文档内容
2020年湖南省张家界市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1．（3分） 的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．2020 D．﹣2020
2．（3分）如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，则它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2a+3a＝5a2 B．（a2）3＝a5
C．（a+1）2＝a2+1 D．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4
4．（3分）下列采用的调查方式中，不合适的是（ ）
A．了解澧水河的水质，采用抽样调查
B．了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查
C．了解张家界市中学生睡眠时间，采用抽样调查
D．了解某班同学的数学成绩，采用全面调查
5．（3分）如图，四边形ABCD为 O的内接四边形，已知∠BCD为120°，则∠BOD的度数为
（ ） ⊙
第1页（共19页）A．100° B．110° C．120° D．130°
6．（3分）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人
与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘
一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（ ）
A． ﹣9 B． +2＝ C． ﹣2＝ D． +9
7．（3分）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该等腰三角
形的底边长为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．2或4
8．（3分）如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y＝
﹣ 和y＝ 的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC
的面积为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．14
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
9．（3分）因式分解：x2﹣9＝ ．
10．（3分）今年夏季我国南方多地连降暴雨，引发了严重的洪涝灾害，给国家和人民的财产
造成了严重的损失，为支持地方各级政府组织群众进行抗灾自救，国家发展改革委员会下
第2页（共19页）达了211000000元救灾应急资金支持暴雨洪涝灾区用于抗洪救灾，则 211000000元用科
学记数法表示为 元．
11．（3分）如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝38°，一束光线（与水平线OB平行）从
点C射入经平面镜反射后，反射光线落在OB上的点E处，则∠DEB的度数是 度．
12．（3分）新学期开学，刚刚组建的七年级（1）班有男生30人，女生24人，欲从该班级中选
出一名值日班长，任何人都有同样的机会，则这班选中一名男生当值日班长的概率是
．
13．（3分）如图，正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到
CEFG位置，使得点B落在对角线CF上，则阴影部分的面积是 ．
14．（3分）观察下面的变化规律：
＝1﹣ ， ＝ ﹣ ， ＝ ﹣ ， ＝ ﹣ ，…
根据上面的规律计算： ＝ ．
三、解答题（本大题共9个小题，满分0分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后的答
题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效）
15．计算：|1﹣ |﹣2sin45°+（3.14﹣ ）0﹣（ ）﹣2．
π
16．如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，
F．
（1）求证：△DOE≌△BOF；
第3页（共19页）（2）若AB＝6，AD＝8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．
17．先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中x＝ ．
18．为保障学生的身心健康和生命安全，政府和教育职能部门开展“安全知识进校园”宣传
活动．为了调查学生对安全知识的掌握情况，从某中学随机抽取40名学生进行了相关知
识测试，将成绩（成绩取整数）分为“A：69分及以下，B：70～79分，C：80～89分，D：90～
100分”四个等级进行统计，得到如图未画完整的统计图：
D组成绩的具体情况是：
分数（分） 93 95 97 98 99
人数（人） 2 3 5 2 1
根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）D组成绩的中位数是 分；
（3）假设该校有1200名学生都参加此次测试，若成绩80分以上（含80分）为优秀，则该校
成绩优秀的学生人数约有多少人？
19．今年疫情防控期间，某学校花2000元购买了一批消毒液以满足全体师生的需要．随着疫
情的缓解以及各种抗疫物资供应更充足，消毒液每瓶下降了2元，学校又购买了一批消毒
液，花1600元购买到的数量与第一次购买到的数量相等，求第一批购进的消毒液的单价．
20．阅读下面的材料：
第4页（共19页）对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a≥b时，
min{a，b}＝b，如：min{4，﹣2}＝﹣2，min{5，5}＝5．
根据上面的材料回答下列问题：
（1）min{﹣1，3}＝ ；
（2）当min 时，求x的取值范围．
21．“南天一柱”是张家界“三千奇峰”中的一座，位于世界自然遗产武陵源风景名胜区袁
家界景区南端．2010年1月25日，“南天一柱”正式命名为《阿凡达》的“哈利路亚山”．
如图，航拍无人机以9m/s的速度在空中向正东方向飞行，拍摄云海中的“南天一柱”美
景．在A处测得“南天一柱”底部C的俯角为37°，继续飞行6s到达B处，这时测得“南
天一柱”底部C的俯角为45°，已知“南天一柱”的高为150m，问这架航拍无人机继续向
正东飞行是否安全？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB为直径作 O，过点C作直线CD交AB的延长
线于点D，使∠BCD＝∠A． ⊙
（1）求证：CD为 O的切线；
（2）若DE平分∠⊙ADC，且分别交AC，BC于点E，F，当CE＝2时，求EF的长．
23．如图，抛物线y＝ax2﹣6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x+5经过点B，
C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l与直线BC相交于点P，连接AC，AP，判定△APC的形状，并说明理
由；
第5页（共19页）（3）在直线BC上是否存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍？若存在，请
求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
第6页（共19页）2020年湖南省张家界市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1．【分析】根据倒数之积等于1可得答案．
【解答】解： 的倒数是2020，
故选：C．
【点评】此题主要考查了倒数，解题的关键是掌握倒数定义．
2．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看有三列，从左到右依次有2、1、1个正方形，图形如下：
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，解题时注意从正面看得到的图形是主视图．
3．【分析】根据合并同类项、幂的乘方、完全平方公式和平方差公式逐一进行判断即可
【解答】解：A、2a+3a＝5a，故原式错误；
B、（a2）3＝a6，故原式错误；
C、（a+1）2＝a2+2a+1，故原式错误；
D、（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，故原式正确，
故选：D．
【点评】此题考查了合并同类项、幂的乘方、完全平方公式和平方差公式，熟练掌握公式及
法则是解本题的关键．
4．【分析】根据调查对象的特点，结合普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时
间较多，而抽样调查得到的调查结果接近准确数值，从而可得答案．
【解答】解：了解澧水河的水质，采用普查不太可能做到，所以采用抽样调查，故A合适，
了解一批灯泡的使用寿命，不宜采用全面调查，因为调查带有破坏性，故B不合适，
了解张家界市中学生睡眠时间，工作量大，宜采用抽样调查，故C合适，
了解某班同学的数学成绩，采用全面调查．合适，故D合适，
第7页（共19页）故选：B．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对
象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价
值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
5．【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算，得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是 O的内接四边形，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝60°， ⊙
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，
故选：C．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
6．【分析】根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得： +2＝ ．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次
方程是解题的关键．
7．【分析】解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论
边长，即可得出答案．
【解答】解：x2﹣6x+8＝0
（x﹣4）（x﹣2）＝0
解得：x＝4或x＝2，
当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，此时三
角形的底边长为2，
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程
的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键．
8．【分析】根据两平行直线之间共底三角形的面积相等可知，当C点位于O点时，△ABC的
面积与△ABO的面积相等，由此即可求解．
【解答】解：∵AB∥x轴，且△ABC与△ABO共底边AB，
∴△ABC的面积等于△ABO的面积，
第8页（共19页）连接OA、OB，如下图所示：
则 ＝ ．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数上一点向坐标轴作垂
线，与原点构成的矩形的面积为|k|这个结论．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
9．【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝（x+3）（x﹣3），
故答案为：（x+3）（x﹣3）．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
10．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：211000000的小数点向左移动8位得到2.11，
所以211000000用科学记数法表示为2.11×108，
故答案为：2.11×108．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
11．【分析】根据平行线的性质可得∠ADC的度数，由光线的反射定理可得∠ODE的度数，再
根据三角形外角性质即可求解．
【解答】解：∵DC∥OB，
∴∠ADC＝∠AOB＝38°，
由光线的反射定理易得，∠ODE＝∠ADC＝38°，
∠DEB＝∠ODE+∠AOB＝38°+38°＝76°，
故答案为：76°．
第9页（共19页）【点评】本题考查平行线的性质、三角形外角性质和光线的反射定理，掌握入射角＝反射
角是解题的关键．
12．【分析】先求出全班的学生数，再根据概率公式进行求解即可．
【解答】解：全班共有学生30+24＝54（人），
其中男生30人，
则这班选中一名男生当值日班长的概率是 ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了简单的概率计算，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相
同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
13．【分析】如图所示，△ENC、△MPF为等腰直角三角形，先求出MB＝NC＝ ，证明
△PBC≌△PEC，进而得到EP＝BP，设MP＝x，则EP＝BP＝ ，解出x，最后阴影部分
面积等于2倍△BPC面积即可求解．
【解答】解：方法一：正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度
到CEFG位置，使得点B落在对角线CF上，
∴EF＝CE＝1，
∴CF＝ ，
∴BF＝ ﹣1，
∵∠BFE＝45°，
∴阴影部分的面积＝ ×1×1﹣ ×（ ﹣1）2＝ ﹣1；
方法二：∵过E点作MN∥BC交AB、CD于M、N点，设AB与EF交于点P点，连接CP，
如下图所示，
第10页（共19页）∵B在对角线CF上，
∴∠DCE＝∠ECF＝45°，EC＝1，
∴△ENC为等腰直角三角形，
∴MB＝CN＝ EC＝ ，
又BC＝AD＝CD＝CE，且CP＝CP，△PEC和△PBC均为直角三角形，
∴Rt△PEC≌Rt△PBC（HL），
∴PB＝PE，
又∠PFB＝45°，
∴∠FPB＝45°＝∠MPE，
∴△MPE为等腰直角三角形，
设MP＝x，则EP＝BP＝ ，
∵MP+BP＝MB，
∴ ，解得 ，
∴BP＝ ，
∴阴影部分的面积＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了正方形的性质及旋转的性质，本题关键是能想到过E点作BC的平行
线，再证明△ENC、△MPF为等腰直角三角形进而求解线段长．
14．【分析】本题可通过题干信息总结分式规律，按照该规律展开原式，根据邻项相消求解本
题．
【解答】解：由题干信息可抽象出一般规律： （a，b均为奇数，且b＝a+2）．
故
＝1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣
＝1﹣
＝ ．
第11页（共19页）故答案： ．
【点评】本题考查规律型：数字的变化类，规律的抽象总结，解答该类型题目需要准确识别
题干所给的例子包含何种规律，严格按照该规律求解．
三、解答题（本大题共9个小题，满分0分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后的答
题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效）
15．【分析】根据绝对值的性质，特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂进行运算即可．
【解答】解：原式＝ ﹣1﹣2× +1﹣4
＝ ﹣1﹣ +1﹣4
＝﹣4．
【点评】本题考查了绝对值的性质、特殊角的三角函数值、零次幂、负整数指数幂，熟知以
上运算是解题的关键．
16．【分析】（1）根据矩形的性质可得BO＝DO，∠EOD＝∠FOB，∠EDO＝∠FBO，即可证的
两个三角形全等；
（2）设AE＝x，根据已知条件可得AE＝8﹣x，由（1）可推得△EBO≌△EDO，可得ED＝
EB，可证得四边形EBFD是菱形，根据勾股定理可得BE的长，即可求得周长；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，DO＝BO，
∴∠EDO＝∠FBO，
又∵EF⊥BD，
∴∠EOD＝∠FOB＝90°，
在△DOE和△BOF中，
，
∴△DOE≌△BOF（ASA）；
（2）解：∵由（1）可得，ED∥BF，ED＝BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵BO＝DO，EF⊥BD，
∴ED＝EB，
第12页（共19页）∴四边形BFDE是菱形，
根据AB＝6，AD＝8，设AE＝x，可得BE＝ED＝8﹣x，
在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：BE2＝AB2+AE2，
即（8﹣x）2＝x2+62，
解得： ，
∴ ，
∴四边形BFDE的周长＝ ．
【点评】本题主要考查了矩形的性质应用，结合菱形的判定与性质、全等三角形的判定进
行求解是解题的关键．
17．【分析】括号内后面的分式分子、分母先分解因式，约分后进行分式的减法运算，然后再进
行分式的除法运算进行化简，最后把x的值代入进行计算即可．
【解答】解：（ ﹣ ）÷
＝
＝
＝
＝ ，
当 时，原式＝ ＝1．
【点评】本题考查了分式的混合运算﹣﹣化简求值，涉及了二次根式的运算、分式的约分、
分式的除法运算、减法运算等，熟练掌握各运算法则是解题的关键．
18．【分析】（1）用总人数减去A、B、D三组的人数和即可得出C组的人数，然后补全条形统
计图即可；
（2）D组共有13人，把数据按照从小到大（从大到小）的顺序排列，找到中间第七个数据
即可；
（3）用1200乘以80分以上的人数所占的比例即可得出人数．
第13页（共19页）【解答】解：（1）C的人数为：40﹣（5+12+13）＝40﹣30＝10，
补全条形统计图如右图所示：
（2）D组共有13名学生，按照从小到大的顺序排列是：93、93、95、95、95、97、97、97、97、
97、98、98、99，
第七个数据为中位数，是97，
故答案为：97；
（3）1200× ＝690（人），
即该校成绩优秀的学生人数约有690人，
故答案为：690人．
【点评】本题主要考查的是条形统计图，中位数以及用样本估计总体，解决本题的关键就
是明确题意，找出所求问题的条件，仔细计算．
19．【分析】设第一批购进的消毒液的单价为x元，则第二批购进的消毒液的单价为（x﹣2）元，
根据数量＝总价÷单价结合花2000元购买的第一批消毒液和花1600元购买的第二批消
毒液数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设第一批购进的消毒液的单价为x元，则第二批购进的消毒液的单价为（x﹣
2）元，
依题意，得： ＝ ，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意．
答：第一批购进的消毒液的单价为10元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
20．【分析】（1）比较大小，即可得出答案；
第14页（共19页）（2）根据题意判断出 ，解不等式即可判断x的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得min{﹣1，3}＝﹣1；
故答案为：﹣1；
（2）由题意得：
3（2x﹣3）≥2（x+2）
6x﹣9≥2x+4
4x≥13
x≥ ，
∴x的取值范围为x≥ ．
【点评】本题考查的是一元一次不等式的应用，根据题意理解新定义的计算公式是解题的
关键．
21．【分析】设无人机距地面xm，直线AB与南天一柱相交于点D，根据AD﹣BD＝AB列方程
求出x的值，与南天一柱的高度比较即可．
【解答】解：设无人机距地面xm，直线AB与南天一柱所在直线相交于点D，由题意得
∠CAD＝37°，∠CBD＝45°．
在Rt△ACD中，
∵tan∠CAD＝ ，
∴AD＝ ．
在Rt△BCD中，
∵tan∠CBD＝ ，
∴BD＝x．
∵AD﹣BD＝AB，
∴ ﹣x＝9×6，
∴x＝162，
∵162＞150，
∴这架航拍无人机继续向正东飞行安全．
第15页（共19页）【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助
线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．
22．【分析】（1）如图，连接OC，欲证明CD是 O的切线，只需求得∠OCD＝90°；
（2）由角平分线及三角形外角性质可得∠A⊙+∠ADE＝∠BCD+∠CDF，即∠CEF＝
∠CFE，根据勾股定理可求得EF的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵AB为 O的直径，
∴∠ACB⊙＝90°，即∠A+∠ABC＝90°，
又∵OC＝OB，
∴∠ABC＝∠OCB，
∵∠BCD＝∠A，
∴∠BCD+∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°，
∵OC是圆O的半径，
∴CD是 O的切线；
（2）解：⊙∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠ADE，
又∵∠BCD＝∠A，
∴∠A+∠ADE＝∠BCD+∠CDF，即∠CEF＝∠CFE，
∵∠ACB＝90°，CE＝2，
∴CE＝CF＝2，
∴EF＝ ．
第16页（共19页）【点评】此题主要考查切线的判定方法、角平分线及三角形外角性质和勾股定理，熟练进
行推理论证是解题关键．
23．【分析】（1）先根据直线y＝﹣x+5经过点B，C，即可确定B、C的坐标，然后用待定系数
法解答即可；
（2）先求出A、B的坐标结合抛物线的对称性，说明三角形APB为等腰三角形；再结合OB
＝OC得到∠ABP＝45°，进一步说明∠APB＝90°，则∠APC＝90°即可判定△APC的形状；
（3）作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E；然后说明
△ANB为等腰直角三角形，进而确定N的坐标；再求出AC的解析式，进而确定M E的解
1
析式；然后联立直线BC和M E的解析式即可求得M 的坐标；在直线BC上作点M 关于
1 1 1
N点的对称点M ，利用中点坐标公式即可确定点M 的坐标．
2 2
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+5经过点B，C，
∴当x＝0时，可得y＝5，即C的坐标为（0，5）．
当y＝0时，可得x＝5，即B的坐标为（5，0）．
∴ ．
解得 ．
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+5；
（2）△APC为直角三角形，理由如下：
∵解方程x2﹣6x+5＝0，则x ＝1，x ＝5．
1 2
∴A（1，0），B（5，0）．
∵抛物线y＝x2﹣6x+5的对称轴l为x＝3，
∴△APB为等腰三角形．
∵C的坐标为（0，5），B的坐标为（5，0），
∴OB＝CO＝5，即∠ABP＝45°．
∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠ABP＝45°，
∴∠ABP＝45°．
∴∠APB＝180°﹣45°﹣45°＝90°．
∴∠APC＝180°﹣90°＝90°．
∴△APC为直角三角形；
第17页（共19页）（3）如图：作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M ，AC于E，
1
∵M A＝M C，
1 1
∴∠ACM ＝∠CAM ．
1 1
∴∠AM B＝2∠ACB．
1
∵△ANB为等腰直角三角形．
∴AH＝BH＝NH＝2．
∴N（3，2）．
设AC的函数解析式为y＝kx+b（k≠0）．
∵C（0，5），A（1，0），
∴ ．
解得b＝5，k＝﹣5．
∴AC的函数解析式为y＝﹣5x+5，
设EM 的函数解析式为y＝ x+n，
1
∵点E的坐标为（ ）．
∴ ＝ × +n，
解得：n＝ ．
∴EM 的函数解析式为y＝ x+ ．
1
第18页（共19页）∵ ．
解得 ．
∴M 的坐标为（ ）；
1
在直线BC上作点M 关于N点的对称点M ，
1 2
设M （a，﹣a+5），
2
则有：3＝ ，解得a＝ ．
∴﹣a+5＝ ．
∴M 的坐标为（ ， ）．
2
综上，存在使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍的点，且坐标为M（ ），M
1 2
（ ， ）．
【点评】本题属于二次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式、等
腰直角三角形的判定与性质、一次函数图象、三角形外角等知识，考查知识点较多，综合
应用所学知识成为解答本题的关键．
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