文档内容
2011 年湖南省株洲市中考数学试卷（教师版）
一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）8的立方根是（ ）
A．2 B．﹣2 C．3 D．4
【考点】24：立方根．
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【分析】根据立方根的定义进行解答即可．
【解答】解：∵23＝8，
∴8的立方根是2．
故选：A．
【点评】本题考查的是立方根的定义，即如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做a
的立方根或三次方根．
2．（3分）计算x2•4x3的结果是（ ）
A．4x3 B．4x4 C．4x5 D．4x6
【考点】49：单项式乘单项式．
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【分析】本题根据单项式乘以单项式的法则进行计算，即可求出结果．
【解答】解：x2•4x3
＝4x5
故选：C．
【点评】本题主要考查了单项式乘以单项式，在解题时要注意灵活运用单项式乘以单项
式的法则是本题的关键．
3．（3分）孔明同学在庆祝建党90周年的演讲比赛中，6位评委给他的打分如下表：
评委代号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ
评分 85 90 80 95 90 90
则孔明得分的众数为（ ）
A．95 B．90 C．85 D．80
【考点】W5：众数．
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【分析】根据众数的定义，从表中找出出现次数最多的数即为众数．
【解答】解：孔明同学共有6个得分，其中90分出现3次，次数最多，故孔明得分的众
数为90分．
第1页（共18页）故选：B．
【点评】此题结合图表考查了众数的概念﹣﹣﹣一组数据中出现次数最多的数叫该组数
据的众数．
4．（3分）株洲市关心下一代工作委员会为了了解全市初三学生的视力状况，从全市
30000名初三学生中随机抽取了500人进行视力测试，发现其中视力不良的学生有100
人，则可估计全市30000名初三学生中视力不良的约有（ ）
A．100人 B．500人 C．6000人 D．15000人
【考点】V5：用样本估计总体．
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【分析】利用样本来估计总体，首先计算出样本中视力不良的学生所占的百分比，再用
30000名初三学生×视力不良的学生所占的百分比即可得到答案．
【解答】解：100÷500＝20%，
30000×20%＝6000，
故选：C．
【点评】本题考查的是通过样本去估计总体，题目比较基础．
5．（3分）某商品的商标可以抽象为如图所示的三条线段，其中 AB∥CD，∠EAB＝45°，
则∠FDC的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【考点】JA：平行线的性质．
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【分析】由邻补角的定义即可求得∠BAD的度数，又由AB∥CD，即可求得∠ADC的度
数，则问题得解．
【解答】解：∵∠EAB＝45°，
∴∠BAD＝180°﹣∠EAB＝180°﹣45°＝135°，
∵AB∥CD，
∴∠ADC＝∠BAD＝135°，
∴∠FDC＝180°﹣∠ADC＝45°．
故选：B．
第2页（共18页）【点评】此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，内错角相等．
6．（3分）如图是一个由7个同样的立方体叠成的几何体．请问下列选项中，既是中心对
称图形，又是这个几何体的三视图之一的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】R5：中心对称图形；U2：简单组合体的三视图．
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【分析】首先把此几何体的三视图画出来，然后找出是中心对称图形．
【解答】解：A，这是主视图，它不是中心对称图形，故此选项错误；
B，这是俯视图，它是中心对称图形，故此选项正确；
C，这是左视图，它不是中心对称图形，故此选项错误；
D，它不是由7个同样的立方体叠成的几何体的三视图，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了三视图的几何知识，考查了学生的空间思维想象能力．
7．（3分）根据生物学研究结果，青春期男女生身高增长速度呈现如下图规律，由图可以
判断，下列说法错误的是（ ）
A．男生在13岁时身高增长速度最快
第3页（共18页）B．女生在10岁以后身高增长速度放慢
C．11岁时男女生身高增长速度基本相同
D．女生身高增长的速度总比男生慢
【考点】E6：函数的图象．
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【分析】根据图象即可确定男生在13岁时身高增长速度是否最快；女生在10岁以后身
高增长速度是否放慢；11岁时男女生身高增长速度是否基本相同；女生身高增长的速度
是否总比男生慢．
【解答】解：A、依题意男生在13岁时身高增长速度最快，故选项正确；
B、依题意女生在10岁以后身高增长速度放慢，故选项正确；
C、依题意11岁时男女生身高增长速度基本相同，故选项正确；
D、依题意女生身高增长的速度不是总比男生慢，有时快，故选项错误．
故选：D．
【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意
义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统
一．
8．（3分）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为 x轴，出水点为原点，
建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线 y＝﹣x2+4x（单位：米）的一部分，
则水喷出的最大高度是（ ）
A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
【考点】HE：二次函数的应用．
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【分析】根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线 y＝﹣x2+4x的顶
点坐标的纵坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案．
【解答】解：∵水在空中划出的曲线是抛物线y＝﹣x2+4x，
∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y＝﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标，
∴y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
第4页（共18页）∴顶点坐标为：（2，4），
∴喷水的最大高度为4米，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是从实际问题中整理出函数
模型，利用函数的知识解决实际问题．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）不等式x﹣1＞0的解集为 x ＞ 1 ．
【考点】C6：解一元一次不等式．
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【分析】根据不等式的基本性质，左右两边同时加上1，就可求出x的取值范围．
【解答】解：解不等式x﹣1＞0得，x＞1．
【点评】解答此题的关键是要熟知不等式两边同时加上一个数，不等号的方向不变．
10．（3分）当x＝10，y＝9时，代数式x2﹣y2的值是 1 9 ．
【考点】33：代数式求值；4F：平方差公式．
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【分析】本题需先对要求的代数式进行变形，再把x＝10，y＝9代入即可求出结果．
【解答】解：x2﹣y2
＝（x+y）（x﹣y）
当x＝10，y＝9时
原式＝（10+9）×（10﹣9）
＝19
故答案为19．
【点评】本题主要考查了如何求代数式的值，在解题时要能对代数式进行变形是本题的
关键．
11．（3分）如图，孔明同学背着一桶水，从山脚A出发，沿与地面成30°角的山坡向上走，
送水到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家（B处），AB＝80米，则孔明从A到B上升
的高度BC是 4 0 米．
第5页（共18页）【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【分析】根据题意将实际问题转化为关于解直角三角形的问题解答，利用“直角三角形
中30°的角所对的直角边是斜边的一半”即可解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∠A＝30°，AB＝80米，
则BC＝80× ＝40 米．
故答案为40米．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣﹣﹣坡度坡角问题，将实际问题转化为解直
角三角形的问题是解题的关键．
12．（3分）为建设绿色株洲，某校初三0801、0802、0803、0804四个班同学参加了植树
造林，每班植树株数如下表，则这四个班平均每班植树 2 5 株．
班次 植树株数
0801 22
0802 25
0803 35
0804 18
【考点】W1：算术平均数．
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【分析】本题需先利用算术平均数的计算方法列出式子，最后求出结果即可得出正确答
案．
【解答】解：∵这四个班平均每班植树＝（22+25+35+18）÷4＝25
故答案为：25
【点评】本题主要考查了算术平均数的计算方法，在解题时要能结合实际问题求出平均
数是本题的关键．
13．（3分）孔明同学在解一元二次方程x2﹣3x+c＝0时，正确解得x ＝1，x ＝2，则c的
1 2
值为 2 ．
【考点】AB：根与系数的关系．
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【分析】根据两根x ＝1，x ＝2，得出两根之积求出c的值即可．
1 2
【解答】解：解方程x2﹣3x+c＝0得x ＝1，x ＝2，
1 2
∴x x ＝c＝1×2，
1 2
∴c＝2，
第6页（共18页）故答案为：2．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系利用两根之积得出c的值
是解决问题的关键．
14．（3分）如图，直线l过A、B两点，A（0，﹣1），B（1，0），则直线l的解析式为
y ＝ x ﹣ 1 ．
【考点】FA：待定系数法求一次函数解析式．
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【分析】从图象上找到直线所过的两个点的坐标，利用待定系数法求解即可．
【解答】解：设函数解析式为y＝kx+b，
将（1，0），（0，﹣1）分别代入解析式得，
，
解得 ，
函数解析式为y＝x﹣1．
故答案为y＝x﹣1．
【点评】此题考查了待定系数法求函数解析式，从图象所在坐标系找出关键点是列方程
组的必要步骤．
15．（3分）按下面摆好的方式，并使用同一种图形，只通过平移方式就能进行平面镶嵌
（即平面密铺）的有 （写出所有正确答案的序号）．
②③
【考点】L4：平面镶嵌（密铺）；Q2：平移的性质．
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【分析】根据一种图形平面镶嵌的条件，即能整除360°的多边形，而且只通过平移就能
进行平面镶嵌，得出每个内角必须是90°，分别分析即可．
第7页（共18页）【解答】解：根据一种图形平面镶嵌的条件，即能整除360°的多边形，而且只通过平移
就能进行平面镶嵌，
∴ 正三角形虽然能平面镶嵌但是需通过旋转得出，故此选项错误；
①正方形，每个内角等于90°，通过平移就能进行平面镶嵌，故此选项正确；
②矩形，每个内角等于90°，通过平移就能进行平面镶嵌，故此选项正确；
③正五边形，每个内角等于108°，不能平面镶嵌，故此选项错误．
④故答案为： ．
【点评】此②题主③要考查了平面镶嵌的性质以及平移的性质，得出符合两个图形的条件是
解决问题的关键．
16．（3分）如图，第（1）个图有1个黑球；第（2）个图为3个同样大小球叠成的图形，
最下一层的2个球为黑色，其余为白色；第（3）个图为6个同样大小球叠成的图形，
最下一层的3个球为黑色，其余为白色；…；则从第（n）个图中随机取出一个球，是
黑球的概率是 ．
【考点】38：规律型：图形的变化类；X4：概率公式．
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【分析】根据图示情况，得出黑球和白球出现的规律，求出第n个图中球的总数和黑球
的个数，即可求出从第（n）个图中随机取出一个球，是黑球的概率．
【解答】解：根据图示规律，第n个图中，黑球有n个，球的总数有1+2+3+4+5+…+n
＝ ，
则从第（n）个图中随机取出一个球，是黑球的概率是 ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题将规律性问题与概率公式相结合，考查了同学们的综合运用能力，而计算
出球的总数和归纳出黑球的个数是解题的关键．
第8页（共18页）三、解答题（本大题共8小题，共52分）
17．（4分）计算： ．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂．
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【分析】本题涉及零指数幂、乘方、绝对值的化简三个考点．针对每个考点分别进行计
算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝2﹣1﹣1，
＝0．
【点评】此题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决
此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、乘方、绝对值等考点的运算．
18．（4分）当x＝﹣2时，求 的值．
【考点】6D：分式的化简求值．
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【分析】将两个分式直接通分，分子写成完全平方式，再与分母约分，代值计算．
【解答】解：原式＝ ＝ ＝x+1，（3分）
当x＝﹣2时，
原式＝x+1＝﹣2+1＝﹣1．（4分）
【点评】本题考查了分式的化简求值．关键是利用分式的加减法则，将分式化简，代值
计算．
19．（6分）食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但
适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的 A、B两种
饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3
克，已知270克该添加剂恰好生产了A、B两种饮料共100瓶，问A、B两种饮料各生产
了多少瓶？
【考点】8A：一元一次方程的应用；9A：二元一次方程组的应用．
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【分析】本题需先根据题意设出未知数，再根据题目中的等量关系列出方程组，求出结
第9页（共18页）果即可．
【解答】解：设A饮料生产了x瓶，B饮料生产了y瓶，由题意得：
，
解得： ，
答：A饮料生产了30瓶，B饮料生产了70瓶．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，在解题时要能根据题意得出等量关系，
列出方程组是本题的关键．
20．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂
足，连接EC．
（1）求∠ECD的度数；
（2）若CE＝5，求BC长．
【考点】KG：线段垂直平分线的性质；KH：等腰三角形的性质．
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【分析】（1）ED是AC的垂直平分线，可得AE＝EC；∠A＝∠C；已知∠A＝36，即
可求得；
（2）△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，可得∠B＝72°又∠BEC＝∠A+∠ECA＝72°，所
以，得BC＝EC＝5；
【解答】解：（1）∵DE垂直平分AC，
∴CE＝AE，∴∠ECD＝∠A＝36°；
（2）∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠B＝∠ACB＝72°，
∴∠BEC＝∠A+∠ECD＝72°，
∴∠BEC＝∠B，
∴BC＝EC＝5．
答：（1）∠ECD的度数是36°；
第10页（共18页）（2）BC长是5．
【点评】本题考查了等腰三角形、线段垂直平分线的性质，应熟记其性质：线段的垂直
平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
21．（6分）我国网球名将李娜在今年法国网球公开赛上的出色表现，大大激发了国人对
网球的热情．在一项“你最喜欢的球类运动”的调查中，共有50名同学参与调查，每
人必选且只选一项，将调查结果绘制成频数分布直方图如下，根据图中信息回答：
（1）被调查的同学中选择喜欢网球的有 1 5 人；
（2）孔明同学在被调查中选择的是羽毛球，现要在参与调查选择喜欢羽毛球的同学中
随机抽取2人参加一项比赛，求孔明被选中的概率．
【考点】V8：频数（率）分布直方图；X6：列表法与树状图法．
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【分析】（1）根据频数分布直方图中每一组内的频数总和为50，计算出喜欢网球的人
数；
（2）列举出所有的结果，根据孔明被选中的有4种，除以总个数即可得出概率．
【解答】解：（1）50﹣5﹣10﹣12﹣8＝15；
（2）记喜欢羽毛球的5个同学分别表示为1，2，3，4，5，其中1为孔明，从中随机抽
取2人，
方法有：（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（2，3）（2，4）（2，5）（3，4）
（3，5）（4，5），
共10种，其中孔明被选中的有4种，所以孔明被选中的概率是 （或写成0.4），
【点评】此题主要考查了条形图以及列举法求概率，根据已知得出符合要求的个数是求
出概率的关键．
22．（8分）如图，AB为 O的直径，BC为 O的切线，AC交 O于点E，D为AC上一
点，∠AOD＝∠C． ⊙ ⊙ ⊙
第11页（共18页）（1）求证：OD⊥AC；
（2）若AE＝8， ，求OD的长．
【考点】M2：垂径定理；M5：圆周角定理；MC：切线的性质；T1：锐角三角函数的
定义．
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【分析】（1）根据切线的性质得出∠ABC＝90°，进而得出∠A+∠C＝90°，再由∠AOD
＝∠C，可得∠AOD+∠A＝90°，即可证明；
（2）由垂径定理可得，D为AE中点，根据已知可利用锐角三角函数求出．
【解答】（1）证明：∵BC是 O的切线，AB为 O的直径
∴∠ABC＝90°， ⊙ ⊙
∴∠A+∠C＝90°，
又∵∠AOD＝∠C，
∴∠AOD+∠A＝90°，
∴∠ADO＝90°，
∴OD⊥AC；
（2）解：∵OD⊥AE，O为圆心，
∴D为AE中点，AE＝8，
∴ ，
又 ，
∴OD＝3．
【点评】此题主要考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识和垂径定理的应用等知
识，利用OD⊥AE，O为圆心，得出D为AE中点，再利用解直角三角形知识是解决问
题的关键．
第12页（共18页）23．（8分）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延
长线交BC于Q．
（1）求证：OP＝OQ；
（2）若AD＝8厘米，AB＝6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与
D重合）．设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形
PBQD是菱形．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KQ：勾股定理；L8：菱形的性质；LB：矩
形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】（1）本题需先根据四边形ABCD是矩形，得出AD∥BC，∠PDO＝∠QBO，
再根据O为BD的中点得出△POD≌△QOB，即可证出OP＝OQ．
（2）本题需先根据已知条件得出∠A的度数，再根据AD＝8厘米，AB＝6厘米，得出
BD和OD的长，再根据四边形PBQD是菱形时，即可求出t的值，判断出四边形PBQD
是菱形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PDO＝∠QBO，
又∵O为BD的中点，
∴OB＝OD，
在△POD与△QOB中，
∵
∴△POD≌△QOB（ASA），
∴OP＝OQ；
（2）解：PD＝8﹣t，
∵四边形PBQD是菱形，
第13页（共18页）∴PD＝BP＝8﹣t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB2+AP2＝BP2，
即62+t2＝（8﹣t）2，
解得：t＝ ，
即运动时间为 秒时，四边形PBQD是菱形．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，在解题时要注意与全等三角形、矩形的知识点结
合起来是解本题的关键．
24．（10分）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y＝ax2
（a＜0）的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点 O，两直
角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：
（1）若测得 （如图1），求a的值；
（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x
轴于点F，测得OF＝1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标 ﹣ 4 ；
（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线
段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）先求出B点坐标，代入抛物线y＝ax2（a＜0）得a的值；
（2）过点A作AE⊥x轴于点E，可证△AEO∽△OFB，得出AE＝2OE，可得方程点A
第14页（共18页）的横坐标．
（3）设 A（﹣m， ）（m＞0），B（n， ）（n＞0），易知
△AEO∽△OFB，根据相似三角形的性质可知交点A、B的连线段总经过一个固定的点
（0，﹣2）．
【解答】解：（1）设线段AB与y轴的交点为C，由抛物线的对称性可得C为AB中点，
∵ ，∠AOB＝90°，
∴AC＝OC＝BC＝2，
∴B（2，﹣2），
将B（2，﹣2）代入抛物线y＝ax2（a＜0）得， ．
（2）解法一：过点A作AE⊥x轴于点E，
∵点B的横坐标为1，
∴B（1， ），
∴ ．
又∵∠AOB＝90°，易知∠AOE＝∠OBF，
又∵∠AEO＝∠OFB＝90°，
∴△AEO∽△OFB，
∴ ，
∴AE＝2OE，
设点A（﹣m， ）（m＞0），则OE＝m，
，
∴ ，
∴m＝4，即点A的横坐标为﹣4．
解法二：过点A作AE⊥x轴于点E，
第15页（共18页）∵点B的横坐标为1，
∴B（1， ），
∴ ，
∵∠AOB＝90°，易知∠AOE＝∠OBF，
∴ ，
∴AE＝2OE，
设点A（﹣m， ）（m＞0），
则OE＝m， ，
∴ ，
∴m＝4，即点A的横坐标为﹣4．
解法三：过点A作AE⊥x轴于点E，
∵点B的横坐标为1，
∴B（1， ），
设A（﹣m， ）（m＞0），
则 ， ， ，
∵∠AOB＝90°
∴AB2＝OA2+OB2，
∴（1+m）2+（﹣ + m2）2＝ +m2+ m4，
解得：m＝4，即点A的横坐标为﹣4．
（3）解法一：设A（﹣m， ）（m＞0），B（n， ）（n＞0），
第16页（共18页）设直线AB的解析式为：y＝kx+b，则 ，
（1）×n+（2）×m得， ，
∴ （8分）
又易知△AEO∽△OFB，
∴ ，
∴ ，
∴mn＝4，
∴ ．
由此可知不论k为何值，直线AB恒过点（0，﹣2）．
（说明：写出定点C的坐标就给2分）
解法二：∵点A是抛物线y＝﹣ x2上的点，
∴设A（﹣m， ）（m＞0），B（n， ）（n＞0），
直线AB与y轴的交点为C，根据S△AOB ＝S梯形ABFE ﹣S△AOE ﹣S△B0F ＝S△AOC +S△BOC ，
可得 ，
化简，得 ．
又易知△AEO∽△OFB，
∴ ，
∴ ，
∴mn＝4，
第17页（共18页）∴OC＝2为固定值．故直线AB恒过其与y轴的交点C（0，﹣2），
说明：mn的值也可以通过以下方法求得．
由前可知， ， ， ，
由OA2+OB2＝AB2，得： ，
化简，得mn＝4．
本答案仅供参考，若有其他解法，请参照本评分标准评分．
【点评】本题着重考查了抛物线的对称性和相似三角形的判定和性质，第（3）问求出
mn＝4是解题的关键，综合性较强，有一定的难度．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/12/22 11:00:23；用户：初中数学；邮箱：sx0123@xyh.com；学号：30177373
第18页（共18页）
