文档内容
2015年湖南省株洲市中考数学试卷（教师版）
一.选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）2的相反数是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
【考点】14：相反数．
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【分析】根据相反数的定义即可求解．
【解答】解：2的相反数等于﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的知识，属于基础题，注意熟练掌握相反数的概念是关键．
2．（3分）已知∠ ＝35°，那么∠ 的余角等于（ ）
A．35° α B．55° α C．65° D．145°
【考点】IL：余角和补角．
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【分析】根据余角的定义：如果两个角的和等于 90°（直角），就说这两个角互为余角
计算．
【解答】解：∵∠ ＝35°，
∴它的余角等于90α°﹣35°＝55°．
故选：B．
【点评】本题考查了余角的定义，解题时牢记定义是关键．
3．（3分）下列等式中，正确的是（ ）
A．3a﹣2a＝1 B．a2•a3＝a5
C．（﹣2a3）2＝﹣4a6 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；4C：完全
平方公式．
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【分析】结合选项分别进行幂的乘方和积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法、完全
平方公式等运算，然后选择正确选项．
【解答】解：A、3a﹣2a＝a，原式计算错误，故本选项错误；
B、a2•a3＝a5，原式计算正确，故本选项正确；
C、（﹣2a3）2＝4a6，原式计算错误，故本选项错误；
D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，原式计算错误，故本选项错误．
第1页（共18页）故选：B．
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公
式等知识，掌握运算法则是解答本题关键．
4．（3分）下列几何图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等腰三角形 B．正三角形 C．平行四边形 D．正方形
【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．
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【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故正确．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称
轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度
后与原图重合．
5．（3分）从2，3，4，5中任意选两个数，记作a和b，那么点（a，b）在函数y＝ 图
象上的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；X6：列表法与树状图法．
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【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与点（a，b）
在函数y＝ 图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，点（a，b）在函数y＝ 图象上的有（3，4），（4，
第2页（共18页）3）；
∴点（a，b）在函数y＝ 图象上的概率是： ＝ ．
故选：D．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与
总情况数之比．
6．（3分）如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A＝68°，则∠OBC的大小是（ ）
A．22° B．26° C．32° D．68°
【考点】M5：圆周角定理．
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【分析】先根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再根据等腰三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠A与∠BOC是同弧所对的圆周角与圆心角，∠A＝68°，
∴∠BOC＝2∠A＝136°．
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝ ＝22°．
故选：A．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相
等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
7．（3分）如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，
CD＝3，那么EF的长是（ ）
A． B． C． D．
第3页（共18页）【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】易证△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，根据相似三角形的性质可得 ＝ ，
＝ ，从而可得 + ＝ + ＝1．然后把AB＝1，CD＝3代入即可求出EF的
值．
【解答】解：∵AB、CD、EF都与BD垂直，
∴AB∥CD∥EF，
∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，
∴ ＝ ， ＝ ，
∴ + ＝ + ＝ ＝1．
∵AB＝1，CD＝3，
∴ + ＝1，
∴EF＝ ．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，发现 + ＝1是解决本题的
关键．
8．（3分）有两个一元二次方程M：ax2+bx+c＝0；N：cx2+bx+a＝0，其中a•c≠0，a≠c．
下列四个结论中，错误的是（ ）
A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根
B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同
C．如果5是方程M的一个根，那么 是方程N的一个根
D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x＝1
【考点】A3：一元二次方程的解；AA：根的判别式；AB：根与系数的关系．
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【分析】利用根的判别式判断A；利用根与系数的关系判断B；利用一元二次方程的解
的定义判断C与D．
【解答】解：A、如果方程M有两个相等的实数根，那么△＝b2﹣4ac＝0，所以方程N
第4页（共18页）也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；
B、如果方程M的两根符号相同，那么△＝b2﹣4ac≥0， ＞0，所以a与c符号相同，
＞0，所以方程N的两根符号也相同，结论正确，不符合题意；
C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c＝0，两边同时除以25，得 c+ b+a＝
0，所以 是方程N的一个根，结论正确，不符合题意；
D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c＝cx2+bx+a，（a﹣c）x2＝a﹣
c，由a≠c，得x2＝1，x＝±1，结论错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0 方程有两个不
相等的实数根；△＝0 方程有两个相等的实数根；△＜0 方程没有实⇔数根．也考查了
根与系数的关系，一元⇔二次方程的解的定义． ⇔
二.填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）如果手机通话每分钟收费m元，那么通话n分钟收费 m n 元．
【考点】32：列代数式．
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【分析】通话时间×通话单价＝通话费用．
【解答】解：依题意得 通话n分钟收费为：mn．
故答案是：mn．
【点评】本题考查了列代数式．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
10．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于y轴的对称点的坐标是 （ 3 ， 2 ）
．
【考点】P5：关于x轴、y轴对称的点的坐标．
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【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
【解答】解：在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于y轴的对称点的坐标是（3，
2），
故答案为：（3，2）．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点
的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，
第5页（共18页）纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
11．（3分）如图，l∥m，∠1＝120°，∠A＝55°，则∠ACB的大小是 65 ° ．
【考点】JA：平行线的性质．
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【分析】先根据平行线的性质得∠2＝∠1＝120°，然后根据三角形外角性质计算∠ACB
的大小．
【解答】解：∵l∥m，
∴∠2＝∠1＝120°，
∵∠2＝∠ACB+∠A，
∴∠ACB＝120°﹣55°＝65°．
故答案为65°．
【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互
补；两直线平行，内错角相等．
12．（3分）某大学自主招生考试只考数学和物理．计算综合得分时，按数学占 60%，物
理占40%计算．已知孔明数学得分为95分，综合得分为93分，那么孔明物理得分是
90 分．
【考点】W2：加权平均数．
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【分析】先计算孔明数学得分的折算后的分值，然后用综合得分﹣数学得分的折算后的
得分，计算出的结果除以40%即可．
【解答】解：（93﹣95×60%）÷40%
＝（93﹣57）÷40%
＝36÷40%
＝90．
故答案为：90．
第6页（共18页）【点评】此题考查了加权平均数，关键是根据加权平均数的计算公式列出算式，用到的
知识点是加权平均数．
13．（3分）因式分解：x2（x﹣2）﹣16（x﹣2）＝ （ x ﹣ 2 ）（ x + 4 ）（ x ﹣ 4 ） ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
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【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝（x﹣2）（x2﹣16）
＝（x﹣2）（x+4）（x﹣4）．
故答案为：（x﹣2）（x+4）（x﹣4）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本
题的关键．
14．（3分）已知直线y＝2x+（3﹣a）与x轴的交点在A（2，0）、B（3，0）之间（包括
A、B两点），则a的取值范围是 7 ≤ a ≤ 9 ．
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征．
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【分析】根据题意得到x的取值范围是2≤x≤3，则通过解关于x的方程2x+（3﹣a）＝
0求得x的值，由x的取值范围来求a的取值范围．
【解答】解：∵直线y＝2x+（3﹣a）与x轴的交点在A（2，0）、B（3，0）之间（包
括A、B两点），
∴2≤x≤3，
令y＝0，则2x+（3﹣a）＝0，
解得x＝ ，
则2≤ ≤3，
解得7≤a≤9．
故答案是：7≤a≤9．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．根据一次函数解析式与一元一次方
程的关系解得x的值是解题的突破口．
15．（3分）如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角
三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于 6
．
第7页（共18页）【考点】KR：勾股定理的证明．
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【分析】根据面积的差得出a+b的值，再利用a﹣b＝2，解得a，b的值代入即可．
【解答】解：∵AB＝10，EF＝2，
∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，
∴四个直角三角形面积和为100﹣4＝96，设AE为a，DE为b，即4× ab＝96，
∴2ab＝96，a2+b2＝100，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196，
∴a+b＝14，
∵a﹣b＝2，
解得：a＝8，b＝6，
∴AE＝8，DE＝6，
∴AH＝8﹣2＝6．
故答案为：6．
【点评】此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得ab
的值．
16．（3分）“皮克定理”是用来计算顶点在整点的多边形面积的公式，公式表达式为 S＝
a+ ﹣1，孔明只记得公式中的S表示多边形的面积，a和b中有一个表示多边形边上
（含顶点）的整点个数，另一个表示多边形内部的整点个数，但不记得究竟是 a还是b
表示多边形内部的整点个数，请你选择一些特殊的多边形（如图1）进行验证，得到公
式中表示多边形内部的整点个数的字母是 a ，并运用这个公式求得图2中多边形的
面积是 17. 5 ．
第8页（共18页）【考点】38：规律型：图形的变化类．
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【分析】分别找到图1中图形内的格点数和图形上的格点数后与公式比较后即可发现表
示图上的格点数的字母，图2中代入有关数据即可求得图形的面积．
【解答】解：如图1，
∵三角形内由1个格点，边上有8个格点，面积为4，即4＝1+ ﹣1；
矩形内由2个格点，边上有10个格点，面积为6，即6＝2+ ﹣1；
∴公式中表示多边形内部整点个数的字母是a；
图2中，a＝15，b＝7，故S＝15+ ﹣1＝17.5．
故答案为：a，17.5．
【点评】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是能够仔细读题，找到图形内和图
形外格点的数目，难度不大．
三.解答题（共8小题，共52分）
17．（4分）计算：|﹣3|+（2015﹣ ）0﹣2sin30°．
【考点】2C：实数的运算；6E：π零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
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【分析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用零指数幂法则计算，第三
项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝3+1﹣2× ＝3+1﹣1＝3．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（4分）先化简，再求值：（ ﹣ ）• ，其中x＝4．
【考点】6D：分式的化简求值．
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【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
第9页（共18页）【解答】解：原式＝ •
＝x+2，
当x＝4时，原式＝6．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
19．（6分）为了举行班级晚会，孔明准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓
球拍做奖品．已知乒乓球每个1.5元，球拍每个22元．如果购买金额不超过200元，且
买的球拍尽可能多，那么孔明应该买多少个球拍？
【考点】C9：一元一次不等式的应用．
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【分析】设购买球拍x个，根据乒乓球每个1.5元，球拍每个22元，购买的金额不超过
200元，列出不等式，求解即可．
【解答】解：设购买球拍x个，依题意得：
1.5×20+22x≤200，
解之得：x≤7 ，
由于x取整数，故x的最大值为7，
答：孔明应该买7个球拍．
【点评】此题考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，依题意列出
不等式进行求解．
20．（6分）某学校举行一次体育测试，从所有参加测试的中学生中随机的抽取 10名学生
的成绩，制作出如下统计表和条形图，请解答下列问题：
（1）孔明同学这次测试的成绩是87分，则他的成绩等级是 A 等；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）已知该校所有参加这次测试的学生中，有 60名学生成绩是A等，请根据以上抽样
结果，估计该校参加这次测试的学生总人数是多少人．
编号 成绩 等级 编号 成绩 等级
95 A 76 B
① 78 B ⑥ 85 A
② 72 C ⑦ 82 B
③ 79 B ⑧ 77 B
④ 92 A ⑨ 69 C
⑤ ⑩
第10页（共18页）【考点】V5：用样本估计总体；VA：统计表；VC：条形统计图．
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【分析】（1）根据题意确定各个等级的范围，得到答案；
（2）根据频数将条形统计图补充完整；
（3）计算A等的百分比，估计该校参加这次测试的学生总人数．
【解答】解：（1）由统计图可知A等是85≤x＜100，
∴孔明同学的成绩等级是A等；
（2）如图：
（3）60÷ ＝200，
∴该校参加这次测试的学生总人数是200人．
【点评】本题考查的是统计表、条形图和用样本估计总体，从统计表中获取正确的信息
并进行分析计算是具体点关键．
21．（6分）P表示n边形对角线的交点个数（指落在其内部的交点），如果这些交点都不
重合，那么P与n的关系式是
P＝ （n2﹣an+b）（其中a，b是常数，n≥4）
（1）填空：通过画图可得：
四边形时，P＝ 1 （填数字）；五边形时，P＝ 5 （填数字）
（2）请根据四边形和五边形对角线的交点个数，结合关系式，求a和b的值．（注：
本题中的多边形均指凸多边形）
第11页（共18页）【考点】9A：二元一次方程组的应用；L2：多边形的对角线．
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【分析】（1）根据题意画出图形，进而得出四边形和五边形中P的值；
（2）利用（1）中所求，得出二元一次方程组进而求出即可．
【解答】解：（1）如图所示：四边形时，P＝1；五边形时，P＝5；
故答案为：1，5；
（2）由（1）得： ，
整理得： ，
解得： ．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意得出正确关于 a，b的等量
关系是解题关键．
22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O、E、
F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形．
（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；
（2）若AC＝5，BC＝12，求OE的长．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KF：角平分线的性质；LE：正方形的性质．
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有
【分析】（1）过点O作OM⊥AB，由角平分线的性质得OE＝OM，由正方形的性质得
OE＝OF，易得OM＝OF，由角平分线的判定定理得点O在∠BAC的平分线上；
第12页（共18页）（2）由勾股定理得AB的长，利用方程思想解得结果．
【解答】（1）证明：过点O作OM⊥AB，
∵BD是∠ABC的一条角平分线，
∴OE＝OM，
∵四边形OECF是正方形，
∴OE＝OF，
∴OF＝OM，
∴AO是∠BAC的角平分线，即点O在∠BAC的平分线上；
（2）解：∵在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝ ＝ ＝13，
设CE＝CF＝x，BE＝BM＝y，AM＝AF＝z，
∴ ，
解得： ，
∴CE＝2，
∴OE＝2．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，以及角平分线定理及性质，熟练掌握正方形的
性质，运用方程思想是解本题的关键．
23．（8分）已知AB是圆O的切线，切点为B，直线AO交圆O于C、D两点，CD＝2，
∠DAB＝30°，动点P在直线AB上运动，PC交圆O于另一点Q．
（1）当点P运动到使Q、C两点重合时（如图1），求AP的长；
（2）点P在运动过程中，有几个位置（几种情况）使△CQD的面积为 ？（直接写出
第13页（共18页）答案）
（3）当△CQD的面积为 ，且 Q位于以 CD为直径的上半圆，CQ＞QD时（如图
2），求AP的长．
【考点】A7：解一元二次方程﹣公式法；MR：圆的综合题；S9：相似三角形的判定与
性质；T1：锐角三角函数的定义．
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【分析】（1）如图 1，利用切线的性质可得∠ACP＝90°，只需求出 AC，然后在
Rt△ACP中运用三角函数就可解决问题；
（2）易得点Q到CD的距离为 ，结合图形2，即可解决问题；
（3）过点 Q 作 QN⊥CD 于 N，过点 P 作 PM⊥CD 于 M，连接 QD，如图 3，易证
△CNQ∽△QND，根据相似三角形的性质可求出CN．易证△PMC∽△QNC，根据相似
三角形的性质可得PM与CM之间的关系，由∠MAP＝30°即可得到PM与AM之间的关
系，然后根据AC＝AM+CM就可得到PM的值，即可得到AP的值．
【解答】解：（1）∵AB与 O相切于点B，∴∠ABO＝90°．
∵∠DAB＝30°，OB＝ CD ⊙＝ ×2＝1，
∴AO＝2OB＝2，AC＝AO﹣CO＝2﹣1＝1．
当Q、C两点重合时，CP与 O相切于点C，如图1，
则有∠ACP＝90°， ⊙
∴cos∠CAP＝ ＝ ＝ ，
解得AP＝ ；
（2）有4个位置使△CQD的面积为 ．
第14页（共18页）提示：设点Q到CD的距离为h，
∵S△CQD ＝ CD•h＝ ×2×h＝ ，
∴h＝ ．
由于h＝ ＜1，结合图2可得：
有4个位置使△CQD的面积为 ；
（3）过点Q作QN⊥CD于N，过点P作PM⊥CD于M，如图3．
∵S△CQD ＝ CD•QN＝ ×2×QN＝ ，
∴QN＝ ．
∵CD是 O的直径，QN⊥CD，
∴∠CQD⊙＝∠QND＝∠QNC＝90°，
∴∠CQN＝90°﹣∠NQD＝∠NDQ，
∴△QNC∽△DNQ，
∴ ＝ ，
∴QN2＝CN•DN，
设CN＝x，则有 ＝x（2﹣x），
整理得4x2﹣8x+1＝0，
解得：x ＝ ，x ＝ ．
1 2
∵CQ＞QD，∴x＝ ，
∴ ＝2+ ．
∵QN⊥CD，PM⊥CD，
∴∠PMC＝∠QNC＝90°．
∵∠MCP＝∠NCQ，
第15页（共18页）∴△PMC∽△QNC，
∴ ＝ ＝2+ ，
∴MC＝（2+ ）MP．
在Rt△AMP中，
tan∠MAP＝ ＝tan30°＝ ，
∴AM＝ MP．
∵AC＝AM+MC＝ MP+（2+ ）MP＝1，
∴MP＝ ，
∴AP＝2MP＝ ．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、三角函数、特殊角的
三角函数值、切线的性质、解一元二次方程等知识，把求AP的值转化为解△ABC是解
第16页（共18页）决第（3）小题的关键．
24．（10分）已知抛物线的表达式为y＝﹣x2+6x+c．
（1）若抛物线与x轴有交点，求c的取值范围；
（2）设抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为x 、x ，若x 2+x 2＝26，求c的值；
1 2 1 2
（3）若P、Q是抛物线上位于第一象限的不同两点，PA、QB都垂直于x轴，垂足分别
为A、B，且△OPA与△OQB全等，求证：c＞﹣ ．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）由题意△≥0，列出不等式即可解决问题．
（2）利用根与系数关系，列出方程即可解决问题．
（3）设P（m，n），则Q（n，m），列出方程组，求出m与n的关系，得到关于n的
方程，根据判别式大于0，即可解决问题．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴有交点，
∴b2﹣4ac≥0，
∴36+4c≥0，
∴c≥﹣9．
（2）∵x +x ＝6，x x ＝﹣c，
1 2 1 2
∴x 2+x 2＝（x +x ）2﹣2x x ＝36+2c＝26
1 2 1 2 1 2
∴c＝﹣5．
（3）∵△OPA≌△QOB，
∴OA＝BQ，AP＝OB，
∴可以设P（m，n），则Q（n，m）
第17页（共18页）将P（m，n），Q（n，m）代入原解析式中得：
﹣ 得：n2﹣m2+6m﹣6n＝n﹣m
①∴n2﹣②m2+7m﹣7n＝0，
∴（n﹣m）（n+m﹣7）＝0，
∴m＝n或m＝7﹣n，
∵m，n不相等，
∴m＝7﹣n，
将m＝7﹣n代入 得：n2﹣7n+7﹣c＝0，
∵b2﹣4ac＞0，
②
∴49﹣4（7﹣c）＞0，
∴c＞﹣ ．
【点评】本题考查二次函数综合题、根与系数的关系、方程组等知识，解题的关键是灵
活应用所学知识，学会利用参数，构建一元二次方程解决问题，属于中考压轴题．
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日期：2019/12/22 11:00:43；用户：初中数学；邮箱：sx0123@xyh.com；学号：30177373
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