结果，即可做出判断；
D、原式不能合并，错误．
【解答】解：A、原式不能合并，故选项错误；
B、原式＝ ，故选项正确；
C、原式＝6a2，故选项错误；
第9页（共30页）D、原式不能合并，故选项错误．
故选：B．
【点评】此题考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（3分）如图，AB是池塘两端，设计一方法测量AB的距离，取点C，连接AC、BC，再取它们
的中点D、E，测得DE＝15米，则AB＝（ ）米．
A．7.5 B．15 C．22.5 D．30
【考点】KX：三角形中位线定理．
【专题】12：应用题．
【分析】根据三角形的中位线得出AB＝2DE，代入即可求出答案．
【解答】解：∵D、E分别是AC、BC的中点，DE＝15米，
∴AB＝2DE＝30米，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的中位线的应用，注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于
第三边的一半．
4．（3分）分式方程 的解为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】B3：解分式方程．
【专题】11：计算题．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分
式方程的解．
【解答】解：去分母得：5x＝3x+6，
移项合并得：2x＝6，
解得：x＝3，
经检验x＝3是分式方程的解．
故选：C．
第10页（共30页）【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为
整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
5．（3分）如图，所给三视图的几何体是（ ）
A．球 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱锥
【考点】U3：由三视图判断几何体．
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
【解答】解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几
何体为圆锥．
故选：C．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是了解主视图和左视图的大致
轮廓为长方形的几何体为锥体．
6．（3分）式子 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x≤1
【考点】72：二次根式有意义的条件．
【专题】11：计算题．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式x﹣1≥0，通过解该不等式即可求得x
的取值范围．
【解答】解：根据题意，得x﹣1≥0，
解得，x≥1．
故选：C．
【点评】此题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性质：二次根
式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
7．（3分）以下四个命题正确的是（ ）
A．任意三点可以确定一个圆
B．菱形对角线相等
C．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
D．平行四边形的四条边相等
第11页（共30页）【考点】O1：命题与定理．
【分析】利用确定圆的条件、菱形的性质、直角三角形的性质及平行四边形的性质分别对每个
选项判断后即可确定答案．
【解答】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误；
B、菱形的对角线垂直但不一定相等，故错误；
C、正确；
D、平行四边形的四条边不一定相等．
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、菱形的性质、直角
三角形的性质及平行四边形的性质，难度一般．
8．（3分）如图，A、B两点在双曲线y＝ 上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影 ＝
1，则S +S ＝（ ）
1 2
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义．
【专题】121：几何图形问题．
【分析】欲求S +S ，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段与坐标轴所形成的矩形的面积
1 2
即可，而矩形面积为双曲线y＝ 的系数k，由此即可求出S +S ．
1 2
【解答】解：∵点A、B是双曲线y＝ 上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，
则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|＝4，
∴S +S ＝4+4﹣1×2＝6．
1 2
故选：D．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象和性质及任一点坐标的意义，有一定的难度．
二、填空题
第12页（共30页）9．（3分）﹣3的相反数是 3 ．
【考点】14：相反数．
【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．
【解答】解：﹣（﹣3）＝3，
故﹣3的相反数是3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．一个正
数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．学生易把相反数的意义与
倒数的意义混淆．
10．（3分）分解因式：ax﹣a＝ a （ x ﹣ 1 ） ．
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
【专题】44：因式分解．
【分析】提公因式法的直接应用．观察原式ax﹣a，找到公因式a，提出即可得出答案．
【解答】解：ax﹣a＝a（x﹣1）．
故答案为：a（x﹣1）
【点评】考查了对一个多项式因式分解的能力．一般地，因式分解有两种方法，提公因式法，公
式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法．要求灵活运用各种方法进行因式分解．
该题是直接提公因式法的运用．
11．（3分）未测试两种电子表的走时误差，做了如下统计
平均数 方差
甲 0.4 0.026
乙 0.4 0.137
则这两种电子表走时稳定的是 甲 ．
【考点】W1：算术平均数；W7：方差．
【专题】27：图表型．
【分析】根据方差的意义判断，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之
也成立，找出方差较小的即可．
【解答】解：∵甲的方差是0.026，乙的方差是0.137，
0.026＜0.137，
∴这两种电子表走时稳定的是甲；
故答案为：甲．
第13页（共30页）【点评】本题考查方差的意义．它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也
成立．
12．（3分）计算：（ ）2﹣|﹣2|＝ 1 ．
【考点】2C：实数的运算．
【专题】11：计算题．
【分析】原式第一项利用平方根定义化简，第二项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到
结果．
【解答】解：原式＝3﹣2
＝1．
故答案为：1．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13．（3分）如图，直线a、b被直线c所截，若满足 ∠ 1 ＝∠ 2 或∠ 2 ＝∠ 3 或∠ 3+ ∠ 4 ＝ 180 °
，则a、b平行．
【考点】J9：平行线的判定．
【专题】26：开放型．
【分析】根据同位角或内错角相等以及同旁内角互补，两直线平行可得a∥b．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴a∥b（同位角相等两直线平行），
同理可得：∠2＝∠3或∠3+∠4＝180°时，a∥b，
故答案为：∠1＝∠2或∠2＝∠3或∠3+∠4＝180°．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等两直线平行．
14．（3分）如图， O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO＝5，PA切 O于A点，则PA＝
4 ． ⊙ ⊙
第14页（共30页）【考点】KQ：勾股定理；MC：切线的性质．
【专题】11：计算题．
【分析】先根据切线的性质得到OA⊥PA，然后利用勾股定理计算PA的长．
【解答】解：∵PA切 O于A点，
∴OA⊥PA， ⊙
在Rt△OPA中，OP＝5，OA＝3，
∴PA＝ ＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理．
15．（3分）七、八年级学生分别到雷锋、毛泽东纪念馆参观，共589人，到毛泽东纪念馆的人
数是到雷锋纪念馆人数的 2倍多56人．设到雷锋纪念馆的人数为 x人，可列方程为
2 x +56 ＝ 589 ﹣ x ．
【考点】89：由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】12：应用题．
【分析】设到雷锋纪念馆的人数为x人，则到毛泽东纪念馆的人数为（589﹣x）人，根据到毛泽
东纪念馆的人数是到雷锋纪念馆人数的2倍多56人．列方程即可．
【解答】解：设到雷锋纪念馆的人数为x人，则到毛泽东纪念馆的人数为（589﹣x）人，
由题意得，2x+56＝589﹣x．
故答案为：2x+56＝589﹣x．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知
数，列出方程．
16．（3分）如图，按此规律，第6行最后一个数字是 1 6 ，第 67 2 行最后一个数是2014．
第15页（共30页）【考点】37：规律型：数字的变化类．
【专题】2A：规律型．
【分析】每一行的最后一个数字分别是1，4，7，10…，易得第n行的最后一个数字为1+3（n﹣
1）＝3n﹣2，由此求得第6行最后一个数字，建立方程求得最后一个数是2014在哪一行．
【解答】解：每一行的最后一个数分别是1，4，7，10…，
第n行的最后一个数字为1+3（n﹣1）＝3n﹣2，
∴第6行最后一个数字是3×6﹣2＝16；
3n﹣2＝2014
解得n＝672．
因此第6行最后一个数字是16，第672行最后一个数是2014．
故答案为：16，672．
【点评】此题考查数字的排列规律，找出数字之间的联系，得出运算规律解决问题．
三、综合解答题
17．在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上，
（1）B点关于y轴的对称点坐标为 （﹣ 3 ， 2 ） ；
（2）将△AOB向左平移3个单位长度得到△A O B ，请画出△A O B ；
1 1 1 1 1 1
（3）在（2）的条件下，A 的坐标为 （﹣ 2 ， 3 ） ．
1
【考点】P5：关于x轴、y轴对称的点的坐标；Q4：作图﹣平移变换．
第16页（共30页）【专题】13：作图题．
【分析】（1）根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等解答；
（2）根据网格结构找出点A、O、B向左平移后的对应点A 、O 、B 的位置，然后顺次连接即可；
1 1 1
（3）根据平面直角坐标系写出坐标即可．
【解答】解：（1）B点关于y轴的对称点坐标为（﹣3，2）；
（2）△A O B 如图所示；
1 1 1
（3）A 的坐标为（﹣2，3）．
1
故答案为：（1）（﹣3，2）；（3）（﹣2，3）．
【点评】本题考查了利用平移变换作图，关于y轴对称点的坐标，熟练掌握网格结构准确找出
对应点的位置是解题的关键．
18．先化简，再求值：（ + ）÷ ，其中x＝2．
【考点】6D：分式的化简求值．
【专题】11：计算题．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约
分即可得到结果．
【解答】解：原式＝[ + ]• ＝ • ＝
，
当x＝2时，原式＝ ＝ ．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道．为了加快施工进度，想在小山的另一侧同
时施工．为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过C点作直线AB的垂线
第17页（共30页）L，过点B作一直线（在山的旁边经过），与L相交于D点，经测量∠ABD＝135°，BD＝800
米，求直线L上距离D点多远的C处开挖？（ ≈1.414，精确到1米）
【考点】KU：勾股定理的应用．
【专题】121：几何图形问题．
【分析】首先证明△BCD是等腰直角三角形，再根据勾股定理可得CD2+BC2＝BD2，然后再代
入BD＝800米进行计算即可．
【解答】解：∵CD⊥AC，
∴∠ACD＝90°，
∵∠ABD＝135°，
∴∠DBC＝45°，
∴∠D＝45°，
∴CB＝CD，
在Rt△DCB中：CD2+BC2＝BD2，
2CD2＝8002，
CD＝400 ≈566（米），
答：直线L上距离D点566米的C处开挖．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程
的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准
确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
20．如图，将矩形ABCD沿BD对折，点A落在E处，BE与CD相交于F，若AD＝3，BD＝6．
（1）求证：△EDF≌△CBF；
（2）求∠EBC．
第18页（共30页）【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LB：矩形的性质；PB：翻折变换（折叠问题）．
【专题】14：证明题．
【分析】（1）首先根据矩形的性质和折叠的性质可得DE＝BC，∠E＝∠C＝90°，对顶角
∠DFE＝∠BFC，利用AAS可判定△DEF≌△BCF；
（2）在Rt△ABD中，根据AD＝3，BD＝6，可得出∠ABD＝30°，然后利用折叠的性质可得
∠DBE＝30°，继而可求得∠EBC的度数．
【解答】（1）证明：由折叠的性质可得：DE＝BC，∠E＝∠C＝90°，
在△DEF和△BCF中，
，
∴△DEF≌△BCF（AAS）；
（2）解：在Rt△ABD中，
∵AD＝3，BD＝6，
∴∠ABD＝30°，
由折叠的性质可得；∠DBE＝∠ABD＝30°，
∴∠EBC＝90°﹣30°﹣30°＝30°．
【点评】本题考查了折叠的性质、矩形的性质，以及全等三角形的判定与性质，正确证明三角
形全等是关键．
21．某企业新增了一个化工项目，为了节约资源，保护环境，该企业决定购买A、B两种型号的
污水处理设备共8台，具体情况如下表：
A型 B型
价格（万元/台） 12 10
月污水处理能力（吨/月） 200 160
经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低于1380吨．
第19页（共30页）（1）该企业有几种购买方案？
（2）哪种方案更省钱，说明理由．
【考点】CE：一元一次不等式组的应用．
【专题】12：应用题．
【分析】（1）设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型号（8﹣x）台，根据企业最多支出89
万元购买设备，要求月处理污水能力不低于1380吨，列出不等式组，然后找出最合适的方
案即可．
（2）计算出每一方案的花费，通过比较即可得到答案．
【解答】解：设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型号（8﹣x）台，
根据题意，得
，
解这个不等式组，得：2.5≤x≤4.5．
∵x是整数，
∴x＝3或x＝4．
当x＝3时，8﹣x＝5；
当x＝4时，8﹣x＝4．
答：有2种购买方案：第一种是购买3台A型污水处理设备，5台B型污水处理设备；
第二种是购买4台A型污水处理设备，4台B型污水处理设备；
（2）当x＝3时，购买资金为12×3+10×5＝86（万元），
当x＝4时，购买资金为12×4+10×4＝88（万元）．
因为88＞86，
所以为了节约资金，应购污水处理设备A型号3台，B型号5台．
答：购买3台A型污水处理设备，5台B型污水处理设备更省钱．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，本题是“方案设计”问题，一般可把它转化为
求不等式组的整数解问题，通过表格获取相关信息，在实际问题中抽象出不等式组是解决
这类问题的关键．
22．有两个构造完全相同（除所标数字外）的转盘A、B，游戏规定，转动两个转盘各一次，指向
大的数字获胜．现由你和小明各选择一个转盘游戏，你会选择哪一个，为什么？
第20页（共30页）【考点】X6：列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与A大于B的有5
种情况，A小于B的有4种情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：选择A转盘．
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，A大于B的有5种情况，A小于B的有4种情况，
∴P（A大于B）＝ ，P（A小于B）＝ ，
∴选择A转盘．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗
漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上
完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．从全校1200名学生中随机选取一部分学生进行调查，调查情况：A、上网时间≤1小时；
B、1小时＜上网时间≤4小时；C、4小时＜上网时间≤7小时；D、上网时间＞7小时．统计
结果制成了如图统计图：
（1）参加调查的学生有 20 0 人；
（2）请将条形统计图补全；
（3）请估计全校上网不超过7小时的学生人数．
【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．
第21页（共30页）【专题】27：图表型．
【分析】（1）用A的人数除以所占的百分比求出总人数；
（2）用总人数减去A、B、D的人数，再画出即可；
（3）用总人数乘以全校上网不超过7小时的学生人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）参加调查的学生有20÷ ＝200（人）；
故答案为：200；
（2）C的人数是：200﹣20﹣80﹣40＝60（人），补图如下：
（3）根据题意得：
1200× ＝960（人），
答：全校上网不超过7小时的学生人数是960人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中
得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统
计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24．已知两直线L ：y＝k x+b ，L ：y＝k x+b ，若L ⊥L ，则有k •k ＝﹣1．
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2
（1）应用：已知y＝2x+1与y＝kx﹣1垂直，求k；
（2）直线经过A（2，3），且与y＝ x+3垂直，求解析式．
【考点】FF：两条直线相交或平行问题．
【专题】151：代数综合题．
【分析】（1）根据L ⊥L ，则k •k ＝﹣1，可得出k的值即可；
1 2 1 2
（2）根据直线互相垂直，则k •k ＝﹣1，可得出过点A直线的k等于3，得出所求的解析式即
1 2
可．
【解答】解：（1）∵L ⊥L ，则k •k ＝﹣1，
1 2 1 2
第22页（共30页）∴2k＝﹣1，
∴k＝﹣ ；
（2）∵过点A直线与y＝ x+3垂直，
∴设过点A直线的直线解析式为y＝3x+b，
把A（2，3）代入得，b＝﹣3，
∴解析式为y＝3x﹣3．
【点评】本题考查了两直线相交或平行问题，是基础题，当两直线垂直时，两个k值的乘积为
﹣1．
25．△ABC为等边三角形，边长为a，DF⊥AB，EF⊥AC，
（1）求证：△BDF∽△CEF；
（2）若a＝4，设BF＝m，四边形ADFE面积为S，求出S与m之间的函数关系，并探究当m为
何值时S取最大值；
（3）已知A、D、F、E四点共圆，已知tan∠EDF＝ ，求此圆直径．
【考点】H7：二次函数的最值；KK：等边三角形的性质；M5：圆周角定理；SO：相似形综合题；
T7：解直角三角形．
【专题】15：综合题；2B：探究型．
【分析】（1）只需找到两组对应角相等即可．
（2）四边形ADFE面积S可以看成△ADF与△AEF的面积之和，借助三角函数用m表示出
AD、DF、AE、EF的长，进而可以用含m的代数式表示S，然后通过配方，转化为二次函数
的最值问题，就可以解决问题．
（3）易知AF就是圆的直径，利用圆周角定理将∠EDF转化为∠EAF．在△AFC中，知道
tan∠EAF、∠C、AC，通过解直角三角形就可求出AF长．
第23页（共30页）【解答】解：（1）∵DF⊥AB，EF⊥AC，
∴∠BDF＝∠CEF＝90°．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°．
∵∠BDF＝∠CEF，∠B＝∠C，
∴△BDF∽△CEF．
（2）∵∠BDF＝90°，∠B＝60°，
∴sin60°＝ ＝ ，cos60°＝ ＝ ．
∵BF＝m，
∴DF＝ m，BD＝ ．
∵AB＝4，
∴AD＝4﹣ ．
∴S△ADF ＝ AD•DF
＝ ×（4﹣ ）× m
＝﹣ m2+ m．
同理：S△AEF ＝ AE•EF
＝ ×（4﹣ ）× （4﹣m）
＝﹣ m2+2 ．
∴S＝S△ADF +S△AEF
＝﹣ m2+ m+2
＝﹣ （m2﹣4m﹣8）
＝﹣ （m﹣2）2+3 ．其中0＜m＜4．
第24页（共30页）∵﹣ ＜0，0＜2＜4，
∴当m＝2时，S取最大值，最大值为3 ．
∴S与m之间的函数关系为：
S═﹣ （m﹣2）2+3 （其中0＜m＜4）．
当m＝2时，S取到最大值，最大值为3 ．
（3）如图2，
∵A、D、F、E四点共圆，
∴∠EDF＝∠EAF．
∵∠ADF＝∠AEF＝90°，
∴AF是此圆的直径．
∵tan∠EDF＝ ，
∴tan∠EAF＝ ．
∴ ＝ ．
∵∠C＝60°，
∴ ＝tan60°＝ ．
设EC＝x，则EF＝ x，EA＝2x．
∵AC＝a，
∴2x+x＝a．
∴x＝ ．
∴EF＝ ，AE＝ ．
∵∠AEF＝90°，
∴AF＝ ＝ ．
∴此圆直径长为 ．
第25页（共30页）【点评】本题考查了相似三角形的判定、二次函数的最值、三角函数、解直角三角形、圆周角定
理、等边三角形的性质等知识，综合性强．利用圆周角定理将条件中的圆周角转化到合适
的位置是解决最后一小题的关键．
26．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的对称轴为x＝2，且经过原点，直线AC解析式为y＝kx+4，
（1）求二次函数解析式；
（2）若 ＝ ，求k；
（3）若以BC为直径的圆经过原点，求k．
【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】153：代数几何综合题．
【分析】方法一：
第26页（共30页）（1）由对称轴为x＝﹣ ，且函数过（0，0），则可推出b，c，进而得函数解析式．
（2） ＝ ，且两三角形为同高不同底的三角形，易得 ＝ ，考虑计算方便可作B，C
对x轴的垂线，进而有B，C横坐标的比为 ＝ ．由B，C为直线与二次函数的交点，则
联立可求得B，C坐标．由上述倍数关系，则k易得．
（3）以BC为直径的圆经过原点，即∠BOC＝90°，一般考虑表示边长，再用勾股定理构造方程
求解k．可是这个思路计算量异常复杂，基本不考虑，再考虑（2）的思路，发现B，C横纵坐
标恰好可表示出EB，EO，OF，OC．而由∠BOC＝90°，易证△EBO∽△FOC，即EB•FC＝
EO•FO．有此构造方程发现k值大多可约去，进而可得k值．
方法二：
（1）略．
（2）求出两个三角形面积表达式，
利用面积比得出等式，并求出K的值．
（3）由BC为直径，得出OB垂直OC，
求出点B，C参数坐标利用黄金法则二
列出等式，并求出K的值．
【解答】方法一：
解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的对称轴为x＝2，且经过原点，
∴﹣ ＝2，0＝0+0+c，
∴b＝4，c＝0，
∴y＝﹣x2+4x．
（2）如图1，连接OB，OC，过点B作BE⊥y轴于E，过点C作CF⊥y轴于F，
第27页（共30页）∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵EB∥FC，
∴ ＝ ＝ ．
∵y＝kx+4交y＝﹣x2+4x于B，C，
∴kx+4＝﹣x2+4x，即x2+（k﹣4）x+4＝0，
∴△＝（k﹣4）2﹣4•4＝k2﹣8k，
∴x＝ ，或x＝ ，
∵x ＜x ，
B C
∴EB＝x ＝ ，FC＝x ＝ ，
B C
∴4• ＝ ，
解得 k＝9（交点不在y轴右边，不符题意，舍去）或k＝﹣1．
∴k＝﹣1．
（3）∵∠BOC＝90°，
∴∠EOB+∠FOC＝90°，
第28页（共30页）∵∠EOB+∠EBO＝90°，
∴∠EBO＝∠FOC，
∵∠BEO＝∠OFC＝90°，
∴△EBO∽△FOC，
∴ ，
∴EB•FC＝EO•FO．
∵x ＝ ，x ＝ ，即x2+（k﹣4）x+4＝0，
B C
∴x •x ＝4，x +x ＝4﹣k，
B C B C
∵B、C过y＝kx+4，y ＝kx +4，y ＝kx +4，
B B C C
∴EO＝y ＝kx +4，OF＝﹣y ＝﹣（kx +4）
B B C C
∴y ＝k• +4，y ＝k• +4，
B C
∴EO＝y ＝k• +4，OF＝﹣y ＝﹣k• ﹣4，
B C
∴4＝﹣（kx +4）（kx +4）＝﹣[k2•k •k +k（k +k ）+16]，
B C B C B C
∴4k2+k（4﹣k）+16＝﹣4，
∴k＝﹣ ．
方法二：
（1）略．
（2）过点B作y轴垂线，垂足为E，设直线AC与x轴交点为H，
∵l ：y＝kx+4，当y＝0时，x＝﹣ ，即H（﹣ ，0），
AC
x＝ 或 ，
⇒
∴B ＝ ， ＝ ，
X X
∁
第29页（共30页）B ＝ ， ＝ ，
Y Y
∁
S△AOB ＝ AO×BE＝ ×4×B
x
，S△BOC ＝ OH×（B
Y
﹣
Y
）
∁
∵ ，∴OH×（B ﹣ ）＝3×4×B ，
Y Y X
∁
∴ ，
∴k2﹣8k﹣9＝0，∴k ＝﹣1，k ＝9，
1 2
由图象可知k＜0，∴k＝﹣1．
（3）∵以BC为直径的圆经过原点，
∴OB⊥OC，
∴K ×K ＝﹣1，
OB OC
∴ ＝﹣1，
∴k＝﹣ ．
【点评】本题考查了函数图象交点的性质、相似三角形性质、一元二次方程及圆的基本知识．
题目特殊，貌似思路不难，但若思路不对，计算异常复杂，题目所折射出来的思想，考生应
好好理解掌握．
第30页（共30页）
