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2015 年湖南省张家界市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.）
1．（3分）（2015•张家界）﹣2的相反数是（ ）
A． 2 B． ﹣2 C． D．
2．（3分）（2015•张家界）如图，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，以点C为圆心，半径为3
的圆与OA的位置关系是（ ）
A． 相离 B． 相交 C． 相切 D． 以上三种情况均有可能
3．（3分）（2015•张家界）下列运算正确的是（ ）
A． x2•x3=x6 B．5x﹣2x=3x C．（x2）3=x5 D．（﹣2x）2=﹣4x2
4．（3分）（2015•张家界）下列四个立体图形中，它们各自的三视图有两个相同，而另一个不
同的是（ ）
A． ①② B． ②③ C． ②④ D． ③④
5．（3分）（2015•张家界）若一组数据1、a、2、3、4的平均数与中位数相同，则a不可能是下列
选项中的（ ）
A． 0 B． 2.5 C． 3 D． 5
6．（3分）（2015•张家界）若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3=0有实数根，则k的非负整数值
是（ ）
A． 1 B． 0，1 C． 1，2 D． 1，2，3
7．（3分）（2015•张家界）函数y=ax（a≠0）与y= 在同一坐标系中的大致图象是（ ）
- 1 -A． B． C． D．
8．（3分）（2015•张家界）任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的
和，如：23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…按此规律，若m3分裂后其中有一个奇数是
2015，则m的值是（ ）
A． 46 B． 45 C． 44 D． 43
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）（2015•张家界）因式分解：x2﹣1= ．
10．（3分）（2015•张家界）如图，AC与BD相交于点O，且AB=CD，请添加一个条件
，使得△ABO≌△CDO．
11．（3分）（2015•张家界）由中国发起创立的“亚洲基础设施投资银行”的法定资本金为
100 000 000 000美元，用科学记数法表示为 美元．
12．（3分）（2015•张家界）如图，在△ABC中，已知DE∥BC， ，则△ADE与△ABC的面
积比为 ．
13．（3分）（2015•张家界）一个不透明的口袋中有3个红球，2个白球和1个黑球，它们除颜
色外完全相同，从中任意摸出一个球，则摸出的是黑球的概率是 ．
14．（3分）（2015•张家界）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使顶点C在半
圆上，点A、B的读数分别为100°、150°，则∠ACB的大小为 度．
- 2 -15．（3分）（2015•张家界）不等式组 的解集为 ．
16．（3分）（2015•张家界）如图，在四边形ABCD中，AD=AB=BC，连接AC，且∠ACD=30°，
tan∠BAC= ，CD=3，则AC= ．
三、解答题（本大题共9个小题，共计72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（6分）（2015•张家界）计算：（π﹣3.14）0+ ﹣（ ）﹣2+2sin30°．
18．（6分）（2015•张家界）如图，在边长均为1的正方形网格纸上有一个△ABC，顶点A、B、C
及点O均在格点上，请按要求完成以下操作或运算：
（1）将△ABC向上平移4个单位，得到△A B C （不写作法，但要标出字母）；
1 1 1
（2）将△ABC绕点O旋转180°，得到△A B C （不写作法，但要标出字母）；
2 2 2
（3）求点A绕着点O旋转到点A 所经过的路径长．
2
- 3 -19．（6分）（2015•张家界）先化简，再求值： ，其中a=1+
．
20．（8分）（2015•张家界）随着人民生活水平不断提高，我市“初中生带手机”现象也越来越
多，为了了解家长对此现象的态度，某校数学课外活动小组随机调查了若干名学生家长，并
将调查结果进行统计，得出如下所示的条形统计图和扇形统计图．
问：（1）这次调查的学生家长总人数为 ．
（2）请补全条形统计图，并求出持“很赞同”态度的学生家长占被调查总人数的百分比．
（3）求扇形统计图中表示学生家长持“无所谓”态度的扇形圆心角的度数．
- 4 -21．（8分）（2015•张家界）小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路，假设他始终保持
平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需
10min，从学校到家里需15min．问：从小华家到学校的平路和下坡路各有多远？
22．（8分）（2015•张家界）如图1是“东方之星”救援打捞现场图，小红据此构造出一个如图
2所示的数学模型，已知：A、B、D三点在同一水平线上，CD⊥AD，∠A=30°，∠CBD=75°，
AB=60m．
（1）求点B到AC的距离；
（2）求线段CD的长度．
23．（8分）（2015•张家界）阅读下列材料，并解决相关的问题．
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为a ，依此类推，排
1
在第n位的数称为第n项，记为a ．
n
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列
叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：数列1，3，
9，27，…为等比数列，其中a =1，公比为q=3．
1
则：（1）等比数列3，6，12，…的公比q为 ，第4项是 ．
- 5 -（2）如果一个数列a ，a ，a ，a ，…是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到： =q，
1 2 3 4
=q， =q，… =q．
所以：a =a •q，a =a •q=（a •q）•q=a •q2，a =a •q=（a •q2）•q=a •q3，…
2 1 3 2 1 1 4 3 1 1
由此可得：a = （用a 和q的代数式表示）．
n 1
（3）若一等比数列的公比q=2，第2项是10，请求它的第1项与第4项．
24．（10分）（2015•张家界）如图，已知：在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、
BC、CD、DA上，AE=CG，AH=CF，且EG平分∠HEF．求证：
（1）△AEH≌△CGF；
（2）四边形EFGH是菱形．
25．（12分）（2015•张家界）如图，二次函数y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点
B，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）过点A的直线AD∥BC且交抛物线于另一点D，求直线AD的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，请解答下列问题：
①在x轴上是否存在一点P，使得以B、C、P为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求出点
P的坐标；若不存在，请说明理由；
- 6 -②动点M以每秒1个单位的速度沿线段AD从点A向点D运动，同时，动点N以每秒 个
单位的速度沿线段DB从点D向点B运动，问：在运动过程中，当运动时间t为何值时，
△DMN的面积最大，并求出这个最大值．
- 7 -2015 年湖南省张家界市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.）
1．（3分）（2015•张家界）﹣2的相反数是（ ）
A． 2 B． ﹣2 C． D．
考点： 相反数．
分析： 根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
解答： 解：﹣2的相反数是：﹣（﹣2）=2，
故选A
点评： 本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正
数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数
的意义混淆．
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2．（3分）（2015•张家界）如图，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，以点C为圆心，半径为3
的圆与OA的位置关系是（ ）
A． 相离 B． 相交
C． 相切 D． 以上三种情况均有可能
考点： 直线与圆的位置关系．
分析： 利用直线l和⊙O相切⇔d=r，进而判断得出即可．
解答： 解：过点C作CD⊥AO于点D，
∵∠O=30°，OC=6，
∴DC=3，
∴以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是：相切．
故选：C．
- 8 -点评： 此题主要考查了直线与圆的位置，正确掌握直线与圆相切时d与r的关系是解题关键．
3．（3分）（2015•张家界）下列运算正确的是（ ）
A． x2•x3=x6 B． 5x﹣2x=3x C． （x2）3=x5 D． （﹣2x）2=﹣4x2
考点： 幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．
分析： 利用幂的有关性质及合并同类项的知识分别判断后即可确定正确的选项．
解答： 解：A、x2•x3=x5，故错误；
B、5x﹣2x=3x，故正确；
C、（x2）3=x6，故错误；
D、（﹣2x）2=4x2，故错误，
故选B．
点评： 本题考查了幂的运算性质及合并同类项的知识，解题的关键是能够熟练掌握有关幂
的运算性质，属于基本知识，比较简单．
4．（3分）（2015•张家界）下列四个立体图形中，它们各自的三视图有两个相同，而另一个不
同的是（ ）
A． ①② B． ②③ C． ②④ D． ③④
考点： 简单几何体的三视图．
分析： 根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形解答即
可．
解答： 解：球的三视图都是圆，①不正确；
正方体的三视图都是正方形，②不正确；
圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，③正确；
- 9 -圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是圆，④正确，
故选：D．
点评： 本题考查的是几何体的三视图，理解主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面
和上面看，所得到的图形是解题的关键．
5．（3分）（2015•张家界）若一组数据1、a、2、3、4的平均数与中位数相同，则a不可能是下列
选项中的（ ）
A． 0 B． 2.5 C． 3 D． 5
考点： 中位数；算术平均数．
分析： 首先求出这组数据的平均数是多少，再根据题意，分5种情况：（1）将这组数据从小到
大的顺序排列后为a，1，2，3，4；（2）将这组数据从小到大的顺序排列后为1，a，2，3，4；（3）将
这组数据从小到大的顺序排列后1，2，a，3，4；（4）将这组数据从小到大的顺序排列后为1，
2，3，a，4；（5）将这组数据从小到大的顺序排列为1，2，3，4，a；然后根据这组数据1、a、2、3、
4的平均数与中位数相同，求出a的值是多少，即可判断出a不可能是选项中的哪个数．
解答： 解：这组数据1、a、2、3、4的平均数为：
（1+a+2+3+4）÷5
=（a+10）÷5
=0.2a+2
（1）将这组数据从小到大的顺序排列后为a，1，2，3，4，
中位数是2，平均数是0.2a+2，
∵这组数据1、a、2、3、4的平均数与中位数相同，
∴0.2a+2=2，
解得a=0，符号排列顺序．
（2）将这组数据从小到大的顺序排列后为1，a，2，3，4，
中位数是2，平均数是0.2a+2，
∵这组数据1、a、2、3、4的平均数与中位数相同，
∴0.2a+2=2，
解得a=0，不符合排列顺序．
（3）将这组数据从小到大的顺序排列后1，2，a，3，4，
中位数是a，平均数是0.2a+2，
- 10 -∵这组数据1、a、2、3、4的平均数与中位数相同，
∴0.2a+2=a，
解得a=2.5，符合排列顺序．
（4）将这组数据从小到大的顺序排列后为1，2，3，a，4，
中位数是3，平均数是0.2a+2，
∵这组数据1、a、2、3、4的平均数与中位数相同，
∴0.2a+2=3，
解得a=5，不符合排列顺序．
（5）将这组数据从小到大的顺序排列为1，2，3，4，a，
中位数是3，平均数是0.2a+2，
∵这组数据1、a、2、3、4的平均数与中位数相同，
∴0.2a+2=3，
解得a=5；符合排列顺序；
综上，可得
a=0、2.5或5．
∴a不可能是3．
故选：C．
点评： （1）此题主要考查了中位数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：中
位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给
数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描
述其趋势．
（2）此题还考查了算术平均数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：平均数
是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
6．（3分）（2015•张家界）若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3=0有实数根，则k的非负整数值
是（ ）
A． 1 B． 0，1 C． 1，2 D． 1，2，3
考点： 根的判别式；一元二次方程的定义．
分析： 根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0列出关于k的不等式，求出不等
式的解集得到k的范围，即可确定出k的非负整数值．
- 11 -解答： 解：根据题意得：△=16﹣12k≥0，且k≠0，
解得：k≤ ，
则k的非负整数值为1．
故选：A．
点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣
4aC．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方
程没有实数根
7．（3分）（2015•张家界）函数y=ax（a≠0）与y= 在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
考点： 反比例函数的图象；正比例函数的图象．
分析： 根据正比例函数与反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
解答： 解：A、由反比例函数的图象可知a＞0，由正比例函数的图象可知a＜0，二者相矛盾，
故本选项错误；
B、由反比例函数的图象可知a＜0，由正比例函数的图象可知a＞0，二者相矛盾，故本选项错
误；
C、由反比例函数的图象可知a＞0，由正比例函数的图象可知a＜0，二者相矛盾，故本选项错
误；
D、由反比例函数的图象可知a＞0，由正比例函数的图象可知a＞0，二者一致，故本选项正确．
故选D．
点评： 本题考查的是反比例函数的性质，熟知一次函数与反比例函数的图象与系数的关系
是解答此题的关键．
- 12 -8．（3分）（2015•张家界）任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的
和，如：23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…按此规律，若m3分裂后其中有一个奇数是
2015，则m的值是（ ）
A． 46 B． 45 C． 44 D． 43
考点： 规律型：数字的变化类．
分析： 观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，然后求出到m3的所有奇数的个数的表
达式，再求出奇数2015的是从3开始的第1007个数，然后确定出1007所在的范围即可得解．
解答： 解：∵底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4
个奇数，
∴m3有m个奇数，
所以，到m3的奇数的个数为：2+3+4+…+m= ，
∵2n+1=2015，n=1007，
∴奇数2015是从3开始的第1007个奇数，
∵ =966， =1015，
∴第1007个奇数是底数为45的数的立方分裂的奇数的其中一个，
即m=45．
故选B．
点评： 本题是对数字变化规律的考查，观察出分裂的奇数的个数与底数相同是解题的关键，
还要熟练掌握求和公式．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）（2015•张家界）因式分解：x2﹣1= （ x + 1 ）（ x ﹣ 1 ） ．
考点： 因式分解-运用公式法．
专题： 因式分解．
分析： 方程利用平方差公式分解即可．
解答： 解：原式=（x+1）（x﹣1）．
故答案为：（x+1）（x﹣1）．
点评： 此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
- 13 -10．（3分）（2015•张家界）如图，AC与BD相交于点O，且AB=CD，请添加一个条件
∠ A =∠ C ，使得△ABO≌△CDO．
考点： 全等三角形的判定．
专题： 开放型．
分析： 首先根据对顶角相等，可得∠AOB=∠COD；然后根据两角及其中一个角的对边对应
相等的两个三角形全等，要使得△ABO≌△CDO，则只需∠A=∠C即可．
解答： 解：∵∠AOB、∠COD是对顶角，
∴∠AOB=∠COD，
又∵AB=CD，
∴要使得△ABO≌△CDO，
则只需添加条件：∠A=∠C．
故答案为：∠A=∠C．
点评： 此题主要考查了全等三角形的判定，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）判定
定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其
夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等
的两个三角形全等．（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角
形全等．（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
11．（3分）（2015•张家界）由中国发起创立的“亚洲基础设施投资银行”的法定资本金为
100 000 000 000美元，用科学记数法表示为 1.0×1 0 1 1 美元．
考点： 科学记数法—表示较大的数．
分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要
看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对
值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答： 解：100 000 000 000=1.0×1011．
- 14 -故答案为：1.0×1011．
点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（3分）（2015•张家界）如图，在△ABC中，已知DE∥BC， ，则△ADE与△ABC的面
积比为 4 ： 2 5 ．
考点： 相似三角形的判定与性质．
分析： 根据题意可得△ADE∽△ABC，然后根据面积比为相似比的平方求解．
解答： 解：在△ABC中，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵ ，
∴S ：S =4：25．
△ADE △ABC
故答案为：4：25．
点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握相似三角形的面积比
为相似比的平方．
13．（3分）（2015•张家界）一个不透明的口袋中有3个红球，2个白球和1个黑球，它们除颜
色外完全相同，从中任意摸出一个球，则摸出的是黑球的概率是 ．
考点： 概率公式．
分析： 由在不透明的布袋中装有3个红球，2个白球，1个黑球，利用概率公式直接求解即可
求得答案．
解答： 解：∵在不透明的布袋中装有3个红球，2个白球，1个黑球，
- 15 -∴从袋中任意摸出一个球，摸出的球是黑球的概率是： = ．
故答案为： ．
点评： 此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
14．（3分）（2015•张家界）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使顶点C在半
圆上，点A、B的读数分别为100°、150°，则∠ACB的大小为 2 5 度．
考点： 圆周角定理．
专题： 计算题．
分析： 连接OA，OB，根据题意确定出∠AOB的度数，利用圆周角定理即可求出∠ACB的度
数．
解答： 解：连接OA，OB，由题意得：∠AOB=50°，
∵∠ACB与∠AOB都对 ，
∴∠ACB= ∠AOB=25°，
故答案为：25
点评： 此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．
15．（3分）（2015•张家界）不等式组 的解集为 ﹣ 1 ＜ x ≤ 2 ．
- 16 -考点： 解一元一次不等式组．
分析： 先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集找出不等式组的解集即可．
解答： 解：
∵解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
故答案为：﹣1＜x≤2．
点评： 本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集找出
不等式组的解集，难度适中．
16．（3分）（2015•张家界）如图，在四边形ABCD中，AD=AB=BC，连接AC，且∠ACD=30°，
tan∠BAC= ，CD=3，则AC= 6 ．
考点： 全等三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形．
专题： 分类讨论．
分析： 过点D、B分别作DE⊥AC，BH⊥AC，垂足分别为E、H，设AC=x，先求得AE（用含x的
式子表示）和DE的长，根据勾股定理可表示出AD2，然后根据等腰三角形三线合一的性质可
知：AH= ，然后根据锐角三角函数的定义可求得HB（用含x的式子表示）的长，根据勾股
定理可表示出AB2，然后根据AB=CD，列方程求解即可．
解答： 解：过点D、B分别作DE⊥AC，BH⊥AC，垂足分别为E、H，设AC=x．
- 17 -在Rt△CDE中，DC=3，∠DCE=30°，
∴ ， ．
∴DE= ，CE= ．
则AE=x﹣ ，
在Rt△AED中，由勾股定理得：AD2=AE2+DE2= ，
∵AB=BC，BH⊥AC，
∴AH= AC= ，
∵tan∠BAC= ，
∴BH=
在Rt△ABH中，由勾股定理得：AB2=BH2+AH2，
∴ ．
∵AB=AD，
∴ =
解得：x = ，x = ．
1 2
当AC= 时，AC＜DC，与图形不符舍去．
∴AC=6 ．
点评： 本题主要考查的是勾股定理、锐角三角函数、等腰三角形的性质和一元二次方程的应
用，利用锐角三角函数的定义和等腰三角形的性质求得AH、BH的长度是解题的关键．
- 18 -三、解答题（本大题共9个小题，共计72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（6分）（2015•张家界）计算：（π﹣3.14）0+ ﹣（ ）﹣2+2sin30°．
考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
分析： 先根据二次根式的性质，零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂求出每一部
分的值，再代入求出即可．
解答： 解：原式=1+2﹣4+2×
=0．
点评： 本题考查了二次根式的性质，零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂的应用，
能求出各个部分的值是解此题的关键，难度适中．
18．（6分）（2015•张家界）如图，在边长均为1的正方形网格纸上有一个△ABC，顶点A、B、C
及点O均在格点上，请按要求完成以下操作或运算：
（1）将△ABC向上平移4个单位，得到△A B C （不写作法，但要标出字母）；
1 1 1
（2）将△ABC绕点O旋转180°，得到△A B C （不写作法，但要标出字母）；
2 2 2
（3）求点A绕着点O旋转到点A 所经过的路径长．
2
考点： 作图-旋转变换；弧长的计算；作图-平移变换．
分析： （1）根据图形平移的性质画出平移后的△A B C 即可；
1 1 1
（2）根据图形旋转的性质画出△ABC绕点O旋转180°后得到的△A B C ；
2 2 2
（3）根据弧长的计算公式列式即可求解．
- 19 -解答： 解：（1）△A B C 如图所示；
1 1 1
（2）△A B C 如图所示：
2 2 2
（3）∵OA=4，∠AOA =180°，
2
∴点A绕着点O旋转到点A 所经过的路径长为 =4π．
2
点评： 本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应
点的位置是解题的关键．也考查了弧长的计算．
19．（6分）（2015•张家界）先化简，再求值： ，其中a=1+
．
考点： 分式的化简求值．
专题： 计算题．
分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约
分得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
解答： 解：原式= •
= •
- 20 -= ，
当a=1+ ，b=1﹣ 时，原式= = ．
点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（8分）（2015•张家界）随着人民生活水平不断提高，我市“初中生带手机”现象也越来越
多，为了了解家长对此现象的态度，某校数学课外活动小组随机调查了若干名学生家长，并
将调查结果进行统计，得出如下所示的条形统计图和扇形统计图．
问：（1）这次调查的学生家长总人数为 20 0 ．
（2）请补全条形统计图，并求出持“很赞同”态度的学生家长占被调查总人数的百分比．
（3）求扇形统计图中表示学生家长持“无所谓”态度的扇形圆心角的度数．
考点： 条形统计图；扇形统计图．
分析： （1）利用持反对态度的人数和所占百分比进而求出总人数；
（2）利用（1）中所求得出持很赞同态度的人数没进而求出所占百分比；
（3）利用（1）中所求得出学生家长持“无所谓”态度的扇形圆心角的度数．
解答： 解：（1）这次调查的家长总人数为：60÷30%=200（人）；
故答案为：200；
（2）如图所示：
持“很赞同”态度的学生家长占被调查总人数的百分比为：
（200﹣80﹣20﹣60）÷200×100%=20%；
- 21 -（3）学生家长持“无所谓”态度的扇形圆心角的度数为： ×360°=36°．
点评： 此题主要考查了扇形统计图和条形统计图的综合应用，利用图形得出正确信息是解
题关键．
21．（8分）（2015•张家界）小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路，假设他始终保持
平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需
10min，从学校到家里需15min．问：从小华家到学校的平路和下坡路各有多远？
考点： 二元一次方程组的应用．
分析： 设出平路和坡路的路程，从家里到学校走平路和下坡路一共用10分钟，从学校到家
里走上坡路和平路一共用15分钟，利用这两个关系式列出方程组解答即可．
解答： 解：设平路有xm，下坡路有ym，
根据题意得 ，
解得： ，
答：小华家到学校的平路和下坡路各为300m，400m．
点评： 本题考查了二元一次方程的应用，此题主要利用时间、速度、路程三者之间的关系解
答，注意来回坡路的变化是解题的关键．
- 22 -22．（8分）（2015•张家界）如图1是“东方之星”救援打捞现场图，小红据此构造出一个如图
2所示的数学模型，已知：A、B、D三点在同一水平线上，CD⊥AD，∠A=30°，∠CBD=75°，
AB=60m．
（1）求点B到AC的距离；
（2）求线段CD的长度．
考点： 解直角三角形的应用．
专题： 应用题．
分析： 过点B作BE⊥AC于点E，在直角三角形AEB中，利用锐角三角函数定义求出AE的长，
在直角三角形CEB中，利用锐角三角函数定义求出BE与CE的长，由AE+CE求出AC的长，
即可求出CD的长．
解答： 解：过点B作BE⊥AC于点E，
在Rt△AEB中，AB=60m，sinA= ，BE=60× =30，cosA= ，
∴AE=60× =30 m，
在Rt△CEB中，∠ACB=∠CBD﹣∠A=75°﹣30°=45°，
∴BE=CE=30m，
∴AC=AE+CE=（30+30 ）m，
在Rt△ADC中，sinA= ，
则CD=（30+30 ）× =（15+15 ）m．
- 23 -点评： 此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
23．（8分）（2015•张家界）阅读下列材料，并解决相关的问题．
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为a ，依此类推，排
1
在第n位的数称为第n项，记为a ．
n
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列
叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：数列1，3，
9，27，…为等比数列，其中a =1，公比为q=3．
1
则：（1）等比数列3，6，12，…的公比q为 2 ，第4项是 2 4 ．
（2）如果一个数列a ，a ，a ，a ，…是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到： =q，
1 2 3 4
=q， =q，… =q．
所以：a =a •q，a =a •q=（a •q）•q=a •q2，a =a •q=（a •q2）•q=a •q3，…
2 1 3 2 1 1 4 3 1 1
由此可得：a = a • q n ﹣1 （用a 和q的代数式表示）．
n 1 1
（3）若一等比数列的公比q=2，第2项是10，请求它的第1项与第4项．
考点： 规律型：数字的变化类．
专题： 阅读型．
分析： （1）由第二项除以第一项求出公比q的值，确定出第4项即可；
（2）根据题中的定义归纳总结得到通项公式即可；
（3）由公比q与第二项的值求出第一项的值，进而确定出第4项的值．
解答： 解：（1）q= =2，第4项是24；
（2）归纳总结得：a =a •qn﹣1；
n 1
- 24 -（3）∵等比数列的公比q=2，第二项为10，
∴a = =5，a =a •q3=5×23=40．
1 4 1
故答案为：（1）2；24；（2）a •qn﹣1
1
点评： 此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．
24．（10分）（2015•张家界）如图，已知：在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、
BC、CD、DA上，AE=CG，AH=CF，且EG平分∠HEF．求证：
（1）△AEH≌△CGF；
（2）四边形EFGH是菱形．
考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．
分析： （1）由全等三角形的判定定理SAS证得结论；
（2）易证四边形EFGH是平行四边形，那么EF∥GH，那么∠HGE=∠FEG，而EG是角平分线，
易得∠HEG=∠FEG，根据等量代换可得∠HEG=∠HGE，从而有HE=HG，易证四边形EFGH
是菱形．
解答： （1）证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
在△AEH与△CGF中，
，
∴△AEH≌△CGF（SAS）；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠D．
又∵AE=CG，AH=CF，
- 25 -∴BE=DG，BF=DH，
在△BEF与△DGH中，
∴△BEF≌△DGH（SAS），
∴EF=GH．
又由（1）知，△AEH≌△CGF，
∴EH=GF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴HG∥EF，
∴∠HGE=∠FEG，
∵EG平分∠HEF，
∴∠HEG=∠FEG，
∴∠HEG=∠HGE，
∴HE=HG，
∴四边形EFGH是菱形．
点评： 本题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定．解题
的关键是掌握两组对边相等的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形．
25．（12分）（2015•张家界）如图，二次函数y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点
B，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）过点A的直线AD∥BC且交抛物线于另一点D，求直线AD的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，请解答下列问题：
①在x轴上是否存在一点P，使得以B、C、P为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求出点
P的坐标；若不存在，请说明理由；
- 26 -②动点M以每秒1个单位的速度沿线段AD从点A向点D运动，同时，动点N以每秒 个
单位的速度沿线段DB从点D向点B运动，问：在运动过程中，当运动时间t为何值时，
△DMN的面积最大，并求出这个最大值．
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）把A（﹣1，0），C（0，3）代入y=ax2+2x+c即可得到结果；
（2）在y=﹣x2+2x+3中，令y=0，则﹣x2+2x+3=0，得到B（3，0），由已知条件得直线BC的解析
式为y=﹣x+3，由于AD∥BC，设直线AD的解析式为y=﹣x+b，即可得到结论；
（3）①由BC∥AD，得到∠DAB=∠CBA，全等只要当 或 时，△PBC∽△ABD，解方
程组 得D（4，﹣5），求出AD= ，AB=4，BC= ，设P的坐标为（x，0），
代入比例式解得 或x=﹣4.5即可得到 或P（﹣4.5，0）；
②过点B作BF⊥AD于F，过点N作NE⊥AD于E，在Rt△AFB中，∠BAF=45°，于是得到
，求得BF= ，BD= ，求得 ，由
- 27 -于DM= ，DN= ，于是得到 = =
= ，即可得到结果．
解答： 解：（1）由题意知： ，
解得 ，
∴二次函数的表达式为y=﹣x2+2x+3；
（2）在y=﹣x2+2x+3中，令y=0，则﹣x2+2x+3=0，
解得：x =﹣1，x =3，
1 2
∴B（3，0），
由已知条件得直线BC的解析式为y=﹣x+3，
∵AD∥BC，
∴设直线AD的解析式为y=﹣x+b，
∴0=1+b，
∴b=﹣1，
∴直线AD的解析式为y=﹣x﹣1；
（3）①∵BC∥AD，
∴∠DAB=∠CBA，
∴只要当： 或 时，△PBC∽△ABD，
解 得D（4，﹣5），
∴AD= ，AB=4，BC= ，
设P的坐标为（x，0），
即 或 ，
解得 或x=﹣4.5，
- 28 -∴ 或P（﹣4.5，0），
②过点B作BF⊥AD于F，过点N作NE⊥AD于E，
在Rt△AFB中，∠BAF=45°，
∴ ，
∴BF= ，BD= ，
∴ ，
∵DM= ，DN= ，
又∵ ，NE= ，
∴ = = =
，
∴当 时，S 的最大值为 ．
△MDN
点评： 本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法，锐角三角函数，最值
的求法，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
- 29 -- 30 -
