文档内容
2015年湖南省株洲市中考数学试卷
一.选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）（2015•株洲）2的相反数是（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．
﹣
2．（3分）（2015•株洲）已知∠α=35°，那么∠α的余角等于（ ）
A．35° B．55° C．65° D．145°
3．（3分）（2015•株洲）下列等式中，正确的是（ ）
A．3a﹣2a=1 B．a2•a3=a5 C．（﹣2a3）2=﹣4a6 D． （a﹣b）2=a2﹣b2
4．（3分）（2015•株洲）下列几何图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等腰三角形 B．正三角形 C．平行四边形 D．正方形
5．（3分）（2015•株洲）从2，3，4，5中任意选两个数，记作a和b，那么点（a，b）在函数y= 图
象上的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（2015•株洲）如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠OBC的大小是（ ）
A．22° B．26° C．32° D．68°
7．（3分）（2015•株洲）如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=1，
CD=3，那么EF的长是（ ）
A． B． C． D．
第1页（共18页）8．（3分）（2015•株洲）有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a•c≠0，a≠c．
下列四个结论中，错误的是（ ）
A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根
B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同
C．
如果5是方程M的一个根，那么 是方程N的一个根
D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1
二.填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）（2015•株洲）如果手机通话每分钟收费m元，那么通话n分钟收费 元．
10．（3分）（2015•株洲）在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于y轴的对称点的坐标是
．
11．（3分）（2015•株洲）如图，l∥m，∠1=120°，∠A=55°，则∠ACB的大小是 ．
12．（3分）（2015•株洲）某大学自主招生考试只考数学和物理．计算综合得分时，按数学占
60%，物理占40%计算．已知孔明数学得分为95分，综合得分为93分，那么孔明物理得分是
分．
13．（3分）（2015•株洲）因式分解：x2（x﹣2）﹣16（x﹣2）= ．
14．（3分）（2015•株洲）已知直线y=2x+（3﹣a）与x轴的交点在A（2，0）、B（3，0）之间（包括
A、B两点），则a的取值范围是 ．
15．（3分）（2015•株洲）如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等
的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB=10，EF=2，那么AH等于
．
第2页（共18页）16．（3分）（2015•株洲）“皮克定理”是用来计算顶点在整点的多边形面积的公式，公式表达
式为S=a+ ﹣1，孔明只记得公式中的S表示多边形的面积，a和b中有一个表示多边形边上
（含顶点）的整点个数，另一个表示多边形内部的整点个数，但不记得究竟是a还是b表示多
边形内部的整点个数，请你选择一些特殊的多边形（如图1）进行验证，得到公式中表示多边
形内部的整点个数的字母是 ，并运用这个公式求得图2中多边形的面积是
．
三.解答题（共7小题，共52分）
17．（4分）（2015•株洲）计算：|﹣3|+（2015﹣π）0﹣2sin30°．
18．（4分）（2015•株洲）先化简，再求值：（ ﹣ ）• ，其中x=4．
19．（6分）（2015•株洲）为了举行班级晚会，孔明准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一
些乒乓球拍做奖品．已知乒乓球每个1.5元，球拍每个22元．如果购买金额不超过200元，且
买的球拍尽可能多，那么孔明应该买多少个球拍？
第3页（共18页）20．（6分）（2015•株洲）某学校举行一次体育测试，从所有参加测试的中学生中随机的抽取
10名学生的成绩，制作出如下统计表和条形图，请解答下列问题：
（1）孔明同学这次测试的成绩是87分，则他的成绩等级是 等；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）已知该校所有参加这次测试的学生中，有60名学生成绩是A等，请根据以上抽样结果，
估计该校参加这次测试的学生总人数是多少人．
编号 成绩 等级 编号 成绩 等级
① 95 A ⑥ 76 B
② 78 B ⑦ 85 A
③ 72 C ⑧ 82 B
④ 79 B ⑨ 77 B
⑤ 92 A ⑩ 69 C
21．（6分）（2015•株洲）P表示n边形对角线的交点个数（指落在其内部的交点），如果这些交
点都不重合，那么P与n的关系式是
P= （n2﹣an+b）（其中a，b是常数，n≥4）
（1）填空：通过画图可得：
四边形时，P= （填数字）；五边形时，P= （填数字）
（2）请根据四边形和五边形对角线的交点个数，结合关系式，求a和b的值．（注：本题中的多
边形均指凸多边形）
第4页（共18页）22．（8分）（2015•株洲）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的一条角平分线．点
O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形．
（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；
（2）若AC=5，BC=12，求OE的长．
23．（8分）（2015•株洲）已知AB是圆O的切线，切点为B，直线AO交圆O于C、D两点，
CD=2，∠DAB=30°，动点P在直线AB上运动，PC交圆O于另一点Q．
（1）当点P运动到使Q、C两点重合时（如图1），求AP的长；
（2）点P在运动过程中，有几个位置（几种情况）使△CQD的面积为 ？（直接写出答案）
（3）当△CQD的面积为 ，且Q位于以CD为直径的上半圆，CQ＞QD时（如图2），求AP的
长．
第5页（共18页）2015 年湖南省株洲市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）（2015•株洲）2的相反数是（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．
﹣
考点： 相反数．
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分析： 根据相反数的定义即可求解．
解答： 解：2的相反数等于﹣2．
故选A．
点评： 本题考查了相反数的知识，属于基础题，注意熟练掌握相反数的概念是关键．
2．（3分）（2015•株洲）已知∠α=35°，那么∠α的余角等于（ ）
A．35° B．55° C．65° D．145°
考点： 余角和补角．
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分析： 根据余角的定义：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角计算．
解答： 解：∵∠α=35°，
∴它的余角等于90°﹣35°=55°．
故选B．
点评： 本题考查了余角的定义，解题时牢记定义是关键．
3．（3分）（2015•株洲）下列等式中，正确的是（ ）
A．3a﹣2a=1 B．a2•a3=a5 C．（﹣2a3）2=﹣4a6D．（a﹣b）2=a2﹣b2
考点： 幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法；完全平方公式．
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分析： 结合选项分别进行幂的乘方和积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方
公式等运算，然后选择正确选项．
解答： 解：A、3a﹣2a=a，原式计算错误，故本选项错误；
B、a2•a3=a5，原式计算正确，故本选项正确；
C、（﹣2a3）2=4a6，原式计算错误，故本选项错误；
D、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，原式计算错误，故本选项错误．
第6页（共18页）故选B．
点评： 本题考查了幂的乘方和积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式等
知识，掌握运算法则是解答本题关键．
4．（3分）（2015•株洲）下列几何图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等腰三角形 B．正三角形 C．平行四边形 D．正方形
考点： 中心对称图形；轴对称图形．
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分析： 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解答： 解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故正确．
故选D．
点评： 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称
轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转
180度后与原图重合．
5．（3分）（2015•株洲）从2，3，4，5中任意选两个数，记作a和b，那么点（a，b）在函数y= 图
象上的概率是（ ）
A． B． C． D．
考点： 列表法与树状图法；反比例函数图象上点的坐标特征．
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分析： 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与点（a，b）在函
数y= 图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解答： 解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，点（a，b）在函数y= 图象上的有（3，4），（4，3）；
∴点（a，b）在函数y= 图象上的概率是： = ．
故选D．
点评： 此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情
况数之比．
6．（3分）（2015•株洲）如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠OBC的大小是（ ）
第7页（共18页）A．22° B．26° C．32° D．68°
考点： 圆周角定理．
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分析： 先根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再根据等腰三角形的性质即可得出结论．
解答： 解：∵∠A与∠BOC是同弧所对的圆周角与圆心角，∠A=68°，
∴∠BOC=2∠A=136°．
∵OB=OC，
∴∠OBC= =22°．
故选A．
点评： 本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
7．（3分）（2015•株洲）如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=1，
CD=3，那么EF的长是（ ）
A． B． C． D．
考点： 相似三角形的判定与性质．
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分析：
易证△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，根据相似三角形的性质可得 = ， =
，从而可得 + = + =1．然后把AB=1，CD=3代入即可求出EF的值．
解答： 解：∵AB、CD、EF都与BD垂直，
∴AB∥CD∥EF，
∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，
∴ = ， = ，
∴ + = + = =1．
∵AB=1，CD=3，
∴ + =1，
∴EF= ．
故选C．
第8页（共18页）点评：
本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，发现 + =1是解决本题的关键．
8．（3分）（2015•株洲）有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a•c≠0，a≠c．
下列四个结论中，错误的是（ ）
A．如果方程M有两个相等的实数3根，那么方程N也有两个相等的实数根
B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同
C．
如果5是方程M的一个根，那么 是方程N的一个根
D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1
考点： 根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系．
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分析： 利用根的判别式判断A；利用根与系数的关系判断B；利用一元二次方程的解的定
义判断C与D．
解答： 解：A、如果方程M有两个相等的实数根，那么△=b2﹣4ac=0，所以方程N也有两
个相等的实数根，结论正确，不符合题意；
B、如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，那么△=b2﹣
4ac≥0， ＞0，所以a与c符号相同， ＞0，所以方程N的两根符号也相同，结论正
确，不符合题意；
C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得 c+
b+a=0，所以 是方程N的一个根，结论正确，不符合题意；
D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a﹣c）x2=a
﹣c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误，符合题意；
故选D．
点评： 本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0 方程有两个不相
等的实数根；△=0 方程有两个相等的实数根；△＜0 方程没有实数根．也考查
了根与系数的关系，一元二次方程的解的定义． ⇔
⇔ ⇔
二.填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）（2015•株洲）如果手机通话每分钟收费m元，那么通话n分钟收费 m n 元．
考点： 列代数式．
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分析： 通话时间×通话单价=通话费用．
解答： 解：依题意得 通话n分钟收费为：mn．
故答案是：mn．
点评： 本题考查了列代数式．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
10．（3分）（2015•株洲）在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于y轴的对称点的坐标是 （ 3 ，
2 ） ．
考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．
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分析： 根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
解答： 解：在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于y轴的对称点的坐标是（3，2），
故答案为：（3，2）．
点评： 本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐
标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，
纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反
第9页（共18页）数．
11．（3分）（2015•株洲）如图，l∥m，∠1=120°，∠A=55°，则∠ACB的大小是 65 ° ．
考点： 平行线的性质．
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专题： 计算题．
分析： 先根据平行线的性质得∠2=∠1=120°，然后根据三角形外角性质计算∠ACB的大
小．
解答： 解：∵l∥m，
∴∠2=∠1=120°，
∵∠2=∠ACB+∠A，
∴∠ACB=120°﹣55°=65°．
故答案为65°．
点评： 本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两
直线平行，内错角相等．
12．（3分）（2015•株洲）某大学自主招生考试只考数学和物理．计算综合得分时，按数学占
60%，物理占40%计算．已知孔明数学得分为95分，综合得分为93分，那么孔明物理得分是
90 分．
考点： 加权平均数．
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分析： 先计算孔明数学得分的折算后的分值，然后用综合得分﹣数学得分的折算后的得
分，计算出的结果除以40%即可．
解答： 解：（93﹣95×60%）÷40%
=（93﹣57）÷40%
=36÷40%
=90．
故答案为：90．
点评： 此题考查了加权平均数，关键是根据加权平均数的计算公式列出算式，用到的知
识点是加权平均数．
13．（3分）（2015•株洲）因式分解：x2（x﹣2）﹣16（x﹣2）= （ x﹣ 2 ）（ x+ 4 ）（ x﹣ 4 ） ．
考点： 提公因式法与公式法的综合运用．
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专题： 计算题．
分析： 原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
解答： 解：原式=（x﹣2）（x2﹣16）
=（x﹣2）（x+4）（x﹣4）．
故答案为：（x﹣2）（x+4）（x﹣4）．
点评： 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题
第10页（共18页）的关键．
14．（3分）（2015•株洲）已知直线y=2x+（3﹣a）与x轴的交点在A（2，0）、B（3，0）之间（包括
A、B两点），则a的取值范围是 7≤a≤ 9 ．
考点： 一次函数图象上点的坐标特征．
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分析： 根据题意得到x的取值范围是2≤x≤3，则通过解关于x的方程2x+（3﹣a）=0求得x
的值，由x的取值范围来求a的取值范围．
解答： 解：∵直线y=2x+（3﹣a）与x轴的交点在A（2，0）、B（3，0）之间（包括A、B两
点），
∴2≤x≤3，
令y=0，则2x+（3﹣a）=0，
解得x= ，
则2≤ ≤3，
解得7≤a≤9．
故答案是：7≤a≤9．
点评： 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．根据一次函数解析式与一元一次方程
的关系解得x的值是解题的突破口．
15．（3分）（2015•株洲）如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等
的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB=10，EF=2，那么AH等于 6
．
考点： 勾股定理的证明．
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分析： 根据面积的差得出a+b的值，再利用a﹣b=2，解得a，b的值代入即可．
解答： 解：∵AB=10，EF=2，
∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，
∴四个直角三角形面积和为100﹣4=96，设AE为a，DE为b，即4× ab=96，
∴2ab=96，a2+b2=100，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=100+96=196，
∴a+b=14，
∵a﹣b=2，
解得：a=8，b=6，
∴AE=8，DE=6，
∴AH=8﹣2=6．
故答案为：6．
点评： 此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得ab的
值．
第11页（共18页）16．（3分）（2015•株洲）“皮克定理”是用来计算顶点在整点的多边形面积的公式，公式表达
式为S=a+ ﹣1，孔明只记得公式中的S表示多边形的面积，a和b中有一个表示多边形边上
（含顶点）的整点个数，另一个表示多边形内部的整点个数，但不记得究竟是a还是b表示多
边形内部的整点个数，请你选择一些特殊的多边形（如图1）进行验证，得到公式中表示多边
形内部的整点个数的字母是 a ，并运用这个公式求得图2中多边形的面积是 17. 5 ．
考点： 规律型：图形的变化类．
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分析： 分别找到图1中图形内的格点数和图形上的格点数后与公式比较后即可发现表示
图上的格点数的字母，图2中代入有关数据即可求得图形的面积．
解答： 解：如图1，
∵三角形内由1个格点，边上有8个格点，面积为4，即4=1+ ﹣1；
矩形内由2个格点，边上有10个格点，面积为6，即6=2+ ﹣1；
∴公式中表示多边形内部整点个数的字母是a；
图2中，a=15，b=7，故S=15+ ﹣1=17.5．
故答案为：a，17.5．
点评： 本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是能够仔细读题，找到图形内和图形
外格点的数目，难度不大．
三.解答题（共7小题，共52分）
17．（4分）（2015•株洲）计算：|﹣3|+（2015﹣π）0﹣2sin30°．
考点： 实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
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专题： 计算题．
分析： 原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用零指数幂法则计算，第三项
利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
解答：
解：原式=3+1﹣2× =3+1﹣1=3．
点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（4分）（2015•株洲）先化简，再求值：（ ﹣ ）• ，其中x=4．
考点： 分式的化简求值．
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分析： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
第12页（共18页）解答：
解：原式= •
=x+2，
当x=4时，原式=6．
点评： 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
19．（6分）（2015•株洲）为了举行班级晚会，孔明准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一
些乒乓球拍做奖品．已知乒乓球每个1.5元，球拍每个22元．如果购买金额不超过200元，且
买的球拍尽可能多，那么孔明应该买多少个球拍？
考点： 一元一次不等式的应用．
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分析： 设购买球拍x个，根据乒乓球每个1.5元，球拍每个22元，购买的金额不超过200
元，列出不等式，求解即可．
解答： 解：设购买球拍x个，依题意得：
1.5×20+22x≤200，
解之得：x≤7 ，
由于x取整数，故x的最大值为7，
答：孔明应该买7个球拍．
点评： 此题考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，依题意列出不
等式进行求解．
20．（6分）（2015•株洲）某学校举行一次体育测试，从所有参加测试的中学生中随机的抽取
10名学生的成绩，制作出如下统计表和条形图，请解答下列问题：
（1）孔明同学这次测试的成绩是87分，则他的成绩等级是 A 等；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）已知该校所有参加这次测试的学生中，有60名学生成绩是A等，请根据以上抽样结果，
估计该校参加这次测试的学生总人数是多少人．
编号 成绩 等级 编号 成绩 等级
① 95 A ⑥ 76 B
② 78 B ⑦ 85 A
③ 72 C ⑧ 82 B
④ 79 B ⑨ 77 B
⑤ 92 A ⑩ 69 C
考点： 条形统计图；用样本估计总体；统计表．
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分析： （1）根据题意确定各个等级的范围，得到答案；
（2）根据频数将条形统计图补充完整；
（3）计算A等的百分比，估计该校参加这次测试的学生总人数．
解答： 解：（1）由统计图可知A等是85≤x＜100，
第13页（共18页）∴孔明同学的成绩等级是A等；
（2）如图：
（3）60÷ =200，
∴该校参加这次测试的学生总人数是200人．
点评： 本题考查的是统计表、条形图和用样本估计总体，从统计表中获取正确的信息并
进行分析计算是具体点关键．
21．（6分）（2015•株洲）P表示n边形对角线的交点个数（指落在其内部的交点），如果这些交
点都不重合，那么P与n的关系式是
P= （n2﹣an+b）（其中a，b是常数，n≥4）
（1）填空：通过画图可得：
四边形时，P= 1 （填数字）；五边形时，P= 5 （填数字）
（2）请根据四边形和五边形对角线的交点个数，结合关系式，求a和b的值．（注：本题中的多
边形均指凸多边形）
考点： 二元一次方程组的应用；多边形的对角线．
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分析： （1）根据题意画出图形，进而得出四边形和五边形中P的值；
（2）利用（1）中所求，得出二元一次方程组进而求出即可．
解答： 解：（1）如图所示：四边形时，P=1；五边形时，P=5；
故答案为：1，5；
（2）由（1）得： ，
整理得： ，
解得： ．
点评： 此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意得出正确关于a，b的等量关系
是解题关键．
第14页（共18页）22．（8分）（2015•株洲）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的一条角平分线．点
O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形．
（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；
（2）若AC=5，BC=12，求OE的长．
考点： 角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
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分析： （1）过点O作OM⊥AB，由角平分线的性质得OE=OM，由正方形的性质得
OE=OF，易得OE=OF，由角平分线的判定定理得点O在∠BAC的平分线上；
（2）由勾股定理得AB的长，利用方程思想解得结果．
解答： （1）证明：过点O作OM⊥AB，
∵BD是∠ABC的一条角平分线，
∴OE=OM，
∵四边形OECF是正方形，
∴OE=OF，
∴OF=OM，
∴AO是∠BAC的角平分线，即点O在∠BAC的平分线上；
（2）解：∵在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，
∴AB= = =13，
设OE=CF=x，BE=BM=y，AM=AD=z，
∴ ，
解得： ，
∴OE=2．
点评： 本题主要考查了正方形的性质，以及角平分线定理及性质，熟练掌握正方形的性
质，运用方程思想是解本题的关键．
23．（8分）（2015•株洲）已知AB是圆O的切线，切点为B，直线AO交圆O于C、D两点，
CD=2，∠DAB=30°，动点P在直线AB上运动，PC交圆O于另一点Q．
（1）当点P运动到使Q、C两点重合时（如图1），求AP的长；
第15页（共18页）（2）点P在运动过程中，有几个位置（几种情况）使△CQD的面积为 ？（直接写出答案）
（3）当△CQD的面积为 ，且Q位于以CD为直径的上半圆，CQ＞QD时（如图2），求AP的
长．
考点： 圆的综合题；解一元二次方程-公式法；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的
定义．
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专题： 综合题．
分析： （1）如图1，利用切线的性质可得∠ACP=90°，只需求出AC，然后在Rt△ACP中运
用三角函数就可解决问题；
（2）易得点Q到CD的距离为 ，结合图形2，即可解决问题；
（3）过点Q作QN⊥CD于N，过点P作PM⊥CD于M，连接QD，如图3，易证
△CNQ∽△QND，根据相似三角形的性质可求出CN．易证△PMC∽△QNC，根据相
似三角形的性质可得PM与CM之间的关系，由∠MAP=30°即可得到PM与AM
之间的关系，然后根据AC=AM+CM就可得到PM的值，即可得到AP的值．
解答： 解：（1）∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO=90°．
∵∠DAB=30°，OB= CD= ×2=1，
∴AO=2OB=2，AC=AO﹣CO=2﹣1=1．
当Q、C两点重合时，CP与⊙O相切于点C，如图1，
则有∠ACP=90°，
∴cos∠CAP= = = ，
解得AP= ；
（2）有4个位置使△CQD的面积为 ．
提示：设点Q到CD的距离为h，
∵S = CD•h= ×2×h= ，
△CQD
∴h= ．
由于h= ＜1，结合图2可得：
有4个位置使△CQD的面积为 ；
（3）过点Q作QN⊥CD于N，过点P作PM⊥CD于M，如图3．
第16页（共18页）∵S = CD•QN= ×2×QN= ，∴QN= ．
△CQD
∵CD是⊙O的直径，QN⊥CD，
∴∠CQD=∠QND=∠QNC=90°，
∴∠CQN=90°﹣∠NQD=∠NDQ，
∴△QNC∽△DNQ，
∴ = ，
∴QN2=CN•DN，
设CN=x，则有 =x（2﹣x），
整理得4x2﹣8x+1=0，
解得：x = ，x = ．
1 2
∵CQ＞QD，∴x= ，
∴ =2+ ．
∵QN⊥CD，PM⊥CD，
∴∠PMC=∠QNC=90°．
∵∠MCP=∠NCQ，
∴△PMC∽△QNC，
∴ = =2+ ，
∴MC=（2+ ）MP．
在Rt△AMP中，
tan∠MAP= =tan30°= ，
∴AM= MP．
∵AC=AM+MC= MP+（2+ ）MP=1，
∴MP= ，
∴AP=2MP= ．
第17页（共18页）点评： 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、三角函数、特殊角的三角
函数值、切线的性质、解一元二次方程等知识，把求AP的值转化为解△ABC是解
决第（3）小题的关键．
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