文档内容
铜川市 2024 年高三质量检测卷
数学（文科）
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指
定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区
域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；
字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：高考范围.
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的
1.若集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知复数 ，则 （ ）
A. B.2 C. D.3
3.从 这九个数字中任取两个，这两个数的和为质数的概率为（ ）
A. B. C. D.
4.已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的9倍，则它的侧面积扩大为原来的（ ）
A. 倍 B.3倍 C. 倍 D.9倍
5.已知 是 上的两个动点， 是线段 的中点，若 6，则点 的轨
迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
学科网（北京）股份有限公司6.已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 （ ）
A.-2 B.2 C. D.
7.设 为抛物线 的焦点，点 在抛物线上，点 在准线 上，满足 轴.若 ，
则 （ ）
A.2 B. C.3 D.
8.已知实数 满足约束条件： 则 的最大值为（ ）
A. B. C.-1 D.
9.在递增等比数列 中，其前 项和为 ，且 是 和 的等差中项，则 （ ）
A.28 B.20 C.18 D.12
10.已知函数 且满足 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C.1 D.2
11.已知 是双曲线 的左､右焦点，过 的直线与双曲线的左､右两支分别交于 两
点，若 为等边三角形，则 （ ）
A. B. C. D.
12.正四棱锥 内有一球与各面都相切，球的直径与边 的比为 ，则 与平面 所成
角的正切值为（ ）
A. B. C. D.
二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
学科网（北京）股份有限公司13.已知向量 ，且 ，则 __________.
14.已知锐角 满足 ，则 __________.
15.已知函数 在区间 上不单调，则 的取值范围是
__________.
16.如图所示是一系列有机物的结构简图，途中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按
图中结构第 个图的化学键和原子的个数之和为__________个.（用含 的代数式表示）
三､解答题：共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（本小题满分12分）
清明节，又称踏青节､行清节､三月节､祭祖节等，是传统的重大春祭节日，扫墓祭祀､缅杯祖先，是中华民族
自古以来的优良传统.某社区进行流动人口统计，随机抽取了100人了解他们今年是否回老家祭祖，得到如下
不完整的 列联表：
回老家 不回老家 总计
50周岁及以下 55
50周岁以上 15 40
总计 100
（1）根据统计完成以上 列联表，并根据表中数据估计该社区流动人口中50周岁以上的居民今年回老家
祭祖的概率；
（2）能否有 的把握认为回老家祭祖与年龄有关？
参考公式： ，其中 .
参考数据：
0.100 0.050 0.010 0.001
学科网（北京）股份有限公司2.706 3.841 6.635 10.828
18.（本小题满分12分）
在 中，内角 的对边分别为 .
（1）证明： ；
（2）若 ，当 取最大值时，求 的面积.
19.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥 中.侧面 底面 为等边三角形，四边形 为正方形，且
.
（1）若 为 的中点，证明： ；
（2）求点 到平面 的距离.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆 的离心率为 ，直线 经过椭圆 的右焦点 ，且与椭
圆交于点 .
（1）求椭圆 的标准方程：
（2）设椭圆 的左焦点为 ，求 的内切圆的半径最大时 的值.
21.（本小题满分12分）
已知 ，函数 满足对任意 恒成立.
（1）当 时，求 的极值；
（2）求 的值.
（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计
分.
学科网（北京）股份有限公司22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.以坐标原点为极点， 轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）求曲线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）设直线 与曲线 分别交于 两点（异于极点），求线段 的长度.
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知 ，函数 的最小值为2，证明：
（1） ；
（2） .
铜川市 2024 年高三质量检测卷·数学（文科）
参考答案､提示及评分细则
1.B 由题意知 ，所以（ ）
.故选B.
2.A ，则 .故选A.
3.C 和为质数有 ，
共14种情况，因此概率为 .故选C.
4.B 设圆柱的高为 ，底面半径为 ，则体积为 ，体积扩大为原来的9倍，则扩大后的体积为 ，
因为高不变，故体积 ，即底面半径扩大为原来的3倍，原来侧面积为 ，扩大后的圆柱
侧面积为 ，故侧面积扩大为原来的3倍.故选B.
学科网（北京）股份有限公司5.C 因为 中点为 ，又 ，所以 ，点 在以 为圆心，4为半径的圆上，
其轨迹方程为 .故选C.
6.C 因为函数 是定义在 上的奇函数，所以 .故选C.
7.A 依题意， 为等边三角形， .故选A.
8.C 线性区域的端点坐标为 ，可知当 时， 的最大值为-1.故选C.
9.A 根据题意得 ，解得 或 （舍），则
，故选 .
10.B 由 可知： 关于 对称，故 时，
取最小值为 .故选B.
11.B 为等边三角形， ，
，
，
.故选B.
12.C 设球心为 在平面 内的射影为 为 中点， 于 ，
半径为 ，则
学科网（北京）股份有限公司.故选C.
13. ，解得 .
14. 由 均为锐角，得 ，则
.
15. 由题意知 ，因为 在区间 上
不单调，所以 解得 ，即 的取值范围是 .
由图，第1个图中有6个化学键和6个原子；
第2个图中有11个化学键和10个原子；
第3个图中有16个化学键和14个原子，
观察可得，后一个图比前一个图多5个化学键和4个原子，
则第 个图有 个化学键和 个原子，所以总数为 .
17.解：（1）补全表格如下：
回老家 不回老家 总计
50周岁及以下 5 55 60
50周岁以上 15 25 40
总计 20 80 100
该社区中50周岁以上的居民今年回老家祭祖的概率为 ；
学科网（北京）股份有限公司（2） ，
有 的把握认为是否回老家祭祖与年龄有关.
18.（1）证明： ，
则 ，
而 ，
故 ，
故 ，
故 ；
（2）解： ，
当且仅当 时， 取最大值，此时， 且 ，则
，
故 .
19.（1）证明：取 中点 ，连接 ，
为等边三角形， ，
四边形 为正方形， ，
又 平面 ，
平面 ；
学科网（北京）股份有限公司（2）解：连接 ，
由 平面 ，
，
，
设 到平面 的距离为 ，即 ，
解得 .
20.解：（1）由题意知右焦点 ，则 .
椭圆 的标准方程为 ；
（2）设 的内切圆半径为 的周长为 .
的面积最大时，其内切圆半径最大.
设 ，
联立 得 .
学科网（北京）股份有限公司.
令 ，则 .
.
当且仅当 ，即 时等号成立，此时 .
21.解：（1）当 时， ，则 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
因此 在 上单调递减，在 上单调递增，
即 极小值为 ，无极大值；
（2） 的定义域为 .
故 在 上单调递减， 上单调递增， .
又因为对任意 ，
所以 ，解得 .
另一方面， 等价于 .
设函数 .
所以 在 上单调递增， 上单调递减， .
学科网（北京）股份有限公司又因为对任意 ，所以 ，即 .
设 ，
当 时， ，故 .
所以只能有 ，即 的值为1.
综上， 的值为1.
22.解：（1）曲线 （ 为参数），消去参数得 ，
将 代入，得曲线 的极坐标方程为 ，
由 得 ，
曲线 的直角坐标方程为 ；
（2）易知直线 的极坐标方程为 ，
代入曲线 的极坐标方程得 ，
.
23.解：由于 ，则 ，当且仅当 取等号，
故 的最小值为 .
证明：（1） ，
，
当且仅当 时取等号；
（2） ，
学科网（北京）股份有限公司，
当且仅当 ，即 时取等号.
学科网（北京）股份有限公司
